资源简介

专题3.7 双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
5．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 曲线方程与双曲线】
【方法点拨】
根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求.
【例1】（2022·四川南充·三模（理））设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案.
【解答过程】由，方程表示双曲线，
则，所以，
根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.
故选：B.
【变式1-1】（2021·山东·高三开学考试）命题：“”是命题：“曲线”表示双曲线”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据双曲线的标准方程，满足，求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解.
【解答过程】曲线表示双曲线，
可得，解得,
命题：“”是命题：“曲线”表示双曲线”的充要条件,
故选：A.
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围
【解答过程】因为方程表示双曲线，
所以，解得，
故选：A.
【变式1-3】（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．或5
【解题思路】根据题意可得，解之即可得解.
【解答过程】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则，解得．
故选：C.
【题型2 利用双曲线的定义解题】
【方法点拨】
理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”.双曲线
的定义的应用主要有以下几种类型：一是求解动点的轨迹方程问题；二是求解最值问题；三是求解焦点三
角形问题.
【例2】（2022·新疆高二阶段练习（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【解题思路】由双曲线定义可直接构造方程求得结果.
【解答过程】由双曲线方程知：；
根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.
故选：B.
【变式2-1】（2022·河南·一模（理））已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C．（） D．（）
【解题思路】如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.
【解答过程】如图所示：连接，根据垂直平分线知，
故，故轨迹为双曲线，
，，，故，故轨迹方程为.
故选：.
【变式2-2】（2022·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.
【解答过程】由题意可知，，所以，解得，
所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．
由双曲线的定义，知①，②，
由①②，得，
又，
所以的周长为．
故选：C.
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题思路】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,即可求的最大值.
【解答过程】 ，
则，
故双曲线的两个焦点为,，
,也分别是两个圆的圆心,半径分别为,
，
，
则的最大值为
，
，
故选：D.
【题型3 双曲线的标准方程的求解及应用】
【方法点拨】
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，通常要先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定的值).要特
别注意的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混滑.
(2)求双曲线方程中参数的值或取值范围时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，
然后求解，有必要时，要注意分焦点在x轴、y轴上进行分类讨论，不要漏解.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意求出a,b即可求得答案.
【解答过程】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据实轴长求得，再结合渐近线方程求得，即可求解
【解答过程】因为实轴长为8，所以，可得渐近线方程为，所以，
所以双曲线的标准方程为，
故选：D．
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线（，）的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由离心率和距离的最小值列方程组求得，然后求得后得双曲线方程．
【解答过程】由已知可得，，可得，，则，所以双曲线的方程为．
故选：A．
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程．
【解答过程】，是的中点，所以，
，则，
，解得，
所以双曲线方程为．
故选：D．
【题型4 双曲线的渐近线方程】
【方法点拨】
根据已知条件，求渐近线方程时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后利用
渐近线方程的公式求解.
【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出双曲线的标准方程即得解.
【解答过程】解：由题意知，，所以双曲线的标准方程为，
双曲线的渐近线方程为，即.
故选：D．
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据双曲线的离心率可得之间的关系，从而可得到渐近线方程.
【解答过程】双曲线的离心率为，
即 ，所以 ，
则 ，故C的渐近线方程为.
故选：D.
【变式4-2】（2022·海南高三阶段练习）若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题可得，，即得.
【解答过程】双曲线 的焦点 到渐近线： ，即 的距离为： ，而，
从而，故渐近线即.
故选：B.
【变式4-3】（2022·河南安阳·模拟预测（文））若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【解题思路】利用两直线垂直时斜率的关系及其双曲线的渐近线方程即可求解.
【解答过程】由已知得：
双曲线的方程为，其渐近方程为 ，
∵直线与双曲线的渐近线垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为，
∴ ，
∴ ，
故选：B.
【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【方法点拨】
求双曲线的离心率的方法通常有以下两种：
①定义法：设法求出a，c的值，由定义确定离心率的大小；
②方程法：先由已知条件构造关于离心率的方程，然后解方程确定离心率的大小，注意e>1.
【例5】（2022·浙江·高二期中）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案.
【解答过程】设在渐近线上，直线的方程为，
由，得即，
由，得为的中点，又因为
所以，
因为在双曲线上，所以化简得：
.
故选：C.
【变式5-1】（2022·安徽省高二期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意设双曲线方程为，则其渐近线方程为，将代入中可求出，从而由可求出离心率.
【解答过程】由题意设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
因为双曲线的一条渐近线经过点，
所以，所以，
所以离心率，
故选：D.
【变式5-2】（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A．3 B． C． D．5
【解题思路】根据渐近线方程得，再根据关系式，求双曲线的离心率.
【解答过程】由条件可知，
所以离心率.
故选：A.
【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义求出，由勾股定理即可得到的关系，从而解出．
【解答过程】由题意可得，，，
解得：，，
因为，
所以，
即，
亦即，
所以．
故选：A．
【题型6 双曲线中的最值问题】
【方法点拨】
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几
何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当三点共线时取得最小值，利用两点坐标求距离公式计算即可.
【解答过程】设双曲线方程为，则，所以，
双曲线方程为，由，得，，
因此在双曲线外部（不含焦点的部分），
又，所以，
在中，由三边之间的关系可知当是线段与双曲线的交点，
即三点共线时，取得最小值，
且最小值为，
故选：B.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线上的点到点的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用已知条件求得、的值，可得出的值，求得双曲线的标准方程，然后利用两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得双曲线上的点到点的最小距离.
【解答过程】由已知可得，，可得，，，
所以，双曲线的方程为，
设是双曲线上的点，则，且或，
则，
所以当时，.
故选：B.
【变式6-2】（2021·全国·高三专题练习）已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】由题意可知双曲线的实轴长为6，焦距为10，从而可得双曲线的方程为，再由可知在圆上，由可知在圆上，画出图形，由图可知，，再结合双曲线的定义可得答案
【解答过程】解：因为，所以点在以，为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为．
由题意知在圆上，在圆上，
如图所示，，，
则．
当是延长线与圆的交点，是与圆的交点时取等号．
故选：C．
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果.
【解答过程】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以 ，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.
故选：D.专题3.7 双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
5．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 曲线方程与双曲线】
【方法点拨】
根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求.
【例1】（2022·四川南充·三模（理））设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2021·山东·高三开学考试）命题：“”是命题：“曲线”表示双曲线”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．或5
【题型2 利用双曲线的定义解题】
【方法点拨】
理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”.双曲线
的定义的应用主要有以下几种类型：一是求解动点的轨迹方程问题；二是求解最值问题；三是求解焦点三
角形问题.
【例2】（2022·新疆高二阶段练习（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2-1】（2022·河南·一模（理））已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C．（） D．（）
【变式2-2】（2022·全国·高二课时练习）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【题型3 双曲线的标准方程的求解及应用】
【方法点拨】
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，通常要先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定的值).要特
别注意的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混滑.
(2)求双曲线方程中参数的值或取值范围时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，
然后求解，有必要时，要注意分焦点在x轴、y轴上进行分类讨论，不要漏解.
【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线（，）的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 双曲线的渐近线方程】
【方法点拨】
根据已知条件，求渐近线方程时，先要确定焦点的位置，再根据相应的标准方程确定的值，然后利用
渐近线方程的公式求解.
【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022·海南高三阶段练习）若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2022·河南安阳·模拟预测（文））若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
【题型5 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【方法点拨】
求双曲线的离心率的方法通常有以下两种：
①定义法：设法求出a，c的值，由定义确定离心率的大小；
②方程法：先由已知条件构造关于离心率的方程，然后解方程确定离心率的大小，注意e>1.
【例5】（2022·浙江·高二期中）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【变式5-1】（2022·安徽省高二期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A．3 B． C． D．5
【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 双曲线中的最值问题】
【方法点拨】
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几
何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一
个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及
三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线上的点到点的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2021·全国·高三专题练习）已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．

展开更多......

收起↑