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例谈导数在解函数问题中的应用
近几年随着导数进入高中教材，为研究函数的性质提供了新的工具，从而使函数问题的解决带有一定的程序性，利用导数解决函数问题已成为高考命题的一个新的热点。本文拟从几个方面举例说明导数的应用
求函数的解析式
例1、设函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，且曲线在P点的切线方程为24x+y－12=0,若函数在x=2处取得极值－16，试求函数解析式。
解 由y′=3ax2+2bx+c 得f′(0)=c,∵切线24x+y－12=0的斜率k=－24,∴c= －24
将x=0代入24x+y－12=0得y=12,得P点坐标为（0，12）。将P（0，12）代入y=f(x)得d=12,所以f(x)= ax3+bx2－24x+12，又由函数f(x)在x=2处取得极值－16，则得∴f(x)=x3+3x2－24x+12
二、求函数的极值、最值及值域
例2、已知函数f(x)= (x-1)3 (x+2)2,则f(x)满足（ ）
A、x=1、－2、处取得极值 B、既有极大值，也有极小值
C、只有极大值，没有极小值 D、没有极大值，只有极小值
解 f′(x)=3(x－1)2(x+2)2+2(x－1)3(x+2)=(x+2)(x－1)2(5x+4).
令f′(x)=0，得x1=－2,x2=,x3=1.这三点将数轴分成四个区间：
（－∞, －2）,( －2, ),(,1),(1,+∞).易知f′(x)在这四个区间的符号
分别为+、－、+、+。
因此，f(x)在x=－2处取得极大值，在x=处取得极小值，
而在x=1处没有极值。所以选B
例3、函数y=x4－x3在[－2，3]上的最大值为
解 由y′=4x3－3x2=x2(4x－3)=0得x=0或x=.当x=－2时，y=32;
当x=0时，y=0;当x=时，y=;
当x=3时，y=27.所以y的最大值为32
三、判断函数的单调性
例4、证明：函数f(x)=ex+e-x在（0，+∞）上是增函数
证明：f′(x)= ex－e-x=e-x（e2x－1），当x>0时，有e-x >0,e2x－1>0
此时f′(x)>0,所以f(x)在（0，+∞）上是增函数
例5、求实数a,使得函数f(x)=在（0，+∞）上具有单调性
解 f′(x)= 为使函数在（0，+∞）上具有单调性，
必须f′(x)>0或f′(x)<0，即有在区间（0，+∞）上恒成立
∵x∈（0，+∞）时∈(0,1),
故当a≤0时>a恒成立，此时f′(x)>0，函数在（0，+∞）上是增函数。
当a≥1时，∴当a≤0或a≥1时，f(x) 在（0，+∞）上具有单调性
四、解（证）不等式
例6、解不等式
解 构造函数f(x)=lnx+x－1(x>0),则f′(x)= >0,∴f(x)在（0，+∞）上是增函数。
原不等式为∴
故当m>0时，其解集为（m,2m）;当m<0时，其解集为（2m,m）.
例7、已知i、m、n是正整数且1(1+n)m
证明：∵1设f(x)=
∵x≥2 ∴
∴f′(x)<0, f(x)在上是减函数
∵2≤m即nln(1+m)>mln(1+n) ∴(1+m)n>(1+n)m
例8、已知函数f(x)=x3+ax+b满足f(0)= f(1)，P(x1,y1),Q(x2,y2)是其图象上任意两个点，
若
解 由f(0)= f(1)得a=－1，从而f(x)=x3－x+b.令f′(x)=3x2－1≥0,有,
即f(x)在上为减函数。
所以当x∈[－1,1]时fmax(x)=max,
fmin(x)=min.
而所以恒有
五、求参数的取值范围
例9、已知两个函数f(x)=7x2－28x－c,g(x)=2x3+4x2－40x
⑴若对任意x∈[－3,3]都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的范围
⑵若对任意x1∈[－3,3], x2∈ [－3,3]都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数c的范围
解 ⑴根据题意可以转化为对于任意x∈[－3,3]都有g(x) －f(x) ≥0恒成立，
令F(x)= g(x) －f(x)=2x3－3x2－12x+c,只要对于x∈[－3,3]有Fmin(x) ≥0成立。
F′(x)=6x2－6x－12,让F′(x)=0，得x1=－1,x2=2.这两点将数轴分成三个区间：
（-∞, －1）,( －1,2), (2,+∞).易知F′(x)在这三个区间的符号分别为+、－、+。
因此，F(x)在x=2处取得极小值－28+c，在x=－3处的值为－45+c,
而在x=3处的值为－9+c。所以Fmin(x)= －45+c。
因此，要满足题目条件，只需－45+c≥0，可得c≥45
∴实数c的取值范围为
⑵根据题意可以转化为对于任意x∈[-3,3]都有gmin(x) ≥fmax(x) 成立
由g′(x)=6x2+8x-40=0,得x1=,x2=2. 这两点将数轴分成三个区间：
（－∞, ）,( ,2), (2,+∞).易知F′(x)在这三个区间的符号分别为+、－、+。
由f′(x)=14x－28=0,得x=2，这一点将数轴分成两个区间：（－∞，2），(2,+∞)。
易知f′(x) 在这两个区间的符号分别为+，－。
因此在x∈[－3,3]，gmin(x)=g(2)= －48 ,fmax(x)=f(－3)=147－c.
所以147－c≤－48,得c≥195
∴实数c的取值范围为
例10、已知函数
⑴若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围;
⑵若f(x)在x=1时取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)解 ⑴f′(x)=3x2－x+b。设切点P(x0,y0),则f(x)在点P的切线的斜率
k= f′(x0)= ,由题意f′(x0)= =0有解，
故有△=1－12b≥0∴b≤
⑵∵f(x)在x=1时取得极值
∴x=1为方程f′(x)=3x2－x+b=0的一个根 ∴b=－2
∴由3x2－x－2=0可得f′(x)=0的另一根为x2=
∵当x<或x>1时，f′(x)>0,
∴当x∈[－1,2]时，f(x)在[－1，]上为增函数，在(,1)上为减函数，
在[1，2]上为增函数。∴f(x)有极大值f()=,又f(2)=2+c.
∴x∈[－1,2]时, f(x)有最大值f(2)=2+c
∵f(x)∴2+c∴c<－1或c>2
六、求曲线的切线方程
例11、已知曲线y=
⑴求曲线在点P(1,1)处的切线方程
⑵求曲线过点Q(1,0)的切线方程
⑶求满足斜率为的曲线的切线方程
解 ⑴∵y′=.又P(1,1)是曲线上的点
∴P为切点，所求切线的斜率为k= f′(1)= －1
所以曲线在P点处的切线方程为y－1=－(x－1),即y=－x+2
⑵显然Q(1,0)不在曲线上，则可设过该点的切线的切点为A(a, ),
则该切线斜率为k1= f′(a)= 则切线方程为
将Q(1,0)代入得 ∴a=,
故所求切线方程为y=－4x+4
⑶设切点坐标为A(a, )，则切线的斜率为k2==解得
a=代入点斜式方程得
即切线方程为
例12、已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=－x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线。
问a为何值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程
解 函数y=x2+2x的导函数是y′=2x+2,
曲线C1在点的切线方程是
①
函数y=－x2+a的导函数是y′=－2x。
曲线C2在点的切线方程是
②
如果l是过P和Q的公切线，则①和②都是l的方程，则有
=4－4×2(1+a)=0,即a=时，x1=,此时P、Q重合。
∴a=时，C1和C2有且仅有一条公切线，公切线的方程为y=x
七、解决实际应用问题
例13、如图，直线MN为宽度忽略不计的一条小溪，小溪的一侧是沙地，另一侧是草地，沙地上的点A到小溪MN的距离AC=20km，草地上的点B到小溪MN的距离BD=30km，且CD=70km,现有一位骑士要把情报从A送到B，已知骑士在草地上行进的速度是在沙地上行进速度的2倍，骑士应选择怎样的行进路线才能尽快将情报送出？
解 设骑士行进路线为AOB(O在直线MN上),以10km为单位，
令CO=x,则OD=7－x(0≤x≤7),
不妨设骑士在沙地上的速度为1，则在草地上的速度为2，
骑士行进的总时间为y=
令y′=0，得唯一的极值点x=1.
所以当O点选在离C点10km处时，能使骑士从A到B用时最少。
例14、从边长为2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t，如图所示
⑴把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域;
⑵x为何值时，容积V有最大值。
解 ⑴由已知得盒子底面正方形的边长为2a－2x,高为x，
则V=(2a－2x)2x=4x(a－x)2
⑵V=4x(a－x)2=4x3－8ax2+4a2x,
∴V′=12x2－16ax+4a2,令V′=0,则x=,或x=a(舍去)
若≤,即t≥时
x
(0, )
(,)
V′
+
0
－
∴当x=时,V取极大值，而V存在最大值
∴当x=时,V取最大值。
若>,即00
∴V在上是增函数，∴当x=时V取最大值
综上所述，当t≥，x=时，容积V取最大值
当0例15、在直线轨道上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离s=36t－0.45t2 (单位是米)。这列车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？
解 ∵s=36t－0.45t2,∴s′=36－0.9t,令36－0.9t=0，得t=40(秒)
s=36×40－0.45×402=2160（米）
答：这列车在刹车后40秒钟才停车，刹车后又运行了2160米。
通过上述例子，可以看出利用导数法解决函数问题，具有一定的程序性。比如要求过点的切线方程，首先判断这一点是否是切点，若是，则求函数的导函数，并将此点的横坐标代入得到的值就是过此切点的切线斜率，再用点斜式写出所求切线方程。若不是，则先设切点坐标，然后求函数的导函数，并将切点的横坐标代入得到的值就是过此切点的切线斜率，再用点斜式写出所求切线方程，最后把已知的点坐标代入切线方程求出待定系数，从而求出切线方程。再如要求函数的单调区间或判断单调性，首先求函数的导函数，让导函数的值大于零，解出的为增区间;反之，让导函数的值小于零，解出的为减区间。又如要求函数在某区间上的极值、最值及值域，首先求函数的导函数，令导函数等于零，解出根，这时这些根把数轴分成几个部分，再判断导函数在这几部分内的正负性，从而得出函数的单调性，进而求出函数的极大值和极小值，再求出函数在区间端点值的函数值，进行比较，最小的为函数的最小值;最大的为函数的最大值，从而就可以求出相应的极值、最值及值域。
综上所述，利用导数法来研究函数问题是较为有效的方法。因此熟练掌握基本初等函数的求导公式和深刻理解利用导数解题的方法是非常必要的。同时也要注意导数与函数、函数与方程、不等式之间的内在联系，更要注意结合函数的周期性、奇偶性及对称性等初等函数基本性质，把导数作为解函数的一种工具更加具体深入的体现出来。

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