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第十一章 三角形
·11.2与三角形有关的角·
第一课时 三角形的内角和定理
学案
班级： 课时： 成绩：
学习目标
1.经历动手实践验证三角形的内角和定理，并能用多种方法证明定理；
2.会应用三角形内角和定理进行计算.
知识构建
【自主学习】
1.下图是生活中常见的两种三角板，请完成填空.
任意三角形的三个内角之和等于 °.
【合作探究】
请写出3种不同的方法证明三角形的内角和定理.
证法一：
证法二：
证法三：
层级练习
【应用迁移 巩固提高】
1.如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C = 2:2:4，求∠A、∠B、∠C的度数.
3.如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
【随堂练习 巩固新知】
1.填空.
（1）在△ABC中，∠A = 35°，∠B = 43 °，则∠C = .
（2）在△ABC中，∠A：∠B：∠C = 2：3：4，则∠A = ，∠B = ，∠C = ，△ABC是 三角形.
（3）在直角三角形ABC中，一个锐角为50°，则另一个锐角是 °.
（4）在△ABC中，若∠A+∠B = 2∠C，则∠C = .
（5）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 .
2. △ABC中，若∠A+∠B =∠C，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3.（2022秋 阳东区期中）如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线，若∠BAC = 80°，则∠EAD = （　　）
A．30° B．45° C．20° D．60°
4. （2022 卧龙区一模）如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB = 90°，若∠1 = 30°，则∠2的度数为（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
5.（2022 绍兴）如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1 = 70°，∠2 = 100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（　　）
A．5° B．10° C．30° D．70°
【当堂检测 及时反馈】
1. （2022秋 行唐县期末）如图，△ABC中，∠A = 80°，高BE和CH的交点为O，则∠BOC等于（　　）
A．80° B．120° C．100° D．150°
2.（2020 惠山区校级一模）一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE = 90°，∠A = 45°，∠E = 60°，点F在CB的延长线上，若DE∥CF，则∠BDF等于（　　）
A．35° B．25° C．30° D．15°
3. （2022秋 内江期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，且∠CDG =∠A，则∠1与∠2的数量关系为（　　）
A．∠2 =∠1 B．∠2 = 3∠1
C．∠2-∠1 = 90° D．∠1+∠2 = 180°
4. （2022 铁岭）如图，在△CEF中，∠E = 80°，∠F = 50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
5. （2022春 南岗区校级期中）在△ABC中，∠A = 2∠B+15°，∠C =∠A+5°，则∠B度数为　 　．
6. （2022秋 芜湖期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E = 90°，∠C = 90°，∠A = 45°，∠D = 30°，则∠1+∠2 = 　 ．
7. （2022秋 芮城县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A = 40°，那么∠1+∠2的大小为　 ．
8.（2022秋 碑林区校级期末）如图，△ABC中，∠A = 55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC = 70°，那么∠A′DB的度数为　 ．
9.（2022秋 当涂县期末）如图，在△ABC中，∠A = 75°，∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于点M、N两点．
（1）求∠BMC的度数；
（2）若设∠A = α，用α的式子表示∠BMC的度数．
10.（2020春 长安区校级月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1 =∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B = 54°，且∠ACD = 35°，求的∠3度数．
【拓展延伸 能力提升】
1.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = .
2.（2020春 江阴市月考）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON = 60°，则∠ACG = °；若∠MON = 90°，则∠ACG = °；
（2）若∠MON = n°．请求出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)
四、参考答案
【自主学习】
1.60，30，90，180，45，45，90，180.
2.180.
【合作探究】
（答案不唯一）
证法一：
过点A作DE∥BC，
∵ DE∥BC，
∴ ∠1 =∠B，∠2 =∠C
∵ ∠1+∠BAC +∠2 = 180°，
∴ ∠BAC+∠B+∠C = 180°.
证法二：
在BC上任取一点D，作DE∥AB ，交AC于点E，作DF∥AC ，交AB于点F.
∵ DF∥AC，∴ ∠1 =∠C， ∠2 =∠DEC.
∵ DE∥AB，∴ ∠3 =∠B， ∠DEC =∠A.
∴ ∠A =∠2.
又∵ ∠1+∠2+∠3 = 180°，
∴ ∠A+∠B+∠C = 180°.
证法三：
过B作BD∥AC，
∴ ∠2 =∠A，∠DBC+∠C = 180°.
∵ ∠DBC =∠1+∠2，
即∠1+∠2+∠C = 180°，
∴ ∠A+∠ABC+∠C = 180°.
【层级练习】
【应用迁移 巩固提高】
1.∠ADB= 85°.
2.∠A为45°，∠B为45°，∠C为90°.
3.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
【随堂练习 巩固新知】
（1）102°；（2）40°；60°；80°；锐角；（3）40°；（4）60°；（5）60°.
B 3.C 4.C 5.B
【当堂检测 及时反馈】
C 2.D 3.D 4.B
5.29° 6.210° 7.220° 8.40°
9.（1）∠BMC = 110°．（2）∠BMC = 60°+α.
10.（1）证明：∵ CD⊥AB，EF⊥AB，
∴ CD∥EF，
∴ ∠1 =∠BCD．
又∵ ∠1 =∠2，
∴ ∠2=∠BCD，
∴ DG∥BC．
（2）在Rt△BEF中，∠B = 54°，
∴ ∠1 = 180°-90°-54°= 36°，
∴ ∠BCD =∠1 = 36°．
又∵ BC∥DG，
∴ ∠3 =∠ACB =∠ACD+∠BCD = 35°+36°= 71°．
【拓展延伸 能力提升】
1.360°.
（1）60，45；
（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB=180°﹣∠AOB=180°﹣n°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC=(∠OBA+∠OAB)=(180°﹣n°)，
即∠ABC+∠BAC=90°-n°，
∴∠ACB=180°﹣(∠ABC+∠BAC)=90°+n°，
∴∠ACG=180°﹣(90°+n°)=90-n°.

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