资源简介

专题06 平面向量
1. 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　
减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　.
4. 平面向量的基本定理、平面向量的坐标表示
如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　.
在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) .
5.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　.
6.向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0 .
7. 中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
8.向量的夹角
两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　.
a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b.
9.平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
10.平面向量数量积的性质及其坐标表示
(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 .
②模：|a|＝＝ 　.
③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.
④夹角：cos θ＝ 　＝.
⑤已知两非零向量a与b，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0．
(2)平面向量数量积的运算律
①a·b＝b·a(交换律)．
②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1. 向量相等、向量共线
2. 向量加减法运算律的应用
3. 向量的线性运算
4. 共线向量定理及其应用
5. 平面向量坐标的基本运算
6. 向量平行(共线)的判定．
7. 三点共线的判定及应用．
8. 平面向量数量积的运算
9. 利用数量积解决求模问题
10. 两向量的夹角和垂直问题
考点一 向量的概念
例1．关于向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】利用向量相等、向量共线的条件、向量模的定义，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】选项A，因为，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误；
选项B，当时，有，，但可以和不平行，故选项B错误；
选项C，若，由向量相等的条件知：，故选项C正确；
选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.
故选：C
例2．若向量与向量不相等，则与一定（　　）
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
【答案】D
【分析】向量相等为长度和方向都相同，所以若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，分析选项可得结果.
【详解】若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，
所以与有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，
所以A，B，C都是错误的，
但是与一定不都是零向量．
故选：D.
【变式探究】1设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
【答案】B
【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解
【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
故选：B
2. 如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）

A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，，，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
点二 向量的线性运算
例3．化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的加减运算法则化简即可.
【详解】.
故选：D
例4．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】∵，∴，
故选：C.
【变式探究】1. 已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量混合运算即可.
【详解】，
故选：C.
2. 化简向量等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的加减法运算法则直接求解即可.
【详解】.
故选：D.
考点三 平面向量坐标的基本运算
例5．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标
【详解】.
故选：B.
例6．已知，则 ．
【答案】
【分析】根据向量坐标的线性运算可得答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
【变式探究】已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
考点四 向量平行(共线)的判定
例7．已知向量，若，则 .
【答案】
【分析】根据向量平行关系得到方程，求出答案.
【详解】因为，所以，故.
故答案为：-5
例8．已知向量.若，则实数的值为 .
【答案】/
【分析】根据向量平行的坐标运算即可.
【详解】因为，
所以.
又，
所以，解得.
故答案为：.
【变式探究】设向量，若，则（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】根据，可得，再根据共线向量的坐标公式即可得解.
【详解】因为向量，，所以，
所以，解得.
故选：B.
考点四 平面向量的数量积运算
例9．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
例10．在中，，，则 .
【答案】
【分析】根据向量数量积的定义进行计算即可.
【详解】根据题意易得为等腰直角三角形，
,
则，
故答案为：
【变式探究】1. 向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　A　)
A．6 B．5
C．1 D．－6
【解析】　由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A.
2. 已知是夹角为的单位向量,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积公式求解即可.
【详解】由题意得,是夹角为,
则.
故选:D.
考点五 利用数量积解决求模问题
例11．已知向量满足则（ ）
A．3 B．49 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据公式直接计算可得.
【详解】.
故选：D
例12．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用平面向量减法和模的坐标运算公式求解即可.
【详解】由题意知，，所以.
故选：A.
【变式探究】1. 已知平面向量满足与的夹角为,则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积运算法则得到，从而得到.
【详解】，
所以,
故选：D
2. 已知，为共线向量，且，，则（ ）
A． B． C．40 D．
【答案】A
【分析】利用共线向量的坐标表示及模的公式求解即可.
【详解】∵，为共线向量，∴，即，
∴，.
故选：A.
考点六 两向量的夹角和垂直问题
例13．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直的坐标公式直接计算求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，解得.
故选：B
例14．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
例15．已知向量，，，若，则 .
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】由可得，∴，∴.
故答案为：
【变式探究】1. 已知向量，若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据平面向量夹角的坐标公式计算即可.
【详解】依题意，，解得.
故选：A.
2. 已知向量，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的夹角公式的坐标运算，即可求出结果.
【详解】由题意可知，，
所以与的夹角是.
故选C.
1.已知( )
A．（4,2） B．（-8,2）
C．（-4,2） D．（84,2）
解析：B，
故选B.
2.已知则m= .
解析：
3.已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：D,
4. 已知= .
解析：
5.向量=(3,2), =(m-1,2m+1),若向量与相互垂直，则m= .
【答案】
【解析】
6.若 。
【答案】2
【解析】
7.设其中为三角形ABC内角，若
【答案】
【解析】
8.设向量=(4,2), =(x,1), 且∥ ,则 x=（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】，故选A.
9.已知（ ）
A、 B、 C、 6 D、-6
【答案】B
【解析】
10.ΔABC为等边三角形，则的夹角为 。
【答案】
【解析】的夹角为B的补角，所以为
11.已知向量，，，，且，∥，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故选D.
12.已知向量，，则 .
【答案】
【解析】
13.设向量，，且，则 ．
【答案】
【解析】
14.设向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故选B.
15.设，且，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，故选B.
16.设，，则__________.
【答案】
【解析】
17.“”是“”的( ).
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】，，所以选A.
18. (2014年)下列各组向量互相垂直的是( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
17. 已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0 B． C． D．4
【答案】C
【分析】利用向量运算法则得到.
【详解】，
因为正方形的边长为1，所以，
故.
故选：C
18. 如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
故选：D.
19. 若平面四边形满足：，，则该四边形一定是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】根据得到，，所以四边形为平行四边形，由得到，故四边形为菱形.
【详解】因为，所以，
即，，
所以四边形为平行四边形，
因为，
所以，即平行四边形的对角线互相垂直，
所以四边形为菱形．
故选：B
20. 已知平面向量a，b不共线，，，则（　　）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】D
【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解.
【详解】对A，与不共线，A错误；
对B，则与不共线，B错误；
对于C，则与不共线，C错误；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.
故选：D.
21. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先得到，根据向量平行得到方程，求出答案.
【详解】，
又，故，解得.
故选：A
22. 已知点，则 ││（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
【答案】B
【分析】计算平面向量的模，一般先算向量的坐标，再计算模长.
【详解】由可得,则.
故选：B.
23. 已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的数量积公式，即可求得本题答案.
【详解】，
故选：C
24. 已知是单位向量，若，则（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】根据，求出，然后求解.
【详解】，即，，
故选：B.
25. 已知向量与的夹角为，且，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积定义即可得到答案.
【详解】，则，
.
故答案为：.专题06 平面向量
1. 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　
减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　.
4. 平面向量的基本定理、平面向量的坐标表示
如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　.
在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) .
5.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　.
6.向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0 .
7. 中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
8.向量的夹角
两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　.
a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b.
9.平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
10.平面向量数量积的性质及其坐标表示
(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 .
②模：|a|＝＝ 　.
③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.
④夹角：cos θ＝ 　＝.
⑤已知两非零向量a与b，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0．
(2)平面向量数量积的运算律
①a·b＝b·a(交换律)．
②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1. 向量相等、向量共线
2. 向量加减法运算律的应用
3. 向量的线性运算
4. 共线向量定理及其应用
5. 平面向量坐标的基本运算
6. 向量平行(共线)的判定．
7. 三点共线的判定及应用．
8. 平面向量数量积的运算
9. 利用数量积解决求模问题
10. 两向量的夹角和垂直问题
考点一 向量的概念
例1．关于向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
例2．若向量与向量不相等，则与一定（　　）
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
【变式探究】1设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
2. 如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）

A．与 B．与 C．与 D．与
点二 向量的线性运算
例3．化简得（ ）
A． B． C． D．
例4．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】1. 已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2. 化简向量等于（ ）
A． B． C． D．
考点三 平面向量坐标的基本运算
例5．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
例6．已知，则 ．
【变式探究】已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
考点四 向量平行(共线)的判定
例7．已知向量，若，则 .
例8．已知向量.若，则实数的值为 .
【变式探究】设向量，若，则（ ）
A． B． C．4 D．2
考点四 平面向量的数量积运算
例9．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．2
例10．在中，，，则 .
【变式探究】1. 向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　A　)
A．6 B．5
C．1 D．－6
2. 已知是夹角为的单位向量,则（ ）
A． B． C． D．
考点五 利用数量积解决求模问题
例11．已知向量满足则（ ）
A．3 B．49 C．6 D．7
例12．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】1. 已知平面向量满足与的夹角为,则（ ）
A． B．1 C． D．
2. 已知，为共线向量，且，，则（ ）
A． B． C．40 D．
考点六 两向量的夹角和垂直问题
例13．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C．12 D．
例14．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
例15．已知向量，，，若，则 .
【变式探究】1. 已知向量，若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．
2. 已知向量，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
1. (2022年)已知( )
A．（4,2） B．（-8,2）
C．（-4,2） D．（84,2）
2. (2022年)已知则m= .
3. (2021年)已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．
4. (2021年)已知= .
5.(2020年)向量=(3,2), =(m-1,2m+1),若向量与相互垂直，则m= .
6．(2019年)若 。
7．(2019年)设其中为三角形ABC内角，若
8.(2019年).设向量=(4,2), =(x,1), 且∥ ,则 x=（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
9.(2018年) 已知（ ）
A、 B、 C、 6 D、-6
10. (2018年)ΔABC为等边三角形，则的夹角为 。
11．(2017年) 已知向量，，，，且，∥，则（ ）
A． B．
C． D．
12．(2017年) 已知向量，，则 .
13．(2016年)设向量，，且，则 ．
14．(2016年)设向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
15. (2015年) 设，且，则等于（ ）
A. B.
C. D.
16. (2015年)设，，则__________.
17. （2014年）“”是“”的( ).
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件
18. (2014年)下列各组向量互相垂直的是( ).
A. B.
C. D.
17. 已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0 B． C． D．4
18. 如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
19. 若平面四边形满足：，，则该四边形一定是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
20. 已知平面向量a，b不共线，，，则（　　）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
21. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
22. 已知点，则 ││（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
23. 已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
24. 已知是单位向量，若，则（ ）
A． B． C．8 D．
25. 已知向量与的夹角为，且，则 ．

展开更多......

收起↑