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专题1-7 平行线的基本模型-牛角模型与羊角模型
模块1：模型简介
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
基本解法与思路：见拐点作平行线；和差拆分与等角转化。
模块2：核心模型点与典例
模型1：牛角模型
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。
例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点E作，则，由平行线的性质得到，进一步推出．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为
【答案】180°
【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．
【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：
，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，
，；故答案为180°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键
例3．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则 度．

【答案】85
【分析】延长，交于点F，由三角形外角的性质可求出，再结合平行线的性质即可得出．
【详解】解：如图，延长，交于点F，

∵，，∴．
∵，∴．故答案为：85．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质．正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．
例4．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
【答案】∠P＝360°﹣2a
【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P．
【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．
例5．（2023下·重庆九龙坡·七年级校考期中）如图，，，，，则为(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过E作，过H作，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：过E作，过H作，∵，∴，

∵，∴，，
∴，
同理∵，∴，，
∴，
∵，，∴，
∴
．故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质和平行公理的推论，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答．
例6．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，，，，求的值．
【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)
【分析】（1）过点作，易得，由平行线的性质可得，，即可求出；（2）过点作，易得，根据平行线的性质可得；
（3）过点作，过点作，易得，，根据平行线的性质可得，，再由已知等量代换，即可求得的值．
【详解】（1）解：如图1所示，过点作，，
，，，，．
，，；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作，，，，，
，；
（3）解：如图3，过点作，过点作，
，，，
，
，
，，，
，，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
例7．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　 　．
【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3）
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.
【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，
（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F=∠E，即.
点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.
模型2：羊角模型
图1图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
图1 图2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.
例1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．
【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．
【详解】解：设AE、CD交于点F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．
【详解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），
又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．
例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
【答案】见解析
【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．
【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图
∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线），
∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），
∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．
例4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，，，，，点是上一点． （1）的度数为 ；（2）若．则与 （填“平行”或“不平行”）．
【答案】 /度 平行
【分析】（1）根据平分线的判定可得，根据平行线的性质可得的度数；
（2）根据对顶角相等可得的度数，根据平分线的判定可得．
【详解】解：（1）∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴；故答案为：．
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案为：平行．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
例5．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出的度数，进而得出的度数，利用角平分线的定义和三角形外角性质解答即可．
【详解】解：如图，与交于点，与交于点，

，，
，，，
，，，，
是的角平分线，，
．故选：．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的定义，解答本题的关键是根据两直线平行，内错角相等求角度．
例6．（2023下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．

(1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系；
①______，②______，③______，④______．
(2)请写出图③证明过程．
【答案】(1)；；；
(2)见解析
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，两直线平行解答；
（2）过点作的平行线，由平行线的性质和三角形外角的性质证明．
【详解】（1）解：①；②；
③；④；
（2）①如图①，过点作，则，，，
，．

②如图②，过点作，则，，，
，．
③如图③，过点作，则，，，
，．

④如图④，过点作，则，，，
，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是过拐点准确作出的平行线．
例7．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知，，点E为射线上一点．

(1)如图1，若，，则______°；
(2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
(3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数．
【答案】(1)(2)，证明见解析(3)
【分析】（1）延长交于点H，根据是的外角求解；
（2）根据，可得，再根据是的外角可得；，即；
（3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出x的值再通过三角形内角和求．
【详解】（1）解：延长交于点H，

，，
是的外角，故答案为：；
（2）结论：．证明：，，
是的外角，，．
（3）解：：，设，则，
，，
又，，，
平分，，
，，即，解得，
，．
【点睛】本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，外角性质的综合应用，解题关键是熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·重庆渝中·统考二模）如图所示，直线，，则（ ）

A．58° B．59° C．60° D．61°
【答案】B
【分析】根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出．
【详解】∵，
直线，．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键．
2．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作，如图2，则，根据平行线的性质求出，再根据角的和差求解即可．
【详解】解：作，如图2，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴；故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的实际应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，，，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点F作，延长交于点G，由得到，则，由，得到，则，，得到，又由得到，即可得到答案．
【详解】解：过点F作，延长交于点G，

∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，，
∴，
∵，∴，∴．故选：B
【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：， ，
，，，即，故选：A．

【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义和三角形的外角性质可得，推得，即可求解．
【详解】解：如图：

∵，∴，
又∵，，
∴，整理得：，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
6．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得，由外角的性质得是解决问题的关键．
【详解】解：延长交于．

，；，；
，；等于180度的是．故选：D．
7．（2023·重庆渝中·校考一模）如图，已知，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与交于点，根据平行线的性质可得，根据即可求得答案．
【详解】如图所示，设与交于点．

∵，∴．∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，牢记平行线的性质（两直线平行，内错角相等）和三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）是解题的关键．
8．（2023·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用等量代换即可解答．
【详解】解：如图：

∵，∴，∵，∴，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，，，，，则下列说法错误的是（ ）

A． B．平分 C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，，推得，结合题意即可推得，根据角平分线的判定可得平分；根据垂直的性质可得，结合题意即可求得；根据三角形外角的性质可得，，即可推得．
【详解】解：过点作，与交于点，如图：

∵，，∴，
∵，∴，，∵，∴，
又∵，∴，
∴，
∵，∴， 即平分；故选项B说法正确；
∵，∴，∴，
又∵，∴；故选项C说法正确；
∵，，
∴， 即；故选项D的说法正确；故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
10．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为上的点，，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确的序号是（ ）．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质、邻补角的定义可得，，，，再根据角的和差可得，再根据平行线的性质和三角形的内角和定理可判定①；如图：过E作，先说明判定②解答；由已知得，，则，即，由②有，即，可得，即可判定③．
【详解】解：∵与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，
∴，，,
∴，
∵，∴，
∴,即①正确；
如图：过E作，∴，
∵，∴，∴，
∴，即，
∴，故②正确；

∵，，∴，即，
∵，∴，
即，∴解得：，即③正确．故选D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、四边形的内角和定理等知识点，明确各角之间的关系是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022下·西藏那曲·七年级统考期末）如图，，则，，的关系是 .

【答案】
【分析】过作，利用两直线平行同旁内角互补可得，，的关系．
【详解】解：过作，

，，，，
，，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
12．（2023下·宁夏中卫·七年级校考期末）如图所示，，那么 °．

【答案】
【分析】根据平行线的性质得到，再由三角形外角性质即可得到答案．
【详解】解：，，
是的一个外角，，，故答案为：．
【点睛】本题考查求角度问题，涉及平行线的性质、三角形外角性质等知识，数形结合，准确找到各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
13．（2023·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，直线，，，则的度数是 ．

【答案】/33度
【分析】由平行线的性质可得，再利用三角形的外角的性质可求得的度数．
【详解】解：令和相交于点，
，
，，，
，，，故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等，是解题的关键．
14．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的
度数是 ．

【答案】/22度
【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得．
【详解】解：如图，过点作，，

∵直线，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
15．（2023·广东汕头·校联考三模）如图，，，，则的度数是 ．

【答案】/20度
【分析】先利用平行线的性质得到，再利用等边对等角和三角形外角的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵，，∴，
∵，，∴．故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质、等边对等角、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
16．（2023下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，，，平分，，则 ．

【答案】/147度
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据即可得出的度数．
【详解】解：，，，．
平分，．
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
17．（2023上·浙江·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ．

【答案】/68度
【分析】如图，延长交于M．由题意设，．构建方程组证明即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于M．由题意设，．

则有，得：，
∵，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为 ．

【答案】/52度
【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．
【详解】如图，过点作，过作，

设，， ∵，交于，平分，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴， ∴，∴，
∵，平分，∴，
∵，∴， ∴，
∴，，
∵， ∴，∴，
∴，故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·北京海淀·七年级校考期末）如图，已知 ，猜想图①，图②，图③中，，， 之间有何数量关系 请用等式表示出它们的关系，并选择其中的两个等式说明理由．

【答案】① ，详见解析；② ，详见解析；③，详见解析
【分析】①过点 作 ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答；②根据两直线平行，同位角相等以及三角形外角的定义即可作答；③延长 交 于点 ，根据两直线平行，同位角相等以及三角形外角的定义即可作答．
【详解】① ，
理由：如图 ，过点 作 ，

∵ ，∴ ，∴ ，，
∴ ，即 ；
② ，
理由：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
③ ，理由：如图 ，延长 交 于点 ，

∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的定义等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键．
20．（2023上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点平分，如果，求的度数．
解：因为（ ），
又因为（ ），
所以________．
因为平分（已知），
所以________（ ）
因为（已知），
所以________（ ）．
所以（ ）．
所以．
因为________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又因为（已知），
所以________．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角定义以及三角形的角平分线定义．先根据三角形的内角和求出，，则，再根据平行线的性质得出，则，最后根据三角形的外角定理，即可求解，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理及定义．
【详解】解：因为（三角形的内角和等于），
又因为，（已知），所以．
因为平分（已知），所以（ 角平分线的定义）．
因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）．
所以（等量代换）．所以．
因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又因为（已知），所以．
故答案为：三角形的内角和等于；已知；55；，角平分线的定义；，两直线平行，同位角相等；等量代换；E；20．
21．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中）如图（1），，猜想与、的数量关系，并说明理由．

①读下列过程，并填写理由．
解：猜想．
理由：过点作．∴．（___________）
∵（已知），（辅助线的作法）．
∴．（___________）
∴．∴．
∴．
②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知，猜想图中的与、的数量关系，并说明理由．③观察图（3）和图（4），已知，直接写出图中的与、的数量关系，不必说明理由．
【答案】①两直线平行，同旁内角互补；平行线公理的推论②，理由见详解③
【分析】①根据平行线的性质得到的，，等量代换即可得到结论；②过点作，由，可得，根据两直线平行，内错角相等，即可得，，则可求得；③由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与、的关系．
【详解】解：①猜想．
理由：过点作．

∴．（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知），（辅助线的作法）．
∴．（平行线公理的推论）∴．
∴．∴．
②，理由：过点作．
∵，∴．∴，．∴．
③如图（3），

理由：∵，∴，
∵，∴，即．
如图（4），，
理由：∵，∴，
∵，∴，即．
【点睛】本题考查了平行线的性质与三角形外角的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，辅助线的作法．
22．（2023·广东广州·七年级校考期中）如图，已知直线，M、N分别是直线上的点．

(1)在图①中，若，则 ．
(2)在图②中，请判断之间的关系，并说明理由．
(3)在图③中，平分，平分，且，求．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)．
【分析】（1）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，然后相加即可得解；（2）结论：．过点F作直线，利用平行线的性质即可解决问题；（3）利用（1）（2）结论构建方程解决问题即可．
【详解】（1）解：过点E作直线．

∵，∴，又∵，∴．∴，
∴，
∵，∴．故答案为：；
（2）解：结论：．
理由：如图中，过点E作直线．∴，
又∵，∴．∴，
∴；
（3）解：∵平分，∴，
∵平分，∴，设，
由（1），得，
由（2），得，
又∵，∴，
∴，即．∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
23．（2023上·七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．

（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．

【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；[拓展变式]．
【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得出结论；（2）理由如下：过点作，则，根据平行线的性质可得，，进而得出结论；（3）过点作，则，根据平行线的性质得出，，进而即可求解．
【详解】解：（1）．理由如下：
过点作，则．．

，．
（2）．理由如下：过点作，则．
，．
，．
【拓展变式】过点作，则．
，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
24．（2022下·河南三门峡·七年级校考阶段练习）（1）“一条彩虹路，尽览红叶美，”渑池县以打造最美旅游公路为重点，弘扬地域文化、彰显仰韶特色．数学课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，已知，，，求的度数．
小明同学的思路：过点P作，点G在点P的左侧，进而推出，由平行线的性质来求，得______．
（2）图2、图3均是由一块直角三角尺和一把直尺拼成的图形，，，与相交于点E，有一动点P在边上运动，连接，，记，．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由．

【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）过点P作，点G在点P的左侧，根据平行线的性质及平行公理即可；（2）①过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可；②过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可．
【详解】解：（1）过点P作，点G在点P的左侧．

∵，∴．
∴，．
又∵，，
∴．故答案为：；
（2）①与，之间的数量关系为．理由如下：
如图①，过点P作．
图①
∵，∴．∴，．
∴．∴与，之间的数量关系为．
②与，之间的数量关系为．
理由：如图②，过点P作．
图②
∵，∴∴，．∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理，熟练掌握平行线的性质及平行公理，作出合适的辅助线是本题的关键．
25．（2023下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）已知，为直线，所确定的平面内一点．

(1)如图①，，，之间的数量关系为______；
(2)如图②，求证：；
(3)如图③，点在直线上，若，，过点作，作，的平分线交于点，直接写出的度数．
【答案】(1)(2)见解析(3)25°
【分析】（1）首先过点作，则易得，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得；（2）过点作，由，可得，由平行线性质得
，证得；
（3）由三角形外角的性质，可求得，然后由平行线的性质，求，再利用角平分线的性质，求得
【详解】（1）解：．
理由：过点作，如下图：

∵，∴，∴，，∴；
（2）证明：如图，过点作．
∵，∴
∵，，∴∴
∵，∴．
（3）解：的度数为，
∵，，如图：，

∵，∴，
∵，的平分线交于点，
∴，，∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题关键是掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用．
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专题1-7 平行线的基本模型-牛角模型与羊角模型
模块1：模型简介
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
基本解法与思路：见拐点作平行线；和差拆分与等角转化。
模块2：核心模型点与典例
模型1：牛角模型
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。
例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为
例3．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则 度．

例4．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
例5．（2023下·重庆九龙坡·七年级校考期中）如图，，，，，则为(　　)

A． B． C． D．
例6．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，，，，求的值．
例7．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　 　．
模型2：羊角模型
图1图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
图1 图2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.
例1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．
例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
例4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，，，，，点是上一点． （1）的度数为 ；（2）若．则与 （填“平行”或“不平行”）．
例5．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
例6．（2023下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．

(1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系；
①______，②______，③______，④______． (2)请写出图③证明过程．
例7．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知，，点E为射线上一点．

(1)如图1，若，，则______°；
(2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
(3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·重庆渝中·统考二模）如图所示，直线，，则（ ）

A．58° B．59° C．60° D．61°
2．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，，，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图，，则（ ）

A． B． C． D．
5．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·重庆渝中·校考一模）如图，已知，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．（2023·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（ ）

A． B． C． D．
9．（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，，，，，则下列说法错误的是（ ）

A． B．平分 C． D．
10．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为上的点，，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确的序号是（ ）．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022下·西藏那曲·七年级统考期末）如图，，则，，的关系是 .

12．（2023下·宁夏中卫·七年级校考期末）如图所示，，那么 °．

13．（2023·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，直线，，，则的度数是 ．

14．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的
度数是 ．

15．（2023·广东汕头·校联考三模）如图，，，，则的度数是 ．

16．（2023下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，，，平分，，则 ．

17．（2023上·浙江·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ．

18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为 ．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023下·北京海淀·七年级校考期末）如图，已知 ，猜想图①，图②，图③中，，， 之间有何数量关系 请用等式表示出它们的关系，并选择其中的两个等式说明理由．

20．（2023上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点平分，如果，求的度数．
解：因为（ ），
又因为（ ），
所以________．
因为平分（已知），
所以________（ ）
因为（已知），
所以________（ ）．
所以（ ）．
所以．
因为________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又因为（已知），
所以________．
21．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中）如图（1），，猜想与、的数量关系，并说明理由．

①读下列过程，并填写理由．
解：猜想．
理由：过点作．∴．（___________）
∵（已知），（辅助线的作法）．
∴．（___________）
∴．∴．
∴．
②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知，猜想图中的与、的数量关系，并说明理由．③观察图（3）和图（4），已知，直接写出图中的与、的数量关系，不必说明理由．
22．（2023·广东广州·七年级校考期中）如图，已知直线，M、N分别是直线上的点．

(1)在图①中，若，则 ．
(2)在图②中，请判断之间的关系，并说明理由．
(3)在图③中，平分，平分，且，求．
23．（2023上·七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．

（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．
24．（2022下·河南三门峡·七年级校考阶段练习）（1）“一条彩虹路，尽览红叶美，”渑池县以打造最美旅游公路为重点，弘扬地域文化、彰显仰韶特色．数学课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，已知，，，求的度数．
小明同学的思路：过点P作，点G在点P的左侧，进而推出，由平行线的性质来求，得______．
（2）图2、图3均是由一块直角三角尺和一把直尺拼成的图形，，，与相交于点E，有一动点P在边上运动，连接，，记，．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由．

25．（2023下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）已知，为直线，所确定的平面内一点．

(1)如图①，，，之间的数量关系为______；
(2)如图②，求证：；
(3)如图③，点在直线上，若，，过点作，作，的平分线交于点，直接写出的度数．
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