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中考专题复习——专题19 垂美四边形模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形
图1 图2 图3
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。
【变形1】
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
【变形2】
条件：如图3，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP；结论：AP2+PC2=DP2+BP2
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
1．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程的两个解，则四边形的面积是（ ）
A．60 B．30 C．16 D．32
2．（2022秋·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
3．（2023春·八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A．7 B．9 C．16 D．25
4．图中每个小格都是正方形，点A，B，C，D都落在格点上，则图中∠BCD的度数为 　 　．
5对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　 　．
6．如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解，在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 　 　．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD．
（2）性质探究，小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图1，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
（3）问题解决：如图2．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．
7（2021 南明区模拟）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2，则S△ABC＝　 　．
8（2022秋·全国·八年级期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G．
（1）求证：四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由；
（3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为　 　．
9定义∶我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
⑴概念理解;如图1，在四边形 ABCD中，如果 AB=AD，CB= CD，那么四边形 ABCD是垂美四边形吗 请说明理由.
⑵性质探究：如图2，垂美四边形ABCD的两组对边AB，CD与 BC，AD之间有怎样的数量关系 写出你的猜想，并说明理由。
⑶问题解决∶如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连接 CE，BG，GE①求证∶△GAB≌△CAE.
②若 AC=2，AB=5，则 GE=__________。
10．（2021·江西赣州·八年级期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形）
（3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长．
11．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，请回答下列问题：
（1）若AB∥CD，求证：弧BD＝弧AC
（2）若AC⊥BD，CD＝4，圆O的半径为3，求AB的长；
（3）在（2）的条件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．
12．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为_____．
13．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
14．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
15．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________．
(2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你直接写出一个以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点M的坐标为________；
(3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，．求证：，即四边形是勾股四边形；
(4)若将图（2）中绕顶点B按顺时针方向旋转a度，得到，连接，，则________°，四边形是勾股四边形．

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