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1.1直线与直线的方程练习
一、单选题
1．直线的方向向量是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知直线过定点P，若点P在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．过点和点的直线的倾斜角和斜率分别是 （ ）
A． B．不存在 C． D．
5．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
7．已知直线经过点，则该直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C．2 D．
8．当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
9．已知直线l经过点(1，2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（ ）
A．2x-y＝0 B．x+y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．3x＋y－5＝0
10．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过点 B．直线的斜率为
C．直线在上的截距为 D．直线在上的截距为
11．已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线：，则
C．点到直线的距离是1
D．过点与直线平行的直线方程是
12．已知直线，其中为实常数，则（ ）
A．直线过一定点
B．无论m取何值，直线不经过原点
C．当时，直线与轴交于它的负半轴
D．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积是
三、填空题
13．已知矩形中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为，点P在边上，点A关于的对称点为，若点到直线的距离为4，则点的坐标可能为 ．
14．直线在x轴上的截距为 .
15．已知坐标原点到直线的距离小于，则实数a的取值范围为 ．
16．直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 .
四、解答题
17．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求边所在的直线方程；
(2)求的面积.
18．已知坐标平面内两点.
(1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值.
19．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .

20．（1）已知一条动直线，求证：直线恒过定点，并求出点到动直线的最大距离.
（2）若直线与轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件；①的周长为12；②的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
21．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.
(1)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置；
(2)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置.
参考答案：
1．A
【分析】根据直线方向向量的性质由直线方程直接得出方向向量
【详解】线的方向向量是及与之平行的向量，与之平行．
故选：A．
2．B
【分析】利用方向向量求出直线斜率即可求出倾斜角.
【详解】由题意，因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率，
又,所以，因为,所以．
故选：B．
3．D
【分析】先求出定点，然后利用点P在直线上得到，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为直线可化为：，
令，解得：，所以定点，
又因为点P在直线上，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：.
4．B
【分析】结合点的位置，由直线的倾斜角和斜率的概念可得.
【详解】已知和点，由两点横坐标相等，
可知直线的倾斜角为，斜率不存在.
故选：B.
5．B
【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解．
【详解】由题意，直线，
令，解得，故；令，解得，所以．
故选：B．
6．D
【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.
【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误；
对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；
对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；
对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.
故选：.
7．D
【分析】将点代入方程得出，进而由得出所求截距.
【详解】因为直线经过点，所以，解得，
所以直线方程为，令，得．
故选：D
8．B
【分析】解方程组得两直线的交点坐标，由，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.
【详解】解方程组,得两直线的交点坐标为,
，
所以交点在第二象限，故选B.
【点睛】本题主要考查两直线交点坐标的求法以及象限内点的坐标的特点，意在考查计算能力、综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
9．AB
【分析】用待定系数法可求直线的方程；可设出截距式方程，也可设出点斜式方程.
【详解】解法一：①若直线的截距为，可设其方程为，
由直线经过点(1，2)可得，，解得，
故直线的方程为，即.
②若直线的截距不为，可设其方程为，
由直线经过点(1，2)可得，，解得，
故直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
故选：AB.
解法二：由题意可得直线的斜率存在，设直线的斜率为，则其方程为，
令，可得；令，可得；
由直线在两坐标轴上的截距相等可得，
即，解得或
当时，直线的方程为，即.
当时，直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
故选：AB.
10．BD
【分析】根据直线，对各个选项分析判断即可求出结果.
【详解】选项A，因为，即直线不过点，所以选项A不正确；
又由，得到，所以直线斜率为，在上的截距为，所以选项BD正确，
又由直线，令，得到，所以选项C错误，
故选：BD.
11．ACD
【分析】由斜率与倾斜角的关系判断A，由直线的位置关系判断B，D，由点到直线的距离公式判断C，
【详解】对于A，直线的斜率为，故倾斜角是，故A正确，
对于B，直线的斜率为，两直线斜率乘积为1，不垂直，故B错误，
对于C，由点到直线的距离公式得，故C正确，
对于D，过点与直线平行的直线方程为，得，故D正确，
故选：ACD
12．ABD
【分析】根据直线的方程逐项进行分析即可求解.
【详解】对于，因为直线的方程为，令，
解得：，所以直线过定点，故选项正确；
对于，若直线l经过原点，则，所以无论m取何值，直线不经过原点，故选项正确；
对于，令可得：，当时，，直线与轴交于负半轴；当时，直线与轴没有交点；当时，直线与轴交于正半轴，故选项错误；
对于，当时，直线的方程为：，与两坐标轴的交点分别为，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是，故选项正确，
故选：.
13．，，
【分析】设出点的坐标，根据给定条件，列出方程组，解方程组并判断作答.
【详解】依题意，点，直线：，而点P在边上，则直线的斜率或OP在y轴上，
设点，由点到直线的距离为4，得，即或，
又点A关于的对称点为，则，即，
当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，符合题意，则，
若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，不符合题意，
当时，或，若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，符合题意，则，
若，有，点与A的中点在直线上，
此时直线斜率，符合题意，则，
所以点的坐标可能为，，.
故答案为：，，
14．
【分析】根据截距的性质进行求解即可.
【详解】在直线方程中，令，
则有，
所以直线在x轴上的截距为，
故答案为：
15．
【分析】利用点到直线距离公式依题意列不等式求解即可.
【详解】由题意可知，，即，解得.
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
16．
【分析】由题可得直线所过定点为，则设直线为，其中，则问题转化为已知，，求的最小值，利用基本不等式可得答案.
【详解】
，即直线所过定点为.
由题设直线方程为：，其中，则,.
由基本不等式，，面积的最小值为4，
当且仅当，即时取等号.
则三角形AOB面积最小时直线方程为
故答案为：
17．(1)
(2)15
【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程；
（2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积.
【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为，
即.
（2）B，C两点间的距离为，
点A到直线BC的距离，
所以的面积为.
18．(1)答案见解析．
(2)
【分析】（1）由斜率为正或为负求解；
（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．
【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得，
直线的倾斜角为钝角时，，解得或，
所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或；
（2）由已知，又直线的方向向量为，
所以，解得．
19．证明见解析
【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证.
【详解】由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
因为，所以，即；
由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
则直线与的斜率之积为，
所以.
20．（1）证明见解析，最大距离为；（2）存在，或.
【分析】（1）将直线化为求定点，判断定点与所在直线与动直线位置关系求最大距离；
（2）令直线与x、y轴截距分别为，结合已知列方程组求参数，即可确定存在性.
【详解】（1）由题设，直线化为，令，
所以直线恒过定点，
由定点到距离为，
仅当定点与所在直线与动直线垂直时到动直线的距离最大，为.
（2）令直线与x、y轴截距分别为且，
由题设，，则，
所以，联立，易得，
所以或，对应直线分别为或.
故存在，直线方程为或.
21．(1)
(2)
【分析】（1）先由题意表示出，，然后表示出，从而利用基本不等式求出的最大值，进而得到取得最大值时点的位置；
（2）建立平面直角坐标系，从而利用斜率公式表示出，，然后表示出，从而利用基本不等式求出的最大值，进而得到取得最大值时点的位置.
【详解】（1）若选择线路，设，其中，，，
则，，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，
由题意知，因为函数在上单调递增，
所以最大时，最大，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.
（2）若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
则，直线的方程为，
设点，其中，
，，
所以
，
令，则，
所以，
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以，
当且仅当时，等号成立，此时，，
由题意知，因为函数在上单调递增，
所以最大时，最大，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.

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