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石景山区 2023—2024 学年第一学期高二期末试卷
数 学
本试卷共 6页，满分为 100分，考试时间为 120分钟．请务必将答案答在答题卡上，
在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项．
1．若直线 l的倾斜角为 60 ，则直线 l的斜率为（ ）
A 3 3． B． C． 3 D． 3
3 3
2．直线 y 2x 1关于 x轴对称的直线方程为（ ）
A． y 2x 1 B． y 2x 1
1 1
C． y x 1 D． y x 1
2 2
3．已知 ， 是两个不同平面， l ，则“ // ”是“ l // ”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
4 x y．已知双曲线 2 1(b 0)的离心率是 2，则 b （ ）4 b
A 12 B C D 3． ． 2 3 ． 3 ．
2
5．用 0，1，2，3，4可以组成无重复数字的两位数的个数为（ ）
A． 25 B． 20 C．16 D．15
高二数学试卷第 1页（共 6页）
6.在空间直角坐标系O xyz中，点 A(1，2，1)， B( 1，2， 1)，则（ ）
A.直线 AB //坐标平面 xOy B. 直线 AB⊥坐标平面 xOy
C.直线 AB //坐标平面 xOz D. 直线 AB⊥坐标平面 xOz
7.已知直线 l1 : x 3y 7 0，直线 l2 : kx y 2 0 .若 l1 l2 ，则实数 k （ ）
1 1
A． 3 B． C． D．3
3 3
8.棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中， P是 BC1中点，则异面直线 PD与 A1B所成角
的余弦值是（ ）
A 3 B 2 C 3 2． ． ． D．
6 6 3 3
9． P为直线 y kx 2上一点，过 P总能作圆 x2 y2 1的切线，则 k的最小值（）
A 3 3． 3 B． C． D． 3
3 3
10.庑殿（图 1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼
等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成 5根屋脊，故又称“四阿
殿”或“五脊殿”．图 2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面 ABCD是矩形，且四个侧面
与底面的夹角均相等，则（ ）．
BC
A． AB BC EF B． AB EF
2
EF
C． AB BC D． AB 2BC EF
2
高二数学试卷第 2页（共 6页）
第二部分（非选择题 共 60 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 4分，共 20 分．
11. (2 x)4 的展开式中 x3的系数为___________.
12．直线 l1 : 2x y 1 0与直线 l2 : 2x y 1 0之间的距离为 ___________.
13．已知圆 x2 y2 2x ay 4 0的半径为 3，则 a的值为 ________.
14.方程 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10表示的曲线是_______，其标准方程是_______.
15.如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AB 2， AA1 4， E为棱CC1上的一个动
点，给出下列四个结论：
① A1B1 BE；
②三棱锥 E B1BD1的体积为定值；
③存在点 E，使得 AC //平面 BD1E；
④存在点 E，使得 B1D 平面 BD1E .
其中所有正确结论的序号是___________．
高二数学试卷第 3页（共 6页）
三、解答题共 5小题，共 40 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．(本小题满分 8分)
菱形 ABCD的顶点 A，C 的坐标分别为 A( 4，7)， C(6， 5) ， BC 边所在直线过点
P(4， 1)．
（Ⅰ）求 BC， AD边所在直线的方程；
（Ⅱ）求对角线 BD所在直线的方程．
17．（本小题满分 8分）
如图正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， E是棱 B1C1的中点，过 A，D1，E的平面
与棱 BB1相交于点 F .
（Ⅰ）求证： F 是 BB1的中点；
（Ⅱ）求点D到平面 AD1E的距离.
高二数学试卷第 4页（共 6页）
18．（本小题满分 8分）
已知抛物线C : y2 2px(p 0)，其准线方程为 x 1．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线 l : y x 1与抛物线C交于不同的两点 A，B，求以线段 AB为直径的圆的方
程．
19．(本小题满分 8分)
如图，在四棱锥 P ABCD中， PD 平面 ABCD，底面 ABCD为菱形， E，F 分
别为 AB， PD的中点.
（Ⅰ）求证： EF // 平面 PBC ；
（Ⅱ）若 AD 2 3，PD 4，再从条件① 条件②这两个条件中选择一个作为已知.求二
面角 E FC D的大小.
条件①： PB PC；
条件②： DE PC .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
高二数学试卷第 5页（共 6页）
20． (本小题满分 8分)
x2 2
已知椭圆C : y2 2 1(a b 0)过点 A( 6 0)
6
， ，且离心率 e .
a b 3
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） F 为椭圆C的右焦点， P为直线 x 3上一点，过点 F 作 PF 的垂线交椭圆 C于
MH
M，N 两点，连接OP与MN 交于点H （O为坐标原点）.求 的值.
HN
高二数学试卷第 6页（共 6页）
石景山区 2023—2024 学年第一学期高二期末
数学试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C C D A D A
二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．
题号 11 12 13 14 15
2 5 x2 y2
答案 8 4 椭圆， 1 ①②③5 25 16
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 40 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
16．(本小题满分 8分)
解：（Ⅰ）由菱形的性质可知 BC // AD，则 k 1 5AD kBC kCP 2 .4 6
所以， BC边所在直线的方程为 y 5 2(x 6)，即 2x y 7 0；
AD边所在直线的方程为 y 7 2(x 4) ，即 2x y 1 0 . …………4 分
7 5 6
（Ⅱ）线段 AC的中点为 E(1,1)， kAC ， 4 6 5
由菱形的几何性质可知， BD AC 1 5且 E为 BD的中点，则 kBD ，kAC 6
所以，对角线 BD 5所在直线的方程为 y 1 (x 1)，即 5x 6y 1 0 . …………8分
6
17．(本小题满分 8分)
证明：（Ⅰ）连接 BC1 .
因为平面 ADD1A1 // 平面 BCC1B1，
平面 AD1EF 平面 ADD1A1 AD1 ，
平面 AD1EF 平面 BCC1B1 EF ，
所以 AD1 // EF .
又 AB C1D1,AB //C1D1，所以四边形 ABC1D1为平行四边形，
高二数学答案第 1页（共 5页）
所以 AD1 // BC1，故 EF // BC1 .
又 E是棱 B1C1的中点，所以 F 是 BB1的中点. …………4 分
（Ⅱ）以 D为坐标原点， DA,DC,DD1所在直线分别为
x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
则 D 0,0,0 , A 2,0,0 ,D1 0,0,2 ,E 1,2,2 ，
设平面 AD1E的法向量为m (x, y, z)，

m AD1 (x, y, z) ( 2,0,2) 2x 2z 0则 ，

m AE (x, y, z) ( 1,2,2) x 2y 2z 0
令 x 1 z 1, y 1 1，得 ，故m (1, ,1)，
2 2

| DA m | | (2,0,0) (1,
1
,1) |
点D到平面 AD1E的距离为 d 2 2
2 4
.…………8 分
|m |
1 1
3 3
1
4
18．(本小题满分 8分)
p
解：（Ⅰ）由题意知 1，所以 p 2 .
2
所以抛物线C的方程为 y2 4x . …………3 分
y2 4x,
（Ⅱ）联立 ,得 y2 4y 4 0 .
y x 1
设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，线段 AB的中点为 D(x0 , y0 ) .
则 y1 y2 4, y1y2 4 . y
y1 y所以 20 2 , x y2 0 0
1 3 .
AB (x x )2 (y y )21 2 1 2 2[(y1 y
2
2 ) 4y1y2 ] 8
所以以线段 AB为直径的圆的方程为 (x 3)2 (y 2)2 16 . …………8 分
19．(本小题满分 8分)
（Ⅰ）取 PC中点M ，连接 FM ,BM .
在△PCD 中， M ,F 分别为 PC,PD的中点，所以
高二数学答案第 2页（共 5页）
MF // DC,MF 1 DC .
2
在菱形 ABCD 1中，因为 AB // DC,BE DC，
2
所以 BE //MF ,BE MF .
所以四边形 BEMF 为平行四边形，所以 EF // BM .
又因为 EF 平面 PBC ,BM 平面 PBC ，
所以 EF // 平面 PBC . …………4分
（Ⅱ）选择条件①：
因为 PD 平面 ABCD,DB,DC ,DE 平面 ABCD，
所以 PD DB,PD DC ,PD DE .
连接 BD，因为 PB2 PD2 BD2 ,PC 2 PD2 DC 2 ，且 PB PC，
所以 BD DC ，在菱形 ABCD中， AB BD AD ，即△ADB为正三角形.
又因为 E为 AB中点，所以DE DC，
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz .
又因为 AB // DC,DE AB .
因为△ADB为正三角形且 AD 2 3，所以DE 3 .
则 F(0,0,2),E(3,0,0),C(0,2 3,0)，

则 EF ( 3,0,2), EC ( 3,2 3,0) ，
根据条件，可得平面 FCD的法向量为 n1 (1,0,0) .
设平面 EFC 的法向量为 n2 (x, y, z)，

n2 EF 0 3x 2z 0则 ，所以 ，
3x 2 3y 0
n2 EC 0
取 x 2，则 y 3, z 3，所以 n2 (2, 3,3)，
所以 cos n1,n
n n 2 1
2
1 2 .
| n1 || n2 | 16 2
所以二面角 E FC D的大小为 60 . …………8 分
选择条件②：
因为 PD 平面 ABCD,DE,DC 平面 ABCD，
所以 PD DE ,PD DC .
高二数学答案第 3页（共 5页）
又因为 DE PC ,PD PC P,PD,PC 平面 PCD，
所以 DE 平面 PCD，又DC 平面 PCD，
所以 DE DC，
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz .
连接 BD，因为 AB // DC ，所以DE AB，又 E为
AB中点，所以 AD DB，
所以 △ADB 为正三角形 .因为 AD 2 3 ，所以
DE 3 .
则 F(0,0,2),E(3,0,0),C(0,2 3,0)，

则 EF ( 3,0,2), EC ( 3,2 3,0) ，
根据条件，可得平面 FCD的法向量为 n1 (1,0,0) .
设平面 EFC 的法向量为 n2 (x, y, z)，

n2 EF 0 3x 2z 0则 ，所以 ，
3x 2 3y 0
n2 EC 0

取 x 2，则 y 3, z 3，所以 n2 (2, 3,3)，
cos n n 2 1所以 n1,n 1 22 .| n1 || n2 | 16 2
所以二面角 E FC D的大小为 60 .
20．(本小题满分 8分)
a 6
c 2
解：（Ⅰ）由题意可得 c 6 ，解得 e b 2 ,
a 3
a2 b2 c2 a 6

x2 y2
椭圆C的方程为 1 . …………3 分
6 2
P 3,m F (2,0) PF m 0（Ⅱ）设 ， 则直线 的斜率为 k ，PF m3 2
（ⅰ）当m 0时，则直线 l与 x轴垂直，点H 即为点 F ，则 MH 1；
HN
（ⅱ）当m 0时，则直线 l的斜率为 k 1 ，则直线 l的方程 1 ，l y x 2 m m
高二数学答案第 4页（共 5页）
1
y x 2
联立方程 m ，消去 y得： m2 3 x2 12x 12 6m2 0，显然 0，x2 y2 1
6 2
2
设M x1, y1 ,N x2 , y
12
2 ，则 x1 x2 2 ,x x
12 6m
.
m 3 1 2 m2 3

y
1
(x 2)

∵直线OP的方程为 y m x m，联立方程 ，解得 x 6 ，
3 m H 2 y x m 3 3
因为 x x 1 x2 ，所以点 H 为线段MN 的中点，则 MH ；H 12 HN
综上所述： MH 1. …………8 分
HN
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
高二数学答案第 5页（共 5页）

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