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中考专题复习——专题04.--垂美四边形模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形
图1 图2 图3
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。
【变形1】
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
【变形2】
条件：如图3，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP；结论：AP2+PC2=DP2+BP2
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
1．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则 ．
2．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若，，，则 ；（2）若，，则 ；
（3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
3．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是　 　；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．
4．（2021春 红谷滩区校级期末）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：
①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有怎样的数量关系．写出你的猜想，并给出证明；
②如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
（3）问题解决：
如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的长．
5．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
(2)性质探究：如图1，试探索垂美四边形两组对边、与、之间的数量关系并说明理由．
(3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，，，已知，，求的值．

6．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)尺规作图：以已知线段为对角线作一个垂美四边形，使其对角线交于点O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知四边形是垂美四边形，且，则它的面积为________；
(3)如图，四边形是垂美四边形，，探究a、b、c、d的数量关系；
(4)如图，已知D、E分别是中边的中点，，请运用上题的结论，求的长．
7．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：我们已经学行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中肯定是垂美四边形的是 　 ．
（2）性质探究：如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系 　　 ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
8．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美边形．
（1）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）【性质探究】如图1，试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的猜想．
（3）【性质应用】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝10，求GE长．
9．（2023秋·江西九江·八年级统考期末）模型介绍
（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，请结合图1证明这个结论．　
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长．
10．2023春·全国·八年级专题练习）[定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形．
[理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形ABCD， 每个三角尺三个内角的度数都是 30°、60°和 90°．四边形ABCD是什么四边形，∠ABC+∠ADC等于多少度；
[探究]如图②，四边形ABCD是垂美四边形．∠A=90°．∠B=80°，E 是边 AD延长线上一点，求∠C和∠CDE的度数．
[应用]如图③，四边形 ABCD 是垂美四边形，∠A=90°，BE 和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，交 AD、BC 于点 E、F．试说明 BE∥DF．
11．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的中心．
（1）写出一种你学过的和美四边形　 　；
（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是　 　．
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定
（3）如图1，点O是和美四边形ABCD的中心，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接OE、OF、OG、OH，记四边形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面积为S1、S2、S3、S4，用等式表示S1、S2、S3、S4的数量关系（无需说明理由）
（4）如图2，四边形ABCD是和美四边形，若AB＝3，BC＝2，CD＝4，求AD的长．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)如图1，已知四边形是垂美四边形．①若，则它的面积为_____________；
②若，探究的数量关系．(2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________．
13（2023深圳）．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．

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