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第三章 函 数
第二节 一次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数的表达式、图象与性质 ☆☆ 吉林中考中，有关一次函数的部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握一次函数的表达式、一次函数与一次方程（组）、（一元一次不等式的关系及一次函数的应用等考点。
考点2 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系 ☆☆
考点3 一次函数的应用 ☆☆☆
■考点一　一次函数的表达式、图象与性质
1．一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
2．一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
3.一次函数的图象
一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可
4.一次函数的性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小
k<0，b<0 二、三、四
5.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
6.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
■考点二　一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系
1.一次函数与一元一次方程
思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.
从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.
2.一次函数与二元一次方程组
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线.
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
3.一次函数与一元一次不等式
思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围.
从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；
从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.
■考点三　一次函数的应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义；
（6）答案．
■易错提示
1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
2. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况：
1）整个分母不能等于0；
2）根号里的整个式子要大于或等于0.
3. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
4. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关.
5. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析.
6. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=.
7.二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法
■考点一　一次函数的表达式、图象与性质
◇典例1： （2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）若点，都在直线上，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据题意，利用数形结合的思想，将点，的大致位置确定出来，根据增减性判断相关参数的大小，是解答本题的关键．
根据题意，点，都在直线上，值随的增大而减小，且，故，由此选出答案．
【详解】解：根据题意得：
点，都在直线上，
如图所示，作直线的函数图像，
有图像关系知：点、、的纵坐标分别为、、，
值随的增大而减小，
又，
，
故选：．
◆变式训练
1．（2023·全国·八年级假期作业）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查正比例函数的系数和一次函数常数项决定图象所过象限的知识点．
【详解】解：．由函数得，与图象的矛盾，故本选项不符合题意；
．函数所过象限错误，故本选项不符合题意；
．函数所过象限错误，故本选项不符合题意；
．由函数得，与图象的一致，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）背景素材：随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，小敏从奥体中心站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间y1（单位：s）是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E
x/km 8 9 10 11.5 13
18 20 22 25 28
关于x的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，设，将，代入解析式，可得关于k、b的方程组，解方程组可得k、b的值，进而可得一次函数解析式．
【详解】解：设，将，代入，
得：，
解得：，
关于x的函数表达式是，
故选：B．
■考点二　一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系
◇典例2：（2023上·福建宁德·八年级统考期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
对于函数来说，的值随值的增大而减小
函数的图象不经过第一象限
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，根据函数图象直接得到结论；根据、的符号即可判断；当时，；当时，根据图象得不等式，利用数形结合是解题的关键．
【详解】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故正确；
由于，，
∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴，
∴，即，故正确；
当时，，，由图象可知，
∴，故错误；
综上都正确，故选：．
◆变式训练
1．（2023下·天津津南·八年级校考阶段练习）如图，直线与交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式 ，解答本题的关键在于熟练掌握利用图象解一元一次不等式．
【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为，
∴由图象可知，当时，
；
当时，
的图象在直线的上方，
此时，；
当时，
的图象在直线的下方，
此时，，
∴的解集为：
．
故选：A．
2．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由与可得直线向右平移7个单位得到直线，从而可得直线与轴交点坐标，进而求解．
【详解】解：直线是由直线向右平移7个单位所得，
与轴交点为，
直线与轴交点坐标为，
的解为，
故选：C．
■考点三　一次函数的应用
◇典例3：（2022上·八年级单元测试）如图，在中，，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，若使四边形周长最小，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称一最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，两直线的交点问题，作点关于的对称点，连接，若使四边形周长最小，只要 最小，当三点共线时，最小， 设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，利用待定系数法求出直线和的解析式，联立方程组即可求出点坐标，正确找出点的位置是解题的关键．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴点在轴上，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵点关于的对称点，
∴，，
∴若使四边形周长最小，只要 最小，
当三点共线时，最小，
设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，
∵，
∴，
设直线的函数解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
设直线的解析式为，把代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立函数解析式得，
，
解得，
∴点的坐标为，
故选：．
◆变式训练
1．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种．
【详解】解：过的交点作y轴的平行线l，过的交点作y轴的平行线m，
由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示，
∴y的最小值是交点坐标的纵坐标值，
联立两直线解析式：，
解得，
把代入或解析式求得．
故选：C．
2．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系上，直线分别与轴、轴相交于两点，将沿轴翻折得到，使点刚好落在轴正半轴的点处，过点作交于，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，在中，利用勾股定理可求出的长，由折叠的性质可得出，进而可得出的长，再利用面积法，即可求出的长．
【详解】解：当时，，
∴点B的坐标为；
当时，，解得：，
∴点A的坐标为．
在中，，
∴
由折叠可知：，
∴．
∵，
∴
故选B．
1．（2023·吉林·统考一模）一次函数的图象不经过的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，此题得解．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴一次函数的图象不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
2．（2022·吉林长春·吉林大学附属中学校考一模）如图，直线交y轴于点A，交双曲线于点B，将直线向下平移2个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线于点D，若，则n的值（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【分析】设B的坐标(m，n)，则D的坐标(3m，n-2)，利用反比例函数的性质计算判断即可．
【详解】∵直线交y轴于点A，交双曲线于点B，
∴设AB=m，
则B的坐标(m，n)，
∵直线向下平移2个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线于点D，且，
∴D的坐标(3m，n-2)，
∵B，D都在反比例函数图像上，
∴mn=3m(n-2)，
解得n=3，
故选B．
【点睛】本题考查了直线平移的规律，反比例函数图像与点的关系，熟练掌握反比例函数解析式的意义是解题的关键．
3．（2021·吉林松原·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】先根据函数解析式求出点A、B的坐标，再根据题意得出，，解不等式组即可求得．
【详解】解：在函数中，令得，令得，则，，
点P在的内部，
∴，
解得：．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的特征及依据题意列出不等式是解题的关键.
4．（2022·吉林四平·统考二模）如图，直线l的函数表达式为，在直线l上顺次取点，构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为，则 ．
【答案】4046
【分析】分别求出S1，S2，S3，S4的值，得出规律，根据规律即可求解．
【详解】解：由题意得：S1=2×3-2×1=4=2×（1+1），
S2=4×3-2×3=6=2×（2+1），
S3=5×4-4×3=8=2×（3+1），
S4=6×5-5×4=10=2×（4+1），

∴Sn=2（n+1），
∴S2022=2×（2022+1）=4046．
故答案为：4046．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键．
5．（2021·吉林·吉林省实验校联考模拟预测）将正方形AOCB和正方形A1CC1B1按如图所示方式放置，点A（0，1）和点A1在直线y＝x+1上，点C和点C1在x轴上，若平移直线y＝x+1至经过点B1，则直线向右平移的距离为 ．
【答案】2
【分析】先求出点C的坐标为（1，0），从而求出点A1的坐标为（1，2），得到A1C＝2，再由四边形A1CC1B1为正方形，点C，C1在x轴上，得到A1B1＝A1C＝2，A1B1∥x轴，由此即可得到答案．
【详解】解：∵四边形AOCB为正方形，点A（0，1），
∴OC＝OA＝1．
∴点C的坐标为（1，0）
又∵四边形A1CC1B1是正方形，
∴点A1的横坐标为1，
∵点A1在直线y＝x+1上，
∴点A1的坐标为（1，2），
∴A1C＝2．
又∵四边形A1CC1B1为正方形，点C，C1在x轴上，
∴A1B1＝A1C＝2，A1B1∥x轴，
∴若平移直线y＝x+1经过点B1，则直线y＝x+1向右平移2个单位长度．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像平移问题，正方形的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
6．（2020·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）如图已知直线与直线在第一象限交于点，若直线与轴的交点为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据经过点，求出解析式为，进而得出与y轴交点为（0,2k），求出与y轴交点坐标为（0,4），根据与交点在第一象限，得到k＞0,2k＜4，即可求解．
【详解】解：∵经过点，
∴，
∴，
∴解析式为，
∴与y轴交点为（0,2k），
由题意得与y轴交点坐标为（0,4），
∵与交点在第一象限，
∴k＞0,2k＜4，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，根据题意求出与y轴交点，利用数形结合得到关于k的不等式是解题关键．
7．（2020·吉林·吉林大学附属中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点（2，－1），则关于、的方程组的解为 ．
【答案】
【分析】把方程组变形为，则易知方程组的解即为直线和的交点坐标，由此可求得答案．
【详解】将方程组变形为
∴方程组的解即为直线和的交点坐标，
∵直线和相交于点（2，-1），
∴将方程组的解为：
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．
8．（2019·吉林长春·统考二模）如图，直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、．点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为 ．

【答案】
【分析】由于P的纵坐标为1，故点P在直线y=1上，要求符合题意的m值，则P点为直线y=1与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
【详解】解：∵点P（m，1）是△ABC内部（包括边上）的一点，
∴点P在直线y=1上，如图所示，

当P为直线y=1与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y=1与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2=x+3中令y=1，则x=，
y1=3x+3中令y=1，则x=，
∴m的最大值为，m的最小值为．
则m的最大值与最小值之差为：．
故答案为：.
【点睛】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为1，故作出直线y=1有助于判断P的位置．
9．（2019·吉林·吉林省第二实验学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象中的信息可求得关于x的方程kx+b＝﹣1的解为 ．
【答案】x＝﹣2．
【分析】运用待定系数法求出函数的解析式，再把y＝﹣1代入，即可求出x的值.
【详解】把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得： ，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
当y＝﹣1时，x+1＝﹣1，
解得：x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，比较简单，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键.
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）已知直线不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数经过的象限．熟练掌握当时，一次函数经过第一、二、四象限是解题的关键．根据，进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
2．（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象不经过第一象限 B．图象与x轴的交点是
C．y随x的增大而增大 D．图象过点
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题等知识， 根据一次函数的性质及函数图像上点满足函数解析式逐个判断即可得到答案，解题的关键是k、b与一次函数的图象与性质的关系．
【详解】解： ∵，，
∴的值随值的增大而减小，图像经过一，二，四象限，故选项A、C错误；
令，则，
∴图象与x轴的交点是(1，0)，故选项B错误；
令，得，
∴图象过点，故选项D正确；
故选：D．
3．（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）一次函数的图象经过点和，那么这个一次函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，直接把已知两点代入一次函数，求出，的值，从而得出一次函数的解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解答此题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：，
故选：B．
4．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）对于一次函数（），根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（ ）
函数图像不经过第三象限 函数图像经过点
A．y随x的增大而增大 B．函数图像与y轴的交点位于x轴下方
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图像及性质，根据一次函数的性质以及一次函数图像上点的坐标特征判断即可．
【详解】解：一次函数（）的图像不经过第三象限，
一次函数（）的图像经过第二、四象限或第一、二、四象限，
，
随x的增大而减小，故A错误，不合题意；
又函数图像经过点，
函数图像与y轴的交点位于x轴上方，故B错误，不合题意；
，，
，故选项C正确，符合题意；
不一定大于0，故选项D错误，不合题意．
故选：C．
5．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）正比例函数函数值随的增大而增大，则的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的性质、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特征是解题关键．根据正比例函数的性质可得，由此即可得．
【详解】解：∵正比例函数函数值随的增大而增大，
，，
∴一次函数的函数值随的增大而增大，与轴的交点位于轴的负半轴，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
6．（2023上·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）已知直线与的交点的坐标为，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解，理解交点坐标的含义是解本题的关键．由函数的性质先求解，从而可得方程组的解．
【详解】解：∵直线与的交点的坐标为，
∴，
∴交点坐标为，
∴方程组的解是，
故选：A．
7．（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图象（如图），当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解．
【详解】解：由图象可知：当时，y的取值范围是；
故选：A．
8．（2017上·八年级单元测试）一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，则的解中（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，方程组的解就是一次函数和图象的交点，根据交点所在象限确定m、n的取值范围．
【详解】解：方程组的解就是一次函数和图象的交点，
∵两函数图象交点在第一象限，
∴，，
故选：A．
9．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，两个一次函数与的图像交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同
C．方程组的解是 D．不等式组的解集是
【答案】C
【分析】根据图象可直接判断A，B，C，求出与x轴的交点可判断D．
【详解】A．由图象可得直线与的图像交于点，
∴方程的解是，故正确；
B．由图象可知，不等式和不等式的解集相同，都是，故B正确；
C．方程组的解是，故错误；
D．将代入得，
解得，
∴，
将代入得，
解得，
∴时，直线在x轴下方且在直线上方，
∴的解集是，故正确；
故选C．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图像的交点坐标与二元一次方程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键．
10．（2023上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）直线的图象如图所示， 由图象可知当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象，根据函数与不等式的关系，可得答案．
【详解】解：由图象，得
图象位于x轴下方且y轴右侧的部分对应的x的范围是：，
故选A
11．（2024下·全国·八年级假期作业）已知直线经过点，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
12．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】略
13．（2023上·山东东营·七年级统考期末）已知正比例函数与一次函数的图像交于点，则一次函数的表达式是 ．
【答案】
【分析】把交点代入正比例函数求出点，再把点代入一次函数解析式即可得到答案．本题考查两直线相交或平行问题，解题关键是将含参数点代入已知函数，再反代入未知函数．
【详解】解：由题意可得，把点代入正比例函数得，，
把点代入，得，
解得，
函数解析式为，
故答案为：．
14．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）若一次函数的图形不经过第三象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第三象限列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数的图形不经过第三象限，
∴且，
解得：．
故答案为：．
15．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的图像，当时，y随着x的增大而减小分析即可．
【详解】当时，随着的增大而减小，
故答案为：．
16．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）如图，直线与直线交于点，则根据图象可得关于x的方程的解是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，根据图象解出方程，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵直线与直线交于点，
∴根据图象可得关于x的方程的解是：，
故答案为：．
17．（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查利用函数图像解不等式，涉及直线图像与性质，函数图像解不等式，熟练掌握利用函数图像解不等式的方法是解决问题的关键．
【详解】解：对于不等式对应三个函数图像、和，
不妨令、和，则转化为，即直线在直线上方；直线在直线上方部分对应的范围，
过三条直线的交点作轴的垂线，如图所示：
当，直线在直线上方，直线在直线上方，此时满足，
故答案为：．
18．（2024上·江西南昌·九年级校考阶段练习）如图，直线经过点、和点，且点的横坐标为，点为线段的中点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点坐标．
【答案】(1)
(2)点坐标为
【分析】（1）设直线的解析式为，再将点、代入解析式得到关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）先确定，，再作点关于轴的对称点为点，如图，连接交于点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，然后计算函数值为时对应的自变量的值，从而得到点坐标；
【详解】（1）解：设直线解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接交于点，
∵，点为线段的中点，
∴
∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，
∴此时最小，最小值为线段的长，
∵直线：经过点，且点的横坐标为，
∴，
∴，
设直线解析式为，过点、，
∴，
解得：
∴直线解析式为，
当时，得，
解得：，
∴点坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数与x轴的交点，掌握待定系数法确定一次函数解析式是解题的关键．
19．（2022上·安徽合肥·八年级校考期末）如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向正方向移动，过点P的直线1：也随之移动，设移动时间为t秒．
(1)若直线l与线段有交点，确定t的取值范围；
(2)设直线l与x轴交点为Q，若取得最小值，求此时直线l的函数解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征分别求出当直线l过点M，N时t的值，进而可求出t的取值范围；
（2）求得Q点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的函数解析式．
【详解】（1）解：当直线l过点时，，
解得：，
，
，
当直线l过点时，，
解得：，
，
，
当直线l与线段有交点，t的取值范围为；
（2）解：作M关于x轴的对称点，连接，交x轴于Q，此时的值最小，最小值为，
直线的解析式为，把，代入得，解得，
直线的解析式为，
，
把代入得，，解得，
直线l的函数解析式为．
36．（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，正确求出两函数解析式是解题关键．
（1）直接运用待定系数法就可以求出、关于的函数图像关系式即可；
（2）分为两种情况：在相遇前，；当两车相遇后，，然后求解即可．
【详解】（1）解：设，将点代入，
可得，解得，
∴；
设，将点，代入，
可得，解得，
∴；
（2）①两车相遇前，可有，
即
解得；
②两车相遇后，可有，
即，
解得．
答：两车行驶或时两车相距300千米．
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第三章 函 数
第二节 一次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数的表达式、图象与性质 ☆☆ 吉林中考中，有关一次函数的部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握一次函数的表达式、一次函数与一次方程（组）、（一元一次不等式的关系及一次函数的应用等考点。
考点2 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系 ☆☆
考点3 一次函数的应用 ☆☆☆
■考点一　一次函数的表达式、图象与性质
1．一次函数的定义：一般地，形如 (k，b为常数，且k≠0)的函数叫做 .
特别地，当一次函数y=kx+b中的 时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， ．
2．一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为 ，其中k，b为常数，k≠0．
3.一次函数的图象
一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定 两点确定一条直线，可知画一次函数图象时，只要取两点即可
4.一次函数的性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 。
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 。
k<0，b<0 二、三、四
5.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于 ．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于 ．
6.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2， ；②当k1=k2，b1=b2， ；
③当k1≠k2，b1=b2， ；④当k1·k2=–1时， ．
■考点二　一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系
1.一次函数与一元一次方程
思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为： .
从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的 .
2.一次函数与二元一次方程组
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成 （a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应 ，所以一个二元一次方程也对应 ，进一步可知，一个二元一次方程组对应 ，因而也对应 .
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑 ，两个函数的值相等，以及这两个函数值是 ；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的 ，一般地，如果一个二元一次方程组 ，那么这个解就是方程组对应的两条直线的 .
3.一次函数与一元一次不等式
思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线 为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的 .
从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值 ；
从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的 满足的条件.
■考点三　一次函数的应用
1．主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的 ；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求 ；
（3）确定自变量的 ；
（4）利用 解决问题；
（5）检验所求解是否符合 ；
（6）答案．
■易错提示
1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
2. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况：
1）整个分母不能等于0；
2）根号里的整个式子要大于或等于0.
3. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
4. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关.
5. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析.
6. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=.
7.二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法
■考点一　一次函数的表达式、图象与性质
◇典例1： （2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）若点，都在直线上，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·全国·八年级假期作业）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）背景素材：随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，小敏从奥体中心站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间y1（单位：s）是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E
x/km 8 9 10 11.5 13
18 20 22 25 28
关于x的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
■考点二　一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系
◇典例2：（2023上·福建宁德·八年级统考期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
对于函数来说，的值随值的增大而减小
函数的图象不经过第一象限
A．个 B．个 C．个 D．个
◆变式训练
1．（2023下·天津津南·八年级校考阶段练习）如图，直线与交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
■考点三　一次函数的应用
◇典例3：（2022上·八年级单元测试）如图，在中，，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，若使四边形周长最小，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系上，直线分别与轴、轴相交于两点，将沿轴翻折得到，使点刚好落在轴正半轴的点处，过点作交于，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
1．（2023·吉林·统考一模）一次函数的图象不经过的象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·吉林长春·吉林大学附属中学校考一模）如图，直线交y轴于点A，交双曲线于点B，将直线向下平移2个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线于点D，若，则n的值（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
3．（2021·吉林松原·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．（2022·吉林四平·统考二模）如图，直线l的函数表达式为，在直线l上顺次取点，构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为，则 ．
5．（2021·吉林·吉林省实验校联考模拟预测）将正方形AOCB和正方形A1CC1B1按如图所示方式放置，点A（0，1）和点A1在直线y＝x+1上，点C和点C1在x轴上，若平移直线y＝x+1至经过点B1，则直线向右平移的距离为 ．
6．（2020·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）如图已知直线与直线在第一象限交于点，若直线与轴的交点为，则的取值范围是 .
7．（2020·吉林·吉林大学附属中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点（2，－1），则关于、的方程组的解为 ．
8．（2019·吉林长春·统考二模）如图，直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、．点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为 ．

9．（2019·吉林·吉林省第二实验学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象中的信息可求得关于x的方程kx+b＝﹣1的解为 ．
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）已知直线不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象不经过第一象限 B．图象与x轴的交点是
C．y随x的增大而增大 D．图象过点
3．（2022下·重庆酉阳·八年级校考期末）一次函数的图象经过点和，那么这个一次函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）对于一次函数（），根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（ ）
函数图像不经过第三象限 函数图像经过点
A．y随x的增大而增大 B．函数图像与y轴的交点位于x轴下方
C． D．
5．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）正比例函数函数值随的增大而增大，则的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）已知直线与的交点的坐标为，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图象（如图），当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2017上·八年级单元测试）一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，则的解中（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，两个一次函数与的图像交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同
C．方程组的解是 D．不等式组的解集是
10．（2023上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）直线的图象如图所示， 由图象可知当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024下·全国·八年级假期作业）已知直线经过点，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
B． C． D．
13．（2023上·山东东营·七年级统考期末）已知正比例函数与一次函数的图像交于点，则一次函数的表达式是 ．
14．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）若一次函数的图形不经过第三象限，则的取值范围是 ．
15．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是 ．
16．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）如图，直线与直线交于点，则根据图象可得关于x的方程的解是 ．
17．（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为 ．
18．（2024上·江西南昌·九年级校考阶段练习）如图，直线经过点、和点，且点的横坐标为，点为线段的中点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点坐标．
19．（2022上·安徽合肥·八年级校考期末）如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向正方向移动，过点P的直线1：也随之移动，设移动时间为t秒．
(1)若直线l与线段有交点，确定t的取值范围；
(2)设直线l与x轴交点为Q，若取得最小值，求此时直线l的函数解析式．
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