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专题7 平面向量
一、平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为．当有向线段的起点与终点重合时，．
3．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．与共线的单位向量为：（即）．
4．共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量或平行向量．，，规定．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量．
6．相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
二、平面向量的线性运算
1．向量加法运算：
（1）三角形法则：(首尾相接、首尾连)．
（2）平行四边形法则：以向量为邻边作平行四边形，则．
（3）向量加法满足的运算律：交换律，结合律．
2．向量减法运算：
（1）三角形法则：(共起点、连终点，指向被减向量终点)．
（2）平行四边形法则：以向量为邻边作平行四边形，则．
3．向量数乘运算：
（1）规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作，它的长度和方向规定如下：①；②当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．
（2）向量数乘运算满足的运算律：
①； ②； ③；
④； ⑤；
⑥．（）
（3）向量共线定理：存在，使得．
三、平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标运算：设，则
⑴， ⑵， ⑶，
⑷设点，，则，
2．平面向量共线定理的坐标表示：已知，若．
四、平面向量的数量积：
1．已知两个非零向量与，它们的夹角为，则．
2．平面向量数量积满足的运算性质：
⑴； ⑵； ⑶．
3．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角：
⑴设非零向量，则
①，
②，
③．
⑵设，则，或；
设点，，则，．
题型1 平面向量的线性运算
例1．如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解.
【详解】因为为平行四边形，所以.
故选：B.
例2．如图，ABC中，，，，用，表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形法则得，然后将即可得出答案.
【详解】,
故选：D.
题型2 平面向量的数量积--数量积的计算
例1．已知等边三角形边长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合向量的数量积的定义域运算，即可求解.
【详解】由向量的数量积的运算，可得.
故选：A.
例2．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
例3．已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】直接利用平面向量的数量积公式，即可求得本题答案.
【详解】，
故选：C
题型3 平面向量的数量积--夹角的计算
例1．若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可.
【详解】设向量与的夹角是，
则．
又因为，所以．
故选：A．
例2．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的运算律和夹角公式求解.
【详解】由题意，得，即，
所以，所以，
故选:C．
题型4 平面向量的数量积--模的计算
例1．已知，是夹角为60°的单位向量，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先求，从而得到.
【详解】，
故.
故选：C
例2．已知，且，则等于（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直得出其数量积为0，即可根据向量的模长求法得出答案.
【详解】，，
，
故选：A.
题型5 平面向量的坐标运算--加减数乘
例1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
例2．若向量，，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算可得答案.
【详解】向量，，
则向量.
故选：A.
题型6 平面向量的坐标运算--数量积、模
例1．已知向量，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】根据向量数量积的坐标运算即可.
【详解】由题意，， ，因此.
故选：B
例2．设，，，则（ ）
A．11 B．5 C．-14 D．10
【答案】A
【分析】先根据向量坐标运算求出，的坐标，然后利用向量数量积的坐标公式求解即可.
【详解】因为，，，所以，，
所以.
故选：A
例3．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用平面向量减法和模的坐标运算公式求解即可.
【详解】由题意知，，所以.
故选：A.
例4．已知向量，，则（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】B
【分析】根据平面向量坐标运算求出，再由向量模公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B
题型7 平面向量的坐标运算--平行垂直、夹角
例1．已知向量，且，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先求出，根据平行得到方程，求出答案.
【详解】，
由可得，解得.
故选：D
例2．已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】直接利用数量积的坐标运算列方程求解.
【详解】因为，
所以，
解得．
故选：A.
例3．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夹角公式直接求解.
【详解】，则，所以C正确.
故选：C.
例4．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
1．在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
2．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可.
【详解】因为四边形是菱形，
所以根据向量加法的平行四边形法则知，，
，故C对D错；
因为向量方向不同，所以，，故AB错误.
故选：C
3．已知，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据向量数量积的运算律求解.
【详解】因为，
结合已知向量垂直知：，
故选:C.
4．已知均是单位向量，，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】将两边平方，再根据数量积得运算律即可得解.
【详解】因为均是单位向量，所以，
又，则，
即，所以.
故选：D.
5．已知非零单位向量的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量垂直的性质直接求解即可.
【详解】若与垂直，
则，
又单位向量的夹角为，
则，，，
所以，解得.
故选：D
6．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的运算律直接计算.
【详解】由，，
得，
故选：D.
7．已知，且，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积运算律和夹角公式求解.
【详解】由可得，，
所以，
所以，又因为，所以，
故选：A.
8．若平面向量，的夹角为60°，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出，再分别求出对应的向量数量积，即可得出结论.
【详解】由题意，向量，的夹角为60°，且，
A项，，故A不正确;
B项，因为，∴，故B正确;
C项，，故C不正确;
D项，，故D不正确.
故选：B.
9．已知，，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量夹角公式即可代入求解.
【详解】设向量与的夹角为θ，则，
因为，所以.
故选:D.
10．已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】目标式平方，利用转化法求解可得
【详解】因为，，，
所以，
所以.
故选：C
11．已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积和向量模的定义解决本题.
【详解】由向量、的夹角为，，，得出.
则.
故选：C
12．已知向量，，，若，则（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】运用共线向量的坐标表达式即得.
【详解】由，，又由，可得：，解得.
故选：A.
13．已知向量满足，则（ ）
A． B．0 C．5 D．7
【答案】C
【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案.
【详解】因为，所以，
故.
故选：C
14．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】由，
得，
因为，所以，解得.
故选：B.
15．已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标化的加法运算即可得到答案.
【详解】，
故选：C.
16．已知向量，则（ ）
A．0 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用数量积坐标公式计算即可.
【详解】.
故选：D
17．已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示即可解得.
【详解】由可得，
即，解得.
故选：A
18．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】根据向量垂直列出方程，求出，进而利用模长公式求出答案.
【详解】由题意得，解得，
则，则.
故选：A
19．设，，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】根据向量垂直和平行求得，进而求得.
【详解】由于，所以；
由于，所以；
所以，
所以.
故选：B
20．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据题意，设向量与夹角为，求出、和的值，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，设向量与夹角为，
向量，，
则，，，
则．
故选：A．
21．已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量夹角公式直接求解即可.
【详解】设与的夹角为，则，
，.
故选：B.专题7 平面向量
一、平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
2．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为．当有向线段的起点与终点重合时，．
3．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．与共线的单位向量为：（即）．
4．共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量或平行向量．，，规定．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量．
6．相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
二、平面向量的线性运算
1．向量加法运算：
（1）三角形法则：(首尾相接、首尾连)．
（2）平行四边形法则：以向量为邻边作平行四边形，则．
（3）向量加法满足的运算律：交换律，结合律．
2．向量减法运算：
（1）三角形法则：(共起点、连终点，指向被减向量终点)．
（2）平行四边形法则：以向量为邻边作平行四边形，则．
3．向量数乘运算：
（1）规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作，它的长度和方向规定如下：①；②当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．
（2）向量数乘运算满足的运算律：
①； ②； ③；
④； ⑤；
⑥．（）
（3）向量共线定理：存在，使得．
三、平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标运算：设，则
⑴， ⑵， ⑶，
⑷设点，，则，
2．平面向量共线定理的坐标表示：已知，若．
四、平面向量的数量积：
1．已知两个非零向量与，它们的夹角为，则．
2．平面向量数量积满足的运算性质：
⑴； ⑵； ⑶．
3．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角：
⑴设非零向量，则
①，
②，
③．
⑵设，则，或；
设点，，则，．
题型1 平面向量的线性运算
例1．如图，在平行四边形中，（ ）
A． B． C． D．
例2．如图，ABC中，，，，用，表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型2 平面向量的数量积--数量积的计算
例1．已知等边三角形边长为，则（ ）
A． B． C． D．
例2．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．2
例3．已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
题型3 平面向量的数量积--夹角的计算
例1．若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
例2．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
题型4 平面向量的数量积--模的计算
例1．已知，是夹角为60°的单位向量，则（ ）
A．1 B． C． D．
例2．已知，且，则等于（ ）
A．5 B． C． D．
题型5 平面向量的坐标运算--加减数乘
例1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
例2．若向量，，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型6 平面向量的坐标运算--数量积、模
例1．已知向量，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
例2．设，，，则（ ）
A．11 B．5 C．-14 D．10
例3．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
例4．已知向量，，则（ ）
A． B．5 C． D．4
题型7 平面向量的坐标运算--平行垂直、夹角
例1．已知向量，且，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
例2．已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．4
例3．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
例4．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
1．在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
3．已知，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．5
4．已知均是单位向量，，则（ ）
A． B．0 C． D．1
5．已知非零单位向量的夹角为，若与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．若平面向量，的夹角为60°，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
10．已知空间向量，满足，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
11．已知向量、的夹角为，，，则（ ）
A．4 B． C．5 D．
12．已知向量，，，若，则（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
13．已知向量满足，则（ ）
A． B．0 C．5 D．7
14．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
15．已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知向量，则（ ）
A．0 B．3 C．2 D．1
17．已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
18．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．5
19．设，，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．10
20．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．1
21．已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．

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