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高中数学教学案例设计汇编
（下 部）
19、正弦定理（2）

一、教学内容分析
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。
根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析
对普高高二的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
三、设计思想：
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
四、教学目标：
1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
五、教学重点与难点
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
六、教学过程：
（一）结合实例，激发动机
师生活动：
教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？
学生：思考提出测量角A，C
教师：若已知测得， ，要计算A、B两地距离，你 （图1）
有办法解决吗？
学生：思考交流，画一个三角形，使得为6cm，，
，量得距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为
490m。
老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？
师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
。 教师：引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？
学生：思考，交流，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。
解：过作于
在中，
，
在中，
教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若，，能否用、、表示呢？
教师：引导学生再观察刚才解题过程。
学生：发现，


教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？
学生：发现即然有，那么也有，。
教师：引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？
设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。
（二）数学实验，验证猜想
教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，的关系。（学生回答它们相等）
（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：1：，对应角的正弦值分别为，，1；（学生回答它们相等）
（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：b：c为1：：2，对应角的正弦值分别为，，1。（学生回答它们相等）（图3）
（图3）
教师：对于呢？
学生：思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
则有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，
教师：那么任意三角形是否有呢？学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。）
学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、、的近似值。
教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、、值仍然保持相等。
我们猜想：==
设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
（三）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）
学生：思考得出
①在中，成立，如前面检验。
②在锐角三角形中，如图5设，，
作：，垂足为
在中，
在中，
同理，在中，
③在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，
作交的延长线于
在中，

在中，


同锐角三角形证明可知

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
还有其它证明方法吗？
学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：，
而由图中可以看出：，，
=
=
等式中均除以后可得，
即。
教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，三角形的面积：，能否得到新面积公式
学生：
得到三角形面积公式
教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、、都等于同一个比值，那么它们也相等，这个到底有没有什么特殊几何意义呢？
学生：在前面的检验中，中，，恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。
证明：连续并延长交圆于
，
在中，
即
同理可证：，
教师：从刚才的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？
学生：思考（联系作高的思想）得出：
在锐角三角形中，，作单位向量垂直于，

即


同理：

对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。
教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。
设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。
（四）利用定理，解决引例
师生活动：
教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。
学生：马上得出
在中，

（五）了解解三角形概念
设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性
教师：一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。
（六）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。
师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流
学生：反馈练习（教科书第5页的练习）
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。
（七）尝试小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：思考交流，归纳总结。
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。
设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（八）作业设计
作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。
思考题：例2：在中，已知，，，解三角形。例2中分别改为，并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。
课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用（相关网址：www.fayz.com）
七、设计思路：
本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
结合实例，激发动机
数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。
2、数学实验，验证猜想
通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
3、证明猜想，得出定理
引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。
附一：
实验报告单
组长: 组员：
试验目的
研究三角形中各边和它对角的正弦值的比(，，)是否相等。
实验器材
计算器，直尺，量角器，硬纸板（由老师统一发）
实验方法
画一个任意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。
实验内容
三边：a= b= c=
三角：A= B= C=
计算：= = =
（精确到小数点后两位）
结论：
福安一中 陈桢仔 林旭
点评：
本节定理教学课，教师把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察—实验—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用初中相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了 “在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的方法一、方法二，参透了分类 、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。
总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
20、正弦定理（3）
一、教学内容分析
“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。
本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学生学习情况分析
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。
三、设计思想
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标
1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。
3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。
五、教学重点与难点
重点：正弦定理的发现和推导
难点：正弦定理的推导
六、教学过程设计
（一）设置情境
利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游的码头C处，请你确定转运方案。已知船在静水中的速度，水流速度。
【设计意图】培养学生的“数学起源于生活，运用于生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。
（二）提出问题
师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。
待各小组将问题交给老师后，老师筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：
1、船应开往B处还是C处？
2、船从A开到B、C分别需要多少时间？
3、船从A到B、C的距离分别是多少？
4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少？
5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？
【设计意图】通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合作学习的能力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的兴趣；问题通过老师的筛选，确定研究的方向，体现教师的主导作用。
师：谁能帮大家讲解，应该怎样解决上述问题？
大家经过讨论达成如下共识：要回答问题1，需要解决问题2，要解决问题2，需要先解决问题3和4，问题3用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题4，问题4与问题5是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题4和5。
师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。
生1：船从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小及与的夹角：
，
用计算器可求得
船从A开往C的情况如图3，，，易求得，还需求及，我还不知道怎样解这两个问题。
师：请大家思考，这两个问题的数学实质是什么？
部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。
【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数学意识。
师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？
生3：不知道。
师：图2的情形大家都会解，但图3的情形却有困难，那么图2与图3有何异同点？
生4：图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。但图2中是直角三角形，而图3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用边角的关系求解。
师：图3的情形能否转化成直角三角形来解呢？
【设计意图】通过教师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培养学生的化归思想，同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定理做好铺垫。
生5：能，过点D作于点G（如图4），
，
师：很好！采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢？三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？
【设计意图】通过教师对学生的肯定评价，创造一个教与学的和谐环境，既激发学生的学习兴趣，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和教师的共同成长。
（三）解决问题
1、正弦定理的引入
师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？
众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。
师：如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间有何关系？同学们可以参与小组共同研究。
（1）学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。
（2）展示学生研究的结果。
【设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论做准备；同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。
师：请说出你研究的结论？
生7：
师：你是怎样想出来的？
生7：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边。
师：有没有其它的研究结论？（根据实际情况，引导学生进行分析判断结论正确与否，或留课后进一步深入研究。）
师：对一般三角形是否成立呢？
众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。
师：这是个好主意。那么对等边三角形是否成立呢？
生9：成立。
师：对任意三角形是否成立，现在让我们借助于《几何画板》做一个数学实验，……
【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。
2、正弦定理的探究
（1）实验探究正弦定理
师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。
结论：对于任意三角形都成立。
【设计意图】通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。
师：利用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检验与生5的计算结果是否一致。
生10：（通过计算）与生5的结果相同。
师：如果上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。”的问题就简单多了。
【设计意图】与情境设置中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简单应用，并强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。
（2）点明课题：正弦定理
（3）正弦定理的理论探究
师：既然是定理，则需要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。
探究方案：
直角三角形——已验证；
锐角三角形——课堂探究；
钝角三角形——课后证明。
【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。
师：请你（生11）到讲台上，讲讲你的证明思路？
生11：（走上讲台），设法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，与生5的办法一样，如图5作BC边上的高AD，则，所以
，同理可得
师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件出发，构造等量关系从而达到证明的目的。注意： 表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一个简捷的证明方法！
【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。
师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？
学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：
证法二：如图6，设AD、BE、CF分别是的三条高。则有
，
，
。
　
证法三：如图7，设是外接圆的直径，则，
同理可证：
【设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式
及一并牵出，使知识的产生自然合理。
师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？
师：任意中，三个向量、、间有什么关系？
生12：
师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由转化成数量关系？
生13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。
师：在两边同乘以向量,有,这里的向量可否任意？又如何选择向量?
生14：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑让向量与三个向量中的一个向量（如向量）垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。
师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请大家具体试一下，看还有什么问题？
教师参与学生的小组研究，同时引导学生注意两个向量的夹角，最后让学生通过小组代表作完成了如下证明。
证法四：如图8，设非零向量与向量垂直。
因为，
所以
即
所以，同理可得
师：能否简化证法四的过程？（留有一定的时间给学生思考）
师：有什么几何意义？
生15：把移项可得，由向量数量积的几何意义可知与在方向上的投影相等。
生16：我还有一种证法
师：请你到讲台来给大家讲一讲。（学生16上台板书自己的证明方法。）
证法五：如图9，作，则与在方向上的投影相等,即

故，同理可得
师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明了正弦定理，方法非常简捷明了！
【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易马上想出来，教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。
（四）小结
师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。
（五）作业
1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；
2、思考：证法五与证法一有何联系？
3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？
4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。
【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的准备。
七、教学反思
为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，并根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修4）》（人教版）第二章习题 B组第二题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题）；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后使用几何画板对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。
总之，整个过程让学生通过自主探索、合作交流，亲身经历了“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”——“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，从而使三维教学目标得以实现。
大田一中 陈永民
点评：
本节课是典型合作探究课，教师先设计一个实际问题引导学生讨论问题解决方案，将方案数学化，归纳出一类数学问题“在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边”，顺利地引入新课，实现了从“现象”到“本质”的飞跃，培养了学生提出问题、分析问题、数学建模的能力。为寻求解决问题的普遍方法，对三角形的边角关系进行探索，在特殊情况（直角三角形）下得到正弦定理，又在等边三角形和一般三角形中验证，坚定了结论成立的猜想，最后通过严格证明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理问题迎仞而解。从而使学生亲身经历了“情境思考”—“提出问题”—“研究特例”—“归纳猜想”—“实验探究”—“理论探究”—“解决问题”—“反思总结”的历程，学会研究数学问题的方法，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐。在对具体的一般三角形验证成立的过程中，利用《几何画板》软件，不断变换三角形，观察上式成立，提高了效率，现代教育技术的运用恰到好处。
21、余 弦 定 理
一、教学内容分析
人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
二、学生学习情况分析
本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
三、设计思想
新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。
四、教学目标
继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。
五、教学重点与难点
教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。
六、教学过程：
教学环节
合作探究活动
学情分析与设计意图
知识
回顾
1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？
2、三角形的正弦定理内容，主要解决哪几类问题的三角形？
回顾旧知，防止遗忘
创设
引入
你能判断下列三角形的类型吗？
1、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形
以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形
以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形
2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c边长吗？
引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。
学生可能比较茫然，帮助学生分析相关内容，从多角度看待问题，用实践进行检验。
提出
问题
你能够有更好的具体的量化方法吗？
帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的积极讨论。
引导学生从相关知识入手，选择简洁的工具。
合作探究
利用向量法推导余弦定理：
如图：设，
由三角形法则有
同理，让学生利用相同方法推导，
学生对向量知识可能遗忘，注意复习；在利用数量积时，角度可能出现错误，出现不同的表示形式，让学生从错误中发现问题，巩固向量知识，明确向量工具的作用。同时，让学生明确数学中的转化思想：化未知为已知。
归纳概括
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
知识归纳比较，发现特征，加强识记
结构分析
观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现
使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”问题
知识联系
余弦定理的推论：
　　　
解决“边、边、边”
问题
方法应用
怎样准确地解答引入中的两个问题？
怎样利用已知条件判断三角形的形状？
用准确的量化关系去解决问题，用边长去判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特例。
知识应用
例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，　　　　　A＝41°，求解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）
例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精确到1′）
应用数学知识求解问题加强计算器的运算功能，同时，巩固好正弦定理，余弦定理知识，发现两种知识方法在解三角形中的综合应用。
知识深化
例3：已知△ABC中求c边长
分析：（1）用正弦定理分析引导
（2）应用余弦定理构造关于C的方程求解。
（3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。
继续深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解问题优越于余弦定理。并让学生初步发现“边、边、角”问题解法，为下节学习辅垫。
练习检测
1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车的距离之间关系为（　　）
A：>　 　　 B：=
C：< 　　　D：大小不确定
2、锐角△ABC中b＝1，c＝2，则a取值为（　　）
A：（1,3）　　　　　　B：（1,）　　
C：（，2）　　　　D：（，）
3、在△ABC中若有，你能判断这个三角形的形状吗？若呢？
用练习去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养。
课堂小结
1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与弊？
2、从本课中你学到了哪些知识和方法？
通过知识回顾，使学生各自体会收获。
板书设计
1、推导余弦定理及其推论
2、例3、例4
3、练习指导
4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识
作业设计
1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。
2、第11页A组3、4题
巩固知识
多角度看待问题
七、教学反思
本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。
福建漳平市第一中学李永彬
点评：
本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦定理的基础上而设置的教学内容，因此本课的教学有较多的处理办法。李老师从解三角形的问题出发，提出解题需要，引发认知冲突，激起学生的求知欲望，调动了学生的学习积极性；在定理证明的教学中，引导学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，注意分析思路，揭示蕴含在证明中的数学思想，最后引导学生用向量知识推导出公式，在给出余弦定理的三个等式和三个推论之后，又对知识进行了归纳比较，发现特征，便于学生识记，同时也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了学生的思维层次。
命题的应用是命题教学的一个重要环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题。所以，例题的精选、讲解是至关重要的。设计中的例1、例2是常规题，让学生应用数学知识求解问题，巩固正弦定理、余弦定理知识。例3是已知两边一对角，求解三角形问题，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通过比较分析，突出了正、余弦定理的联系，深化了对两个定理的理解，培养了解决问题的能力。但李老师在对例3解法的总结时，指出“能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。”这结论有点片面。
本课在继承了传统数学教学模式优点，结合新课程的要求进行改进和发展，以发展学生的数学思维能力为主线，发挥教师的设计者，组织者作用，在使学生掌握知识的同时，帮助学生摸索自己的学习方法。
22、等差数列
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析
我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、设计思想
1．教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2．学法
引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。
五、教学重点与难点
重点：
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
②理解等差数列是一种函数模型。
关键：
等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。
六、教学过程
教学环节
情境设计和学习任务
学生活动
设计意图
创设情景
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。
倾听
课堂引入
探索研究
由学生观察分析并得出答案：
在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___,___,___,___,…
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：
时间
年初本金（元）
年末本利和（元）
第1年
10 000
10 072
第2年
10 000
10 144
第3年
10 000
10 216
第4年
10 000
10 288
第5年
10 000
10 360
各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
观察分析，发表各自的意见
引向课题
发现规律
思考：同学们观察一下上面的这四个数列：
0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？
观察分析并得出答案:
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。
总结提高
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。
通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。
提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A
所以就有
让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
深入探究，得到更一般化的结论
引领学习更深入的探究，提高学生的学习水平。
总结提高
[等差数列的通项公式]
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
①这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
④这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
学会发现规律，并加以总结。
⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？

引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

所以


……
引导学生进行理性分析与推导，从而得出公式。
总结提高
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
……
进一步的分析。
得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为
也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。
思考，并发表各自的意见。
让学生有自主思考的时空。
应用巩固
例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
让两个学生分别对这两小题加以分析。
让学生参与课堂。
分析：
⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。
解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得
⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。
聆听教师点评
通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。
随堂练习：课本45页“练习”第1题；
完成练习
讲练结合，有利提高学生的知识应用水平
例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.
令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
答：需要支付车费23.2元。
学以致用，将所学知识应用到具体生活中去，加深对概念的理解。
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
聆听教师点评
通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。
随堂练习：课本45页“练习”第2题；
完成练习
讲练结合，有利提高学生的知识应用水平
例3 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析思考，然后分组讨论，让两组学生代表发表自己的见解。
培养学生分析问题的能力，在小组讨论中提高组长的组织与归纳组内成员想法的能力。
分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数。
解：取数列中的任意相邻两项（n＞1），
求差得
它是一个与n无关的数.
所以是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项公差。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
对所得结论进行更深入一步的探究，激发学生的学习兴趣。
探索研究
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。
学生动手画图，并进行学习小组讨论，发表见解。
通过学生动手作图，并加以对比，让学生体会数列与函数的内在关系。
课堂小结
本节主要内容为：
①等差数列定义：即(n≥2)
②等差数列通项公式：(n≥1)
推导出公式：
以学习小组为单位，在学习小组中，各自归纳自己对这堂课的收获，后由小组代表总结归纳。
学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识。
评价设计
1、已知是等差数列.
⑴ 是否成立？
呢？为什么？
⑵ 是否成立？据此你能得出什么结论？
是否成立？据此你又能得出什么结论？
2、已知等差数列的公差为d.求证：
作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。
七、教学反思
本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程，也使本节课的三维目标真正落到实处。
福州金桥高级中学 林岳水
点评：
本设计从生活中的数列模型，如举重级别、水库水位、储蓄的本息计算等问题引入，进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学习的主动性。在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括得出等差数列定义，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程。
本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、到位、适度。如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素材；又如：把通项公式与一次函数发生联系，利用函数这一“上位”概念，来“同化”等差数列的概念，体现函数思想；还有让学生经历列表、画图象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的联系；此外，用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等。学生在经历过程中，加深了对概念的理解和巩固。
本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。教学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。
值得商讨的问题，在等差数列中，对于任意正整数，若则这一性质的在第一课时提出是否不合时宜，并且只是这样蜻蜒点水是否忽视了其重要性。
23、等差数列的前n项和
一、教学内容分析
本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．
二、学生学习情况分析
在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．
三、设计思想
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．
四、教学目标
1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；
2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质．
五、教学重点和难点
本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．
六、教学过程设计
（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验
世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
体展示三角形图案）
[设计意图] 情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境”　相联系．从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．
[知识链接] 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…+100＝？
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.
[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由易到难的问题．
（二）由易到难，在自主探究与合作中学习
问题1 图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？
该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现．
[学情预设] 学生可能出现以下求法
方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51
方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51
方法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26
以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．
[设计意图] 这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．
问题2：求图案中从第1层到第n层（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少颗宝石？
[学情预设] 学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键．
[设计意图] 从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进．
启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．
[设计意图] 借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型．
通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：
∵1 + 　2 + 　3 +…（n－1） + n
n +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1
____________________________________________________________________
(n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1)
∴1+2+3+…+n=
问题3： 在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和
Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？
由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：
∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +…+[a1+(n－1)d]
Sn=an + (an－d) +（an－2d）+…+[an－(n－1)d]
∴
(公式1)
组织学生讨论：
在公式1中若将an=a1+（n－1）d代入又可得出哪个表达式?
即：（公式2）
（三）设置典例，促进学生对公式的应用
对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．
例1 为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表：
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
问这个同学7天一共将跑多长的距离？
[设计意图] 该例题是将课本P53习题2.3A组第3题改编成表格形式，可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算．
例2 已知等差数列5，4 ，3 ，…
求(1)数列｛an｝的通项公式；
(2)数列｛an｝的前几项和为？
(3)Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。
[设计意图] 通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础．
[知识链接]（1）由若令可知当时，点是在常数项为0的二次函数图象上，可由二次函数的知识解决的最值问题；
（2）若数列的前n项和（），则数列一定是等差数列；
（3）由，可知，点在直线上；
（4）在等差数列中，当时，最大，当时，最小。
（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握
练习1 已知等差数列｛an｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.
练习2 等差数列｛an｝中，a1= － 4， a8= －18， n=8，求公差d及前n项和Sn.
选做题 已知函数f（x）= ，则f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值为
[设计意图] 分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念．
（五）回顾反思，深化知识
组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．
1.从特殊到一般的研究方法；
2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；
3. 前n项和公式的函数意义
4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式；
[知识链接]
（六）布置作业
1.课本P52习题2．3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第5题
2.探索题
（1）数列{}的前n项和= + + + …+ ，求；
（2）若公差为d(d≠0）的等差数列{}中，= + + +…+ ，你能否由题（1）的启发，得到的表达式？
七、教学反思
“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．
德化第一中学陈丽真
点评
本节课以故事引课，增强学生的好奇心，激发学生的学习欲望和热情。以问题为纽带，通过三个问题组织学生讨论，由特殊（自然数的前51项和）到一般（自然数的前几项和），再到一类（等差数列前几项和），循序渐进。通过类比Causs配对求和方法，借助几何直观，启发学生独立思考，讨论交流，对问题进行层层递进的探究，使学生从不同的思维角度掌握了等差数列的前几项和公式，从中深刻领会推导过程所蕴涵的逻辑推理方法和数学思维方法，培养了学生思维的深刻性、尖锐性和批判性。通过精选例题，分层次练习，使学生既巩固了知识又形成了技能。在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养学生自主学习、合作学习的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。必须指出的是，在用Causs配对法得到前几项和公式后，如能对此方法做更深入分析，指出其实质是等差数列的重要性质——等距性（即∈N,m+n=k+l,则am+an=a+a）的应用，在作业中的探索题中如能加上：数列{an}是等差数列，求sn=a1a2+a2a3+…+anan+1则可得到一类问题（由等差连续项或连续项倒数）组成的数列求和问题的解决，深化学生对相关问题的理解。
24、等比数列的前n项和
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教版）第二章第5节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学生学习情况分析
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想
《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。
四、教学目标
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
五、教学重点、难点
教学重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导
所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
教学准备：
包括资源的收集、课件的制作、活动的准备等
1.全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）
2.普通高中课程标准教科书数学（必修）5及配套光盘
3.两种教材的主要差异对比
4.课件《等比数列的前n项和》改编
六、教学过程设计：
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，
尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：
（一）创设情境，提出问题
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印
度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？
【设计意图】：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学
生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。
此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引
导学生写出麦粒总数 。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。
【设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍
不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。
（二）师生互动，探究问题
在肯定他们的思路后，我接着问： 是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？
【学情预设】：探讨1：设 ，记为
（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）
探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，
（1）式两边同乘以2则有 ，记为（2）式。比较（1）(2）两式，你有什么发现？
【设计意图】：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n
项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。
经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同
的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到： 。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？
【设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。
（三）类比联想，解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列，首
项为，公比为，如何求前n项和？这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。
【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已
知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。
【学情预设】：在学生推导完成后，我再问：由得对不对？这里的能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？时是什么数列？此时？（这里引导学生对进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）
再次追问：结合等比数列的通项公式,如何把用
、、表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）
【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认
识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。
（四）讨论交流，延伸拓展
在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其
它方法吗？我们知道,
那么我们能否利用这个关系而求出呢？根据等比数列的定义又有，能否联想到等比定理从而求出呢？
【设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让
学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到
, 这其实就是关于的一个递推式，递推数列有非
常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源
于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.
（五）变式训练,深化认识
例1：求等比数列前8项和；
变式 1、等比数列前多少项的和是；
变式2、等比数列求第5项到第10项的和；
变式3、等比数列求前2n项中所有偶数项的和。
首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。
【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认
识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。
（六）例题讲解，形成技能
例2：求和
【设计意图】：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，
该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。
（七）总结归纳，加深理解
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学
生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。
【设计意图】：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能
力。
（八）故事结束，首尾呼应
最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小
麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺。
【设计意图】：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克
服疲倦、继续积极思维。
（九）课后作业，分层练习
必做：P66练习1：(1)、(2)；2
选作：思考题：（1）求和
（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请
问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？
【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，
让学有余力的学生有思考的空间。
七、教学反思：对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。
厦门市翔安一中张文雅
点评：
本节课开始，设置了“棋盘上的数学”一例，让学生感受数学文化的熏陶，引起学生的兴趣，挑起学生探索新知识的欲望，进而提出了等比数列求和的问题。
教学设计重视“过程与方法”，符合新课标的理念，把重点放在公式的推导上。在探索公式的过程中，用到了许多重要的数学方法，如错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实。学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，这个推导过程有效地培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性，培养了学生解决问题的能力。
本节课例子设计精巧。通过精讲一题（例1），发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能；通过例题讲解（例2），进一步渗透分类讨论的思想，培养分类讨论的思想和思维的缜密性；设计选作思考题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少，思考题体现数学的文化价值。这节课在民主和谐的课堂氛围里，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。
25、简单的线性规划问题

一、教学内容分析
普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第3课时
这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”．
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.
简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想．
教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等的概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.

二、学生学习情况分析
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．
三、设计思想
本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标
1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解．
2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神；
3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用.
五、教学重点和难点
求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．
六、教学过程设计
（一）引入
（1）情景
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
请学生读题，引导阅读理解后，列表 →建立数学关系式 → 画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形.
【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】
教师打开几何画板，作出平面区域.
（2）问题
师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
学生不难列出函数关系式.
师：这是关于变量的一次解析式，从函数的观点看的变化引起z的变化，而是区域内的动点的坐标，对于每一组的值都有唯一的z值与之对应，请算出几个z的值. 填入课前发下的实验探究报告单中的第２—４列进行观察,看看你有什么发现？
学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.
【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔】
（二）实验
教师打开画板，当堂作出右图，在区域内任意取点，进行计算,请学生与自己的数据对比，继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.
教师引导学生提出猜想：点M的坐标为（４，２）时，=取得最大值14.
【在信息技术与课程整合过程中，为改变老师单机的演示学生被动观看的现状，让学生参与进来，老师（可以根据学生要求）操作，学生记录，共同提出猜想，在当前技术条件受限时不失为一个好方法】
师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？ 因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.
【形成认知冲突，激发求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的新方法】
继续观察实验报告单，聚焦每一行的点坐标和对应的度量值，比如M（3.2, 1.2）时方程是，填写表中的第6—7列，引导学生先在点与直线之间建立起联系 ------点M的坐标是方程的解，那么点M就应该在直线上，反过来直线经过点M，当然也就经过平面区域，所以点M的运动就可转化为直线的平移运动。
教师拖动直线并跟踪，学生看到直线平移时可以取遍区域内的所有点！这样我们的猜想就非常合乎情理了.然后顺利过渡到直线与平面区域之间的关系.
师：由于我们可以将x，y所满足的条件用平面区域表示了，你能否也给利润z=2x+3y作出几何解释呢？
学生很自然地联想到上面实验的结果，将等式z=2x+3y视为关于x，y的一次方程，它在几何上表示直线，当z取不同的值时可得到一族平行直线.
请把你猜想1换一种说法：
猜想与假设2_______________________________________________________
直线=经过点（４，２）时，=取得最大值14.
将直线=改写为，这时你能把猜想2再换一种说法吗？
此时水到渠成.
猜想与假设3_______________________________________________________
直线经过点Ｍ时，在y轴上的截距最大，此时=取得最大值14.
最后探究出“=最值问题可转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题”来解决，实现其图解的目的.
【借助计算机技术用运动变化的方法，创设实验环境，形成多元联系，展示数学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进行观察、分析，从而逐步帮助学生进行有层次的猜想，也为我们的研究提供一种方向，这是新课程积极倡导的合情推理】
教师介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念.
(三)探究
师：在上述问题中，若生产一件甲产品获利３万元，生产一件乙产品获利２万元，又应当如何安排生产才能获得最大的利润？再换几组数据试试（课本第100页）
让学生“主动”更换数据，教师借助几何画板“被动”地进行操作演示，师生继续实验 …，发现结论同样成立. 进一步发现目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系，有时并不是截距越大，z值越大.
实验结论_______________________________________________________
“目标函数的最值问题可转化直线z =2x+3y与平面区域有公共点时，在区域内找一个点M，使直线经过点M时在y轴上的截距最大”
【从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养】
（四）练习小结
学生练习Ｐ104第1题.
[及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习目的：会用数形结合思想，将求的最大值转化为直线与平面区域有公共点时，在区域内找一个点Ｍ，使直线经过点Ｍ时在y轴上的截距最小的问题，为节省时间，教师可预先画好平面区域，让学生把精力集中到求最优解的解决方案上]
（五）实例展示
（课本第100页例5饮食营养搭配）
营养学家指出，成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化合物， 0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07k

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