资源简介

1.1 集合
一．选择题
1．下列说法正确的是 （ ）
A．某个村子里的年青人组成一个集合
B．所有小正数组成的集合
C．集合｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合
D．这些数组成的集合有五个元素
2．下面有四个命题：
（１）集合Ｎ中最小的数是否；
（２）０是自然数；
（３）｛１，２，３｝是不大于３的自然数组成的集合；
（４）
其中正确的命题的个数是 （ ）
A．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
3．给出下列关系：
（１）
（２）
（３）
（４）
其中正确的个数为 （ ）
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
4．给出下列关系：
（１）｛０｝是空集；
（２）
（３）集合
（４）集合
其中正确的个数为 （ ）
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．０个
５．下列四个命题：
（１）空集没有了集；
（２）空集是任何一个集合的真子集；
（３）空集的元素个数为零；
（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确的有 （ ）
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
６．已知集合那么等于 （　　）
Ａ．｛１，２，３，４，５｝ Ｂ．｛２，３，４，５｝
Ｃ．｛２，３，４｝ Ｄ．
７．已知全集集合
（　　）
Ａ．｛０｝ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二．填空题
８．方程的解集为用列举法表示为____________.
９．用列举法表示不等式组的整数解集合为____________.
10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ之间的关系是__________.
11．已知全集Ｕ＝Ｎ，集合，则用列举法表示为_____________.
三．解答题
12．已知
13．已知．
14．若集合则满足于条件的实数的个数有 （ ）
Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
15．设集合，则实数______________．
16．已知全集那么．
17．已知集合
18．设求a的取值范围．
19．试用适当的符号把连接起来．
20．已知集合
的值或取值范围．
参考答案
1.1 集合
一、选择题
1、下列给出的对象中，能表示集合的是( )
A、一切很大的数 B、无限接近零的数
C、聪明的人 D、方程的实数根
2、给出下列命题：
i)N中最小的元素是1；
ii)若，则；
iii) 若，，则a+b的最小值是2。 ( )
其中所有正确命题的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
3、由组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（ ）
A、1 B、-2 C、6 D、2
4、下列集合表示法正确的是（ ）
A.{1,2,2} B.{全体实数}
C.{有理数} D.不等式的解集为{}
5、设A={a},则下列各式正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、a=A
6、集合{}的另一种表示法是（ ）
A、{0，1，2，3，4} B、{1，2，3，4}
C、{0，1，2，3，4，5} D、{1，2，3，4，5}
7、由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）
A、{x|-3C、{x|-3二、填空题
8、已知集合A={2，4，}，若，则x=________________
9、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________
10、方程的解集可表示为_____________________
11、方程的解集中含有_________个元素。
12、集合{}用列举法表示为_________________
三、解答题
13、设集合A={(x,y)|x+y=6,} ，使用列举法表示集合A。
14、关于x的方程，当a,b,c分别满足什么条件时解集为空集、含一个集合、含两个集合？
15、已知集合A={}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。
参考答案
一、选择题
1、D 2。A 3。C 4。C 5。C 6。B 7。D
二、填空题
8、3或-2 9、 10、{2，3} 11、3 12、{0，1，2，3}
三、解答题
13、解：集合A中的元素是点，点的横坐标， 纵坐标都是自然数， 且满足条件x+y=6。所以用列举法表示为：A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}。
14、解：当，
当时，方程的解集含一个元素；
当
15、解：当k=0 时，原方程变为-8x+16=0，x=2,此时集合A={2} ；
当时要使一元二次方程有一个实根，需，即k=1。此时方程的解为。集合A={4}，满足题意。
综上所述，使数k的值为0或1当k=0时，集合A={2};当k=1时，集合A={4}.
1.1 集合
一、选择题
1、已知集合满足，则一定有（ ）
A、　　B、　 C、 D 、
2、集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B的元素个数为（ ）
A、10个 B、8个 C、18个 D、15个
3、设全集U=R，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（CM）∪（CN）为（ ）
A、{x|x.≥0} B、{x|x<1 或x≥5}
C、{x|x≤1或x≥5} D、{x| x〈0或x≥5 }
4、设集合，，且，则满足条件的实数的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、已知全集U＝{非零整数}，集合A＝{x||x+2|>4, xU}, 则CA＝（ ）
A、{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 }
B、{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 }
C、{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 }
D、{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }
6、已知集合，则等于
A、{0,1,2,6}　　 B、{3,7,8,}
C、{1,3,7,8}　　　 D、{1,3,6,7,8}
7、定义A－B={x|xA且xB}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A－（A－B）等于（ ）
A、{2，3，6} B、 C 、 D 、
二、填空题
8、集合P= ，Q= ，则A∩B=
9、不等式|x-1|>-3的解集是
10、已知集合A= 用列举法表示集合A=
11、已知U=
则集合A=
三、解答题
12、已知集合A=
1）若A是空集，求a的取值范围；
2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围
13、已知全集U=R，集合A=
，试用列举法表示集合A
14、已知全集U={x|x-3x+2≥0}，A={x||x-2|>1}，B=，求CA，CB，A∩B，A∩（CB），（CA）∩B
15、关于实数x的不等式与x-3(a+1)x+2(3a+1)≤0
(a∈R)的解集依次为A，B求使成立的实数a的取值范围
参考答案
一、选择题
1.B；2.D；3.B；4.C；5.B ；6.C；7.B;
二、填空题
8. ; 9.R; 10. ; 11。
三、解答题
12、1)a> ; 2）a=0或a=；3）a=0或a≥
13、
14、CUA=
CUB=
A∩B=A
A∩（CUB）=
（CUA）∩B=
15、 a=－1或2≤a≤3.
1.1 集合
一、选择题
1、设A={x},B={x},若AB={2,3,5},A、B分别为（ ）
A、{3，5}、{2，3} B、{2，3}、{3，5}
C、{2，5}、{3，5} D、{3，5}、{2，5}
2、设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c0的解集为（ ）
A、R B、
C、{} D、{}
3、设全集U={（x,y）},集合M={（x,y）}，N={(x,y)},那么（CUM）（CUN）等于（ ）
A、{（2，-2）} B、{（-2，2）}
C、 D、（CUN）
4、若M={}，N={Z}，则MN等于（ ）
A、 B、{} C、{0} D、Z
5、下列各式中，正确的是（ ）
A、2
B、{}
C、{}
D、{}={}
6、设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若AB={2}，（CUA）B={4}，（CUA）（CUB）={1，5}，则下列结论正确的是（ ）
A、3 B、3
C、3 D、3
7、若U、分别表示全集和空集，且（CUA）A，则集合A与B必须满足（ ）
A、 B、A=U且AB
C、B= D、无限制
8、已知U=N，A={}，则CUA等于（ ）
A、{0，1，2，3，4，5，6} B、{1，2，3，4，5，6}
C、{0，1，2，3，4，5} D、{1，2，3，4，5}
二、填空题
9、若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，则x=
10、若A={x} B={x },全集U=R，则A=
11、设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则MN=
MN= CUM=
CUN= CU（MN）=
12、设全集U={x为小于20的非负奇数}，若A（CUB）={3，7，15}，（CUA）B={13，17，19}，又（CUA）（CUB）=，则AB=
三、解答题
13、设A={x,其中xR,如果AB=B，求实数a的取值范围。
14、设全集U={x},集合A={x},B={x2+px+12=0},且（CUA）B={1，4，3，5}，求实数P、q的值。
15、集合A={（x,y）},集合B={（x,y）,且0}，又A，求实数m的取值范围。
参考答案
一、选择题
1、A；2、D；3、A；4 、A；5、D；6、C；7、D；8、A
二、填空题
9、{0，2，4} {0，2，3，5} ；
10、{x|}；
11、{等腰直角三角形}；{等腰或直角三角形}，{斜三角形}，{不等边三角形}，{既非等腰也非直角三角形}；
12.{1,5,9,11}
三、解答题
13、 解: A={0，-4}，又AB=B，所以BA
（Ⅰ）B=时，4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}时，0 得a=-1
（Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1
综上所述实数a=1 或a-1
14、解：U={1，2，3，4，5} A={1，4}或A={2，3} CuA={2,3,5}或{1，4，5}
B={3，4}（CUA）B=（1，3，4，5），又B={3，4} CUA={1，4，5} 故A只有等于集合{2，3}
P=-（3+4）=-7 q=2×3=6
15、解：由AB知方程组
得x2+(m-1)x=0 在0x内有解，即m3或m-1。
若3，则x1+x2=1-m<0,x1x2=1,所以方程只有负根。
若m-1,x1+x2=1-m>0,x1x2=1,所以方程有两正根，且两根均为1或两根一个大于1，一个小于1，即至少有一根在[0，2]内。
因此{m1.1 集合
一、选择题
1、给出下列表述：1）联合国常任理事国2）充分接近的实数的全体；3）方程 的实数根4）全国著名的高等院校。以上能构成集合的是（ ）
A、1）3） B、1）2） C、1）3）4） D、1）2）3）4）
2、集合{}中的x不能取得值是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
3、下列集合中表示同一集合的是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,
3}或{3,2,1}；（3）方程的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合是有限集，正确的是 （ ）
A、只有（1）和（4） B、只有（2）和（3）
C、只有（2） D、以上语句都不对
5、如果，集合，则有（ ）
A、 B、
C、 D、
6、集合A={x} B={} C={}
又则有 （ ）
A、（a+b） A B 、(a+b) B
C、(a+b) C D、 (a+b) A、B、C任一个
7、下列各式中，正确的是 （ ）
A、-2
B、{}
C、{}
D、{}={}
二、填空题
8、由小于10的所有质数组成的集合是 。
9、由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数有 。
10、若，则m=________________。
11、（1）方程组的解集用列举法表示为____________。用描述法表示为___________。（2）两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为__________，用描述法表示为______________。
三、解答题
12、用列举法表示下列集合：
(1)
(2)
(3)
13、已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k的取值范围。
14、设集合
试判断元素1，元素2与集合B的关系；
用列举法表示集合B.
15、设集合
试证明：一切奇数属于集合M；
关于集合M，你能得出另外的一些结论吗？
参考答案
选择题
1、A；2、B；3、D；4、C ；5、C；6、B；7、C
填空题
8、{2，3，5，7}
9、1，2，3，12，21，23，32，13，31，123，132，213，231，321
10、-1或-2
11、 (1){()},
(2) {3，4，5，6，7}，
解答题
12、解：(1){1,2,3,4,5,6}；
(2){(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}
(3){-1,0,3}。
13、解：令f(1)<0 且f(2)<0解得
14、解：(1)当x=1时，；
当x=2时，
(2)只能取1,2,3,6x只能取0，1，4，则B={0,1,4}。
15、解：(1)对任意奇数a，a可以表示为2n+1，而，所以，得证。
(2)结论很多，能给出即可。如：
i)M中的所有元素都属于Z；
ii)所有的完全平方数都属于Z；
iii)因为a=4k=,所以。
1.1 集合
一、选择题
1、下列八个关系式①{0}= ②=0 ③ {} ④{} ⑤{0} ⑥0 ⑦{0} ⑧{}其中正确的个数（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
2、集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A、5个 B、6个 C、7个 D、8个
3、集合A={x} B={} C={}
又则有（ ）
A、（a+b） A B、 (a+b) B
C、(a+b) C D、 (a+b) A、B、C任一个
4. 集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A、5个 B、6个 C、7个 D、8个
5、集合A={x} B={} C={}
又则有（ ）
A、（a+b） A B、 (a+b) B
C、(a+b) C D、 (a+b) A、B、C任一个
6、下列各式中，正确的是（ ）
A、2 B、{}
C、{}
D、{}={}
7、设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c0的解集为（ ）
A、R B、
C、{} D、{}
8.下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{}是有限集，正确的是（ ）
A、只有（1）和（4） B、只有（2）和（3）
C、只有（2） D、以上语句都不对
二、填空题
9、在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10、设集合A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围是
。
11、若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是
12、集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是
13、方程x2-5x+6=0的解集可表示为方程组
三、解答题
14、已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k的取值范围。
15、设a、b∈Z，E＝{(x,y)|(x－a)2＋3b≤6y}，点(2，1)∈E，但(1，0)E，(3，2)E。求a、b的值。
参考答案
一、选择题
1、B；2。C；3。B；4。C；5。B；6。D；7。D；8。C
二、填空题
9、{(x,y) }
10、{}
11、 {}
12、,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};除去{a,b,c}外所有子集；除去及{a,b,c}外的所有子集
13、{2,3};{2,3}
三、解答题
14、解：令f(1)<0 且f(2)<0解得
15、解：∵点(2,1)∈E，∴(2－a)2+3b≤6 ①
∵点(1,0)E，∴(1－a)2+3b>0 ②
∵点(3,2)E，∴(3－a)2+3b>12 ③
由①②得6－(2－a)2>－(1－a)2，解得a>－；类似地由①③得a<－。
∴－1.1 集合
一、选择题
1、满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是 （ ）
A、8 B、7 C、6 D、5
2、若集合，则下列结论中正确的是（ ）
A、A=0 B、 C、 D、
3、下列五个写法中①，②，③，④，
⑤，错误的写法个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、若集合，则等于_____
A、 B、 C、 D、
5、不等式组的解集是_____
A、 B、 C、 D、
6、已知全集,则M=( )
A、{2，3} B、{1，2，3，4} C、{1，2，3，6} D、{-1，2，3，4}
7、集合，且M ，则实数a的范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
8、调查某班50名学生，音乐爱好者40名，体育爱好者24名，则两方面都爱好的人数最少是 ，最多是
9、已知集合A＝｛x∈R｜x2+2ax+2a2-4a+4＝0｝，若A，则实数a的取值是
10、已知集合A＝｛x∈N*｜∈Z｝，集合B＝｛x｜x＝3k+1,k∈Z｝，则 A与B的关系是
11、已知A＝｛x｜x＜3，B＝｛x｜x＜a
(1)若BA，则a的取值范围是______
(2)若AB，则a的取值范围是______
12、若｛1，2，3｝A｛1，2，3，4｝，则A＝______
三、解答题
13、设A＝｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，若BA，求实数a组成的集合、
14、已知A＝｛x，xy，1n(xy)｝，B＝｛0，｜x｜，y｝，且A＝B。求x，y的值。
15、已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且NM,求a 的取值范围、
参考答案
一、选择题
1、C；2、D ； 3、C ； 4、C ； 5、C；6、D；7、C
二、填空题
8、14，24； 9、 ｛2｝ 10、 AB 11、 (1)a≤3 (2)a＞3
12、｛1，2，3，4｝
三、解答题
13、解：A＝{3，5}，因为BA，所以若B＝时，则a＝0，若B≠时，则a≠0，这时有＝3或 ＝5，即a＝，或a＝，所以由实数a组成的集合为｛0，，｝、
14、x=-1,y=-1;
15、解：M={x | x2-2x-3=0}={3，-1}
∵NM
当N= 时，NM 成立
N={x | x2+ax+1=0}
∴a2-4＜0
∴-2＜a＜2
当N≠ 时，∵NM
∴3∈N或 -1∈N
当3∈N时，32-3a+1=0即a= -,N={3,}不满足NM
当-1∈N时，（-1）2-a+1=0即a=2,N={-1} 满足NM
∴ a的取値范围是：-2＜x≤2
1.1 集合
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.
1．方程组的解构成的集合是 （ ）
A． B． C．（1，1） D．
2．下面关于集合的表示正确的个数是 （ ）
①；
②；
③=；
④；
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设全集，，，那么∩= （ ）
A． B．{（2，3）} C ．（2，3） D．
4．下列关系正确的是 （ ）
A．
B．=
C．
D．=
5．已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，。设集合有个元素，则的取值范围是 （ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
6．已知集合 ，，
，则的关系 （ ）
A． B． C． D．
7．设全集，集合，集合，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，且，则a的值（ ）
A．1或2 B．2或4 C．2 D．1
9．满足的集合共有 （ ）
A．7组 B．8组 C．9组 D．10组
10．下列命题之中，U为全集时，不正确的是 （ ）
A．若= ，则
B．若= ，则= 或=
C．若= ，则
D．若= ，则
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.
11．若，，用列举法表示B .
12．设集合，，则 .
13．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 .
14．已知集合，，那么集合 ， ， .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15．（12分）数集A满足条件：若，则.
①若2，则在A中还有两个元素是什么；
②若A为单元集，求出A和.
16．（12分）设，，.
①=，求a的值；
②，且=，求a的值；
③=，求a的值；
17．（12分）设集合，，，求实数a的值.
18．（12分）已知全集，若，，，试写出满足条件的A、B集合.
19．（14分）在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个同学至少选作一题。在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；解出甲题的人数比余下的人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学解出乙题？
20．（14分）集合满足=A，则称（）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，（）与（）为集合A的同一种分拆，则集合A={}的不同分拆种数为多少？
参考答案
一、ACBCA BCCCB
二、11．{4，9，16}； 12．{}； 13．－1； 14．或；；或
三、15． 解：①和；
②（此时）或（此时）。
16．解：①此时当且仅当，有韦达定理可得和同时成立，即；
②由于，，故只可能3。
此时，也即或，由①可得。
③此时只可能2，有，也即或，由①可得。
17．解：此时只可能，易得或。
当时，符合题意。
当时，不符合题意，舍去。
故。
18．分析：且，所以{1，2}A，3∈B，4∈B，5∈B且1B，2B；
但，故{1，2}A，于是{1，2}A{1，2，3，4，5}。
19．分析：利用文氏图，见右图；
可得如下等式 ；
；；
；联立可得。
20．解：当＝时，=A,此时只有1种分拆；
当为单元素集时，=或A，此时有三种情况，故拆法为6种；
当为双元素集时，如={}，B=、、、，此时有三种情况，故拆法为12种；
当为A时，可取A的任何子集，此时有8种情况，故拆法为8种；
总之，共27种拆法。
1.1 集合
一、填空题.(每小题有且只有一个正确答案,5分×10=50分)
1、已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）

2 . 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是 （ ）
A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定
3. 设集合A={x|1＜x＜2＝，B={x|x＜a＝满足A B，则实数a的取值范围是 （ ）
A．｛a｜a ≥2｝ B．｛a｜a≤1｝ C.｛a｜a≥1｝． D.｛a｜a≤2｝．
5. 满足{1，2，3} M {1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6. 集合A={a2，a＋1，-1}，B={2a－1，| a－2 |， 3a2＋4}，A∩B={-1}，则a的值是（ ）
A．－1 B．0 或1 C．2 D．0
7. 已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则 （ ）
A．I＝A∪B B．I＝()∪B C．I＝A∪() D．I＝()∪()
8. 设集合M=，则 （ ）
A．M =N B． M N C．MN D．N
9 . 集合A={x|x=2n＋1，n∈Z}， B={y|y=4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为 （ ）
A．AB B．A B C．A=B D．A≠B
10.设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(UA)∩B={4}，（UA）∩(UB)={1，5}，则下列结论正确的是（ ）
A.3A且3B B.3B且3∈A C.3A且3∈B D.3∈A且3∈B
二.填空题（5分×5=25分）
11 .某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.
12. 设集合U={(x，y)|y=3x－1}，A={(x，y)|=3}，则A= .
13. 集合M=｛y∣y= x2 +1,x∈ R｝,N=｛y∣ y=5- x2,x∈ R｝,则M∪N=_ __．
14. 集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M=_
15、已知集合A={－1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为
三.解答题.10＋10＋10=30
16. 设集合A={x, x2,y2－1｝,B=｛0,|x|,,y｝且A=B,求x, y的值
17．设集合A={x|x2＋4x=0}，B={x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1=0} ，A∩B=B， 求实数a的值．
18. 集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．?
（1）若A∩B＝A∪B，求a的值；
（2）若A∩B，A∩C＝，求a的值．
19.(本小题满分10分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.
20、已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2－4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A, 求m的取值范围.
21、已知集合，B={x|2参考答案
C B A D C D C D C B
26 {(1,2)} R ｛4,3,2,-1｝ 1或－1或0
16、x=-1 y=-1
17、解：A={0，－4} 又
(1)若B=，则，
(2)若B={0}，把x=0代入方程得a=当a=1时，B=
(3)若B={－4}时，把x=－4代入得a=1或a=7.
当a=1时，B={0，－4}≠{－4}，∴a≠1.
当a=7时，B={－4，－12}≠{－4}， ∴a≠7.
(4)若B={0，－4}，则a=1 ，当a=1时，B={0，－4}， ∴a=1
综上所述：a
18、.解： 由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝.
(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B
于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理知：
解之得a＝5.
(2)由A∩B ∩，又A∩C＝，得3∈A，2A，－4A，由3∈A，
得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a=－2?
当a=5时，A＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2A矛盾；
当a=－2时，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意.
∴a＝－2.
19、解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).
(1)当2＜a＜10时，Δ＜0,B=A;
(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠.
若x=1，则1-a+3a-5=0,得a=2,
此时B={x|x2-2x+1=0}={1}A;
若x=2，则4-2a+3a-5=0，得a=1,
此时B={2,-1}A.
综上所述，当2≤a＜10时，均有A∩B=B.
20、解：由已知A={x|x2+3x+2}得得 .（1）∵A非空 ，∴B=；（2）∵A={x|x}∴另一方面，，于是上面（2）不成立，否则，与题设矛盾.由上面分析知，B=.由已知B=结合B=,得对一切x恒成立，于是，有的取值范围是
21、∵A={x|（x-1）（x+2）≤0}={x|-2≤x≤1}，
B={x|1∵，（A∪B）∪C=R，
∴全集U=R。
∴。
∵，
∴的解为x<-2或x>3，
即，方程的两根分别为x=-2和x=3，
由一元二次方程由根与系数的关系，得
b=-（-2+3）=-1，c=（-2）×3=-6。
1.2 函数及其表示
1、判断下列对应是否是从集合Ａ到集合Ｂ的函数：
（１）
（２）
（３）
2、已知函数 （　　）
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．７
3、已知，则的值等于 （　　）
Ａ．０ Ｂ． Ｃ． Ｄ．９
4、已知函数的定义域为Ａ，函数的定义域为Ｂ，则 （　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、已知函数 （　　）
Ａ． Ｂ．６ Ｃ． Ｄ．１０
6、若的定义域是，则函数的定义域是 （　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7、函数的值域为_____________________.
8、已知是一次函数，且满足求．
9、设函数的定义域为Ｒ，且对恒有若
（　　）
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
10．对于定义在Ｒ上的函数，如果存在实数使那么叫做函数的一个不动点．已知函数不存在不动点，那么a的取值范围的 （　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
11．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重克的函数，其表达式为＝________
12．函数在存在，使，则a的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（公里／小时）的平方与车身长s（米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d关于v的函数关系式（其中s为常数）．
参考答案
1.2 函数及其表示
一、选择题
1、设集合A＝｛x｜0≤x≤6｝，B＝｛y｜0≤y≤2｝，从A到B的对应法则f不是映射的是（　　）
A、f：x→y＝x B、f：x→y＝x
C、f：x→y＝x D、f：x→y＝x
2、设M＝｛x｜－2≤x≤2｝，N＝｛y｜0≤y≤2｝，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（　　）
3、在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、下列各组函数的图象相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、若，则的值为( )
A、0 B、1
C、 D、1或
6、如下图可作为函数的图像的是( )
A B C D
7、若能构成映射，下列说法正确的有 （ ）
（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（3）B中的元素可以在A中无原像；（4）像的集合就是集合B。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题
8、设函数f（x）＝则f（－4）＝____，又知f（）＝8，则＝____
9、如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______
10、给定映射f：（x，y）→（，x＋y），在映射f下象（2，3）的原象是（a，b），则函数f（x）＝ax2＋bx的顶点坐标是________
11、设，若，则x=____________。
12、已知，则___________。
三、解答题
13、设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x、y，有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表达式。
14、已知二次函数f(x)当x=2时有最大值16，它的图像截x轴所得的线段长为8，求解析式y=f(x)。
15、已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：
f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根.
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m,n（m参考答案
一、选择题
A； 2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、C
二、填空题
8、　18　，　4或－；
9、　V＝｛x｜0＜x＜a/2｝
10、（，－）
11、
12、
三、解答题
13、解：因为对于有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，令x=0得f(-y)=f(0)-y(-y+1)
所以，所以。
所以。
14、解：由题意设，即。
方程的两根， 满足，
而，所以，所以a=-1
所以，
15、解：(1)∵方程ax2+bx－2x=0有等根，∴△=(b－2)2=0，得b=2。
由f(x－1)=f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x=－=1，得a=－1，
故f(x)=－x2+2x.
(2)∵f(x)=－(x－1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤.
而抛物线y=－x2+2x的对称轴为x=1，∴当n≤时，f(x)在[m,n]上为增函数。
若满足题设条件的m,n存在，则
即又m∴m=－2,n=0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0].
由以上知满足条件的m,n存在,m=－2,n=0.
1.2 函数及其表示
一、选择题
1、下列集合到集合的对应是映射的是 （ ）
A、：中的数平方；
B、：中的数开方；
C、：中的数取倒数；
D、：中的数取绝对值；
2、设集合A=R，集合B=R＋，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ）
A 、 B、
C、 D 、
3、已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5，6}，映射，且满足1的象是4，则这样的映射有（ ）
A 2个 B 4个 C 8个 D 9个
4、设集合，，则下述对应法则中，不能构成A到B的映射的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
6、直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，
直线截该梯形所得位于左边图形面积为S，
则函数S=的图像大致为（　）
A B C D
7、若的定义域为[0，1]，则的定义域为（ ）
A、[0，1] B、[2，3] C、[－2，－1] D、无法确定
二、填空题
8、给定映射，点的原象是__________________。
9、设函数，则＝_______________________。
10、将二次函数的顶点移到后，得到的函数的解析式为_____________。
11、，的最大值是
12、若是一次函数，且，则= _________________。
三、解答题
13、画出下列函数的图象、
（1）y＝x2－2，x∈Z且｜x｜≤2；
（2）y＝－2x2＋3x，x∈（0，2］；
（3）y＝x｜2－x｜；
（4）
14、已知在映射的作用下的像是，求在作用下的像和在 作用下的原像。
15、对于二次函数，（16分）
（1）指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
（2）画出它的图像，并说明其图像由的图像经过怎样平移得来；
（3）求函数的最大值或最小值；
参考答案
一、选择题
1、A ； 2、C；3、D；4、D；5、D；6、C；7、C
二、填空题
8、或；
9、8；
10、
11、9；
12、
三、解答题
13、
答案如下图
14、解：在作用下的像是；在作用下的原像是
15、解：（1）开口向下；对称轴为；顶点坐标为；
（2）其图像由的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到；
（3）函数的最大值为1。
1.3 函数的基本性质
1．已知是定义上的奇函数，且在上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2．如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间上是 ( )
Ａ．增函数且最小值为 Ｂ．增函数且最大值为
Ｃ．减函数且最小值为 Ｄ．减函数且最大值为
3．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 ( )
A． B． C． D．
4．对于定义域是R的任意奇函数有 ( )
A． B．
C． D．
5．求函数的最大值，最小值．
6．将长度为l的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________．
7．函数的单调性是____________．
8．函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并加以证明．
9．如果二次函数在区间上是增函数，求的取值范围．
10．求函数的最大值．
11．已知函数．判断在区间(0，1]和[1，+∞)上的单调性，说明理由．
12．已知函数是偶函数，且时，．求
(1) 的值，
(2) 时的值；
(3)当>0时，的解析式．
13．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．
参考答案
1.3 函数的基本性质
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．下面说法正确的选项 （ ）
A．函数的单调区间可以是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2．在区间上为增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．函数是单调函数时，的取值范围 （ ）
A． B． C ． D．
4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （ ）
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值
5．函数，是 （ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与有关
6．函数在和都是增函数，若，且那么（ ）
A． B．
C． D．无法确定
7．函数在区间是增函数，则的递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
8．函数在实数集上是增函数，则 （ ）
A． B． C． D．
9．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.
11．函数在R上为奇函数，且，则当， .
12．函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .
13．定义在R上的函数（已知）可用的=和来表示，且为奇函数， 为偶函数，则= .
14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，
①函数在上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15．（12分）已知，求函数得单调递减区间.
16．（12分）判断下列函数的奇偶性
①； ②；
③； ④。
17．（12分）已知，，求.
18．（12分））函数在区间上都有意义，且在此区间上
①为增函数，；
②为减函数，.
判断在的单调性，并给出证明.
19．（14分）在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为（单位元），利润的等于收入与成本之差.
①求出利润函数及其边际利润函数；
②求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；
③你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义.
20．（14分）已知函数，且，，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数.
参考答案
一、CBAAB DBAA D
二、11．； 12．和，； 13．； 14． ；
三、15． 解： 函数，，
故函数的单调递减区间为.
16． 解①定义域关于原点对称，且，奇函数.
②定义域为不关于原点对称。该函数不具有奇偶性.
③定义域为R，关于原点对称，且，，故其不具有奇偶性.
④定义域为R，关于原点对称，
当时，；
当时，；
当时，；故该函数为奇函数.
17．解： 已知中为奇函数，即=中，也即，，得，.
18．解：减函数令 ，则有，即可得；同理有，即可得；
从而有
*
显然，从而*式，
故函数为减函数.
19．解：.
；
，故当62或63时，74120（元）。
因为为减函数，当时有最大值2440。故不具有相等的最大值.
边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.
20．解：.
有题设
当时，
，，
则 当时，
，，
则 故.
1.3 函数的基本性质
基础训练
1、设函数f(x)=(a-1)x+b是R是的减函数，则有（ ）
A、a≥1 B、a≤1 C、a.>-1 D、a<1
2、函数f(x)=+是（ ）
A、奇函数 B、偶函数
C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数
3、已知函数f(x)=x7+ax5+bx-5，若f(-100)=8,那么f(100)=( )
A、-18 B、-20 C、-8 D、8
4、函数f(x)=-x2+2x+3在区间[-2，2]上的最大、最小值分别为（）
A、4，3 B、3，-5 C、4，-5 D、5，-5
5、函数y=- 的单调区间是（）
A、R B、（-∞，0）
C、（-∞，2），（2，+∞） D、（-∞，2）（2，+∞）
6、函数y=(x≠-2)在区间[0，5]上的最大（小）值分别为（）
A、,0 B、,0 C、, D、,无最小值
7、函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在区间（-∞，2]上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A、[3，+∞) B、（-∞，3] C、（-∞，-3] D、[-3，+∞)
8、下列函数中是偶函数的是（ ）
A、y=x4 (x<0) B、y=|x+1| C、y= D、y=3x-1
9、函数f(x)是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f(1)A、f(0)>f(5) B、f(3)f(3) D、f(-2)>f(1)
10、已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x);当x<0时，f(x)=( )
A、-x(1-x) B、x(1-x) C、-x(1+x) D、x(1+x)
二、能力提高
11、函数y=-|x|在[a，+∞)上是减函数，则a的取值范围是
12、函数y=-x2在(0，+∞)上是减函数，则a的取值范围是
13、函数f(x)=1-的单调递增区间是
14、如果奇函数f(x)在[2，5]上是减函数，且最小值是-5，那么f(x)在[-5,-2]上的最大值为
三、解答题
15、xR时，讨论一次函数y=mx+b的单调性，并利用定义证明你的结论。
16、已知函数f(x)=ax2-2ax+3-b(a≠0)在[1,3]有最大值5和最小值2，求a、b的值。
17、已知函数f(x)=kx2-2x-4在[5，20]上是单调函数，求实数k的取值范围。
四、探究与发现
18、已知函数f(x)=-x2+2x-3
(1)作出函数f(x)在图象，并提出函数在区间[-1，2]的最大最小值。
（2）对于任意实数t，探究f(x)在闭区间[t,t+1]上的最大（小）值。
参考答案
1、D 2、D3、A4、C、5、D6、C7、B8、C9、D10、B
11、a≥0
12、a>0
13、（-∞，0) (0, +∞)
14、5
1.3 函数的基本性质
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、下列哪组中的两个函数是同一函数
（A）与 （B）与
（C）与 （D）与
2、下列集合到集合的对应是映射的是
（A）：中的数平方；
（B）：中的数开方；
（C）：中的数取倒数；
（D）：中的数取绝对值；
3、已知函数的定义域是（ ）
（A）[－1，1] （B）{－1，1} （C）（－1，1） （D）
4、若函数在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数在区间（a，c）上（ ）
（A）必是增函数 （B）必是减函数
（C）是增函数或是减函数 （D）无法确定增减性
5、是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
（A） （B）
（C）·≤ （D）
6、函数的定义域为，且对其内任意实数均有：，则在上是
（A）增函数 （B）减函数
（C）奇函数 （D）偶函数
7、若函数为奇函数，则必有
（A） （B）
（C） （D）
8、设偶函数f(x)的定义域为R，当x时f(x)是增函数，则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是（ ）
（A）f()>f(-3)>f(-2) （B）f()>f(-2)>f(-3)
（C）f()9、函数是上的增函数，若对于都有成立，则必有
（A） （B）
（C） （D）
10、已知函数f（x）、g（x）定义在同一区间D上，f（x）是增函数，g（x）是减函数，且g（x）≠0,则在D上 ( )
A、f(x)+g(x)一定是减函数
B、f(x)-g(x)一定是增函数
C、f(x)·g(x)一定是增函数
D、一定是减函数
二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）
11、已知函数，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿＿＿
12、已知且，那么
13、若是一次函数，且，则= _________________.
14、已知函数的图象关于直线对称，且在区间上，当时，有最小值3，则在区间上，当____时，有最____值为_____.
三、解答题（共54分）
15．（10分）判断函数的单调性并证明你的结论．
16、（10分）设函数．
 求它的定义域； 判断它的奇偶性； 求证：．
17、（10分）在水果产地批发水果，100kg为批发起点，每100kg40元；100至1000kg8折优惠；1000kg至5000kg，超过1000部分7折优惠；5000kg至10000kg，超过5000kg的部分6折优惠；超过10000kg，超过部分5折优惠。
(1)请写出销售额y与销售量x之间的函数关系；
(2)某人用2265元能批发多少这种水果？
18、（10分）快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
19、（14分）若非零函数对任意实数均有，且当时，；
（1）求证： （2）求证：为减函数
（3）当时，解不等式
附加题：（10分）
请自行设计一个盛水容器（画出大致形状），并在容器右侧作出向容器中匀速注水时，水深h关于注水量V（或注水时间t）函数的大致图象.
2.1 指数函数
一、选择题
1、 若指数函数在上是减函数，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知，则这样的 （ ）
A、 存在且只有一个 B、 存在且不只一个
C、 存在且 D、 根本不存在
3、函数在区间上的单调性是（ ）
A、 增函数 B、 减函数
C、 常数 D、 有时是增函数有时是减函数
4、下列函数图象中，函数，与函数的图象只能是（ ）
5、函数，使成立的的值的集合是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、函数使成立的的值的集合（ ）
A、 是 B、 有且只有一个元素
C、 有两个元素 D、 有无数个元素
7、若函数（且）的图象不经过第二象限，则有 （ ）
A、且 B、且
C、且 D、且
8、F(x)=(1+是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )
A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数
C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数
二、填空题
9、 函数的定义域是_________。
10、 指数函数的图象经过点，则底数的值是_________。
11、 将函数的图象向_________平移________个单位，就可以得到函数的图象。
12、 函数，使是增函数的的区间是_________
三、解答题
13、已知函数是任意实数且，
证明：
14、已知函数 求函数的定义域、值域
15、已知函数
（1）求的定义域和值域；
（2）讨论的奇偶性；
（3）讨论的单调性。
参考答案
一、选择题
B；2、A；3、B；4、C；5、C；6、C；7、D；8、A
二、填空题
9、
10、
11、 右、2
12、
三、解答题
13、 证明：
即
14、 解：由得
∵x(R, ∴△0, 即 , ∴, 又∵，∴
15、 解：（1）的定义域是R，
令
，解得
的值域为
（2）
是奇函数。
（3）
设是R上任意两个实数，且，则
当时，，从而，，，即，为R上的增函数。
当时，，从而，，，，即为R上的减函数。
2.1 指数函数
一、选择题
1．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、a< D、1<
2.下列函数式中，满足f(x+1)=f(x)的是( )
A、 (x+1) B、x+ C 、2x D、2-x
3.下列f(x)=(1+ax)2是（ ）
A、奇函数 B、偶函数
C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数
4．函数y=是（ ）
A、奇函数 B、偶函数
C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
5．函数y=的值域是（ ）
A、（-） B、（-0）（0，+）
C、（-1，+） D、（-，-1）（0，+）
6．下列函数中，值域为R+的是（ ）
A、y=5 B、y=()1-x
C、y= D、y=
7．已知0A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
二、填空题
8．函数y=的定义域是
9．函数y=()(-3)的值域是
10．直线x=a(a>0)与函数y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是
11．函数y=3的单调递减区间是
12．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=
三、解答题
13、已知关于x的方程2a－7a+3=0有一个根是2, 求a的值和方程其余的根
14、设a是实数，试证明对于任意a,为增函数
15、已知函数f(x)=(a－a)(a>0且a1)在(－, +)上是增函数, 求实数a的取值范围
参考答案
一、选择题
1、D；2、D；3、B；4、A；5、D；6、B；7、A
二、填空题
8.(-,0)(0,1) (1,+ )
9．[（）9，39]
10．D、C、B、A。
11．（0，+）
12．0
三、解答题
13、解: 2a－7a+3=0, a=或a=3.
a=时, 方程为: 8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log3
a=2时, 方程为: ·2－·2+3=0x=2或x=－1－log2
14、证明：设∈R,且
则
由于指数函数 y=在R上是增函数,且,
所以即<0，
又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数
15、解: 由于f(x)递增， 若设x则f(x)－f(x)=[(a－a)－(a－a)]=(a －a)(1+a·a)<0, 故(a－9)( (a －a)<0.
(1), 解得a>3; (2) , 解得0综合(1)、(2)得a(0, 1)(3, +)。
2.1 指数函数
基础训练
1、的值是（ ）
A、3 B、-3 C、3 D、81
2、()-的值是（）
A、 B、 C、 D、-
3、设m,n∈R,a,b>0,则下列各式中正确的有（ ）
(1)am.an=amn (2)(am)n=amn (3)(ab)n=anbn (4)()m=am-bm (5) ()m=amb-m
A、5 B、4 C、3 D、2
4、(a>0)的值是（ ）
A、1 B、a C、a D、a
5、在某种细菌培养过程中，每30分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过4个小时，这种细菌由一个可繁殖成（ ）
A、8 B、16 C、256 D、32
6、如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序（ ）
A、aC、b7、函数f(x)=(a-1)x在R上是减函数，则a的取值范围（ ）
A、01 D、a>2
8、下列各不等式中正确的是（ ）
A、()>() B、2>2 C、()>2 D、()<2
9、对于a>0,r,s∈Q，以下下运算中正确的是（ ）
A、aras=ars B、(ar)s=ar+s C、()r=arb-r D、arbs=(ab)r+s
10、函数y=2x-1的值域是（ ）
A、R B、（-∞，0） C、（-∞，-1） D、（-1，+∞）
能力提高
11、（xy-）12=
12、当813、y=(2-a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是
14、设a成立的x的集合是
三、解答题
15、已知x+x-1=3，求x2+x-2的值。
16、函数f(x)=ax(a>0,且a1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值。
发现与探究
17、给定a,b的一些取值（如a=1,b=1,a=2,b=2…），作出函数y=2-x+a+b的图象，并由此探究如何由y=2x的图象得到y=2-x+a+b的图象。
参考答案
1、A 2、B3、C4、D5、C6、C7、B8、D9、C10、D
11、x4y-9
12、2a-18
13、114、{x|x<4}
15、7
16、当0当a>1时,a=
2.1 指数函数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.
1．下列各式中成立的一项 （ ）
A． B．
C． D．
2．化简的结果 （ ）
A． B． C． D．
3．设指数函数，则下列等式中不正确的是 （ ）
A．f(x+y)=f(x)·f(y) B．
C． D．
4．函数 （ ）
A． B．
C． D．
5．若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于 （ ）
A． B． C． D．
6．当时，函数和的图象只可能是 （ ）
7．函数的值域是 （ ）
A． B． C． D．R
8．函数，满足的的取值范围 （ ）
A． B．
C． D．
9．函数得单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知，则下列正确的是 （ ）
A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.
11．已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数的定义域是 .
12．当a＞0且a≠1时，函数f (x)=ax－2－3必过定点 .
13．计算= .
14．已知－1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).
15．（12分）求函数的定义域.
16．（12分）若a＞0，b＞0，且a+b=c，
求证：(1)当r＞1时，ar+br＜cr；(2)当r＜1时，ar+br＞cr.
17．（12分）已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
18．（12分）（1）已知是奇函数，求常数m的值；
（2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无
解？有一解？有两解？
19．（14分）有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量. 现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合.
用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数.
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
（2）分析时，湖水的污染程度如何.
20．（14分）已知函数(a＞1).
（1）判断函数f (x)的奇偶性；
（2）求f (x)的值域；
（3）证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.
参考答案
一、DCDDD AAD D A
二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 13．； 14． ；
三、
15． 解：要使函数有意义必须：
∴定义域为：
16． 解：，其中.
当r＞1时，，所以ar+br＜cr；
当r＜1时，，所以ar+br＞cr.
17．解： ， 换元为，对称轴为.
当，，即x=1时取最大值，略
解得 a=3 (a= －5舍去)
18．解： （1）常数m=1
（2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
当019．解： （1）设，
因为为常数，，即， 则；
（2）设，
=
因为，，. 污染越来越严重.
20．解：(1)是奇函数.(2)值域为(－1，1).(3)设x1＜x2，
则。=
∵a＞1，x1＜x2，∴a＜a. 又∵a+1＞0，a+1＞0，
∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
函数f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.
2.3 幂函数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.
1．下列函数中既是偶函数又是 （ ）
A． B． C． D．
2．函数在区间上的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象是 （ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中正确的是 （ ）
A．当时函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
6．函数和图象满足 （ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
7． 函数，满足 （ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数
C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数
8．函数的单调递减区间是 （ ）
A． B． C． D．
9． 如图1—9所示，幂函数在第一象限的图象，
比较的大小（ ）
A．
B．
C．
D．
10． 对于幂函数，若，则
，大小关系是（ ）
A． B．
C． D． 无法确定
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.
11．函数的定义域是 .
12．的解析式是 .
13．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 .
14．幂函数图象在一、二象限，不过原点，则的奇偶性为 .
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤(共76分) .
15．（12分）比较下列各组中两个值大小
（1）
16．（12分）已知幂函数
轴对称，试确定的解析式.
17．（12分）求证：函数在R上为奇函数且为增函数.
18．（12分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（A） （B） （C） （D） （E） （F）
19．（14分）由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为），涨价后，商品卖出个数减少bx成，税率是新定价的a成，这里a,b均为正常数，且a<10，设售货款扣除税款后，剩余y元，要使y最大，求x的值.
20．（14分）利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）.
（1）．
参考答案
一、CCBAD DCADA
二、11． ； 12．； 13．5； 14．为奇数，是偶数；
三、15． 解：（1）
（2）函数上增函数且
16． 解：由
17．解： 显然，奇函数；
令，则，
其中，显然，
=，由于，，
且不能同时为0，否则，故.
从而. 所以该函数为增函数.
18．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：
（1）定义域[0，，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，是增函数；
通过上面分析，可以得出（1）(（A），（2）(（F），（3）(（E），（4）(（C），（5）(（D），（6）(（B）.
19．解：设原定价A元，卖出B个，则现在定价为A(1+)，
现在卖出个数为B(1－)，现在售货金额为A(1+) B(1－)=AB(1+)(1－)，
应交税款为AB(1+)(1－)·，
剩余款为y= AB(1+)(1－)= AB，
所以时y最大 要使y最大，x的值为.
20．解：（1）把函数的图象向左平移1个单位，
再向上平移1个单位可以得到函数的图象.
（2）的图象可以由图象向右平移2个单位，再向下平移
1个单位而得到.图象略
1.1.1集合的含义与表示
教学目的：要求学生初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，掌握集合的表示法，知道常用数集及其记法.
教学重难点：1、元素与集合间的关系
2、集合的表示法
教学过程：
集合的概念
实例引入：
⑴ 1~20以内的所有质数;
⑵ 我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;
⑶ 金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
⑷ 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;
⑸ 所有的正方形;
⑹ 黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.
结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.
集合元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写
练习：判断下列各组对象能否构成一个集合
⑴　2，3，4 ⑵ （2，3），（3，4） ⑶　三角形
⑷　2，4，6，8，… ⑸　1，2，（1，2），{1，2}
⑹我国的小河流 ⑺方程x2+4=0的所有实数解
⑻好心的人 ⑼著名的数学家 ⑽方程x2+2x+1=0的解三 、 集合相等
构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等
集合元素与集合的关系
集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A
五、常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N；
除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q； 实数集，记作R.
练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（ ）
A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形
（2）说出集合{1，2}与集合{x=1，y=2}的异同点？
六、集合的表示方式
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；
（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）
例 1、 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；
（3）由1~20以内的所有质数组成。
例 2、 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由大于10小于20的的所有整数组成的集合；
（2）方程x2-2=2的所有实数根组成的集合.
注意：(1)描述法表示集合应注意集合的代表元素
(2)只要不引起误解集合的代表元素也可省略
七、小结
集合的概念、表示；集合元素与集合间的关系；常用数集的记法.
八、作业
§1.1.2 集合间的基本关系
教学目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示方法,同时了解相等集合、真子集和空集的有关概念.
教学重难点：1、子集、真子集的概念及它们的联系与区别；
2、空集的概念以及与一般集合间的关系.
教学过程：
一、 复习（结合提问）：
1．集合的概念、集合三要素
2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3．关于“属于”的概念
二 、新课讲授
（一）子集的概念
1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.
结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A(B (或B(A)，读作“A含于B”（或“B包含A”）.
2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A(B 已(或B(A)
（二）空集的概念
不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定: 空集是任何集合的子集.
（三）“相等”关系
1、实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（即如果A(B 同时 B(A 那么A=B）.
2、 ① 任何一个集合是它本身的子集. A(A
② 真子集：如果A(B ,且A(B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B
③ 空集是任何非空集合的真子集.
④ 如果 A(B, B(C ,那么 A(C.
证明：设x是A的任一元素，则 x(A
A(B,x(B 又 B(C x(C 从而 A(C
同样；如果 A(B, B(C ,那么 A(C
（三）例题与练习
例1、 设集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}
A(B，求a的值
练习1：写出集合A={a，b，c}的所有子集，并指出哪些是真子集？有多少个？
例2 、 求满足{x|x2+2=0} M({x|x2-1=0}的集合M.
例3、 若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|ax+1=0}
且B A，求a的值.
练习2： 集合M={x|x=1+a2，a(N*}， P={x|x=a2-4a+5，a(N*}
下列关系中正确的是（ ）
A M P B P M
C M=P D M P 且 P M
三、小结
子集、真子集、空集的有关概念.
四、作业
§1.1.3 集合的基本运算
教学目的：
1、深刻理解并掌握交集与并集的概念及有关性质；
2、掌握全集与补集的概念及其表示法.
教学重难点：交集与并集的概念、性质及运算
教学过程：
复习：子集的概念及有关符号与性质
提问（板演）：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系.
解： A=(1，2，3，6}， B={1，2，5，10}， C={1，2} C(A，C(B
（二） 全集
定义： 如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，
集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合.
（三） 补集
1、实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合.集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合.
结论：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集
记作： CsA 即 CsA ={x ( x(S且 x(A}
2．例：S={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5} CsA ={2，4，6}
（四）并集与交集
1、实例： A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}
公共部分 A∩B 合并在一起 A∪B
定义：
（1）交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A和集合B的交集，记作A∩B，即A∩B ={x|x(A且x(B}.
（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A和集合B的并集，记作A∪B ，即A∪B={x|x(A或x(B}.
（五）例题与练习
例1、(1) 若S={2，3，4}，A={4，3}，则CsA= .
(2) 若S={三角形}，A={锐角三角形} ，则CsA= 。
(3) 若U={1，3，a2+2a+1 }，A={1，3} ，则a= 。
(4) 若A={0，2，4}，CUA={-1，2}， CUB={-1，0，2}，求B= 。
练习1：判断正误
（1）若U={四边形}，A={梯形}，则CUA={平行四边形}
（2）若U是全集，且A(B，则CUA(CUB
（3）若U={1，2，3}，A=U，则CUA=(
思考：已知A={x|x<3}，B={x|x（1）若A(B，CRB(CRA是否成立？
（2） CRA(CR(CR(CRB)，求a的取值范围.
例2、新华中学开运动会，设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B .
例3、设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，用集合的运算表示l1、l2的位置关系.
练习2：
1、设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形}， 求A∩B.
2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.
3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.
4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x＜-1或x＞5} ， 分别求出满足下列条件的a的取值范围 : (1) A∩B=( (2) A∩B=A
例4、已知集合A={4，5，6，8},B={3，5，7，8}，求A∪B.
例5、已知A={x|-1＜x＜2}, B= {x|1＜x＜3}求A∪B.
例6、已知U={x|x是小于9的正整数}, A={1，2，3} ，B= {3，4，5，6}，求CUA，CUB.
练习3：
2、 全集U={x|x≤8,且x∈N*},A U,B U 且A∩B={4,5},
(CUB)∩A={1,2,3} ,(CUA)∩(CUB)={6,7,8},求集合A和B.
3、已知A={x|-1＜x＜3},A∩B=(,A∪B=R,求B.
4、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0} ，C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求a,m的值.
（六）小结
全集、补集、交集、并集的有关概念和性质及其运算
（七）作业
3.1 函数与方程
§3.1.1 方程的根与函数的零点
教学目的：
1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；
2、根据具体函数的图象，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
教学重点：函数的零点的概念及求法；能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。
教学难点：利用函数的零点作简图；对二分法的理解。
课时安排：3课时
教学过程：
引入课题
1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象有什么关系？
2、指出：
（1）方程x2-2x-3=0的根与函数y= x2-2x-3的图象之间的关系；
（2）方程x2-2x+1=0的根与函数y= x2-2x+1的图象之间的关系；
（3）方程x2-2x+3=0的根与函数y= x2-2x+3的图象之间的关系.新课教解
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)的图象有如下关系：
判别式
△=b2-4ac
△>0
△(0
△<0
二次函y=ax2+bx+c
的图象

与x轴有两个交点（x1,0）,(x2,0)
与x轴有唯一的交点（x1,0）
与x轴没有交点
一元一次方程
ax2+bx+c=0
的根
有两个不等的
实数根x1，x2
x1有两个相等实数
根x1=x2
没有实数根

2、函数零点的概念
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point).
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴 有交点 函数y=f(x)有零点
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.P103 第1、2题．
思考：怎样求解方程lnx+2x-6=0？
4、二分法
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a) · f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a) · f(b)<0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点x1
3、计算f(x1);
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点(2) 若f(a) · f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))
(3) 若f(b)· f(x1)<0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4。
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程
的近似解（精确到0.1）。
第1、2题．三、归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的零点的概念及求法；借助计算器或
计算机用二分法求相应方程的近似解。四、作业布置
必做题：教材P108习题3．1（A组） 第1－6题．
选做题：教材P109习题3．1（B组） 第2题课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目的：（1）通过用”二分法”求方程的近似解,使学生体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成函数观点处理问题的意识；
（2）通过”二分法”的学习使学生初步接触算法的思想；
教学重点：用”二分法”求方程的近似解．
教学难点：”二分法”求方程的近似解的思想和步骤．
教学过程：
复习引入
① 零点的概念:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
② 连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
③ 一元二次方程可以用公式求根,但没有公式来求Inx+2x-6=0的根.联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的有关知识来求它的根呢？
新课教学
（一）用二分法求方程的近似解
1．用二分法求方程Inx+2x-6=0的近似解
想法:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.
一般地,我们把 称为区间(a,b)的中点.
2．二分法概念
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法
思考:
为什么由|a-b|< ε,便可判断零点的的似值为a(或b)?

区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
-0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
2.53125
-0.009
(2.53125,2.2625)
2.546875
0.029
(2.53125,2.546875)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625)
2.53515625
0.001
3、用二分法求方程的近似解的步骤
①、确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)<0，给定精确度ε
②、求区间(a,b)的中点x1
③、计算f(x1);
若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))
若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))
④、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4
（二）典型例题
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1）
解：原方程即2x+3x=7,令 f(x)=2x+3x-7 ,用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7 对应值表与图象（如下):
x
0
1
2
3
4
5
6
7
f(x)=2x+3x-7
-6
-2
3
10
21
40
75
142

区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
0.33
(1,1.5)
1.25
-0.87
(1.25,1.5)
1.375
-0.28
(1.375,1.5)
1.4375
0.02
(1.375,1.4375)
?
?
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。
巩固练习：（教材P106练习1）

归纳小结，强化思想
二分法是求方程近似解的一种常用方法，它是利用方程的根与对应的函数零点的关系，将求解方程转化为求解函数的零点的近似解。
作业
复习二分法求解方程近似解的步骤
“用二分法求方程的近似解”教学设计
（一）学习目标：
（1）理解求方程近似解的二分法的基本思想与步骤；能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解．
（2）通过启发学生利用直观想象分析问题来培养学生的直观想象能力，加强学生对数学通性通法的学习，体验二分法的算法思想，培养学生自主探究的能力．
（3）体验求方程近似解的二分法的探究形成过程，感受方程与函数之间的联系；通过了解数学家的史料来培养学生数学素养，并增强其学习数学的兴趣；体会由特殊到一般的认识规律，体会概括结论和规律的过程，培养学生认识事物的正确方法．
（二）重点难点：
重点 理解二分法的基本思想，掌握运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程．
难点 理解精确度的概念，概括和理解求方程近似解的一般步骤
（三）教学内容安排
1.提出问题：（教师可以利用多媒体等手段展示问题）有一条5km长的电话线路（大约100多根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何迅速查出故障所在？
教师可以鼓励学生讨论，研究此问题，并提出一个可行的方案．
2.新课导入：
求下列函数的零点：
（1）（2）学生回答计算的结果．
教师总结：简单高次函数可以因式分解求出零点，不能因式分解的高次函数我们不能求出其零点，但是我们可以想办法来求零点的近似值．
3.介绍数学史：
介绍法国数学家伽罗瓦(E.Galois,1811.10—1832.5)与挪威数学家阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）的事迹，并引出二分法．
4.例题讲解：
例题：求函数的一个正实数零点（精确到）
此时应采取教师引导，学生合作探究的教学模式．教师需引导学生解决下列问题：
（1）如何寻找零点的近似解？（即二分法的原理，操作方法）
（2）分到何时才能满足误差要求？（即二分法的精度要求）
找到解决这两个问题的方法之后，首先由师生共同选择初始区间，教师可以利用数轴演示二分法的原理；让学生讨论绝对误差与区间长度的关系．教师引导学生用表格演示二分法逐次计算的结果．最后由学生归纳二分法解题的一般步骤，教师做最后总结．（可以通过计算机作图来验证学生的计算结果）
5.练习巩固
使用计算器，用二分法求函数的一个正零点的近似值（误差不超过0.01）．
教师巡视，学生作练习．要求同桌配合，一名同学负责作记录，另一名负责用计算器求值，尽快求解．　　　　6.拓展加深 由二分法到算法．
（1）教师总结二分法的用途，拓展到算法，鼓励学生在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．
（2）介绍函数图象求解法．
7.归纳小结：
教师总结二分法的解题步骤，让学生并领会、回顾本节所学的知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力，有利于发展教与学中存在的问题并能及时纠正．
8.布置作业：
教材P100练习 2. 教材P102习题3.1 B组 1
（四）教学资源建议
建议在教学过程中可以让学生使用计算器来计算相关的函数值，这样可以节省学生的计算时间．教师则可以利用多媒体教学手段协助学生发现、归纳方法，并且验证学生的计算结果．
（五）教学方法与学习指导策略建议
1.教学目标的落实：
新的高中数学课程标准强调了课堂教学要以学生的发展为本，如何在课堂教学中根据学生的心理特点、不同水平的学生提供其感兴趣的教学材料，创设有趣且适合学生学习的教学情景，激励学生主动学习和探索，在交流和亲自参与中获得知识，是我们教师一项十分重要的任务．从实例引入能充分调动学生的兴趣，引起学生的求知欲．引入中的实例是为引入二分法的原理做准备，也说明二分法原理源于现实生活，并作用与现实生活．整个教学过程应遵循从特殊到一般的思想，学生更容易接受知识；另外应以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，这样有利于学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解；这样可以使学生在讨论、合作中解决问题，充分体验成功的愉悦．在教学过程中教师可以鼓励学生采用独立思考与小组活动相结合的办法解决问题，倡导合作学习；并且让学生进行模仿练习，能及时的巩固所学知识与方法．
2.学生的能力、价值观培养：
数学教学不仅要重视数学知识的传授和技能的形成，更重要的是在教学过程中应以“问题”为主线，不断地创设问题情境，培养学生的探究意识．这样有利于培养学生学习数学的情感，增强学生学习数学的自信心，提高解决问题的能力．而且本节课中学生体验了一个由二分法的研究学习上升到对数学通性通法的学习与研究的过程．在教学过程中注重学习方法，注重思维方法，注重探索方法，让学生主动获取知识，同时也让学生知道这些知识是如何被发现的，结论是如何获得的，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学，体现了“方法比知识更重要”这一新的教学价值观，在此过程中教师可以引导学生充分认识到算法思想的重要性，并提高学生数学的应用意识和探究能力．
3.重视“以学生为本”：
　　《标准》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程．”根据优化课堂教学的需要对教材进行适当的加工处理，根据教学要求，从学生的实际出发，创设学生熟悉的教学情境，设计富有情趣的教学活动，鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程．在整个教学过程中，教师注意发挥学生的主体性，给学生留下充分的时间与空间．在课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点想法，还学会了相互接纳、赞赏与互助，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思．通过学生间的多向交流，可以使他们从多角度看到问题解决的途径．
第七组：吕晓琳 张燕菱 邹斌 王国栋 佟昀 司九伟 胡军 唐平 刘宗平 王春芳
§2.3函数的应用（Ⅰ）第一课时
（一）学习目标
1．知识目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用一次函数、二次函数模型解决实际问题，初步掌握数学建模的一般步骤和方法．
2．能力目标：通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点．
3．情感目标：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识．
（二）重点难点
教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
教学难点：增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法．
（三）教学内容安排
1、复习一次、二次函数的有关知识
2、创设情景，揭示课题
引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.
此例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
3、结合实例，探求新知
例1、 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求出离开北京2h时火车行驶的路程．
探索：
1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；
2）变式思考：试写出火车匀速行驶的路程y与火车行驶的时间x之间的函数关系
3）所涉及的变量的关系如何？
4）写出本例的解答过程.
老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.
学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.
说明：本例是一次函数模型的例子，在审题中重点是理解各变量的含义及相互间的依赖关系，难点是求自变量t的取值范围．可设一次函数为，使用待定系数法求解．对于第二问，我们可以引导学生体会函数与方程，一般与特殊的关系，加深对函数本质的理解．
例2、某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其它因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
引导学生探索过程如下：
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.
[略解：]
设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30
设客房租金总上收入元，则有：=（20+2）(300－10)
=－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）
由二次函数性质可知当=10时，=8000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.
课堂练习 1、要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.
2、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
例3
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示。
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式。
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
? （注：市场售价和种植成本的单位：元／百千克，时间单位：天）
解:? 由图1可得市场售价与时间t的函数关系：，由图2可得种植成本与时间t的函数关系：，由上消去t得Q与P的对应关系式：
。
?
因为认定市场售价P与种植成本Q之差为纯收益，所以当且时，；由二次函数性质可知当P＝250时，t＝50，此时P－Q取得最大值100；
? 当且时，；由二次函数性质可知当P＝300时，t＝300，此时P－Q取得最大值87.5．因为100＞87.5，所以当t＝50时，P－Q取得最大值100，即从二月一日起的第50天上市的西红柿收益最大。
4、归纳整理，发展思维.
引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：
合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为
函数模型问题：
2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；
3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；
4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观
性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.
5、布置作业
作业：教材P68习题2.3（A组）第3 、4、5题：习题2.3（B组）第1、2题
（四）教学资源建议
教师教学用书
（五）教学方法与学习指导策略建议
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，因此函数的应用是学习函数的主要目的之一．本节课学习一次和二次函数模型的应用，让学生在熟悉的知识背景下理解用函数的思想分析问题、解决问题的方法，初步掌握建立数学模型的一般步骤，为第二次学习函数的应用打好基础．教材这样处理既符合学生的认知规律又体现了螺旋式上升的设计理念．在函数应用的教学中，学生通过动手操作、模仿，参与解决实际问题，体验从实际问题中抽象出数学关系的方法，从而感受函数的应用价值，增强数学应用的意识；学生在体验数学与日常生活和其它学科领域的联系中树立起正确的世界观；数学建模活动，在激发学生学习数学的兴趣，发展学生创新精神和实践能力方面起到重要的作用．结合本节内容的学习，使学生形成用函数思考问题的习惯．总之，对于函数应用的教学主要是培养学生数学应用的意识，用函数模型刻画客观世界的规律的能力．关键在模型的建立中要合理选择变量和寻求变量间的依赖关系，掌握数学建模的一般方法．
第七组：吕晓琳 张燕菱 邹斌 王国栋 佟昀 司九伟 胡军 唐平 刘宗平 王春芳

2.3函数的应用（Ⅰ）第二学时
（一）学习目标
1．能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用一次函数、二次函数模型解决实际问题并初步掌握数学建模的一般步骤和方法。
2．通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点．
3．学生在运用函数的思想和方法理解和处理其它学科、现实生活中的简单问题中体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观。在数学建模中体会客观世界是有规律可循的，形成正确的世界观。通过函数应用的学习，让学生感受到数学就在身边，从而激发学生学习的兴趣，增强学习的自信心。
（二）重点难点
教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决实际问题，引导学生探索从实际问题中抽象出函数关系。
教学难点：增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。
（三）教学内容安排
1、处理课本的例4
例4：建立函数数学模型的例子.
问题：我国1999-2002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表所示：
年份
1999
2000
2001
2002
x
0
1
2
3
生产总值
8.2067
8.9442
9.5933
10.2398
（1）、画出函数图形，猜想他们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2）、利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
（3）、利用关系式估计2003年我国的国内生产总值.
例4是建立一个真实的函数模型解决实际问题的例子，所提供的数据没有作任何处理，它里面包含的信息很丰富，要求学生根据需要抓住主要矛盾，建立模型解决问题，要求也更高。 鉴于学生是第一次接触数学建模，课本采取分步设问的办法，引导学生分析数据，建立模型解决问题，使学生经历一个完整的数学建模过程。本题可以根据学生实际的认知水平作不同的处理，若学生没有建模的基础，就采取教材的处理方式，然后再归纳总结建模的方法，提炼数学建模的思想。若学生基础较好或有一定的建模基础，教师可以只提供数据，让学生提出自己感兴趣的问题，然后自主探究，解决问题，师生交流，达成共识，落实方法。这样处理除了向学生渗透数学建模的思想方法之外，还关注学生的问题意识，提高学生的创新能力。在例4的教学过程中要充分利用计算机帮助学生解决问题，丰富学生的学习方式。
2、补充练习：
在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到共n个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其它近似值比较,它与各测量数据的差的平方和最小.依此规定,从推出的最佳近似值=____.
解：设最佳近似值为x，设x与各测量数据的差的平方和为y，则
，因为n>0，由二次函数的性质可得，y取最小值时，x的值为，即最佳近似值为
补充练习条件比较简单，但所建数学模型为二次函数，包含了找出应用题中的核心数学概念、正确理解并列出与核心数学概念相关的数量关系、结合题意利用列出的数量关系正确的建立数学模型和能正确辨认数学模型的数学实质，利用已学数学知识正确求解数学模型这几个关键步骤，是对课本例4的补充和巩固。
（四）教学资源建议
教师教学用书附录scilab 3.0作图命令简介
（五）教学方法与学习指导策略建议
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，因此函数的应用是学习函数的主要目的之一。在函数应用的教学中，学生通过动手操作、模仿，参与解决实际问题，体验从实际问题中抽象出数学关系的方法，从而感受函数的应用价值，增强数学应用的意识；学生在体验数学与日常生活和其它学科领域的联系中树立起正确的世界观；数学建模活动，在激发学生学习数学的兴趣，发展学生创新精神和实践能力方面起到重要的作用。结合后两节内容的学习，使学生形成用函数思考问题的习惯。
总之，对于函数应用的教学主要是培养学生数学应用的意识，用函数模型刻画客观世界的规律的能力。关键在模型的建立中要合理选择变量和寻求变量间的依赖关系，掌握数学建模的一般方法，使学生初步做到以下五点：
1、会审题：找出实际问题中的核心数学概念
2、会理解：正确理解并列出与核心数学概念相关的数量关系
3、会建模：结合题意利用列出的数量关系正确的建立数学模型
4、会求解：能正确辨认数学模型的数学实质，利用已学数学知识正确求解数学模型
5、会反思：要反思模型结论在实践中的应用；反思求解数学模型的思维过程
第七组：吕晓琳 张燕菱 邹斌 王国栋 佟昀 司九伟 胡军 唐平 刘宗平 王春芳
函数与方程教学设计
农大附中 张晓东
一、教材分析
1．本单元的教学内容范围
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2．本单元的教学内容在模块中的地位和作用
函数的应用是学习函数的主要目的之一。本模块安排了2.3, 2.4, 3.4三节函数应用的学习，2.3, 3.4节主要是关注函数在生活实践及其它领域中的应用，而本节内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给学生呈现了研究一个问题完整的思路和方法。本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系，又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系。在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用。函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用。
3．本单元教学内容的总体教学目标
（1）进一步了解函数的广泛应用
（2）结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系
（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法
4．本单元的教学内容重点和难点分析
重点：理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解。
难点：函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解。
5．其它相关问题
本单元的两节内容属于新增内容，涉及函数在数学内部的应用。大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用。课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，掌握分析、研究问题的方法大有好处。函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质，二次函数的相关知识，为本节的学习提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识，温故知新，体现了本套教材低起点，循序渐进，螺旋式上升的特色。再者，教材内容的呈现力图使学生在对二次函数的零点与方程的根的关系研究过程中体会由特殊到一般的思维方法；在经历用二分法求函数零点近似解的探索过程中,初步体会数形结合、逼近、算法等重要的数学思想方法；在经历无限逼近的过程中,感受整体与局部、定性与定量、精确与近似的对立统一辩证观，体会事物间相互转化的辩证思想；在数学阅读中了解数学发展史，了解数学文化；在批注中拓展知识。这也是课标强调对数学本质认识和注重提高学生的数学思维能力的体现。
二、本单元教学方式和教学方法的概述
本单元可以根据学生的情况分别采取以下教学方式：（1）根据“倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重信息技术与数学课程整合”理念和学生基础较好的实际情况，选用利用计算器或计算机自主探究、学习的方式进行教学。在教学中教师的作用是促使学生获得知识，形成能力，提炼思想方法。（2）根据学生基础较薄弱的实际和“注重提高学生的数学思维能力”的课程理念，选用师生互动下的讲授式教学模式。教师的讲要适度，不要代替学生的学，教师的作用放在启发和必要时提供帮助上。
三、本单元所需教学资源的概述
教师教学用书配套光盘1课件集锦中课件1210，教参中的“资源拓展”所提供的相关资料. 教材中的“练习”、“习题”。
四、本单元学时建议
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点 1课时
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 1课时
教案设计：
方案一
　　　　　　　　　　函数的零点
农大附中　毛春桃
一、教学目标
知识与技能：
（1）理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。
（2）能判断二次函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的根之间的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。
过程与方法：
（1）在对二次函数的零点与方程根的关系研究过程中，体会由特殊到一般的思维方法。
（2）通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思想方法。
情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中，让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣。
二、教学重点、难点
教学重点：函数零点的概念、求法及性质；
教学难点：函数零点的应用。
三、教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法。
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
（1）二次方程是否有实根的判定方法。
（2）二次函数的顶点坐标、对称轴方程等相关内容。
学生思考后回答
复习旧知，利于学生理解本节课的知识。
函数零点的概念
实例引入
例1：已知函数，
（1）当取何值时，
（2）作出函数的简图。
或是函数的零点。
问题一：观察函数的零点在其图像上的位置。
学生动手解题，并观察思考，教师总结例1。
让学生感知知识发展的过程，了解函数零点与方程根的关系，渗透数形结合的思想。
函数的零点
一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点
问题二：结合引例给函数的零点下定义。学生思考后回答
培养学生类比的思想，让学生体会由特殊到一般的思维方法
二次函数零点判定
例2：已知函数，
分别求函数的零点。
学生计算、画图后回答。
体验二次函数零点的各种情形，对一般二次函数零点的总结做出铺垫。
二次函数零点的判定
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表。
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点
问题三：对于二次函数是否一定有零点？如何判定？
学生讨论，小组代表发言。师生共同总结，并完成表格。
培养学生的归纳能力，让学生体验成功的快乐。利用表格的形式，有利于学生对比记忆。
概念深化
深化概念
引导学生回答下列问题：
（1）如何求函数的零点？函数的零点与图像的关系。
结合例1、例2指出函数、方程、不等式三者间存在的联系。
引伸：
（2）如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？
（3）如果偶函数的定义域为，且，那么函数在其定义域内的零点的个数有什么规律？对上奇函数呢？
学生思考、回答，老师点评、总结
（1）求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标。
（2）单调函数在其定义域内最多有一个零点
进一步深化学生对函数零点概念的理解；理清函数与方程间的联系；让学生思考问题2、3不仅可以复习旧知识，而且让学生体验了函数图象与方程的关系，感受到“数形结合”在解题中的魅力。
函数零点的性质及应用
练习：求函数的零点，并指出时，的取值范围。
学生思考、回答。
为引出函数零点的性质作出铺垫
函数零点的性质及应用
5.二次函数零点的性质
①二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二次零点），函数值变号。
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。
引伸：对任意函数，只要它的图像是连续不间断的，上述性质同样成立。
二次函数的零点的应用
①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。
②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。
引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数。
结合例1，
教师引导
学生总结
引导学生初步了解函数零点的性质及应用，有利于培养学生观察、分析、归纳的能力，深化对函数零点的认识。
6.函数零点的应用
例3.求函数的零点，并画出它的图像
（1）学生求出函数的零点。
（2）3个零点把轴分成4个区间。
（3）由函数零点的性质，在每一个区间上所有函数值保持同号，启发学生分别在每一个区间内，取的一些值，根据点的变化趋势画出函数的图象。
学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。
渗透数形结合的思想，说明函数零点的应用。
降低课本例题难度，主要考虑学生分组分解法分解因式的困难，对课本例题可布置学生按所讲例题的思路课后思考
7.课堂练习
教材第72页练习A1（1）（4）（5），练习B1（２）
学生练习。
进一步巩固本节所学内容
归纳小结
8.课堂小结
（1）一个定义（函数的零点）
（2）二个性质（函数零点的性质）
（3）三个思想（函数，特殊到一般，数形结合）
学生总结，教师补充完善。
让学生回顾本节所学知识与方法，使知识结构更系统、更完善。
课外拓展
函数在下列哪些整数间有零点
①－2与－1之间②－1与0之间③0与1之间
④1与2之间⑤2与3之间
学生课外思考
让学生体验正确运用所学知识自主探求问题的方法，激发学生获取新知识的兴趣，为学习新知识作准备。
布置作业
教材第72页练习A1（6）练习B1（1）（3），2
学生练习。
巩固所学内容。为下节课学习做准备。
补充练习：
1.若函数y= ax2-x-1只有一个零点，求实数a的零点。
2.若函数f(x)= x2-ax-b的两个零点是2和3，求函数g(x)=bx2-ax-1的零点。
3.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，求实数a的取值范围.
4.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2，求函数g(x)=bx2-ax的零点
5.若方程的两根分别在区间（0,1），（1,2）内，求的取值范围。
6.函数必有一个零点的区间是（ ）．
A．(-5, -4) B．(-4,3) 　　C．(-1, 0) D．(0,2)
方案二
函数的零点
温泉二中 杨冬香
教学目标
（1）知识与技能：
了解函数零点与方程根的关系；能判断二次函数零点的存在性，掌握函数零点的
概念；会求简单函数的零点。
（2）、过程与方法：
由二次函数为载体探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区
间上图象连续的函数存在零点的判定方法；通过探讨函数零点性质的形成过程，
培养学生观察、归纳、探究的能力。
（3）、情感、态度、价值观：
体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。在函数与方程的联
系中发展学生对定性与定量的认识，渗透事物整体与局部的关系，让学生初步体
会对立与统一的辩证思想。
教学重点、难点
重点：函数零点的概念及存在性的判定；函数零点的求法；
难点 ：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
利用函数的零点作图；数学思想的渗透。
教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法较多。利用多媒体辅助教学。
教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
解方程
情况
实数根
无实根
对应函数
图象



与轴交点
（1，0）
无交点
学生思考后动笔填表
复习一元二次函数的有关知识，再次渗透数形结合的思想
发动点
概念形成
提出问题：对于函数，，
当取何值时，
作出函数的简图。
结合引例给函数
的零点下定义，
观察图象与x轴
交点的横坐标与
方程根的大小关
系。并引出函数
零点概念。
画图、思考、并
归纳出结论：函
数图象与x轴交
点的个数等于对
应方程根的个
数；函数图象与
轴的焦点的横坐
标的大小与对应
方程的根的大小
相等。
它既是几个特殊的函数与方程，又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，也为学生归纳方程与函数的关系铺好了台阶。
一、函数的零点的有关概念：
1定义：
一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形
式出现。
2、函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
教师提出问题，学生思考回答，师生完善。
思考：
1、零点是不是点？
2、零点是不是f(0)？
此部分的设置一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变，变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。
理解点
概念深化
3、函数零点的求法：
引导学生回答下列问题：
（1）如何求函数的零点？
（2）函数的零点与图像的关系。
（3）函数的零点与方程的关系
结合引例指出函数、方程、不等式三者间存在的联系。
Ⅰ：可以解方程而得到（代数法）；
Ⅱ：可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法）
学生思考、回答、师生点评、总结。
遵循由浅入深、循序渐进的原则
掌握点
练习巩固
例1：求函数的零点，并指出时，的取值范围。
解略：
先学生练习，然后教师带领大家一起寻找方法，落实方法。
注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系：
内化点
应用举例
4、归纳二次函数零点的判定
二次函数的零点个数，二次方程的实根个数见下表。
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点
5、函数零点的性质（以二次函数为例）
二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二次零点），函数值变号。
相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。
引伸：对任意函数，只要它的图像是连续不间断的，上述性质同样成立。
提问1：对于二次函数是否一定有零点？如何判定？
提问2： 函数的零点有哪些特性？
学生讨论，小组代表发言。师生共同总结，并完成表格。归纳出二次函数零点的性质。
从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．
掌握点
应用举例
二、函数的零点的应用
提出问题：本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，如果不是我们熟知的函数怎样求它的零点呢？
例 求函数的零点，并画出它的图像
解略：
归纳：
（1）利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数
的简图。
（2）根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。

可以借助计算器完成部分数据的计算
学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。
巩固函数零点的求法，渗透二次以外的函数的零点情况。总结讨论二次函数的零点的存在情况
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生总结归纳能力。
内化点
巩固练习
课堂练习
教材第72页练习A 1（2）（4）B 1（1）（3）
学生练习。
教师单独指导
进一步加深对函数零点的理解及掌握求法
拓展延伸
观察与思考：
观察下面函数的图象
填空：在区间上______(有/无)零点；_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；_____0（＜或＞）．
在区间上______(有/无)零点；_____0（＜或＞）．

归纳：你可以得出什么样的结论？
由于时间的关系可以留作课下学生讨论交流完成课后练习。
结论的得出为下节课的二分法作下铺垫
数学教学的新理念，就是想法设法在教学中培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，问题设计层层递进、层层加深。有助于学生理解概念，这样设计不仅符合学生的认知特点，也无形中给学生渗透从特殊到一般的方法与过程。
归纳小结
课堂小结
知识方面
学习了函数的零点的定义及其求法，利用函数的零点作函数的简图。总结归纳了函数零点的性质
数学思想方法
渗透了从特殊到一般、数形结合的思想。
学生总结，
师生补充完善。
布置作业
教材第75页练习A1（1）2（2）3（2）5（1）
学生练习。
补充练习：
1、观察二次函数的图象：
 在区间上有零点吗？______；_______，_______,
_____0（＜或＞）．
思考：若<0，那么函数在上一定有零点吗?
 在区间上有零点______；____0（＜或＞）．
思考：若，那么函数在[]上一定有零点吗?
思考：若函数满足，在区间上一定有零点吗？
若函数满足，在区间上一定有零点吗？
2、求下列函数的零点：
（1）； （2）
3、求函数，并画出它的大致图象．
4、．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；
（2）．
方案三
函数的零点
—— 北京市第六十七中学 贾康康
一、教学目标
知识与技能：
（1）理解函数零点的意义，会求函数的零点。
（2）能判断二次函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。
过程与方法：
（1）以具体的二次函数为例，求出零点，并通过作图加以说明，从而给出函数零点的概念，体会由特殊到一般的思维方法。
（2）通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结，渗透数形结合的思想方法。
情感、态度与价值观：让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
教学重点、难点
教学重点：函数零点的概念、求法及性质；
教学难点：函数零点的应用。
教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法。
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
一元二次方程是否有实根的判定方法
二次函数的顶点坐标、对称轴方程等相关内容。
学生思考后回答
以旧引新，利于学生构建知识网络。为函数的零点判定及其应用作出铺垫。
函数零点的概念
实例引入
例1：已知函数，
当取何值时，
作出函数的简图。
或是函数的零点。
问题一：观察函数的零点在其图像上的位置。学生动手解题，并观察思考，教师总结引例。
让学生感知知识发展的过程，了解函数零点与方程根的关系，渗透数形结合的思想。
函数的零点
一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点
问题二：结合引例给函数的零点下定义。教师提出问题，学生思考回答，师生完善。
培养学生归纳能力，让学生体会由特殊到一般的思维方法。
二次函数零点判定
引导学生填写下列表格：
一元二次方程
二次
函数
函数图像
方程的根
图像与x轴交点
(-1，0)
（3，0）
=1
（1，0）
无实根
没有
交点
问题三：引导学生填写表格，并思考对于二次函数如何求函数的零点？是否所有的二次函数都有零点? 学生讨论，小组代表发言。
体验二次函数零点的各种情形，对一般二次函数零点的总结做出铺垫。
二次函数零点的判定
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表。
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点
师生共同总结，并完成表格。
进一步深化学生对函数零点概念的理解。利用表格的形式，有利于学生对比记忆。
函数零点性质及应用
练习：求函数的零点，并指出时，的取值范围。
学生思考、回答。
为引出零点的性质作出铺垫
二次函数零点的性质
二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二次零点），函数值变号。
相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。
对任意函数，只要它的图像是连续不间断的，上述性质同样成立。
二次函数的零点的应用
利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。
② 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。
结合引例，教师引导学生总结。
引导学生初步了解函数性质零点的性质及应用，有利于培养学生观察、分析、归纳的能力，深化对函数零点的认识。
例 求函数的零点，并画出它的图像
总结步骤：
（1）求函数的零点；
（2）零点把x轴分成多个区间；
（3）取点、列表；
（4）描点、作图。
学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。
渗透数形结合的思想，说明函数零点的应用。
巩固练习
课堂练习
教材第72页练习A1（1）（4）（5），练习B1（２）
学生练习。
进一步巩固本节所学内容
思考题：若，函数在区间上零点的存在情况。
课后练习。
让学生体验正确运用所学知识自主探求问题的方法，激发学生获取新知识的兴趣，为进一步学习新知识作准备。
归纳小结
课堂小结
知识方面
学习了函数的零点的定义、性质及其求法，利用函数的零点作函数的简图。
数学思想方法
主要有由特殊到一般的思想和数形结合的思想。
学生总结，师生补充完善。
让学生回顾本节所学知识与方法，使知识结构更系统、更完善。
布置作业
教材第72页练习A1（6）练习B1（1）（3）
学生练习。
让学生巩固所学内容。为下节课的学习做好准备。
教案：2.4.1函数的零点
北京农大附中 洪彬
一、教学目标：
1、知识与技能：了解函数的零点与方程根的关系。理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点。培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
2、过程与方法：通过描绘函数图像，分析零点的存在性. 体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。
3、情感态度与价值观：培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
二、教学重点、难点：
重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。
三、教学方法：
本节课是对初中内容的加深，学生以相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法为宜。
四、教学流程：

五、教学过程：
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习
引入
（1）一元二次方程是否有实根的判定方法：
（2）二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标，对称轴方程等相关内容。
学生思考后回答
以旧引新，利于学生建构知识网络。
实例引入
引例：已知函数y=x2-x-6
（1）当x取何值时，y=0？
（2）作出函数的简图
x=-2 或x=3是函数y=x2-x-6的零点。
问题：观察函数的零点在其图象上的位置。

学生动手解题，并观察思考，教师总结引例,引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系。
让学生动手动脑来感知知识发生发展的过程，了解函数的零点和方程根的联系，提高作图与识图以及自主解决问题的能力，使学生养成独立思考的好习惯。通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。
概念引入
2、深化概念
引导学生回答下列问题：
①如何求函数的零点？
②函数的零点与图象的关系。
③结合引例指出函数、方程、不等式三者间存在的联系。
学生思考、回答，师生点评、总结。
结合图像认真理解函数零点的意义，并对零点出现的条件进行思考，根据函数零点的意义探索其求法．
以问题研讨形式替代教师的说明，有利于学生对知识的掌握，并进一步深化对函数零点概念的理解。通过函数零点概念的形成过程，让学生对零点的概念由初步的认识到掌握，并且对一般概念的形成过程有一个更深认识
巩固练习
3、练习：求函数y=x2-2x+3的零点，并指出y>0,y<0时，x的取值范围。
学生练习
让学生进行模仿练习，能及时巩固所学知识与方法，也突出了对二次函数零点的应用。
概念形成
4、函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．
函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．二次函数零点的判定
二次函数y=ax2+bx+c的零点个数，方程ax2+bx+c=0的实根个数见下表。
判别式
方程的根
函数的零点
△>0
两个不相等的实根
两个零点
△=0
两个相等的实根
一个二重零点
△<0
无实根
无零点
问题：对于二次函数y=ax2+bx+c是否一定有零点？如何判定？
学生讨论，小组代表发言，师生共同总结，并完成表格。
通过函数零点概念的形成过程，让学生对零点的概念由初步的认识到掌握，并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识。
倡导学生合作学习，让学生体验成功的快乐，激发学生的学习兴趣，利用表格的形式，有利于学生对比记忆。
概念形成
5、二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。
对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。
6、二次函数的零点的应用
①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图；
②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。
结合引例，教师引导学生总结。引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．
根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像的性质，完全独立完成对二次函数零点情况的分析 ，总结概括形成结论，并进行交流。
结合引例，引导学生初步了解函数零点的性质及应用，既有利于突出重点，又有利于培养学生观察、分析、归纳的数学能力，同时也深化了对函数零点的认识。
应用举例
例 :求函数y=x32x2-x+2的零点，并画出它的图象。
通过以上两例题你能总结出求函数零点的求法吗？
引导学生归纳：
 （代数法）求方程的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。
例1，例2是两个类型，通过对比使学生能总结出一般的函数零点求法。
培养学生的归纳概括能力及对数学问题的反思意识。
学生利用零点作图有一定的困难，故师生共同分析怎样列表、取值、画函数的简图，突出重点，解决难点。引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
巩固练习
7、课堂练习
教材第72页练习A第1（2）（4）题，第2（1）题。
学生练习
进一步巩固本节所学内容
巩固练习
8、观察下面函数的图象
 在区间上______(有/无)零点；
·_____0（＜或＞）．
 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．
由以上两步探索，小组讨论，你们可以得出什么样的结论？
课后练习
让学生体验正确运用所学知识自主探求问题的方法，激发学生获取新知识的兴趣，为进一步学习新知识做准备。
归纳小结
课堂小结
（1）知识方面
学习了函数的零点的定义及其求法，利用函数的零点作函数的简图。
（2）数学思想方法
主要有转化的思想、数形结合的思想。
学生总结，师生补充完善。

让学生回顾本节所学知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力，有利于发现教与学中存在的问题，并及时反馈纠正，使知识结构更系统、更完善。
布置作业
教材第72页练习B第1（3），2（2）题
学生练习
让学生巩固所学内容，为下节课的学习做好准备。
六．补充练习：
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．已知f(x)=2x4－7x3－17x2+58x－24．，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．
3．已知f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m－1：
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．
设计意图：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．培养动手，和分析图表的能力．列表，借助计算机或计算器来画函数的图象帮助分析．相对应例题给出一元四次函数及指数型的函数零点的探究，拓展学生的思维，以达到触类旁通。巩固学生这节课所学的知识，通过学生的作业反馈，来找出学生掌握不足的地方，再给予纠正，真正实现“学数学用数学”。
七．学生学习评价表：
“主动探究学习”模式把知识作为一种过程而非结果，肯定学生的学习是一种建构独特意义的过程，强调学生的主动参与，旨在提高学生的创新精神和创新能力。因此，评价决不是单一的、封闭的，而应该是一个开放的、多元的动态过程，它除了注重对学生的学习作评判之外，更主要的是不断地为学生的学习活动提供可资借鉴的资料，促进学生深入地更有效地进行主动探究学习。
1．坚持评价目标的全面性；
2．坚持评价内容的多维性；
3．坚持评价方式的多样性；
4．坚持评价主体的多元性；
5．坚持评价的发展性；
6．坚持评价的及时性．
评价主体
评价内容
评价等级（5、4、3）
总结评定
任
课
教
师
1．善于观察，认真思考
2．善于表达，大胆实践
3．分析得当，解答具有合理性、条理性
4．作业完成良好
5．积极主动地面对困难
学
生
自
身
1．主动探究，猜测验证
2．善于观察，大胆实验，勤于操作实践
3．积极讨论，发表观点

（后附：本节课的教学设计）

函数的零点
北京农大附中 洪彬
学习目标：
1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系。
2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
3、情感目标：培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
二、教学重点、难点：
重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。
三、教学内容安排：
2.4.1 函数的零点
1、本小节重点是理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或数学软件用二分法求相应方程的近似解．难点是函数零点的应用。
2、函数的零点．教材以二次函数y＝x2-x-6为例，求出零点，并通过作图加以说明，从而给出了函数零点的概念，体现了由特殊到一般的思维方法．教学中，应引导学生自主探索，通过抽象、概括形成概念．值得注意的是：不是所有函数都有零点，如y＝1，y＝x2+1就不存在零点．
3、函数零点个数的判定．将二次函数y=ax2+bx+c的零点个数的判定，转化为二次方程ax2+bx+c＝0实根个数的判定，这是初中已学过的内容，可以由学生自己归纳总结.
4、零点的两条性质．教学时，应结合函数图象加以说明．这两条性质对其他连续函数也适用．
5、求三次函数的零点，并作出图象．求零点的关键是学生能正确地进行因式分解，而作出它的图象，可先由零点分析出函数值的正负变化情况，再进行适当的取点．通过例题进一步总结求函数零点的方法，以及零点在作图中的应用．
教学流程：

四、教学资源建议：
1．利用TI计算器绘制某类特殊函数图像，找出零点，并尝试进行系统的总结．
可以利用TI图形计算器分析二次函数（供有条件的学校使用）
的函数值符号随在一定范围内变化而变化的特点．


利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）


2．补充练习：
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．已知f(x)=2x4－7x3－17x2+58x－24．，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．
3．已知f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m－1：
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．
3．通过函数求值、函数的作图建立信息技术与数学的整合，培养学生使用计算机技术学习数学的习惯与技能。
培养师生使用计算机技术学习数学和讲授数学，现今变得非常紧迫和必要．在教学中，应当由教师制作课件进行演示，向师生使用数学软件学习数学和研究数学转变．教材向师生提供了三套软件：Scilab、工作表和几何画板。
五．教学方法与学习指导策略建议
1．教学方法：本节课是对初中内容的加深，学生以相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法为宜。
2．学习指导策略建议
（1）认知起点
建构主义的基本主张认为学习是一个积极主动的建构过程，学习者不是被动地接受外在信息，而是根据先前认知结构主动地有选择性地知觉外在信息，建构当前事物的意义，所以课程实施决不是教师给学生灌输知识、技能，也不是学生只被动地陷于接受、记忆、模仿和练习等低等而乏味的活动。高中数学课程应该是学生在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。所有这些活动都需要学生在知识起点方面有所准备。通过初中数学的学习，学生已经对一次函数、二次函数的性质与图像有了深刻了解，以此为基础课本在第二章《基本初等函数》介绍了指数函数、对数函数、幂函数的基本性质，并且要求学生能够运用计算机绘制它们的图像，此时学生已经对初等函数的本质属性、初等函数的图像与性质的联系有了较高层次的认识，所以在本节课提出函数零点的概念，不会显得突然，反而对学生的认知过程有很好的帮助。
（2）． 学习兴趣
有了良好的知识基础，学生的知识起点自然就会比较平顺的与本节课的内容进行衔接，这样学生的学习兴趣会得到的保障。另外，在现代化教学设备方面，我们配备了最型新TI计算器，而这种计算器的功能强大，可以帮助学生简单、准确地描绘函数图像，所以学生的兴趣又得到了的提高。其实这些都是次要的，重要的是学生对知识的渴望，这种对未知世界的好奇感可以指引他们的学习向着正确的方向发展。
（3）．学习障碍
本节课的学习障碍为零点概念的认识。零点的概念是在分析了众多图像的基础上，由图像与轴的位置关系得到的一个象形的概念，学生可能会设法画出图像找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍。
（4）．学习难度
新教材关注学生的学习兴趣和认知特点，一方面注意控制教材内容总量精选学生终身学习必备的基础知识和基本技能，一方面适当降低某些知识的难度要求，改变原理性知识偏重思辨和过深、过难的现象，本节课就充分体现了这一点 。难度适中，知识要点突出，层次分明，符合学生的思维特点。
求函数零点近似解的一种计算方法──二分法
杨 琳
教学目标
知识目标：通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
能力目标：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感目标：感受“无限逼近”过程，引导学生体会“用有理数逼近无理数”的思想方法。
教学重点、难点
重点是学会用二分法求函数的零点；难点理解用二分法求函数零点的原理。
教学方法
本节课采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法。
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
求下列函数的零点：
y= - 3x+2
（只需求一个实数零点）
学生思考后回答，前三道题没有困难，第四题学生求不出来，教师可引导学生我们虽不能求出零点的精确值，但我们可以求出零点的近似解。
学生已经会求一次函数、二次函数以及简单的三次函数的零点，但是有一些三次函数或更高次的函数我们不会或不能求出它们的零点的精确值，这时我们就要寻求一种求零点近似值的方法。
方法形成
前三道题大家已经可以解出零点，但第四题用分解因式的方法我们不能求出相应的零点，不能求出零点的精确值，那么我们能不能用别的方法求出函数零点的近似值呢？
大家看过李咏主持的《幸运52》节目吗？ 下面请同学猜一部MP3的价格？
分小组讨论，怎样才能又快又准的猜出MP3的价格。
步骤：
先说出一个你认为合理的最高价格a0及最高价格b0，使得手机价格
说出的平均价格x0，
①若x0为MP3价格则结束；
②若x0高于MP3价格，算出a0与x0的平均价格为x1,令
③若x0高于MP3价格，算出b0与x0的平均价格为x1,令
(3) 说出的平均价格x1，
①若x1为MP3价格则结束；
②若x1高于MP3价格，算出a1与x1的平均价格为x2,令
③若x1高于MP3价格，算出b1与x1的平均价格为x2,令
┄┄
继续上述步骤，直到猜出手机价格为止。
上述动态过程，每次都将所给最高价格和最低价格一分为二，进行比较后得到新的最高价格、最低价格，再一分为二，如此下去，逐步逼近MP3的价格。这种思想就是二分法。
学生猜MP3的价格，然后让学生说出他们在猜MP3价格时的思路。引导学生，得出结论。
通过猜MP3的价格，让学生体会逐渐逼近的过程，并归纳出二分法。若学生没有直接取中点，可多叫几个学生，比较方法的优劣，逐渐向二分法靠拢。
方法深化
我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。大家看我们能不能用这种方法去求的正实数零点的近似解呢？（精确到0.1）
学生分小组讨论函数的正实数零点的近似解。
前面已深入讨论了二分法的实施步骤，学生可以模仿上面的步骤得到正实数零点的近似解。
总结方法
二分法及步骤：
继续实施上述步骤，直到区间,函数的零点总位于区间上，当按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点，计算终止。这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度。
分组讨论二分法的具体步骤，教师点评完善。
让学生自己归纳总结二分法步骤，可能有一定困难，在学生总结的基础上，进一步规范化。
练习巩固
教材P75练习B 1、2
学生练习。
进一步巩固所学知识
思考题：1 你能否把二分法步骤用表格的形式表示出来？
2 除了二分法，能否还有其他的方法求函数的零点。
学生练习。
给数学感兴趣的同学拓宽视野。
小结
课堂小结
二分法是一种求函数零点近似解的通法。
利用二分法来解函数零点近似解的操作步骤。
体现了极限及无限逼近的数学思想方法
注：二分法求零点，本教材所指为变号零点，变号零点的概念大家回去看书（P72）。
师生共同总结
总结回顾
作业
1 P75 A 7 B 1、2
2 阅读P72-74
课后练习
巩固课堂所学知识
求函数零点近似解的计算方法——二分法
温泉二中 刘红莲
教学目标
知识目标：了解函数变号零点与不变号零点的区别，会判断函数变号零点的存在性，掌握求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法
能力目标：体验求函数零点的近似解的常用方法——二分法的求解过程，提高数学知识的综合应用能力。
情感目标：让学生初步体会二分法是解决一类问题的一种算法，是一种通法可以通过程序化进行，进一步的是自己去寻找计算函数零点的另一种算法。
教学重点、难点
重点：学会用二分法求函数零点；
难点：二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解。
教学方法
本节课可以通过实例领会函数变号零点的求法——二分法，并会将二分法的过程与步骤作程式化总结，以便于应用计算机求解。
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
引入
央视节目《幸运52》中有一个猜商品价格的游戏，选手若猜中，则商品归自己所有，在规定的一分钟内谁都想尽量多猜中几件商品的价格。
师：假如你是这个游戏的参加者，你有什么方法能尽可能快的猜出所展示的商品的价格吗？
学生：思考、回答
一方面可以激发学生的学习兴趣；
另一方面可以从游戏中让学生明白二分法的原理
方法形成
接下来看这样的问题：有一段10千米的长的线路发生故障如何查出故障所在的位置。
请同学们想一想：我们通过怎样的方法才能在最短的时间内线路的故障所在呢？
学生互动，讨论交流；师生共同总结解决问题的简洁途径。
通过就具体问题的讨论得出二分法是解决问题的一种有效计算方法，
问题：二分法除了可以解决以上的实际问题，是否还可以解决我们数学中的什么问题？——求函数的零点的近似解问题
问题：二分法除了可以解决以上的实际问题，是否还可以解决我们数学中的什么问题？教师提出问题，学生思考
引出课题：求函数零点近似解的计算方法——二分法
方法深化
例1用二分法求函数的一个正零点（精确到）
解：⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；
⑵取的区间中点；
⑶计算；
⑷由于，则有零点的新区间为
⑸取的区间中点；
⑹计算；
⑺由于，则有零点的新区间为；
⑻取的区间中点；
⑼计算；
⑽由于，则有零点的新区间为；
⑾取的区间中点；
⑿计算；
⒀由于，则有零点的新区间为；
⒁取的区间中点
⒂计算；
⒃由于，则有零点的新区间为；
⒄取的区间中点；
⒅计算；
⒆由于，
⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24所以函数的一个正零点为：2.24
例2用二分法求函数的一个正零点（精确到）
教师：要注意判断函数是否可用二分法求零点。
类比上述方法师生共同完成此题的求解过程
注：用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽可能的小，以便减少运算量。
用二分法求函数零点的一般步骤讲解，通过师生共同对例1中二次函数零点的近似解求解过程及教参中的课件展示，使学生对这个求解的过程有一个直观的认识，进一步熟悉求解原理及步骤，再次体现二分法的思想
接下来由学生求解例2中三次函数零点的近似解，从而达到掌握用二分法求函数零点的方法。
自主探索
用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中。
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
。
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
。
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这是函数的近似零点满足给定的精确度。
师：引导学生归纳、总结用二分法求函数零点的一般步骤并仔细体会此步骤的实现过程，感悟其中的思想方法．
生：仔细体会二分法原理，并根据用二分法求函数零点的步骤解决一些实际问题
1.结合以上两个题目的求解过程由学总结出求解步骤
2.同时让学生理解二分法求函数零点的近似解的基本思想是：逐渐缩小有零点区间长度，知道满足精确度的要求。
即：向学生渗透隐含其中的逼近、近似的思想。
练习反馈
练习：用二分法求函数的一个负零点（精确到）
学生练习
知识的熟练与巩固
拓展应用
例如：函数能否用二分法求近似零点。
教师：所有函数是否都可用二分法求零点。
学生：尝试利用二分法求解
明确二分法应用的条件：
对函数的图像是连续不间断的一类变号零点有效。
通过上面题目的求解，我们可以看到用“二分法”求解函数在某个区间上的零点的近似之一般都很复杂，表现在进行大量的重复计算，运算量大，这种按部就班的求解问题的过程实质上是一种算法，这类题一般都要借助于计算机来完成。但它是一种通法
渗透一些算法的思想
课堂练习
教材第74-75页练习A1 B1
学生练习。
知识的熟练与掌握
归纳小结
课堂小结
（1）知识方面
了解了函数变号零点与不变号零点的区别，判断函数变号零点的存在性，求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法。
（2）数学思想方法
主要有特殊到一般的思维方法、逼近的思想、数形结合的思想、算法的思想。
学生总结，
师生补充完善。
帮助学生梳理一下本节课的知识点
布置作业
求函数的零点，并画出它的图像
学生练习。
知识的熟练与掌握
求函数零点近似解的计算方法——二分法
温泉二中 华玲
教学目标
知识目标：了解函数变号零点与不变号零点的区别，会判断函数变号零点的存在性，掌握求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法
能力目标：体验求函数零点的近似解的常用方法——二分法的求函数零点近似解的过程，初步体会属性结合逼近、近似、算法等重要数学思想方法，提高学习数学知识的综合应用能力。
情感目标：经历无限逼近的过程，感受整体与局部、精确与近似的对立统一辩证观，让学生初步体会二分法是解决一类问题的一种算法，是一种通法可以通过程序化进行，进一步的是自己去寻找计算函数零点的另一种算法。
教学重点、难点
重点是学会用二分法求函数近似零点；难点是理解用二分法求函数的零点的原理。
教学方法
本节课可以通过实例领会函数变号零点的求法——二分法，并会将二分法的过程与步骤作程式化总结，以便于应用计算机求解。
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
引入
在日常生活中，经常遇到电线、网线、或电话线等线路出现故障：
例如有一段10千米的长的电话线路发生故障如何查出故障所在的位置。
线段演示，学生思考、各抒己见
引出课题
方法形成
有一段10千米的长的线路发生故障如何查出故障所在的位置。
寻找解决问题的途径
学生互动，讨论交流；师生共同总结解决问题的简洁途径。介绍二分法
通过就具体问题的讨论得出二分法是解决问题的一种有效计算方法，
问题：我们由上节课知道并非所有函数都能像一次、二次函数可用公式法求出零点，
二分法除了可以解决以上的实际问题，是否还可以解决求函数的零点的近似解问题？
问题：
教师提出问题，学生思考
问题的具体化
方法深化
例1用二分法求函数的一个正零点（精确到）
解法说明:1应用函数零点的性质选取包含零点的初始区间[2,3]（满足f(2)×f(3)<0
2求区间[2,3]的中点及f()
3利用性质判断f(2)·f()<0，确定区间[2，]
以此类推……
4[2，][]，][，]
[，]……
可知2.24是该函数的一个零点近似值。
例2用二分法求函数的一个正零点（精确到）
教师：。
类比上述方法师生共同完成此题的求解过程
注：用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽可能的小，以便减少运算量。
通过上面题目的求解，我们可以看到用“二分法”求解函数在某个区间上的零点的近似值一般都很复杂，表现在进行大量的重复计算，运算量大，这种按部就班的求解问题的过程实质上是一种算法，这类题一般都要借助于计算机来完成。但它是一种通法
再次体现二分法的思想
渗透一些算法的思想
自主探索
用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中。
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
。
计算和，并判断：
（1）如果，则就是的零点，计算终止；
（2）如果，则零点位于区间中，令；
（3）如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
。
计算和，并判断：
（1）如果，则就是的零点，计算终止；
（2）如果，则零点位于区间中，令；
（3）如果，则零点位于区间中，令
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这是函数的近似零点满足给定的精确度。
学生归纳、总结。
用二分法求函数零点的一般步骤
注意中点计算方法
让学生将知识点归纳总结出来，熟悉二分法的解题步骤
练习反馈
练习：
用二分法求函数f(x)=2x-5的零点
用二分法求函数的一个正零点（精确到0.1）
学生练习
让学生进一步体会二分法原理
拓展应用
1例如：函数能否用二分法求近似零点。
2能否用三分法研究问题？
教师：所有函数是否都可用二分法求零点。
学生尝试利用二分法求解
注意判断函数是否可用二分法求零点
明确二分法应用的条件：
对函数的图像是连续不间断的一类变号零点有效。
课堂练习
教材第74-75页练习A1 B1
学生练习。
归纳小结
课堂小结
（1）知识方面
了解了函数变号零点与不变号零点的区别，判断函数变号零点的存在性，求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法。
（2）数学思想方法
主要有特殊到一般的思维方法、逼近的思想、数形结合的思想、算法的思想。
学生总结，
师生补充完善。
布置作业
求函数的零点，并画出它的图像
学生练习。
求函数零点近似解的一种计算方法---二分法
六十七中学 张映晖
教学目标
1、知识目标：理解用二分法求函数零点的原理,学会用二分法求函数的零点.
2、能力目标：让学生能够初步了解逼近思想，极限思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
3、情感目标：通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。
二、教学重点、难点
重点是能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
难点是理解用二分法求函数零点的原理
三、教学方法
启发式教学:游戏导入推出课题实践探究总结提炼学生感悟
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
情境设置
看过李咏主持的《幸运52》节目吗？下面我们进行商品竟猜。大家猜一款手机的价格。
学生开始竟猜
通过情境的设置激发学生学习的热情，让学生体会到数学来源于生活。并让学生初步理解二分法的原理.
方法形成
分析学生竟猜成功的方法。
引出课题
我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处.
解方程 (1)2x+6=0 (2)
(3)
(1)、（2）题同学们很快正确地解出，那么第（3）题呢？我们感觉很困难。那么我们能否利用二分法来求它的近似解呢？
求方程的一个近似解？（精确到0.1）
生： 如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。
我们可以通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。取区间(0,1)的中点0.5,用计算器算得,因为,所以零点在区间(0,0.5)内。再取区间(0,0.5)的中点0.25,用计算器算得,因为,所以零点在区间(0.25,0.5)内。由于(0,1) (0,0.5) (0.25,0.5),所以零点所在的范围越来越小。重复上述步骤，得到 |0.375-0.3125|=0.06250.1,所以方程的近似解为
4．（多媒体展示出用二分法求函数零点的一般步骤）
┄
继续实施上述步骤，直到区间,函数的零点总位于区间上，当按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点，计算终止。这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度。
由学生分析，教师纠正补充。
教师展示多媒体课件——区间逼近法
分小组讨论求近似解。
由小组长阐述解决问题的方法。并由同学来判断其正误。由正确的学生来总结用二分法求方程近似解的方法。由教师评价补充完善。
竟猜成功的方法很多,教师要对各种方法进行类比,最后统一到二分法上.
培养学生分析问题、归纳总结的能力。
学生很容易地解出方程(1)、（2），对于（3）的解答就非常困难，以前的方法很难解出这道题，有些学生就会联想到二分法，通过步步逼近的方法，逐步找到近似解。
培养学生探索、解决问题的能力。发挥学生学习的主动性。
从求方程的近似解到总结出用二分法求函数零点的步骤，再利用这个方法解决问题，从而让学生体会从特殊到一般，再到特殊的研究问题的方法。
巩固练习
练习：教材P75练习B---1，2。
学生练习。
巩固已学知识
归纳小结
课堂小结
知识方面
（1）二分法是一种求一元方程近似解的通法。
（2）利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。
数学思想方法
区间逼近和极限的方法
研究方法
特殊----一般-----特殊
学生总结，
师生补充完善。
培养学
归纳总结的习惯
布置作业
教材P75习题2----4---A---7;习题2---4---B---1,2.
把二分法求函数零点的步骤利用图表表示出来；
阅读教材P72第二段和P74最后一段。
对于学有余力的同学，你是否还能找到另一种计算函数零点的算法吗？（可查阅材料或借助计算机）。
学生练习。
习题A的作业是巩固所学知识；习题B的作业利用二分法原理解决问题。作业3是让学生了解数学史和算法的了解，为算法的学习打下伏笔。作业4是针对学有余力的同学，培养他们自主学习的能力。
说明：本教案是在把“变号零点”放在2.4.1节讲授的前提下设计的。


编写人员名单：张晓东 毛春桃 洪彬 赵炎 张映辉 杨琳 贾康康 华玲 杨冬香 刘红莲
2.4.1函数的零点
（一）学习目标：
理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；
体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的尊和应用能力；
让学生初步议会事物间相互转化的辨证关系.
（二）重点难点：
重点是函数零点的概念及求法，难点是利用函数的零点作图.
（三）教学内容安排:
1.复习引入：
一元二次方程有实根的判定方法
2概念形成：
引例：已知=，当何值时（），？
函数的零点：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
与上例中叫函数的零点.
函数的零点的几何意义：在坐标系中，点为函数图像与轴的交点.
3 感念深化：
让学生回答，如何求函数的零点？函数的零点与图像有何关系？
4 练习：
①求的零点，并画出其图象 ，指出
是，的取值范围.
②写出二次函数零点的个数与二次方程根的判别式的关系．
5引导学生给出二次函数零点的性质：
　　　⑴ 当函数的图像通过零点（穿过轴）时，函数值变号.
　　　
⑵　两个零点（把轴分成三个区间：，在　　　　　每个区间上函数值保持同号．如上例
应用举例：
例　求的零点，并画出图象．
解：因为＝＝
　＝＝，
　所以函数的零点是．
描点画图：（略）
　巩固练习
课堂练习Ａ，Ｂ
归纳小结：
⑴函数零点的概念：，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
⑵函数零点的意义：利用函数的零点画图，讨论函数的性质．
　　作业：
（四）教学资源建议
教师教学用书；
北京市高中新课程数学教学指导意见和模块学习要求：
北京市教育资源网
（五）教学方法与学习指导策略建议
本教学内容是开始介绍函数的一些基本应用，是前两节内容的继续．因为用方程的根讨论函数图像的性质，涉及到一种重要的数学思想，即函数与方程的思想．所以，本节教学要特别注意思想方法的教学．同时建议可采用启发引导的方法建立概念，理解好函数的零点的意义，掌握函数的零点初步的应用．
第七组：吕晓琳 张燕菱 邹斌 王国栋 佟昀 司九伟 胡军 唐平 刘宗平 王春芳
题课题
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法
——二分法
第 1 课时
教教
学
目
标
知识与技能
理解用二分法求方程近似解的原理；
能够借助计算器用二分法求方程的近似解
过程与方法
体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；
在学习过程中，让学生感受近似、逼近的思想方法；
培养学生利用信息技术和计算工具的能力。
情感态度
价值观
培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力；
让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦
教学重点
能够借助计算器用二分法求方程的近似解
教学难点
方程近似解所在初始区间的确定
教学方法
启发式教学
教学手段
多媒体辅助教学
板 书 设 计
作
业
课
后
记
教 学 过 程
教学过程：
一、游戏引入
同学们，现在是幸运52现场直播，下面进行一个猜数字游戏：给定1～100这100个自然数，计算机随机出一个1～100之间的整数，通过操作键盘让同学们去猜这个数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”。
讨论
任给一个1～100的整数，我都可以在7次以内猜出，你们能做到吗？
为什么采用正确的方法，7次以内一定可以猜中？
（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，依次类推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中。）
上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字。这种思想就是二分法。
设计意图：
通过做游戏，来提高学生的学习兴趣，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想。
感受领悟
在刚才的游戏中，我们体会到了二分法的用处，你还能列举一些二分法在实际生活中的应用吗？
如：翻字典查英语单词(类似二分法)；输电线路的故障检测（如：一条电缆上有15个接点，现某一接点发生故障，如何可以尽快找到故障接点？）
我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。
因为对于一些函数，我们要用因式分解的方法来求它的精确值，比较困难，所以我们采用二分法来求其近似值，先把二分法的思想介绍给大家
二分法就其求函数零点近似值的一种方法，比如说函f（X）
看判断端点处的函数值是否异号，若异号，则f（a）。f（b）一定存在零点，现在把a,b一分为二，那么零点是在左边呢？
还在右边呢？我们得判断，能怎么判断
中点处的函数值若f（M）恰好为0，那么零点一定是M，现在如果f（M）不为0则必然可能正，或者负的f（a）相反，那么
零点在哪？（左边）现在把区间一分为二，NM
现在我们把零点所在的区间缩小到3这个区间内，依此类推我们可以把零点所在的区间一直缩小，一直缩小，缩小到什么程度？两端点的近似值恰好相等，那么此时，零点这个近似值就应该是的近似零点，计算结束了。
二分法体现了一种逼近的思想，把零点所在区间逼近缩小，缩小，再缩小让它逐渐的逼近为零点，从而求得其零点的近似值。
P80 2、求函数，的一个正零点的近似值（0，1）
正零点为3
例2、
①判断方程在区间（0，1）内是否有解？若有，有几解？
（利用两个端点的函数值异号得到在（0，1）内至少有一解；解的个数就是函数与图象交点的个数，作出两者图象，知只有一解。）
②这个实数解大概是多少？你能利用二分法来解决这个问题吗？
让学生展示自己的解决策略。（师生共同得出前三次，下面请学生再操作5步，2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程）
借助几何画板来显示这个实数解的范围逐步缩小的过程。
记，设方程的实数解为，∈(0,1)
第一次：∈(0,0.5)
第二次：∈(0.25,0.5)
第三次：∈(0.25,0.375)
第四次：∈(0.3125,0.375)
第五次：∈(0.3125,0.34375)
第六次：∈(0.3125,0.328125)
第七次：∈(0.3203125,0.328125)
第八次：
∈(0.3203125 ,0.32421875)
讨论
若精确到0.1，算几次就可以了？
若精确到0.01呢？
（第5次，两个端点精确到0.1的近似值都为0.3，故0.3；
第8次，两个端点精确到0.01的近似值都为0.32，故0.32；）
作业：课后练习A 第二题
课题：§2.1.1指数
教学目的：（1）掌握根式的概念；
（2）规定分数指数幂的意义；
（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；
（5）了解无理数指数幂的意义
教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质
教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．
教学过程：
引入课题
以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性
由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；
复习初中整数指数幂的运算性质；
初中根式的概念；
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；
新课教学
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中>1，且∈*．
当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．
式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）．
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）．
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作．
思考：（课本P58探究问题）=一定成立吗？．（学生活动）
结论：当是奇数时，
当是偶数时，
例1．（教材P58例1）．
解：（略）
巩固练习：（教材P58例1）
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．有理指数幂的运算性质
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
引导学生解决本课开头实例问题
例2．（教材P60例2、例3、例4、例5）
说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．
巩固练习：（教材P63练习1-3）
无理指数幂
结合教材P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．
指出：一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
思考：（教材P63练习4）
巩固练习思考：：（教材P62思考题）
例3．（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
解：（略）
点评：本题还可以进一步推广，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．
归纳小结，强化思想
本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．
作业布置
必做题：教材P69习题2．1（A组） 第1－4题．
选做题：教材P70习题2．1（B组） 第2题．
课题：§2.1.2指数函数及其性质
教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
引入课题
（备选引例）
（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
 到2050年我国的人口将达到多少？
 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
上面的几个函数有什么共同特征？
新课教学
（一）指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数（exponential fun_ction），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意： 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）
（二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？
3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征
函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；（4）当时，若，则；
（三）典型例题
例1．（教材P66例6）．
解：（略）
问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例2．（教材P66例7）
解：（略）
问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？
说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．
巩固练习：（教材P69习题A组第7题）
归纳小结，强化思想
本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．
作业布置
必做题：教材P69习题2．1（A组） 第5、6、8、12题．
选做题：教材P70习题2．1（B组） 第1题．
课题：§2.2.1对数
教学目的：（1）理解对数的概念；
（2）能够说明对数与指数的关系；
（3）掌握对数式与指数式的相互转化．
教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化
教学难点：对数概念的理解．
教学过程：
引入课题
（对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；
设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神．
尝试解决本小节开始提出的问题．
新课教学
1．对数的概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作：
— 底数，— 真数，— 对数式
说明： 注意底数的限制，且；
 ；
 注意对数的书写格式．
思考： 为什么对数的定义中要求底数，且；
 是否是所有的实数都有对数呢？
设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．
两个重要对数：
 常用对数（common logarithm）：以10为底的对数；
 自然对数（natural logarithm）：以无理数为底的对数的对数．
对数式与指数式的互化

对数式 指数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
例1．（教材P73例1）
巩固练习：（教材P74练习1、2）
设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．
说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．
对数的性质
（学生活动）
 阅读教材P73例2，指出其中求的依据；
 独立思考完成教材P74练习3、4，指出其中蕴含的结论
对数的性质
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零：；
（3）底数的对数是1：；
（4）对数恒等式：；
（5）．
归纳小结，强化思想
 引入对数的必要性；
 指数与对数的关系；
 对数的基本性质．
作业布置
教材P86习题2．2（A组） 第1、2题，（B组） 第1题．
课题：§2.2.1对数的运算性质
教学目的：（1）理解对数的运算性质；
（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；
（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．
教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数
教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．
教学过程：
引入课题
对数的定义：；
对数恒等式：；
新课教学
1．对数的运算性质
提出问题：
根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：
 设，，求；
 设，，试利用、表示·．
（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）
运算性质：
　　如果，且，，，那么：
 ·＋；
 －；
 ．
（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）
学生活动：
 阅读教材Ｐ75例3、4，；
设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．
 完成教材Ｐ79练习1~3
设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．
利用科学计算器求常用对数和自然对数的值
设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法．
思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解的值？从而引入换底公式．
换底公式
（，且；，且；）．
学生活动
 根据对数的定义推导对数的换底公式．
设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．
 思考完成教材P76问题（即本小节开始提出的问题）；
 利用换底公式推导下面的结论
（1）；
（2）．
设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．
说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．
课堂练习
 教材Ｐ79练习4
 已知
 试求：的值。（对换5与2，再试一试）

 设,，试用、表示
归纳小结，强化思想
本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法．
作业布置
基础题：教材P86习题2．2（A组） 第3 ~5、11题；
提高题：
 设,，试用、表示；
 设,，试用、表示；
 设、、为正数，且，求证：．
课外思考题：
设正整数、、（≤≤）和实数、、、满足：
，，
求、、的值．
课题：§2.1.2对数函数（一）
教学任务：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．
教学重点：掌握对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
教学过程：
引入课题
1．（知识方法准备）
 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
设计意图：结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．
 对数的定义及其对底数的限制．
设计意图：为讲解对数函数时对底数的限制做准备．
2．（引例）
教材P81引例
处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：
碳14的含量P
0.5
0.3
0.1
0.01
0.001
生物死亡年数t
然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” ．（进而引入对数函数的概念）
新课教学
（一）对数函数的概念
1．定义：函数，且叫做对数函数（logarithmic fun_ction）
其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
 对数函数对底数的限制：，且．
巩固练习：（教材P68例2、3）
（二）对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）
（1）
（2）
（3）
（4）
 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：
图象特征
函数性质
函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象纵坐标都小于0
 思考底数是如何影响函数的．（学生独立思考，师生共同总结）
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
（三）典型例题
例1．（教材P83例7）．
解：（略）
说明：本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对对数函数的理解．
巩固练习：（教材P85练习2）．
例2．（教材P83例8）
解：（略）
说明：本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法，熟悉对数函数的性质，渗透应用函数的观点解决问题的思想方法．
注意：本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法，规范解题格式．
巩固练习：（教材P85练习3）．
例2．（教材P83例9）
解：（略）
说明：本例主要考察学生对实际问题题意的理解，把具体的实际问题化归为数学问题．
注意：本例在教学中，还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象．
巩固练习：（教材P86习题2．2 A组第6题）．
归纳小结，强化思想
本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点．
作业布置
必做题：教材P86习题2．2（A组） 第7、8、9、12题．
选做题：教材P86习题2．2（B组） 第5题．
课题：§2.2.2对数函数（三）
教学目标：
知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．
过程与方法 通过作图，体会两种函数的单调性的异同．
情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．
教学重点：
重点 难两种函数的内在联系，反函数的概念．
难点 反函数的概念．
教学程序与环节设计：

教学过程与操作设计：
环节
呈现教学材料
师生互动设计
创
设
情
境
材料一：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（3）这两个函数有什么特殊的关系？
（4）用映射的观点来解释P和t之间的对应关系是何种对应关系？
（5）由此你能获得怎样的启示？
生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的结果．
师：引导学生分析归纳，总结概括得出结论：
（1）P和t之间的对应关系是一一对应；
（2）P关于t是指数函数；
t关于P是对数函数，它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；
（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．
材料二：
由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对应值表，如下：
表一 ．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
表二 ．
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
在同一坐标系中，用描点法画出图象．
生：仿照材料一分析：与的关系．
师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．
组织探究
材料一：反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
材料二：以与为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？
师：说明：
（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；
（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；
（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型．
师：引导学生探索研究材料二．
生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．
尝试练习
求下列函数的反函数：
（1）； （2）
生：独立完成．
巩固反思
从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．
作业反馈
求下列函数的反函数：
1
2
3
4
3
5
7
9
环节
呈现教学材料
师生互动设计
1
2
3
4
3
5
7
9
2．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？
（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？
答案：
1．互换、的数值．
2．略．
课外活动
我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！
问题1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？
问题2 取图象上的几个点，说出它们关于直线的对称点的坐标，并判断它们是否在的图象上，为什么？
问题3 如果P0（x0，y0）在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数的图象上吗，为什么？
问题4 由上述探究过程可以得到什么结论？
问题5 上述结论对于指数函数
，且及其反函数，且也成立吗？为什么？
结论：
互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
课题：§2.2.2对数函数（二）
教学任务：（1）进一步理解对数函数的图象和性质；
（2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；
（3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点：对数函数的图象和性质．
教学难点：对对数函数的性质的综合运用．
教学过程：
回顾与总结
函数的图象如图所示，回答下列问题．
（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？
（2）函数与
且有什么关系？图象之间 又有什么特殊的关系？
（3）以的图象为基础，在同一坐标系中画出的图象．
（4）已知函数的图象，则底数之间的关系：
．
教
完成下表（对数函数且的图象和性质）
图
象
定义域
值域
性
质
根据对数函数的图象和性质填空．
 已知函数，则当时， ；当时， ；当时， ；当时， ．
 已知函数，则当时， ；当时， ；当时， ；当时， ；当时， ．
应用举例
比较大小： ，且；
 ，．
解：（略）
例2．已知恒为正数，求的取值范围．
解：（略）
[总结点评]：（由学生独立思考，师生共同归纳概括）．

．
例3．求函数的定义域及值域．
解：（略）
注意：函数值域的求法．
例4．（1）函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；
（2）求函数的最小值．
解：（略）
注意：利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法．
例5．（2003年上海高考题）已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．
解：（略）
注意：判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤．
例6．求函数的单调区间．
解：（略）
注意：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”．
练习：求函数的单调区间．
作业布置
考试卷一套
课题：§2.3幂函数
教学目标：
知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．
过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．
教学重点：
重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．
难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．
教学程序与环节设计：

教学过程与操作设计：
环节
教学内容设计
师生双边互动
创
设
情
境
阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：
1．它们的对应法则分别是什么？
2．以上问题中的函数有什么共同特征？
（答案）
1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．
2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数．
生：独立思考完成引例．
师：引导学生分析归纳概括得出结论．
师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．
组
织
探
究
材料一：幂函数定义及其图象．
一般地，形如
的函数称为幂函数，其中为常数．
下面我们举例学习这类函数的一些性质．
作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
[解]  列表（略）
 图象
师：说明：
幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．
生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．
师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．
师生共同分析，强调画图象易犯的错误．
环节
教学内容设计
师生双边互动
组
织
探
究
材料二：幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．
生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．
材料三：观察与思考
观察图象，总结填写下表：
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
材料五：例题
[例1]
（教材P92例题）
[例2]
比较下列两个代数值的大小：
（1），
（2），
[例3] 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．
师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．
并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．
生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
尝
试
练
习
1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．
3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．
4．用图象法解方程：
（1）； （2）．
探
究
与
发
现
1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为： ．
2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？
（1）和；
（2）和．
规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．
作业回馈
1．在函数中，幂函数的个数为：
A．0 B．1 C．2 D．3
环节
呈现教学材料
师生互动设计
2．已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式．
3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．
（1）写出函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．
4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：
（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；
（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．
课
外
活
动
利用图形计算器探索一般幂函数的图象随的变化规律．
收
获
与
体
会
1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？
2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？
3.2 函数模型及其应用
几类不同增长的函数模型
一、教学目标
使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识。
通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义。
体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。
二、教学重点与难点
重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学手段：
运用计算机、实物投影仪等多媒体技术。
四、教材分析：
背景

（1） 圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2πR (一次函数)
（2）圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=πR2 (二次函数)
（3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两个分裂成4个……，一个这样的细
胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x (指数 型函数) 。
2、例题
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
投资方案选择原则：
投入资金相同，回报量多者为优
比较三种方案每天回报量
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
x/天
方案一
方案二
方案三
y/元
增长量/元
y/元
增长量/元
y/元
增长量/元
1
40
0
10
?
0.4
?
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
9
40
0
90
10
102.4
51.2
…
…
…
…
…
…
…
30
40
0
300
10
214748364.8
107374182.4
根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x天所得回报为y元，则
方案一：每天回报40元；
y=40 (x∈N*)
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x∈N*)
方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。
Y=0.4×2x-1(x)

从每天的回报量来看：
第1~4天，方案一最多：
每5~8天，方案二最多：
第9天以后，方案三最多；
有人认为投资
1~4天选择方案一；
5~8天选择方案二；
9天以后选择方案三。
累积回报表
天数
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
816.8
结论
投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
3．例题的启示：
解决实际问题的步骤：
（1）实际问题
（2）读懂问题抽象概括
（3）数学问题
（4）演算推理
（5）数学问题的解
（6）还原说明
（7）实际问题的解
4．练习
某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
5．小结
（1）解决实际问题的步骤：
实际问题 读懂问题 将问题抽象化 数学模型 解决问题

（2）几种常见函数的增长情况：
常数函数
一次函数
指数函数
没有增长
直线上升
指数爆炸
6．作业:
课本116页练习题集1、2题
几种不同增长的函数模型（两课时）
一、教学目的
利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；
运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；
以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。
二、教学重点、难点
重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学过程
第一课时
1、复习引入
师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？
生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……
师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。
2、新课
（用幻灯片展示例题）
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
每天回报40元；
第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）
教师提示：
1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。
2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？
教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。
设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。
利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的不同变化趋势，描述三个方案的特点，为方案的选择提供依据。
通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的。综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。
由上面的分析可见：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8～10天，应选择第二种方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。
设问：若有人给你这么一个建议：投资前8天用第一种方案，第9天到第10天用第二种方案，投资第11天开始用第三种方案。你觉得这建议如何？
3）、（幻灯片展示例题2）
设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？
教师引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的选择影响，使学生明确问题的实质就是要比较三个函数的增长情况。
让学生分组讨论：对每一个奖励模型的奖金总额是否超过5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，由各小组代表陈述讨论结果。
教师根据学生讨论的结果作出总结，并利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解题过程。
3、小结：
一般地，对指数函数、幂函数和对数函数，在（0，+∞）上，尽管指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xa(a>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，指数函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y=xa(a>0)，而对数函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax第二课时
1、复习引入
通过上节课的学习，我们已经知道，应用数学函数模型能为我们解决实际问题提供很大的帮助，。我们不仅要应用好数学模型，我们更应该在面对实际问题时，能通过自己建立函数模型来解决问题。
2、新课
1、（用幻灯片展示例题3）
教师引导学生读图，弄懂题意，由学生写出解题过程。
课堂练习：P128第1、3题。
小结：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，提高读图能力非常重要。分段函数也是刻画现实问题的一个重要的函数模型。
2、（展示例题4）
教师引导学生根据收集到的数据，作出散点图，通过观察图象判定问题所适合的函数模型，利用计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程。
课堂练习：P123第1题。
教师小结指出：用已知的函数模型来刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知函数模型的条件会有所不同，所以，必须对模型进行修正。
3、（用幻灯片展示例题5）
让学生集体讨论，寻求相应的函数模型，并作出解答。
教师小结：所收集到的数据中，规律性很明显的问题，可直接找出与之对应的函数模型进行解答。
4、（用幻灯片展示例题6）
观察散点图，教师引导学生分析，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，可考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这一地区未成年男性体重y与身高x的函数关系。
课堂练习：P133 B组第3题。
小结：应用函数模型解决实际问题的基本过程：
确定函数模型；
利用数据表格，函数图象讨论模型；
体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。
作业：P127第4、5题
函数模型及其应用
一、教学目的
利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；
运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；
以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。
二、教学重点、难点
重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学过程
第一课时 几类不同增长的函数模型
1、复习引入
师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？
生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……
师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。
2、新课
（用幻灯片展示例题）
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
每天回报40元；
第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）
教师提示：
1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。
2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？
教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。
设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。
利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的不同变化趋势，描述三个方案的特点，为方案的选择提供依据。
通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的。综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。
由上面的分析可见：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8～10天，应选择第二种方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。
设问：若有人给你这么一个建议：投资前8天用第一种方案，第9天到第10天用第二种方案，投资第11天开始用第三种方案。你觉得这建议如何？
3）、（幻灯片展示例题2）
设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？
教师引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的选择影响，使学生明确问题的实质就是要比较三个函数的增长情况。
让学生分组讨论：对每一个奖励模型的奖金总额是否超过5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，由各小组代表陈述讨论结果。
教师根据学生讨论的结果作出总结，并利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解题过程。
3、小结：
一般地，在区间（0，+∞）上，尽管函数y=ax(a>1)，y=logax (a>1)和y=xa (a>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y=ax (a>1)的增长速度会越来越快，会远远大于y=xa (a>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax第二课时 函数模型的应用实例
1、复习引入
通过上节课的学习，我们已经知道，应用数学函数模型能为我们解决实际问题提供很大的帮助，。我们不仅要应用好数学模型，我们更应该在面对实际问题时，能通过自己建立函数模型来解决问题。
2、新课
1）、（用幻灯片展示例题3）
教师引导学生读图，弄懂题意，由学生写出解题过程。
课堂练习：P128第1、3题。
小结：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，提高读图能力非常重要。分段函数也是刻画现实问题的一个重要的函数模型。
2）、（用幻灯片展示例题4 课本P121）
教师引导学生根据收集到的数据，作出散点图，通过观察图象判定问题所适合的函数模型，利用计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程。
课堂练习：P123第1题。
教师小结：用已知的函数模型来刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知函数模型的条件会有所不同，所以，必须对模型进行修正。
3）、（用幻灯片展示例题5课本P123）
让学生集体讨论，寻求相应的函数模型，并作出解答。
教师小结：所收集到的数据中，规律性很明显的问题，可直接找出与之对应的函数模型进行解答。
4）、（用幻灯片展示例题6 课本P124）
观察散点图，教师引导学生分析，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，可考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这一地区未成年男性体重y与身高x的函数关系。
课堂练习：
P133 B组第3题。
小结：
应用函数模型解决实际问题的基本过程：
确定函数模型；
利用数据表格，函数图象讨论模型；
体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。
课件28张PPT。云阳中学高一备课组1.1.1集合的含义
与表示1. 正整数1, 2, 3, ?? ;
2. 中国古典四大名著;
3. 高10班的全体学生;
4. 我校篮球队的全体队员;
5. 到线段两端距离相等的点.知识点集 合 一般地，指定的某些对象的全体
称为集合，简称“集”.1.集合的概念: 集合中每个对象叫做这个集合的
元素.练习1.下列指定的对象，能构成一个集合
的是
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④?的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体( B )A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦ D. ②③⑤⑥⑦⑧练习1.下列指定的对象，能构成一个集合
的是
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点
④?的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体( B )A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦ D. ②③⑤⑥⑦⑧ 集合常用大写字母表示，元素常用小
写字母表示.2.集合的表示: 集合常用大写字母表示，元素常用小
写字母表示.2.集合的表示: 如果a是集合A的元素，就说a属于集
合A，记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a?A.3.集合与元素的关系:例如：A表示方程x2＝1的解.
2?A，1∈A.⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的.
如: x∈A与x?A必居其一.
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同
的. 如:方程 x2－?x＋?＝0的解集为{1}
而非{1，1}.
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的.
如:{1，2}，{2，1}为同一集合.4.集合元素的性质:⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的.
如: x∈A与x?A必居其一.
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同
的. 如:方程 x2－?x＋?＝0的解集为{1}
而非{1，1}.
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的.
如:{1，2}，{2，1}为同一集合.那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?4.集合元素的性质:5.集合的表示方法:描述法、列举法、图表法 5.集合的表示方法:问题1：用集合表示
①x2－3＝0的解集;
②所有大于0小于10的奇数;
③不等式2x－1＞3的解.描述法、列举法、图表法 6.集合的分类:有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？显然这个集合没有元素.我们把这样的
集合叫做空集，记作?.6.集合的分类:有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？练习2：⑴ 0 ? (填∈或?)
⑵ { 0 } ? (填＝或≠) 显然这个集合没有元素.我们把这样的
集合叫做空集，记作?.6.集合的分类:有限集、无限集 问题2：我们看这样一个集合：
{ x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？练习2：⑴ 0 ? (填∈或?)
⑵ { 0 } ? (填＝或≠) ?≠7.重要的数集:N：自然数集(含0)
N+：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.例题例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，例题例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，∴ x≠1且x≠－1且x≠0.例题例2设x∈R，y∈R，观察下面四个集合
A＝{ y＝x2－1 }
B＝{ x | y＝x2－1 }
C＝{ y | y＝x2－1 }
D＝{ (x, y) | y＝x2－1 }
它们表示含义相同吗?例3若方程x2－5x＋6＝0
　 和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.4( C )例3若方程x2－5x＋6＝0
　 和方程x2－x－2＝0的解为元素的集为
M，则M中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.4( C )例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一个元素，求a的值与这个元素.例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一个元素，求a的值与这个元素.解：当a＝0时，x＝－1.例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一个元素，求a的值与这个元素.解：当a＝0时，x＝－1.当a≠0时，?＝16－4×4a＝0.a＝1. 此时x＝－2.例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R}
只有一个元素，求a的值与这个元素.解：当a＝0时，x＝－1.当a≠0时，?＝16－4×4a＝0.a＝1. 此时x＝－2.∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1. 课堂练习1.教科书5面练习第1、2题2.教科书11面习题1.1第1、2题1.集合的定义
2.集合元素的性质
3.集合与元素的关系
4.集合的表示
5.集合的分类课堂小结课后作业教科书12面习题1.1第3、4题

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