资源简介

三角函数求w类型及三角换元应用归类
目录
题型 01 平移型求w
题型 02 单调区间及单调性求w
题型 03 对称中心 (零点)求w
题型 04对称轴型求w
题型 05 对称轴及单调性型求w
题型 06“临轴”型求w
题型 07“临心”型求w
题型 08 区间内有“心”型求w
题型 09 区间内无“心”型求w
题型 10 区间内最值点型求w
题型 11多可能性分析型求w
题型 12三角应用：三角双换元
题型 13三角应用：无理根号型
题型 14三角应用：圆代换型
题型 15三角应用：向量型换元
高考练场
题型 01平移型求w
【解题攻略】
平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点 (最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利
用单调区间，再结合图形解出ω值或者范围。
1 (2023· π全国·高三专题练习)已知函数 f x = sin2ωx ω> 0 ，将 y= f x 的图像向右平移 个单位
4
长度后，若所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
1
2 (2022·全国·高三专题练习) f(x) = 1将函数 sin ωx+ π + 2(ω> 0) π的图像向右平移 个单位长2 6 3
度后与原函数图像重合，则实数ω的最小值是 ( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【变式训练】
1 (2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试)将函数 y= tan ωx- 1 ω> 0 的图像向左平
移 2个单位长度后，与函数 y= tan ωx+ 3 的图象重合，则ω的最小值等于 ( )
A. 2- π B. 1 C. π- 2 D. 2
2
2 (2024· π云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模)将函数 f x = sin ωx+ 6 (ω>
0) π的图象向右平移 个单位长度后与函数 g x = cos ωx 的图象重合，则ω的最小值为 ( )
3
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
3 (2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)将 f(x) = sin ωx+ π (ω> 0)的图象向左4
π
平移 个单位长度后与函数 g(x) = cosωx的图象重合，则ω的最小值为 ( )
3
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
4 2 4 2
题型 02 单调区间及单调性求w
【解题攻略】
正弦函数
在每一个闭区间 2kπ-
π ,2kπ+ π (k∈ Z)上都单调递增，2 2
在每一个闭区间 2kπ+
π ,2kπ+ 3π (k∈ Z)上都单调递减2 2
余弦函数
在每一个闭区间 [2kπ- π，2kπ] (k∈ Z)上都单调递增，
在每一个闭区间 [2kπ，2kπ+ π] (k∈ Z)上都单调递减
1 (上海市川沙中学 2021 - 2022学年高三下学期数学试题)设 ω > 0，若函数 f (x) = 2sinωx在
2
- π , π 上单调递增，则ω的取值范围是3 4
2 (广西玉林市育才中学 2022届高三 12月月考数学试题)已知函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ) (ω> 0)的
π 3π 3π π
图象关于直线 x= 对称，且 f = 1，f x 在区间2 8 - ,- 上单调，则ω的值为 .8 4
【变式训练】
1 函数 f x =Asin ωx+ φ A> 0,ω> 0 π ,若 f x 在区间 0,
上是单调函数,且 f -π =
2
f 0 =-f π 则ω的值为 ( )2
A. 2 B. 2 2 C. 1 D. 1 1或 或
3 3 3 3
f(x) = 4sinωx sin2 π + ωx + cos2ωx(ω> 0) - π , 2π2 若函数 在 4 2 2 3 上是增函数，则ω的取值
范围是 .
(2022- 2021 C ) f x = sin ωx+ π3 学年度下学期高三数学备考总动员 卷 若函数 ω> 1 在3
区间 π,
5 π 上单调递减，则实数ω的取值范围是 .4
题型 03对称中心 (零点)求w
【解题攻略】
正弦函数对称中心
(kπ，0) (k∈ Z)
余弦函数对称中心
π + kπ，0 (k∈ Z)2
正切函数对称中心
kπ，0 (k∈ Z)2
1 (2023·全国·高三专题练习)设函数 f(x) = 2tan ωx- π (ω> 0) π的图象的一个对称中心为 ,0 ，6 6
则 f x 的一个最小正周期是 ( )
A. π B. π C. 2π D. 2π
2 13 13 7
3
2 (2022秋·重庆·高三统考期中)若存在实数 φ∈ - π，0 ，使得函数 y= sin ωx+ π (ω> 0)的图2 6
象的一个对称中心为 φ，0 ，则ω的取值范围为 ( )
A. 1 ，+∞ B. 1 ，1 C. 1 ，+∞ D. 1 4，3 3 3 3
【变式训练】
1 (2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)已知 f x = 2tan ωx+ φ ω> 0, φ < π ,2
f 2 3 π 3π π π 0 = ，周期T∈ ,3 4 4 , ,06 是 f x 的对称中心，则 f 的值为 ( )3
A. - 3 B. 3 C. 2 3 D. - 2 3
3 3
2 (2022秋·高三课时练习)已知函数 f x =Acosωx- 3sinωx ω> 0 的部分图象如图，f x 的
kπ对称中心是 + π ,0 k∈Z ，则 f2 6
π
3 = ( )
A. 2 3 B. -2 3 C. 3 D. -3
3 (2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习)设函数 f x = 2tan ωx- π ω> 0 的图象的一个对3
π
称中心为 ,0 ，则 f x 的一个最小正周期是 ( )6
A. π B. π C. π D. 2π
3 4 5 5
题型 04对称轴型求w
【解题攻略】
正弦函数对称轴
x= π + 2kπ(k∈ Z)时，y
2 max
= 1；
x=- π + 2kπ(k∈ Z)时，y
2 min
=-1
4
余弦函数对称轴
x= 2kπ(k∈ Z)时，ymax= 1；
x= 2kπ+ π(k∈ Z)时，ymin=-1
1 (2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函数 f (x) = Acosωx -
3 sinωx(ω > 0) 5π kπ的部分图象如图，y = f x 的对称轴方程为 x = + k∈ Z ，则 f 0 =
12 2
( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 1
2
2 (2022· π全国·高三专题练习)若 x= 是函数 f x = cosωx ω≠ 0 图象的对称轴，则 f x 的最小正
3
周期的最大值是 ( )
A. π B. π C. π D. 2π
6 3 2 3
【变式训练】
1 (2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数 y= sinx+ acosx的图像关
x= π于 对称，则函数 y= asinx+ cosx的图像的一条对称轴是 ( )
3
A. x= 5π B. x= 2π C. x= π D. x= π
6 3 3 6

2 (“超级全能生”高考全国卷 26省 9月联考乙卷数学试题)已知向量 a = (sinωx,cosωx),b= (1,

-1)，函数 f(x) = a b，且ω> 1 ,x∈R，若 f(x)的任何一条对称轴与 x轴交点的横坐标都不属于区间
2
(3π,4π)，则ω的取值范围是 ( )
A. 7 ,
15 ∪ 13 , 19 B. 7 11 11 15 12 16 12 16 , ∪ ,12 16 12 16
C. 1 , 7 ∪ 11 , 19 D. 1 , 11 ∪ 11 , 15 2 12 12 16 2 16 12 16
5
a

3 已知向量 = sinωx,cosωx ,b= 1,-1 ，函数 f x = a b，且ω> 1 ,ω∈R，若 f x 的任何一
2
条对称轴与 x轴交点的横坐标都不属于区间 3π，4π ，则ω的取值范围是
A. 7 15 ∪ 13 19 ，

， B.
7 11 11 15 ，
∪ ，
12, 16 12 16 12, 16 12 16
C. 1 7 ∪ 11 19， ，2 12 12 16 D.
1 11 ∪ 11 15 ， ，2 16 12 16


题型 05对称轴及单调性型求w
1 (2021 π届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题)已知函数 f(x) = sin ωx+ (ω> 0)，对任意的 x6
∈R，都有 f(x+ 1) = f(-x)，且 f(x)在区间 - π , π 上单调，则ω的值为 .4 12
2 (2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 数学 (二)试题)已知函数 y= sin(ωx+ φ) (ω> 0,φ
∈ (0,2π)) π 4π的一条对称轴为 x=- ，且 f(x)在 π, 上单调，则ω的最大值为 ( )6 3
A. 5 B. 3 C. 7 D. 8
2 2 3
【变式训练】
1 (四川省成都市新都区 2020- 2021学年高三诊断测试数学试题)已知函数 f x =
2sin π ωx+ φ ω> 0 满足 f = 2，f π = 0，且 f x 在区间4
π , π 上单调，则ω的最大值为4 3
．
2 (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x = sinωx(ω> 0) - π π在 ，6 4

上是单调函数，其图象
3π
的一条对称轴方程为 x= ，则ω的值可能是 ( )
4
A. 1 B. 2 C. 1 D. 4
3 3 3
3 (2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)若直线 x= π 是曲线 y= sin ωx- π (ω> 0)的一条对称4 4
轴，且函数 y= sin ωx- π 在区间 0 π， 上不单调，则ω的最小值为 ( )4 12
A. 9 B. 7 C. 11 D. 3
题型 06 “临轴”型求w
6
【解题攻略】
若 f x =Asin ωx+ φ A≠ 0,ω≠ 0 的图像关于直线x= x0对称,则 f x0 =A或 f x0 =-A.
1 (2023秋 ·四川绵阳 ·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知函数 y = Asin ωx+ φ +
m A> 0,ω> 0, φ < π 的最大值为 4，最小值为 0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距2
π x= π离为 ，直线 是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是 ( )
2 6
A. y= 4sin x+ π B. y= 2sin 2x+ π + 26 6
C. y= 2sin 2x+ π + 2 D. y= 2sin x+ π + 23 3
2 (2023秋· π π高三课时练习)已知函数 f x = sin ωx+ φ ω> 0, φ ≤ ，x=- 是函数 f x 的一个2 8
零点，x= π π π是函数 f x 的一条对称轴，若 f x 在区间 , 上单调，则ω的最大值是 ( )8 5 4
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
【变式训练】
1 (2023秋· π河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知 x= ，x= π是函数 f x =
3
sin ωx+ φ ω> 0, π < φ< 3π 图象上两条相邻的对称轴，则 φ= ( )2 2
A. π B. 3π C. 2π D. π
4 3 3
2 (2023春·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数 f x = sin ωx + 2 3cos2 ωx -2
3 ω> 0 π π ，且 f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 .若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后
2 3
π
得到 g(x)的图象，且当 x∈ 0,
时，不等式 2m
2-m≥ g x 恒成立，则m的取值范围为 ( )
4
A. -∞,-1 ∪ 1 ,+∞ B. -∞,-
1 ∪ 1,+∞
2 2
C. -∞, 1- 17 ∪ 1+ 17 ,+∞ D. -∞,0 ∪ 1 ,+∞4 4 2
3 (2023春·四川成都·高三校联考阶段练习)已知直线 x= x1,x= x2是函数 f x = sin ωx+ π ,6
(ω> 0) π图象的任意两条对称轴，且 x1-x2 的最小值为 ，则 f x 的单调递增区间是 ( )2
A. kπ+
π ,kπ+ 2π ,k∈ Z B.

kπ-
π ,kπ+ π
6 3 3 6
,k∈ Z
7
C. 2kπ+
π ,2kπ+ 4π ,k∈ Z D.
2kπ-
π ,2kπ+ 5π ,k∈ Z
3 3 12 12
题型 07 “临心”型求w
【解题攻略】
函数 y=Asin ωx+ φ +B(A> 0,ω> 0)的性质：
(1) ymax=A+B，ymin=A-B.
(2)周期T= 2π .
ω
( π3)由 ωx+ φ= + kπ k∈ Z 求对称轴，由ωx+ φ= kπ k∈ Z 求对称中心.
2
(4)由- π + 2kπ≤ωx+ φ≤ π + 2kπ π 3π k∈ Z 求增区间；由 + 2kπ≤ωx+ φ≤ +
2 2 2 2
2kπ k∈ Z 求减区间.
1 (2023春·广东珠海·高三校考)已知函数 f x = sinωx+ cosωx ω> 0 的图象的一个对称中心的横
π , π坐标在区间 π内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则ω的取值范围为 ( )4 2 3
A. 3 0,3 B. ,3 C. 0, 3 D. 1,3 2 2
2 (2023上 ·天津东丽 ·高三天津市第一百中学校考阶段练习 )函数 f x = Asin ωx+ φ + 1，
A> 0,ω> 0, φ < π π的最大值为 2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为 ，且 f x 的图象关2 2
x= π于直线 对称，则下列判断正确的是 ( )
12
A.函数 y= f x 在 - π , π 6 3 上单调递减
B.将 f x
π
图象向右平移 个单位与原图象重合
3
C.函数 y= f x π 图象关于点 - ,0 对称6
D.函数 y= f 5π x 的图象关于直线 x=- 对称
12
【变式训练】
1 (2023下·河南焦作·高三统考)已知函数 f x = sinωx+ cosωx ω> 0 的图象的一个对称中心
π π π
的横坐标在区间 , 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则ω的取值范围为 ( )4 2 3
A. 0,3 3 3 B. ,3 C. 0, D. 1,3 2 2
8
2 (2023· ωx π云南红河·统考二模)已知函数 f x = 3tan + (ω> 0)的图象的两个相邻对称中2 3
π
心之间的距离为 ，则ω= ( )
4
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
3 (2021 π 2π上·四川雅安·高三统考期末)已知函数 f(x) = tan(ωx+ φ) ω≠ 0, φ < ，点 ,0 和2 3
7π ,0 5π 4π是其相邻的两个对称中心，且在区间 , 内单调递减，则 φ= ( )6 6 3
A. π B. - π C. π D. - π
6 6 3 3
题型 08区间内有“心”型求w
【解题攻略】
求w的表达式时，wx+ φ= k1π(k1∈ z)中不要把k1写成 k,因为后面还有一个 k, wx+ φ= k2π(k2∈
z)中不要把k2写成 k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等.
π π
1 (天津市部分区 2020届高考二模数学试题)若函数 f(x) = cos(2x+ φ) (0< φ< π)在区间 - ,6 6
上单调递减，且在区间 0, π 上存在零点，则 的取值范围是 ( )6
A. π , π B. 2π 5π π 2π π π6 2 ， C. , D. ，3 6 2 3 3 2
2 (2021 ) f(x) = sin ωx + π sin 3π - ωx春 商洛 已知函数 (ω> 0)在 [0，π) 上恰有 6个零2 14 7 2
点，则ω的取值范围是 ( )
A. 41 , 48 B. 34 , 41 C. 41 48 34 417 7 7 7 , D. ,7 7 7 7
【变式训练】
1 (2022 π 1湖北模拟)已知函数 f(x) = cos ωx- - (ω> 0)在区间 [0，π]上恰有三个零点，3 2
则ω的取值范围是 ．
( 2020 ) f x = 2sin ωx+ φ ω> 0 π2 云南省 届高三适应性考试数学试题 若函数 ， < φ< π 图2
象过点 0, 3 ，f x 在 0,π 上有且只有两个零点，则ω的最值情况为 ( )
9
A. 1 4 4最小值为 ，最大值为 B.无最小值，最大值为
3 3 3
C. 7 1 7无最小值，最大值为 D.最小值为 ，最大值为
3 3 3
3 (2021年全国高考甲卷数学 (理)试题变式题 16- 20题)设函数 f x = 2sin ωx+ φ - 1(ω>
0)，若对于任意实数 φ π，f x 在区间
, 3π 上至少有 2个零点，至多有 3个零点，则ω的取值范围是4 4
．
题型 09区间内无“心”型求w
【解题攻略】
无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结
果，对于其他否定性问题经常这样思考.
f x = sin2ωx- 2cos2ωx+ 1 ω> 0 ,x∈R f x π1 已知函数 ，若函数 在区间 ,π 内没有零点，则 ω2
的取值范围为 .
2 ( π 2π天津市南开中学 2022届高三下学期统练二数学试题)已知函数 f(x) = sin ωx+ sin ωx+6 3
(ω> 0)，(x∈R)，若 f(x) π在区间 ,π 内没有零点，则ω的取值范围是 .2
【变式训练】
sinωx- 1 ωx 1
1 函数 f(x) = + cos2 ，且ω> ，x∈R，若 f(x)的图像在 x∈ (3π，4π)内与 x轴无
2 2 2
交点，则ω的取值范围是 .
2 (2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)将函数 f x = sinx的图象先向右平移
π 1
个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 (ω> 0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的
3 ω
π 3π
图象，若函数 g x 在 , 上没有零点，则ω的取值范围是 ( )2 2
A. 0, 2 ∪ 2 , 8 B. 0, 8 C. 0, 2 ∪ 8 ,1 D. 0,1 9 3 9 9 9 9
3 (2022· 5全国·高三专题练习)将函数 f x = cosx的图象先向右平移 π个单位长度，再把所得函
6
1
数图象的横坐标变为原来的 (ω> 0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图象，若函数 g x 在
ω
π , 3π 上没有零点，则ω的取值范围是 ( )2 2
10
A. 0, 2 ∪ 2 , 8 B. 0, 8 C. 0, 2 ∪ 8 ,1 9 3 9 9 9 9 D. 0,1
题型 10区间内最值点型求w
【解题攻略】
极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
1 已知函数 f x = sin ωx+ φ (ω> 0，0< φ< π)，f 0 2 = ，f π = 0，f x 在 0, π 内有相邻2 4 4
两个最值点，且最小值点距离 y轴近，则ω的最小正整数值为 ( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
2 已知函数 f x = sin ωx+ φ ω> 0, φ ≤ π π π 的图象关于点M - ,0 及直线 l:x= 对称，且2 6 3
f x
π
在 ,π 不存在最值，则 φ的值为 ( )2
A. - π B. - π C. π D. π
3 6 6 3
【变式训练】
π
1 (2022年全国高考乙卷数学 (理)试题变式题 13- 16题)已知函数 f(x) = sin ωx+ 6 ,ω> 0，
π 5π
若 f = f 且 f(x) π 5π在区间 , 上有最小值无最大值，则ω= ．4 12 4 12
2 (2022届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题)已知函数 f x = 3sin ωx+ φ ，
π π π π
ω> 0,0< φ< π ，若 f - = 0，对任意 x∈R恒有 f x ≤ f ，在区间 , 上有且只有一3 3 15 5
个 x1使 f x1 = 3，则ω的最大值为 ( )
A. 123 B. 111 C. 105 D. 117
4 4 4 4
3 【( 全国百强校】河北衡水金卷 2022届高三 12月第三次联合质量测评数学试题)已知函数 f x
=Acos ωx+ φ π π π π A> 0,ω> 0, φ ≤ ，两个等式：f - + x - f2 4 - - x = 0,f - x +4 4
f π + x = 0 3π对任意的实数 x均恒成立，且 f x 在 0， 上单调，则ω的最大值为4 16
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 当ω= 3时，f x =Acos 3x+ φ π ，因为 f - x =-f π + x4 4 对任意的实数 x均恒成立，所
11
以 3 π + φ= kπ+ π π π k∈ Z ，因为 φ ≤ ，所以 φ=- ，所以 f x =Acos 3x- π ，可以验证4 2 2 4 4
f x 0, 3π 在 上不单调，16
π π
5 当ω= 1时，f x =Acos x+ φ ，因为 f - x =-f + x 对任意的实数 x均恒成立，所以4 4
π + φ= kπ+ π π π π k∈ Z ，因为 φ ≤ ·所以 φ= ·所以 f x =Acos
4 2 2 4 x+ ，可以验证 f x 在4
0, 3π 上单调，所以w= 1.故选A.16
题型 11多可能性分析型求w
【解题攻略】
解决函数 f x =Asin ωx+ φ 综合性问题的注意点
(1)结合条件确定参数A,ω,φ的值，进而得到函数的解析式．
(2)解题时要将ωx+ φ看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
(3)解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
1 函数 f(x) = sin(ωx+ φ) ω> 0,|φ| ≤ π π 13π，已知 - ,0 为 f(x)图象的一个对称中心，直线 x=2 6 12
f(x) 13π 19π为 图象的一条对称轴，且 f(x)在 , 上单调递减．记满足条件的所有 ω的值的和为 S，12 12
则S的值为 ( )
A. 12 B. 8 C. 16 D. 18
5 5 5 5
2 (北京市西城区北京师范大学附属实验中学 2021- 2022学年高三上学期 12月月考数学试题)已知
π 3
点A , ,B π ,1 ,C π ,0 ，若三个点中有且仅有两个点在函数 f x = sinωx的图象上，则正6 2 4 2
数ω的最小值为 .
【变式训练】
1 (北京市东城区 2021- 2022学年高三上学期数学试题)已知函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ) (ω> 0)，
π
曲线 y= f x 与直线 y= 3相交，若存在相邻两个交点间的距离为 ，则ω的所有可能值为 ．
6
2 (上海市晋元高级中学 2022届高三数学试题)已知A= y y= sin ωn+ φ ,n∈ Z ，若存在 使
得集合A中恰有 3个元素，则ω的取值不可能是 ( )
12
A. 2π B. 2π C. π D. 2π
7 5 2 3
3 (2021 淮北二模)已知函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ) (ω> 0) π满足 f = 2，f(π) = 0，且 f(x)4
π π
在区间 , 上单调，则满足条件的ω个数为 ( )4 3
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
题型 12三角应用：三角双换元
【解题攻略】
2
2
形如x +y2= a(a> 0), x + y2= t(t> 0),x2-xy+ y2= 1 2 2，x +y +z2= a(a> 0)等，均可以用三角换
3
元来解决.
在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是 [-1，1]，但其角度有多种形式，于
是我们在设置角度时要抓住 2点：
（1）设置的角度要使三角函数的范围为 [-1，1]，
(2)根号要能直接开出来.就如本题来讲，令x= cosθ,θ∈ [0,π]，此时 cos∈ [-1,1]，sinθ> 0，于是
1- x2= 1- cos2θ= sinθ = sinθ.
1 (2023·全国·高三专题练习)设 x、y∈R且 3x2+2y2= 6x，求 x2+y2的取值范围是 .
2 ( a +a2020·江西·校联考模拟预测)若等差数列 a 满足 a2 2 2 3n 1+a3= 2，且 a1≥ 1，求 + 的取值范围a1 a2
( )
A. (-1,1) B. [-1,1]
C. (-∞,-1) ∪ (1,+∞) D. (-∞,-1]∪ [1,+∞)
【变式训练】
1 (2021·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习)已知 a,b∈R，a2+b2= 4，求 3a+ 2b的
取值范围为 ( )
A. -∞,4 B. -2 13,2 13
C. 4,+∞ D. -∞,-2 13 ∪ 2 13,+∞
x2
2 (江西省抚州市金溪一中等七校 2021- 2022学年高三考试数学试题 (B卷))已知 x、y满足
3
+ y2= 1，则u= 2x+ y- 4 + 3- x- 2y 的取值范围为 ( )
13
A. 1，12 B. 0，6 C. 0，12 D. 1，13
( y3 浙江省嘉兴市 2022届高三试数学试题)已知实数 x,y满足 4x+9 = 1,则 2x+1+3y+1的取值范围
是 ．
题型 13三角应用：无理根号型
【解题攻略】
无理根号型求范围，可以通过换元求得：
1.单根号，一般是齐次关系。
2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去 x。
3.式子可能具有“轮换特征”
4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。
1 求函数 y= 3x+ 1- x2的值域.
2 求函数 y= 3x+ 6+ 8- x的值域.
【变式训练】
1 若对任意 x≥ 0，k 1+ x≥ 1+ x恒成立，则实数 k的取值范围是 .
2 (新疆莎车县第一中学 2022届高三上学期第三次质量检测数学试题)函数 y= x- 4- x2的值
域为 ．
3 (2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷 (七)数学 (理)试题)已知 a,b,c∈ [-4,4]，
则 |a- b| + |b- c| + 2|c- a|的最大值为 .
题型 14三角应用：圆代换型
【解题攻略】
圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应 x，正弦对应 y
(x- a)2+ ( - x=Rcosθ+ ay b)2=R2的参数方程是： y=Rsinθ+ b
1 (上海市第二中学 2020- 2021学年高三下学期 5月月考数学试题)知点A(2,0)，点P是以原点O为
圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点P绕点O逆时针旋转 90°得点Q，线段AP的中点为M，则
|MQ|的最大值是
14

2 设圆O:x2+y2= 1上两点A x1,y1 ，B x2,y2 满足：OA OB=- 1 ，则 x1-2y1 + x2-2y2 的取值范2
围是 .
【变式训练】
1 已知A xA,yA 是单位圆 (
π
圆心在坐标原点O)上任一点，将射线OA绕O点逆时针旋转 到
3
OB交单位圆于点B xB,yB ，则 2yA-yB的最大值为 .

2 设圆O:x2+y2= 1上两点A x1,y1 ，B x2,y2 满足：OA OB=- 1 ，则 x1-2y1 + x2-2y2 的取2
值范围是 .
3 (2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)已知点P为圆 x- 6 2+ y- 8 2= 1上任一点，F1，
2 y2x F2分别为椭圆 + = 1的两个焦点，求PF1 PF2的取值范围 .4 3
题型 15三角应用：向量型换元
【解题攻略】
向量中的三角换元原理之一，就是源于 a =R,实质是圆。
所以模定值，可以用圆的参数方程代换。
1 (2022上·广东佛山· π π高三统考)菱形ABCD中，AB= 1,A∈ ,
，点E，F分别是线段AD,CD上3 2

的动点 (包括端点)，AE=CF，则 (AE+CF) AC = ，ED EB的最小值为 .
(2020· · ) a - 2e

2 江苏南通 江苏省如皋中学校考模拟预测 已知 = b- e = 1， e = 1 ，则向量 a b的最
小值为 .
【变式训练】

1 (2024上· · 重庆 高三重庆南开中学校考阶段练面向量 a，b，c满足 a = b = 2， c - a

c - b =-1，则 a c 的最大值为 .
(2023· · ) a

2 全国 高三专题练习 已知向量 ，b满足 2a+ b = 3， b = 1，则 a + 2 a + b 的最大值为
.

3 (2023·上海· 上海市七宝中学校考模拟预测)已知 e为单位向量，向量 a,b满足 a- 2e = 2,
15

b- 3e = 3 a ，则 b的取值范围是 .
高考练场
1 (2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测)设函数 f x = sin ωx+ φ ω> 0,0< φ< π ，将函数
f x
π
的图象先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，所得的图象与 y
6
= cosx图象重合，则 ( )
A. ω= 1 π 1 π 5π π，φ= B. ω= ，φ= C. ω= 2，φ= D. ω= 2，φ=
2 6 2 3 6 3
2 (湖南省长沙市长郡中学 2020- 2021学年高三上学期月考 (二)数学试题)已知函数 f x =
sin 3x+ 3φ - 2sin x+ φ π 2π cos 2x+ 2φ ，其中 φ < π，若 f x 在区间 , 上单调递减，则 φ的最6 3
大值为 ．
3 (2022·四川绵阳·统考模拟预测)若存在实数 φ∈ - π ,0 ，使得函数 y= sin ωx+ π (ω> 0)的2 6
图象的一个对称中心为 (φ，0)，则ω的取值范围为 ( )
A. 1 ,+∞ B.
1 ,1 C. 1 ,+∞ D. 1, 4
3 3 3 3
4 (2023· π安徽滁州·安徽省定远中学校考一模)已知直线 x=- 是函数 f x =
6
2sin 2x+ φ π π < 图象的一条对称轴，则 f x 在 2 0, 上的值域为 ( )2
A. -1,1 B. 1,2 C. -1,2 D. -1,2
5 (2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 数学 (理) (二)试题)已知函数 y= sin(ωx+ φ)
(ω> 0,φ∈ (0,2π)) π 4π的一条对称轴为 x=- ，且 f(x)在 π, 上单调，则ω的最大值为 ( )6 3
A. 5 B. 3 C. 7 D. 8
2 2 3
6 (2023·全国·统考高考真题)已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) π , 2π在区间 单调递增，直线 x=6 3
π
和 x= 2π 为函数 y= f x 5π 的图像的两条相邻对称轴，则 f - = ( )6 3 12
A. - 3 B. - 1 C. 1 D. 3
2 2 2 2
16
7 (2020·海南海口·高三海南中学校考阶段练习)已知点P1，P2为曲线 y= 2sinωx- cosωx(x∈
R) (常数ω> 0)的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则ω的值为 .
8 (四川省内江市威远县威远中学校 2022- 2023学年高三数学试题)已知函数 f(x) =
sin ωx+ π (ω> 0)，若 f(x) 0, 2π - π , π在 上恰有两个零点，且在 3 3 4 24 上单调递增，则ω的取值范
围是 .
9 (2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习)已知函数 f(x) = cosx，函数 g(x)的图象可以
由函数 f(x) π的图象先向右平移 个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来
6
1 (ω> 0) g(x) π 3π的 倍得到，若函数 在 , 上没有零点，则ω的取值范围是 ( )ω 2 2
A. 0, 4 B. 4 , 8 4 C. , 8 D. 0, 8 9 9 9 9 9 9
10 .已知函数 f(x) = sin(ωx+ φ) π π π，其中ω> 0，|φ| ≤ ，- 为 f(x)的零点，且 f(x)≤
2 4 f 4 恒
成立，f(x)在区间 -
π , π 上有最小值无最大值，则ω的最大值是12 24
11 (河北省衡水市第十四中学 2020- 2021学年高三四调数学试题)已知函数 f(x) = cos(ωx+ φ)
ω> 0，|φ| ≤ π ，x=- π 为 f(x)的零点，x= π 为 y= f(x) π π图象的对称轴，且 f(x)在 ， 上单2 4 4 18 6
调，则ω的最大值为 ．
12 (江苏省泰州中学 2020- 2021学年高三上学期第二次检测数学试题)已知非负实数 x，y满足
2x2+4xy+ 2y2+x2y2= 9，则 2 2(x+ y) + xy的最大值为 .
13 ．函数 y= x+ -x2+10x- 23的最小值为 ．
14 (广东省清远市恒大足球学校 2020届高三上学期九月月考数学试题)若 x2+y2= 2，那么 2x-
3y的最大值为 .

15 在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为 1,1, 2,OA与OC的夹角为 α，且 tanα= 7,

OB与OC的夹角为 45°，若OC =mOA+nOB m,n∈R ，则m+n= ．
17三角函数求w类型及三角换元应用归类
目录
题型 01 平移型求w
题型 02 单调区间及单调性求w
题型 03 对称中心 (零点)求w
题型 04对称轴型求w
题型 05 对称轴及单调性型求w
题型 06“临轴”型求w
题型 07“临心”型求w
题型 08 区间内有“心”型求w
题型 09 区间内无“心”型求w
题型 10 区间内最值点型求w
题型 11多可能性分析型求w
题型 12三角应用：三角双换元
题型 13三角应用：无理根号型
题型 14三角应用：圆代换型
题型 15三角应用：向量型换元
高考练场
题型 01 平移型求w
【解题攻略】
平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点 (最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利
用单调区间，再结合图形解出ω值或者范围。
1 (2023· π全国·高三专题练习)已知函数 f x = sin2ωx ω> 0 ，将 y= f x 的图像向右平移 个单位
4
长度后，若所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
1
【答案】B
π
【分析】根据题意 是周期的整数倍，求出ω的表达式，从而求出其最小值.
4
【详解】∵ f x = sin2ωx ω> 0 ,∴ f x 2π π 的周期为T= = ,
2ω ω
∵将 y= f x π 的图像向右平移 个单位长度后，所得图像与原图像重合，
4
∴ π π π是周期的整数倍，∴ = k ，k∈ Z，∴ω= 4k,k∈ Z，
4 4 ω
∵ω> 0，∴ω的最小值等于 4.故选：B
2 (2022·全国·高三专题练习) f(x) = 1将函数 sin ωx+ π + 2(ω> 0) π的图像向右平移 个单位长2 6 3
度后与原函数图像重合，则实数ω的最小值是 ( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】C
π
【分析】由题意可知 是 f(x) = 1 sin ωx+ π + 2(ω> 0) π 2π的周期的倍数，即 = k ,k∈ Z，从而3 2 6 3 ω
可求得答案
1
【详解】解：因为函数 f(x) = sin ωx+ π + 2(ω> 0) π的图像向右平移 个单位长度后与原函数图2 6 3
像重合，
π
所以 是 f(x) = 1 sin ωx+ π + 2(ω> 0)的周期的倍数，3 2 6
π = k 2π设 ,k∈ Z，所以ω= 6k,k∈ Z，因为ω> 0，所以当 k= 1时，ω= 6最小，故选：C
3 ω
【变式训练】
1 (2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试)将函数 y= tan ωx- 1 ω> 0 的图像向左平
移 2个单位长度后，与函数 y= tan ωx+ 3 的图象重合，则ω的最小值等于 ( )
A. 2- π B. 1 C. π- 2 D. 2
2
【答案】A
【分析】平移函数图象后得 y= tan(ωx+ 2ω- 1)，根据与 y= tan ωx+ 3 重合可求解.
【详解】函数 y= tan ωx- 1 ω> 0 的图像向左平移 2个单位长度后可得，
y= tan[ω(x+ 2) - 1]= tan(ωx+ 2ω- 1)，
与函数 y= tan ωx+ 3 的图象重合，
所以 2ω- 1= 3+ kπ,k∈ Z kπ，ω= 2+ ,k∈ Z
2
2
由ω> 0 π，所以ωmin= 2- .故选：A.2
2 (2024· π云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模)将函数 f x = sin ωx+ (ω>6
0) π的图象向右平移 个单位长度后与函数 g x = cos ωx 的图象重合，则ω的最小值为 ( )
3
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】D
π π
【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得- ω+ = 2kπ+ π ，结合ω> 0即可求解.
3 6 2
π
【详解】由题意可得 y= f x- = sin ω x- π + π3 3 6 = sin ωx-
π ω+ π
3 6
= cos ωx = sin ωx+ π ∴- π ω+ π = 2kπ+ π， ，k∈Z，解得ω=-6k- 1，k∈Z，2 3 6 2
又ω> 0，∴当 k=-1时，ω取得最小值为 5．故选：D.
3 (2023·陕西西安· π西安市大明宫中学校考模拟预测)将 f(x) = sin ωx+ (ω> 0)的图象向左4
π
平移 个单位长度后与函数 g(x) = cosωx的图象重合，则ω的最小值为 ( )
3
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
4 2 4 2
【答案】C
π π π π π
【分析】根据图象变换可得 y= sin ωx+ ω+ ，根据题意结合诱导公式可得 ω+ = 2kπ+ ,3 4 3 4 2
k∈Z，运算求解即可得结果.
【详解】将 f(x) = sin ωx+ π (ω> 0) π的图象向左平移 个单位长度后，4 3
得到 y= f x+ π = sin ω x+ π + π = sin ωx+ π ω+ π = cosωx，3 3 4 3 4
π ω+ π = 2kπ+ π则 ,k∈Z，解得ω= 6k+ 3 ,k∈Z，
3 4 2 4
3
所以当 k= 0时，ω的最小值为 .故选：C.
4
题型 02 单调区间及单调性求w
【解题攻略】
正弦函数
3
在每一个闭区间 2kπ-
π ,2kπ+ π
2 2

(k∈ Z)上都单调递增，
π
在每一个闭区间 2kπ+ ,2kπ+
3π
(k∈ Z)上都单调递减2 2
余弦函数
在每一个闭区间 [2kπ- π，2kπ] (k∈ Z)上都单调递增，
在每一个闭区间 [2kπ，2kπ+ π] (k∈ Z)上都单调递减
1 (上海市川沙中学 2021 - 2022 学年高三下学期数学试题)设 ω > 0，若函数 f (x) = 2sinωx在
π π - , 上单调递增，则ω的取值范围是3 4
【答案】 0, 3 2
【解析】根据正弦函数的单调性，求出函数 f(x) = 2sinωx π的单增区间，由- + 2kπ≤ωx≤ π + 2kπ
2 2
π
- π + 2kπ π
- + 2kπ
2 2 + 2kπ
2 ≤- π
(k∈ Z)，可得： ≤ x≤ ，所以 ω 3 π ，整理即可得解.ω ω
2
+ 2kπ
≥ πω 4
π π
【详解】根据正弦函数的单调性，可得：- + 2kπ≤ωx≤ + 2kπ(k∈ Z)，
2 2
- ππ π 2 + 2kπ- 2 + 2kπ 2 + 2kπ ω ≤-
π
所以： ≤ x≤ ，解得： 3
ω ω π ， 2
+ 2kπ
ω ≥
π
4
ω≤ 3 - 6k 3 3
整理可得： 2 ，当 k= 0有解，解得 0<ω≤ .故答案为： 0, .ω≤ 2+ 8k 2 2
2 (广西玉林市育才中学 2022届高三 12月月考数学试题)已知函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ) (ω> 0)的
x= π 3π 3π π图象关于直线 对称，且 f = 1，f x 在区间 - ,- 上单调，则ω的值为 .2 8 8 4
【答案】2或 6.
π π π
【详解】因为 f x 的图象关于直线 x= 对称,故 ω+ φ= kπ+ ,k∈ Z ...①
2 2 2
又 f 3π = 1, 3π ω+ φ= 2mπ+ π 3π故 或 ω+ φ= 2mπ+ 3π ,m∈ Z...②8 8 4 8 4
π
①-②可得 ω= k- 2m π+ π π π或 ω= k- 2m π- ,k∈ Z,m∈ Z.
8 4 8 4
解得ω= 8 k- 2m + 2或ω= 8 k- 2m - 2,k∈ Z,m∈ Z
f x - 3π又 在区间 ,-
π
上单调,故周期T
T ≥- π - - 3π满足8 4 2 4 8 =
π T≥ π ,
8 4
4
ω> 0, 2π ≥ π且 所以 0<ω≤ 8故当 k- 2m= 0,1时有ω= 2,6满足条件.故答案为：2或 6
ω 4
【变式训练】
1 函数 f x =Asin ωx+ φ A> 0,ω> 0 , π 若 f x 在区间 0,

上是单调函数,且 f -π =2
f 0 =-f π 则ω的值为 ( )2
A. 2 B. 2 或 2 C. 1 D. 1 1或
3 3 3 3
【答案】B
分析：由 f x =Asin ωx+ φ π 在区间 0, 是有单调性，可得T范围，从而得 0<ω≤ 2；由 f -π =2
f π π π π 0 ，可得函数 f x 关于 x=- 对称，又 f 0 =-f ，f x 有对称中心为 ,0 ；讨论 x=- 与2 2 4 2
π ,0 是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可．4
详解：因为 f x 在 0, π
T π 2π
单调，∴ ≥ ，即T≥ π ≥ π 0<ω≤ 2，而 0- -π = π≤T；若2 2 2 ω
T= π，则ω= 2；若T> π，则 x=- π 是 f x 的一条对称轴，
2
π ,0 T是其相邻的对称中心，所以 =4 4
π - - π = 3π ，∴T= 3π ω= 2π = 2 .4 2 4 T 3
故选B.
f(x) = 4sinωx sin2 π2 若函数 + ωx + cos2ωx(ω> 0) π在 - , 2π 上是增函数，则ω的取值4 2 2 3
范围是 .
3
【答案】 0, 4
【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后结合三角函数的性质得到关于ω的不等式，求解不等
式即可确定ω的取值范围.
【详解】整理函数的解析式有：
1- cos π +ωx
f x = 4sinωx 2 + cos2ωx
2
= 2sinωx(1+ sinωx) + 1- 2sin2ωx
= 2sinωx+ 1
T 2
结合题意可知函数的最小正周期： ≥ π,
4 3
2π ≥ 2即 π 3，求解不等式可得ω的取值范围是 0, .4ω 3 4
5
3 (2022- 2021学年度下学期高三数学备考总动员C卷)若函数 f x = sin ωx+ π ω> 1 在3
区间 π, 5 π 上单调递减，则实数ω的取值范围是 .4
7 , 4【答案】 6 3
π π
【分析】先由题意可知 ≥ ，得到 1<ω≤ 2，再由整体法得到 f x 单调减区间为
ω 2
kπ + π , kπ + 2π ,k∈ Z
5 1 4 2
，显然 π, π

是其子集，由此可得 k+ ≤ω≤ k+ ，检验 k的值ω 6ω ω 3ω 4 6 5 3
7 4
易得 ≤ω≤ ，得解.
6 3
π 5π π
【详解】由题意可得函数 f x 的最小正周期T= ≥ 2 - π = ,ω> 1,∴ 1<ω≤ 2，ω 4 2
∵ π函数 y= sinx 的最小正周期为 π，单调减区间为 kπ+ ,kπ+ π ,k∈ Z，又ω> 1> 0，2
kπ+ π由 ≤ωx+ π ≤ kπ+ π,k∈ Z kπ π，得 + ≤ x≤ kπ + 2π ,k∈ Z，
2 3 ω 6ω ω 3ω
∴ f x = sin ωx+ π ω> 0 kπ + π , kπ 2π函数 的单调减区间为 + ,k∈ Z．3 ω 6ω ω 3ω
∵ 5函数 f x 在区间 π, π 上单调递减，∴ 5π kπ π, +
π , kπ + 2π ,k∈ Z，
4 4 ω 6ω ω 3ω
kπ
ω +
π
6ω ≤ π∴ kπ 2π 5π ，解得 k+
1 ≤ω≤ 4 k+ 2 ,k∈ Z．+ ≥ 6 5 3ω 3ω 4
当 k= 0 1 8 7 4 13 32时， ≤ω≤ ，不合题意；当 k= 1时， ≤ω≤ ，符合题意；当 k= 2时， ≤ω≤ ，
6 15 6 3 6 15
显然矛盾，不合题意.∴实数ω 7 4 7 4的取值范围是 , ．故答案为：

6 3
, .6 3
题型 03 对称中心 (零点)求w
【解题攻略】
正弦函数对称中心
(kπ，0) (k∈ Z)
余弦函数对称中心
π + kπ，0 (k∈ Z)2
正切函数对称中心
kπ，02 (k∈ Z)
6
1 (2023·全国·高三专题练习)设函数 f(x) = 2tan ωx- π (ω> 0) π的图象的一个对称中心为 ,06 6 ，
则 f x 的一个最小正周期是 ( )
A. π B. π C. 2π D. 2π
2 13 13 7
【答案】B
π
【分析】由正切函数的对称中心得到T= + ，k∈ Z，再对各选项逐一检验分析即可.3k 1
π ω- π = kπ【详解】根据题意得 ，k∈ Z，则ω= 3k+ 1，
6 6 2
又ω> 0，则T= π = π = π+ ，k∈ Z， ω ω 3k 1
π π π 1
对于A，若 是 f x 的最小正周期，则 + = ，得 k= ，与 k∈ Z矛盾，故A错误；2 3k 1 2 3
B π π对于 ，由 + = 得 k= 4，满足条件，故B正确；3k 1 13
C π = 2π 11对于 ，由 得 k= ，与 k∈ Z矛盾，故C错误；
3k+ 1 13 6
π 2π 5
对于D，由 + = 得 k= ，与 k∈ Z矛盾，故D错误.3k 1 7 6
故选：B.
π π
2 (2022秋·重庆·高三统考期中)若存在实数 φ∈ - ，0 ，使得函数 y= sin ωx+ (ω> 0)的图2 6
象的一个对称中心为 φ，0 ，则ω的取值范围为 ( )
A. 1 ，+∞ B.
1
，1 C. 1 ，+∞ D. 1 4，
3 3 3 3
【答案】C
π kπ-
π π
【分析】由题意可得 sin ωφ+ = 0，则ω= 6 ,k∈ Z，再根据ω> 0，φ∈6 φ - ，02 ，即可得出
答案.
π π
【详解】解：由题意知，存在 φ在 - ，0 使得 y= sin ωx+ (ω> 0)的一个对称中心为 φ，02 6 ，
即存在 φ使得 x= φ时，y= 0，代入 x= φ，则 sin ωφ+ π = 0，6
π kπ-
π
即ωφ+ = kπ，即ω= 6 ,k∈ Z，因为ω> 0，φ∈ - π ，0 π，所以 kπ- < 0,k∈ Z，则 k≤6 φ 2 6
0,k∈ Z，
由不等式性质知 k= 0，φ=- π 1 π 1时，ω取到最小值 ，又由于 φ无法取到- ，故ω> ，
2 3 2 3
1
所以ω的取值范围为 ，+∞ .故选：C..故选：C.3
7
【变式训练】
1 (2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)已知 f x = 2tan ωx+ φ ω> 0, π φ < 2 ,
f 2 3 π 3π 0 = ，周期T∈
3 ,4 4 ,
π ,0 是 f x π 的对称中心，则 f6 的值为 ( )3
A. - 3 B. 3 C. 2 3 D. - 2 3
3 3
【答案】D
2 3
【分析】根据条件 f 0 = ，列出方程即可求得 φ，然后根据对称中心以及周期范围求出ω，即可得
3
到 f x 的解析式，从而得到结果.
f x = 2tan ωx+ φ ω> 0, φ < π f 0 = 2 3 2tanφ= 2 3【详解】因为 ，由 可得 tanφ= 3 ，2 3 3 3
且 φ < π ，所以 = π ，
2 6
π
又因为 ,0 是 f x π π kπ 的对称中心，故 ω+ = ,k∈Z6 6 6 2
解得ω= 3k- 1,k∈Z T∈ π , 3π π且 ，即 < π < 3 π 4 <ω< 4所以，当 k= 1时，ω= 24 4 4 ω 4 3
f x = 2tan 2x+ π π即 ，所以 f = 2tan 2× π + π =- 2 3 故选:D6 3 3 6 3
2 (2022秋·高三课时练习)已知函数 f x =Acosωx- 3sinωx ω> 0 的部分图象如图，f x 的
kπ + π对称中心是 ,0 π k∈Z ，则 f2 6 3 = ( )
A. 2 3 B. -2 3 C. 3 D. -3
【答案】D
【分析】f 0 > 0可得A> 0，根据辅助角公式可得 f x = A2+3cos ωx+ φ ，由对称中心可得最小正
周期为 π，故ω= 2. f π = 0, π根据 可求A，从而可求 f6 3 .
【详解】f 0 =A> 0,f x =Acosωx- 3sinωx= A2+3cos ωx+ φ ，由 f x 的对称中心是
kπ + π ,0 k∈Z ，2 6
8
知 f π π x 的最小正周期T= π，故ω= 2.故 f =Acos - 3sin π = 1 A- 3 = 0,解得A= 3.6 3 3 2 2
故 f π = 3× cos 2π - 3 × sin 2π =- 3 - 3 =-3.故选:D.3 3 3 2 2
3 (2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习)设函数 f x = 2tan ωx- π ω> 0 的图象的一个对3
π称中心为 ,0 ，则 f x 的一个最小正周期是 ( )6
A. π B. π C. π D. 2π
3 4 5 5
【答案】C
【分析】利用正切型函数的对称性可得出ω的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果.
【详解】因为函数 f x = 2tan ωx- π π ω> 0 的图象的一个对称中心为 ,0 ，3 6
πω - π = kπ所以， k∈Z ，可得ω= 3k+ 2 k∈Z ，
6 3 2
∵ω> 0，则 k∈N π，故函数 f x 的最小正周期为T= + k∈N ，3k 2
π
当 k= 1时，可知函数 f x 的一个最小正周期为 .
5
故选：C.
题型 04对称轴型求w
【解题攻略】
正弦函数对称轴
x= π + 2kπ(k∈ Z)时，ymax= 1；2
x=- π + 2kπ(k∈ Z)时，y
2 min
=-1
余弦函数对称轴
x= 2kπ(k∈ Z)时，ymax= 1；
x= 2kπ+ π(k∈ Z)时，ymin=-1
1 (2022 秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函数 f (x) = Acosωx -
3 sinωx(ω > 0) 5π kπ的部分图象如图，y = f x 的对称轴方程为 x = + k∈ Z ，则 f 0 =
12 2
( )
9
A. 3 B. 2 C. 3 D. 1
2
【答案】A
【分析】根据给定的对称轴方程可得 f(x)的周期，进而求出ω，再借助函数性质及给定图象求出A值
作答.
【详解】由给定的图象知，
f(0) =A> 0，f(x) =Acosωx- 3sinωx= A2+3cos(ωx+ φ)，
即 f(x)max= A2+3，
5π kπ
因函数 y= f(x)图象的对称轴方程为 x= + k∈ Z ，
12 2
则 y= f(x)的最小正周期T= π ω= 2π， = 2，
T
5π 5π
而 f =Acos - 3sin 5π =- 3 (A+ 1) 5π，显然有 f = A2+3，12 6 6 2 12
即 3 (A+ 1) = A2+3，解得A= 3，所以 f(0) = 3.故选：A2
2 (2022· π全国·高三专题练习)若 x= 是函数 f x = cosωx ω≠ 0 图象的对称轴，则 f x 的最小正
3
周期的最大值是 ( )
A. π B. π C. π D. 2π
6 3 2 3
【答案】D
【分析】根据对称轴可求ω的值，从而可求最小正周期.
π
【详解】因为 x= 是函数 f x = cosωx ω≠ 0 图象的对称轴，
3
所以ω× π = kπ,k∈ Z,k≠ 0，故ω= 3k,k∈ Z,k≠ 0，
3
2π 2π
所以 ω min= 3，故 f x 的最小正周期的最大值为 = ，
ω min 3
故选：D.
【变式训练】
10
1 (2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数 y= sinx+ acosx的图像关
于 x= π 对称，则函数 y= asinx+ cosx的图像的一条对称轴是 ( )
3
A. x= 5π B. x= 2π C. x= π D. x= π
6 3 3 6
【答案】D
【分析】先由函数 y= sinx+ acosx π 3的图像关于 x= 对称，求出 a= ，再对 y= asinx+ cosx化简
3 3
即可求出.
【详解】函数 y= sinx+ acosx变为 y= 1+ a2sin x+ θ ，(令 tanθ= a).
因为函数 y= sinx+ acosx π π的图像关于 x= 对称，所以 + θ= kπ+ π ,k∈ Z,
3 3 2
π
解得：θ= kπ+ ,k∈ Z.所以 a= tanθ= tan kπ+ π = 3 .6 6 3
所以函数 y= asinx+ cosx= 3 sinx+ cosx= 2 3 sin x+ φ ，其中 tanφ= 3,
3 3
π
其对称轴方程 x+ φ= kπ+ ,k∈ Z,所以 x= kπ+ π - φ,k∈ Z.
2 2
π
因为 tanφ= 3，所以 φ= k1π+ ,k1∈ Z π，所以 x= kπ+ - φ= π k- k1 π+ .3 2 6
π
当 k= k1时，x= 符合题意.对照四个选项，D正确.故选：D.6

2 ( “超级全能生”高考全国卷 26省 9月联考乙卷数学试题)已知向量 a= (sinωx,cosωx),b= (1,

-1)，函数 f(x) = a b 1，且ω> ,x∈R，若 f(x)的任何一条对称轴与 x轴交点的横坐标都不属于区间
2
(3π,4π)，则ω的取值范围是 ( )
A. 7 , 15 12 16 ∪
13
,
19 B.
7 , 11 11 ∪ ,
15
12 16 12 16 12 16
C. 1 , 7 ∪ 11 , 19 D. 1 , 11 ∪ 11 , 15 2 12 12 16 2 16 12 16
【答案】B
【解析】
an ,f(x) = 2sin ωx- π , ω> 1 T= 2π由 ，得 < 4π T， > π, 1 <ω< 1, π π由对称轴ωx- =4 2 ω 2 2 4 2
+ kπ,x= 1 3 π+ kπ ,k∈ z, 3 k 1 k假设对称轴在区间 3π,4π 内，可知 + <ω< + ,当 k= 1,2，ω 4 16 4 4 3
3 7时， <ω< 7 , 11 <ω< 11 , 15 <ω< 5 1，现不属于区间 3π,4π ，所以上面的并集在全集 <
16 12 16 12 16 4 2
ω< 1 ω∈ 7 , 11 ∪ 11 , 15中做补集，得 ，选B.12 16 12 16

3 已知向量 a= sinωx,cosωx ,b= 1,-1 1 ，函数 f x = a b，且ω> ,ω∈R，若 f x 的任何一
2
11
条对称轴与 x轴交点的横坐标都不属于区间 3π，4π ，则ω的取值范围是
A. 7 15 ，
13 19 7 11 11 15
12, 16
∪ ， B. ， ∪ ，12 16 12, 16 12 16
C. 1 7， ∪ 11 19 ， D. 1 11， ∪ 11 15， 2 12 12 16 2 16 12 16
【答案】B
【详解】f x = sinωx- cosωx= 2sin ωx- π T，又 ≥ π T= 2π 1 1， ，ω> ，所以 <ω< 1，由4 2 ω 2 2
f x 的任何一条对称轴与 x轴的交点的横坐标都不属于区间 3π，4π ，则
π π
2 + kπ≤ 3πω- 4 4k+ 3 ≤≤ 4k+ 7 π π 得 ，k∈ Z，当 k= 0
1
， ≤ω≤ 7 ，显然不符合题意；当 k
+ π+ kπ≥ 4πω- 12 16 4 162 4
= 1 7， ≤ω≤ 11 11 15符合题意；当 k= 2， ≤ω≤ ，符合题意；当 k= 3 5， ≤ω≤ 19 ，显然不符合题
12 16 12 16 4 16
ω 7 11意，综上 的取值范围是 ，
∪ 11 15， ，故选B12, 16 12 16
题型 05 对称轴及单调性型求w
1 (2021 π届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题)已知函数 f(x) = sin ωx+ (ω> 0)，对任意的 x6
∈R，都有 f(x+ 1) = f(-x)，且 f(x)在区间 - π , π 上单调，则ω的值为 .4 12
2π
【答案】
3
【分析】
f(x+ 1) = f(-x) f(x) x= 1 sin 1 ω+ π =±1, 1 π根据 ，得函数 的对称轴为 ，所以有 可得 ω+ =2 2 6 2 6
π + kπ,k∈ Z，解得ω= 2π + 2kπ,k∈ Z π π，再分类讨论又 f(x)在区间 - , 上单调递增和递减两2 3 4 12
种情况，对每一种情况列出关于ω的不等式组，解之可求得ω的值.
【详解】
因为 f(x+ 1) = f(-x) 1 1 π 1 π π，所以函数 f(x)的对称轴为 x= ，所以 sin
2 ω+ =±1,即 ω+ =2 6 2 6 2
+ kπ,k∈ Z，解得ω= 2π + 2kπ,k∈ Z，
3
∵ω> 0,∴ k≥ 0,k∈ Z, f(x) - π , π又 在区间 上单调，所以4 12
(1) f(x) - π , π π π π若 在区间 上单调递增，则- + 2kπ≤ωx+ ≤ + 2kπ,k∈ Z ∵ω> 0 ，∴4 12 2 6 2
12
1 - 2π + 2kπ ≤ x≤ 1 π + 2kπ, ,k∈ Z，ω 3 ω 3
-
π 1 2π 1 1 2
∴ 4
≥ ω - 3 + 2kπ - 4 ≥ ω - 3 + 2k 8
π 1 π ，即 1 1 1 ，解得ω≤ - 8k,k∈ Z，≤ + 2kπ, ≤ + 2k 312 ω 3 12 ω 3
所以 0<ω≤ 8 - 8k,k∈ Z，且ω= 2π + 2kπ,k∈ Z 2π，所以当 k= 0时，ω= 满足题意；
3 3 3
(2)若 f(x) π π π π 3π在区间 - , 上单调递减，则 + 2kπ≤ωx+ ≤ + 2kπ,k∈ Z ∵ω> 0 ，∴4 12 2 6 2
1 π + 2kπ ≤ x≤ 1 4π + 2kπ, ,k∈ Z，ω 3 ω 3
-
π
4 ≥
1 π 1 1 1
∴ ω 3
+ 2kπ - ≥
，即 4 ω 3 + 2k 4 π 1 4π 1 1 4 ，解得ω≤- - 8k,k∈ Z，≤ 312 ω 3 + 2kπ, 12 ≤ ω 3 + 2k
所以 0<ω≤- 4 - 8k,k∈ Z，且ω= 2π + 2kπ,k∈ Z，此时无解，
3 3
2π 2π
综上可得ω= 满足题意；故答案为： .
3 3
2 (2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 数学 (二)试题)已知函数 y= sin(ωx+ φ) (ω> 0,φ
∈ (0,2π)) π的一条对称轴为 x=- ，且 f(x) 4π在 π, 上单调，则ω的最大值为 ( )6 3
A. 5 B. 3 C. 7 D. 8
2 2 3
【答案】D
【分析】
函数 y= sin(ωx+ φ) kπ π的对称轴可表示为：x= - (k∈Z)，f(x) π, 4π在 上单调可得 k0∈Z，ω 6 3
k0π π
ω - 6 ≤ π 6 2使得 k0+1 π ，然后可得 k ≤ω≤ k +1 ，即可分析出答案. - π ≥ 4π 7 0 3 0ω 6 3
【详解】
函数 y= sin(ωx+ φ) kπ π的对称轴可表示为：x= - (k∈Z)，
ω 6
k0π - π ≤ π
f(x)在 π, 4π ω 6 6 2上单调可得 k0∈Z，使得3 k +1 π ，解得 k0≤ω≤ k +1 0 0 π 4π 7 3ω - 6 ≥ 3
8
又. ∵ω> 0,∴ k0= 0,1,2,3，∴当 k0= 3时，ω可取最大值为 3
【变式训练】
1 (四川省成都市新都区 2020- 2021学年高三诊断测试数学试题)已知函数 f x =
2sin ωx+ φ ω> 0 π 满足 f = 2，f π = 0 f x π , π，且 在区间4 4 3 上单调，则ω的最大值为
13
．
34
【答案】
3
【分析】
π π T π
根据函数在区间 , 上单调得 ≥ ，再由 f4 3 2 12
π = 2，f π = 0得到区间4
π
,π 的长度恰好为4
2k- 1T，再根据ω的范围求得 k的最大值，进而得到ω的最大值.
4
f x π , π T π π π π 2π π【详解】因为 在区间 上单调，所以 ≥ - = T≥ ≥ 0<ω≤ 12，4 3 2 3 4 12 6 ω 6
π
因为 f = 2 2k- 1，f π = 0，所以 T= π- π = 3π ,k∈N *，4 4 4 4
T= 3π 2π = 3π ω= 4k- 2 4k- 2所以 ,k∈N *- - ，当ω= ≤ 12 k≤ 9，2k 1 ω 2k 1 3 3
4× 9- 2 34 34
所以ωmax= = .故答案为： .3 3 3
2 (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x = sinωx(ω> 0)在 - π π， 上是单调函数，其图象6 4
3π
的一条对称轴方程为 x= ，则ω的值可能是 ( )
4
A. 1 B. 2 C. 1 D. 4
3 3 3
【答案】B
【分析】利用正弦函数的图象与性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.
π π
【详解】由题意，函数 f x = sinωx(ω> 0) 在 - ，
上是单调函数，
6 4
3π
4 ω= kπ+
π
2 ,k∈ Z ω= 4k + 2 ,k∈ Z则满足 π π ，可得 3 3 ，4 ≤ 2ω 0<ω≤ 2
2
结合选项可得，ω可能的值为 和 2.故选：B.
3
3 (2023· π内蒙古赤峰·校考模拟预测)若直线 x= 是曲线 y= sin ωx- π (ω> 0)的一条对称4 4
轴，且函数 y= sin ωx- π π在区间 4 0， 上不单调，则ω的最小值为 ( )12
A. 9 B. 7 C. 11 D. 3
【答案】C
π
【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数 y= sin ωx- 4 含有数 0的单调区间即可判断
作答.
【详解】因直线 x= π 是曲线 y= sin ωx- π (ω> 0) π π π的一条对称轴，则 ω- = kπ+ ,k∈N，即4 4 4 4 2
14
ω= 4k+ 3,k∈N，
由- π ≤ωx- π ≤ π π 3π得- ≤ x≤ ，则函数 y= sin ωx- π - π , 3π在 上单调递增，2 4 2 4ω 4ω 4 4ω 4ω
π π 3π π
而函数 y= sin ωx- 在区间 4 0, 上不单调，则 < ，解得ω> 9，12 4ω 12
所以ω的最小值为 11.故选：C
题型 06 “临轴”型求w
【解题攻略】
若 f x =Asin ωx+ φ A≠ 0,ω≠ 0 的图像关于直线x= x0对称,则 f x0 =A或 f x0 =-A.
1 (2023 秋 ·四川绵阳 ·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知函数 y = Asin ωx+ φ +
m A> 0,ω> 0, φ < π 的最大值为 4，最小值为 0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距2
π π
离为 ，直线 x= 是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是 ( )
2 6
A. y= 4sin x+ π B. y= 2sin 2x+ π + 26 6
C. y= 2sin 2x+ π + 2 D. y= 2sin x+ π + 23 3
【答案】B
【分析】根据函数 y=Asin ωx+ φ +m A> 0,ω> 0, π φ < 的最大值为 4，最小值为 0，求得A，2
m π ω x= π，再由该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 ，求得 ，然后由直线 是该函数图
2 6
象的一条对称轴求解.
【详解】因为函数 y=Asin ωx+ φ +m A> 0,ω> 0, φ < π 的最大值为 4，最小值为 0，2
所以A+m= 4,m-A= 0，所以A=m= 2，
π 2π
又因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 ，所以T= π，则 ω= = 2，
2 π
所以函数 y= 2sin 2x+ φ + 2，又直线 x= π 是该函数图象的一条对称轴，
6
π
所以 2× + φ= kπ+ π ,k∈ Z π π π，则 φ= kπ+ ,k∈ Z，因为 < ，所以 φ= ，
6 2 6 2 6
所以该函数的解析式是 y= 2sin 2x+ π + 2，故选：B6
π π
2 (2023秋·高三课时练习)已知函数 f x = sin ωx+ φ ω> 0, φ ≤ ，x=- 是函数 f x 的一个2 8
15
x= π π π零点， 是函数 f x 的一条对称轴，若 f x 在区间 , 上单调，则ω的最大值是 ( )8 5 4
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】A
f x T 2n+ 1 π【分析】设函数 的最小正周期为 ，根据题意分析得出 T= ，其中n∈N，可得出ω=
4 4
4n+ 2，利用函数 f x 的单调性可得出ω的取值范围，可得出ω的可能取值，然后对ω的值由大到小
进行检验，可得结果.
【详解】设函数 f x 的最小正周期为T，
π π
因为 x=- 是函数 f x 的一个零点，x= 是函数 f x 的一条对称轴，
8 8
2n+ 1
则 T= π - - π
4 8 8 =
π
，其中n∈N π，所以，T= + =
2π
，∴ω= 4n+ 2，
4 2n 1 ω
f x π , π π - π ≤ T π因为函数 在区间 上单调，则 = ，所以，ω≤ 20.5 4 4 5 2 ω
所以，ω的可能取值有：2、6、10、14、18.
(i)当ω= 18 f x = sin 18x+ φ f - π = sin - 9π时， ， + φ = 0，8 4
9π 9π
所以，φ- = kπ k∈ Z ，则 φ= kπ+ k∈ Z ，
4 4
∵- π ≤ φ≤ π ，∴ φ= π π，所以，f x = sin 18x+ ，
2 2 4 4
π < x< π当 时，4π- 3π = 77π < 18x+ π < 19π = 4π+ 3π ，所以，
5 4 20 20 4 4 4
π π
函数 f x 在 , 上不单调，不合乎题意；5 4
(ii)当ω= 14 π 7π时，f x = sin 14x+ φ ，f - = sin - + φ = 0，8 4
所以，φ- 7π = kπ k∈ Z ，则 φ= kπ+ 7π k∈ Z ，
4 4
∵- π ≤ φ≤ π ，∴ φ=- π ，所以，f x = sin 14x- π ，2 2 4 4
π
当 < x< π 时，2π+ 11π = 51π < 14x- π < 13π = 2π+ 5π ，所以，
5 4 20 20 4 4 4
π π
函数 f x 在 , 上单调递减，合乎题意.因此，ω的最大值为 14.故选：A.5 4
【变式训练】
1 (2023秋· π河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知 x= ，x= π是函数 f x =
3
sin ωx+ φ ω> 0, π < φ< 3π 图象上两条相邻的对称轴，则 φ= ( )2 2
A. π B. 3π C. 2π D. π
4 3 3
16
【答案】A
【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可.
π- π【详解】由题意得： = T = 2π ω= 3 ，故 f x = sin 3 x+ φ ，3 2 2ω 2 2
π π 3
则当 x= 时， × + φ= kπ+ π φ= kπ k∈ Z ，
3 3 2 2
π
又 < φ< 3π ，故 φ= π.故选：A.
2 2
2 (2023 ωx春·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数 f x = sin ωx + 2 3cos2 -2
3 ω> 0 ，且 f(x) π π图象的相邻两对称轴间的距离为 .若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后
2 3
得到 g(x)的图象，且当 x∈ 0,
π
时，不等式 2m
2-m≥ g x 恒成立，则m的取值范围为 ( )
4
A. -∞,-1 ∪ 1 ,+∞ B. -∞,- 1 ∪ 1,+∞ 2 2
C. -∞, 1- 17 ∪ 1+ 174 ,+∞4 D. -∞,0
1
∪ ,+∞2
【答案】B
【分析】先求得 f(x)的解析式，再得到 g(x)的解析式，并求得 g(x)在 0,
π
4

上的最小值，进而构造关于
m的不等式，解之即可求得m的取值范围.
f x = sin ωx + 2 3cos2 ωx【详解】 - 3= sin ωx + 3cos ωx = 2sin ωx+ π2 3
又 f(x) π 2π图象的相邻两对称轴间的距离为 ，则 f(x)的周期为 π，则ω= = 2，则 f(x) =
2 π
2sin 2x+ π3
f(x) π将函数 的图象向右平移 个单位后得到 g(x)的图象，则 g(x) = 2sin 2x- π3 3
π π
当 x∈ 0, 时，2x- ∈
- π , π ，2sin 2x- π ∈ - 3,1 4 3 3 6 3
当 x∈ 0, π 时，不等式 2m
2-m≥ g x 恒成立，
4
则 2m2-m≥ 1恒成立，解之得m∈ -∞,- 1 ∪ 1,+∞ 故选：B2
3 (2023春· π四川成都·高三校联考阶段练习)已知直线 x= x1,x= x2是函数 f x = sin ωx+ ,6
(ω> 0) π图象的任意两条对称轴，且 x1-x2 的最小值为 ，则 f x 的单调递增区间是 ( )2
A. kπ+ π ,kπ+
2π ,k∈ Z B.
kπ- π ,kπ+
π
6 3 3 6
,k∈ Z
C. 2kπ+ π ,2kπ+ 4π ,k∈ Z D.

2kπ-
π ,2kπ+ 5π ,k∈ Z
3 3 12 12
17
【答案】B
T
【分析】由题知 = π ，进而得 f x π = sin 2x+ ，再求解函数单调区间即可.2 2 6
【详解】解：∵直线 x= x1,x= x2是函数 f x = sin ωx+ π6 图象的任意两条对称轴，且 x1-x2 的最
π
小值为 ，
2
∴ T = π T= π= 2π ω= 2，即 f x = sin 2x+ π2 2 ω 6 ，
令 2x+ π ∈ 2kπ-
π ,2kπ+ π ,k∈ Z，解得 x∈

kπ-
π ,kπ+ π ,k∈ Z，
6 2 2 3 6
∴ f π π x 的单调递增区间是 kπ- ,kπ+

,k∈ Z.故选：B.3 6
题型 07 “临心”型求w
【解题攻略】
函数 y=Asin ωx+ φ +B(A> 0,ω> 0)的性质：
(1) ymax=A+B，ymin=A-B.
(2)周期T= 2π .
ω
(3)由 ωx+ φ= π + kπ k∈ Z 求对称轴，由ωx+ φ= kπ k∈ Z 求对称中心.
2
( π4)由- + 2kπ≤ωx+ φ≤ π + 2kπ k∈ Z π 3π 求增区间；由 + 2kπ≤ωx+ φ≤ +
2 2 2 2
2kπ k∈ Z 求减区间.
1 (2023春·广东珠海·高三校考)已知函数 f x = sinωx+ cosωx ω> 0 的图象的一个对称中心的横
π π π
坐标在区间 , 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则ω的取值范围为 ( )4 2 3
A. 0,3 B. 3 ,3 C. 0, 3 D. 1,3 2 2
【答案】B
π
【分析】利用辅助角化简函数解析式为 f x = 2sin ωx+ ω> 0 ，分析可知，函数 f x 的最小正4
周期T 2π满足T> ，求出ω的取值范围，求出函数 f x 图象对称中心的横坐标，可得出ω所满足的
3
不等式，即可得出ω的取值范围.
【详解】因为 f x = sinωx+ cosωx= 2sin ωx+ π4 ω> 0 ，
18
π
因为函数 f x 的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于 ，
3
f x T T> 2π 2π > 2π所以，函数 的最小正周期 满足 ，即 ，则 0<ω< 3，
3 ω 3
4k- 1 π
由ωx+ π = kπ k∈Z 可得 x= k∈Z ，因为函数 f x 的图象的一个对称中心的横坐标
4 4ω
π π
在区间 , 内，4 2
π 4k- 1 π π 4k- 1 4k- 1> 0则 < < ，可得 <ω< 4k- 1，又因为 0<ω< 3且ω存在，则
4 4ω 2 2 4k- 1 < ，解得2 3
1 < k< 7 ，
4 4
因为 k∈Z，则 k= 1 3，所以， <ω< 3，故选：B.
2
2 (2023 上 ·天津东丽 ·高三天津市第一百中学校考阶段练习 )函数 f x = Asin ωx+ φ + 1，
A> 0,ω> 0, φ < π π的最大值为 2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为 ，且 f x 的图象关2 2
π
于直线 x= 对称，则下列判断正确的是 ( )
12
A. 函数 y= f π x 在 - ,
π 上单调递减6 3
B. π将 f x 图象向右平移 个单位与原图象重合
3
C. 函数 y= f x π 图象关于点 - ,0 对称6
D. 函数 y= f x 5π 的图象关于直线 x=- 对称
12
【答案】D
【分析】依题意可求得A,ω,φ,从而可求得 f x 的解析式，从而可以对函数的单调区间、对称中心、对
称轴、平移一一判断.
f x =Asin ωx+ φ + 1 A> 0,ω> 0, φ < π【详解】函数 ， 的最大值为 2，即A+ 1= 2，所以A=2
1，
T 1 2π π
又图象相邻两个对称中心之间的距离为 = × = ,∴ω= 2，由 f x 的图象关于直线 x=
2 2 ω 2
π
对称，
12
π
所以 2× + φ= kπ+ π π，即 φ= kπ+ ,k∈ Z，∵ φ < π ,∴ φ= π ,f x π = sin 2x+
12 2 3 2 3 3 + 1.
x∈ - π , π 2x+ π当 时， ∈ 0,π ，函数 y= f x 不单调，故选项A错误；6 3 3
19
将 f x
π
图象向右平移 个单位，得 f x- π = sin 2 x- π + π + 1= sin3 3 3 3 2x-
π + 1，3
其图象与原图象不重合，故选项B错误；
令 x=- π ，可得 f x π = 1，图象关于点 - ,1 对称，故选项C错误；6 6
当 x=- 5π 时，f x = 0 5π为最小值，函数 y= f x 的图象关于直线 x=- 对称，故选项D正确.
12 12
故选：D.
【变式训练】
1 (2023下·河南焦作·高三统考)已知函数 f x = sinωx+ cosωx ω> 0 的图象的一个对称中心
π
的横坐标在区间 , π π内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则ω的取值范围为 ( )4 2 3
A. 0,3 B. 3 ,3 C. 0, 3 D. 1,3 2 2
【答案】B
【分析】利用辅助角化简函数解析式为 f x = 2sin ωx+ π ω> 0 ，分析可知，函数 f x 的最小正4
周期T 2π满足T> ，求出ω的取值范围，求出函数 f x 图象对称中心的横坐标，可得出ω所满足的不
3
等式，即可得出ω的取值范围.
【详解】因为 f x = sinωx+ cosωx= 2sin ωx+ π ω> 0 ，4
π
因为函数 f x 的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于 ，
3
所以，函数 f x 的最小正周期T满足T> 2π 2π > 2π，即 ，则 0<ω< 3，
3 ω 3
π 4k- 1 π
由ωx+ = kπ k∈Z 可得 x= k∈Z ，
4 4ω
因为函数 f π π x 的图象的一个对称中心的横坐标在区间 , 内，4 2
π 4k- 1 π π 4k- 1 4k- 1> 0
则 < < ，可得 <ω< 4k- 1，又因为 0<ω< 3且ω存在，则 ，解得
4 4ω 2 2 4k- 12 < 3
1 < k< 7 ，
4 4
因为 k∈Z，则 k= 1 3，所以， <ω< 3，故选：B.
2
2 (2023· ωx π云南红河·统考二模)已知函数 f x = 3tan + (ω> 0)的图象的两个相邻对称中2 3
π
心之间的距离为 ，则ω= ( )
4
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
20
【答案】B
π
【分析】由正切函数的性质得出T= ，继而由周期公式得出ω.
2
ωx π
【详解】解：设 f x 的最小正周期为T，由函数 f x = 3tan +2 3 (ω> 0)的图象上相邻两
π T π π
个对称中心之间的距离为 ，知 = ，T= ，
4 2 4 2
又因为T= π π π ω π，所以 = ，即 = = 2，则ω= 4．
ω 2 ω 2 π
2 2 2
故选：B．
3 (2021 π 2π上·四川雅安·高三统考期末)已知函数 f(x) = tan(ωx+ φ) ω≠ 0, φ < ，点 ,02 3 和
7π ,0 5π 4π是其相邻的两个对称中心，且在区间 , 内单调递减，则 φ= ( )6 6 3
A. π B. - π C. π D. - π
6 6 3 3
【答案】A
【解析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T，然后由T
= π 求出ω，然后再代点讨论满足题意的 φ，即可得出答案.
ω
T 7π 2π
【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为 ，得T= 2 -
2 6 3 = π.
T= π = 1 ω = 1 ω=±1. φ < π 5π , 4π则由 得 ，即得 由 ，且在区间 内单调递减，则可得ω=-1， ω 2 6 3
∴ f x = tan -x+ φ =-tan x- φ . 2π由 - φ= kπ ,k∈ Z 2π kπ得 φ= - ,k∈ Z π，因 φ < ，可
3 2 3 2 2
得 φ= π 或- π ，
6 3
当 φ=- π 时，f x =-tan x+ π ，由 kπ- π < x+ π < kπ+ π ,k∈ Z 5π π，得 kπ- < x< kπ+ ,3 3 2 3 2 6 6
k∈ Z，
则函数 f x 的单调减区间为 kπ- 5π ,kπ+ π ,k∈ Z，6 6
k= 1 5π 4π π 7π 5π 4π令 ，由 , , ，得函数 f x 在 ,6 3 6 6 6 3 上不是单调递减，
所以 φ=- π 不满足题意；
3
φ= π当 时，f x =-tan x- π ，由 kπ- π < x- π < kπ+ π ,k∈ Z π 2π，得 kπ- < x< kπ+ ,k6 6 2 6 2 3 3
∈ Z，
π 2π
则函数 f x 的单调减区间为 kπ- ,kπ+ ,k∈ Z，3 3
21
k= 1 5π令 ，由 , 4π 2π , 5π 5π 4π，得函数 f x 在 , 上单调递减，6 3 3 3 6 3
φ= π π所以 满足题意；综上可得：φ= 满足题意.故选：A.
6 6
题型 08 区间内有“心”型求w
【解题攻略】
求w的表达式时，wx+ φ= k1π(k1∈ z)中不要把k1写成 k,因为后面还有一个 k, wx+ φ= k2π(k2∈
z)中不要把k2写成 k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等.
1 ( π π天津市部分区 2020届高考二模数学试题)若函数 f(x) = cos(2x+ φ) (0< φ< π)在区间 - ,

6 6
π
上单调递减，且在区间 0, 上存在零点，则 的取值范围是 ( )6
A. π , π 2π 5π B. ， C. π , 2π D. π π6 2 3 6 2 3 ，3 2
【答案】D
【分析】
π π π φ
由题意结合余弦函数的单调区间可得 - + φ, + φ [0,π]，由余弦函数的零点可得 - ∈3 3 4 2
0, π6 ，即可得解.
π π π π π 4π
【详解】当 x∈ - , 时，2x+ φ∈

- + φ, + φ
，又 φ∈ (0,π)，∴ 2x+ φ∈ - , ，6 6 3 3 3 3
∵ π π函数 f(x) = cos(2x+ φ) (0< φ< π)在区间 - ,6 6

上单调递减，
φ- π ≥ 0
∴
- π + φ, π + φ [0,π]
π
，即 3 π ，解得 ≤ φ≤
2π
；
3 3 φ+ ≤ π 3 33
( ) = ( + )= + = π + ∈ = π - φ令 f x cos 2x φ 0，则 2x φ kπ k Z ，即 x + kπ k∈ Z ，
2 4 2 2
π - φ ∈ - π , π π
φ
π由 ，可得当且仅当 k= 0时， - ∈ 0, ，4 2 4 4 4 2 6
又函数 f(x) = cos(2x+ φ) (0< φ< π) π在区间 0, 上存在零点，6
∴ π - φ ∈ 0, π π，解得 < φ< π π π；综上， 的取值范围是 , .故选：D.4 2 6 6 2 3 2
2 (2021春 商洛)已知函数 f(x) = sin ωx + π2 14 sin
3π - ωx (ω> 0)在 [0，π) 上恰有 6个零7 2
22
点，则ω的取值范围是 ( )
A. 41 , 48 B. 34 , 41 C. 41 , 48 D. 34 417 7 7 7 ,7 7 7 7
f(x) = sin ωx + π sin 3π - ωx【解答】解： = sin ωx + π cos π - 3π - ωx 2 14 7 2 2 14 2 7 2
= sin ωx + π cos ωx + π = 1 sin ωx+ π2 14 2 14 2 7
x= 0 π π π当 时，ωx+ = ；当 x= π时，ωx+ =ωπ+ π ．
7 7 7 7
因为 f(x)在 [0，π)上恰有 6个零点，且ω> 0，
所以 6π<ωπ+ π ≤ 7π 41 48，解得 <ω≤ ．
7 7 7
故选：A．
【变式训练】
1 (2022 π湖北模拟)已知函数 f(x) = cos ωx- 3 -
1 (ω> 0)在区间 [0，π]上恰有三个零点，
2
则ω的取值范围是 　 2, 83 　 ．
π 1
【解答】解：由题意：转化为 y= cos ωx- 与函数 y= 在区间 [0，π]上恰有三个交点问题，3 2
∵ x∈ [0，π] π π π 1上，∴ - ≤ωx- ≤ωπ- ．当 x= 0 ，可得 y= ．
3 3 3 2
5π π 7π 8
根据余弦函数的图象：可得 ≤ωπ- < ， 解得：2≤ω<
3 3 3 3
∴ω 8 8的取值范围是 2， 故答案为： 2， ．3 3
2 ( π云南省 2020届高三适应性考试数学试题)若函数 f x = 2sin ωx+ φ ω> 0， < φ< π 图2
象过点 0, 3 ，f x 在 0,π 上有且只有两个零点，则ω的最值情况为 ( )
A. 1 4 4最小值为 ，最大值为 B. 无最小值，最大值为
3 3 3
C. 7 1 7无最小值，最大值为 D. 最小值为 ，最大值为
3 3 3
【答案】C
kπ- 2π
【分析】由图象过点 0, 3 求出 φ，然后解 f(x) = 0，得 x= 3 k∈Z ，再分析在 0,π 上有且只
ω
有两个时，k的取值只能是 1,2，从而可得ω的范围，
【详解】由题可知 f 0 = 3，即 2sinφ= 3，∴ sinφ= 3 ，
2
又∵ φ∈ π ,π ，∴ = 2π ，∴ f x = 2sin ωx+ 2π .2 3 3
23
kπ- 2π
令 2sin ωx+ 2π = 0，得ωx+ 2π = kπ k∈Z ，解得 x= 3 k∈Z 3 3 ω
又∵ω> 0，f x 在 0,π 上有且只有两个零点，
4π < π
∴ k 4 7只能取 1，2，故 3ω 7π ，解得 <ω≤ ，3ω ≥ π 3 3
∴ω∈ 4 , 7 7 ，∴ωmax= ，没有最小值．故选：C.3 3 3
3 (2021年全国高考甲卷数学 (理)试题变式题 16- 20题)设函数 f x = 2sin ωx+ φ - 1(ω>
0) π 3π，若对于任意实数 φ，f x 在区间 , 上至少有 2个零点，至多有 3个零点，则ω的取值范围是4 4
．
16
【答案】 4, 3
π 3π
【分析】原问题转化为 y= sint在区间 ω+ , ω+

上至少有 2个，至多有 3个 t，使得 y= sint4 4
= 1 ω 13π π，求 得取值范围，作出可知，满足条件可最短区间长度为 - = 2π 17π，最长区间长度为
2 6 6 6
- π = 8π ，由此建立关于ω的不等式，解出即可．
6 3
【详解】令 f x = 0，则 sin ωx+ φ = 1 ，令 t=ωx+ φ，则 sint 1 ，
2 2
则原问题转化为 y= sint π ω+ φ, 3π在区间 ω+ φ
1 上至少有 2个，至多有 3个 t，使得 y= sint= ，4 4 2
求ω得取值范围，
作出 y= sint与 y= 1 的图象，如图所示，
2
13π π 17π π 8π
由图可知，满足条件可最短区间长度为 - = 2π，最长区间长度为 - = ，
6 6 6 6 3
∴ 2π≤ 3π ω+ φ - π ω+ φ < 8π 16 16，解得 4≤ω< ．故答案为： 4, ．4 4 3 3 3
题型 09 区间内无“心”型求w
24
【解题攻略】
无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结
果，对于其他否定性问题经常这样思考.
1 已知函数 f x = sin2ωx- 2cos2ωx+ 1 ω> 0 ,x∈R，若函数 f x π 在区间 ,π 内没有零点，则 ω2
的取值范围为 .
1 1 5
【答案】 0, ∪ , 8 4 8
【分析】先把 f x 化为 f x = 2sin 2ωx- π ，求出其零点的一般形式后利用函数 f x 在区间4
π ,π 内没有零点构建关于ω,k的不等式组，通过讨论 k的范围可得ω的取值范围.2
【详解】因为 f x = sin2ωx- 2cos2ωx+ 1 ω> 0 ,x∈R，
故 f x = sin2ωx- cos2ωx= 2sin 2ωx- π ，4
令 f x = 0，则 2ωx- π = kπ,k∈ Z x= kπ π，故函数的零点为 + ,k∈ Z.
4 2ω 8ω
kπ
π 2ω +
π π
8ω ≤ 2
因为函数在 ,π2 内无零点，故存在整数 k，使得 k+ 1 π ，2ω + π8ω ≥ π
ω≥ k+ 1 4 k+ 1 1 1 3 k+ 1 故 k+ 1 ，因ω
1
为正实数，故 + ≥ k+ ，故 k≤ ，又 + > 0，故 k≥
ω≤ + 1 2 8 4 4 2 82 8
-1 k=-1 k= 0. k=-1 0<ω≤ 1，故 或 当 时， ，当 k= 0 1 5时， ≤ω≤ .故ω∈
8 4 8 0,
1 ∪ 1 , 5 8 .4 8
1 1
故答案为 0, ∪ , 5 .8 4 8
2 ( π天津市南开中学 2022届高三下学期统练二数学试题)已知函数 f(x) = sin ωx+ sin ωx+ 2π6 3
(ω> 0)，(x∈R)，若 f(x) π在区间 ,π 内没有零点，则ω的取值范围是 .2
【答案】 0, 1 2 ∪ , 53 3 6
1 1
【分析】化简变形 f x ，根据三角函数的性质求出 f x 的零点，根据条件得出区间 ω+ ,2ω+3 3
T π 1 1
内不存在整数，再根据 ≥ 可得 ω+ ,2ω+ 为 0,1 或 1,2 的子集，从而得出ω的范围．2 2 3 3
π 2π
【详解】f x = sin ωx+ sin ωx+ = sin6 3 ωx+
π sin ωx+ π + π = 1 sin 2ωx+ π ．6 6 2 2 3
令 2ωx+ π = kπ，可得 x=- π + kπ ，k∈ Z．
3 6ω 2ω
25
π <- π令 + kπ < π，解得ω+ 1 < k< 2ω+ 1 ，
2 6ω 2ω 3 3
∵函数 f x π 1 1 在区间 ,π 内没有零点，∴区间 ω+ ，2ω+ 内不存在整数．2 3 3
2π 1 π π
又 ≥ π- = ，∴ω≤ 1，
2ω 2 2 2
又ω> 0，∴ ω+ 1 ,2ω+ 1 (0，1)或 ω+ 1 ,2ω+ 13 3 3 3 (1，2)．
∴ 2ω+ 1 ≤ 1 1≤ω+ 1或 < 2ω+ 1 ≤ 2 1 2 5，解得 0<ω≤ 或 ≤ω≤ ．
3 3 3 3 3 6
∴ω 1的取值范围是 0，3 ∪
2 5 1 2 5
， ，故答案为 0，

3 6 3 ∪ ， ．3 6
【变式训练】
f(x) = sinωx- 11 函数 + cos2 ωx 1，且ω> ，x∈R，若 f(x)的图像在 x∈ (3π，4π)内与 x轴无
2 2 2
交点，则ω的取值范围是 .
7 11 11 15【答案】 ， ∪ ， 12 16 12 16
T
【详解】∵ f x 的图像在 x∈ 3π，4π 内与 x轴无交点∴ > π2
∵ f x = sinωx- 1 + cos2 ωx = 2 sin ωx+ π ∴ 1 <ω< 1∵由对称中心可知ωx+ π = kπ
2 2 2 4 2 4
∴ x= 1 kπ- π ,k∈ Z∵ k 1 k 1假设在区间 3π，4π 内存在交点，可知 - <ω< -ω 4 4 16 3 12
∴当 k= 2,3,4 7 <ω< 7 , 11 <ω< 11 , 15时， <ω< 5
16 12 16 12 16 4
∴ 1 <ω< 1 ω∈ 7 , 11 ∪ 11 15以上并集在全集 中做补集，得 2 ,12 16 12 16
7 11 11 15故答案为 , ∪ ,12 16 12 16
2 (2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)将函数 f x = sinx的图象先向右平移
π 1
个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 (ω> 0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的
3 ω
π 3π
图象，若函数 g x 在 , 上没有零点，则ω的取值范围是 ( )2 2
A. 0, 2 ∪ 2 , 8 B. 0, 8 C. 0, 2 ∪ 8 ,1 9 3 9 9 9 9 D. 0,1
【答案】A
π
【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数 g x = sin ωx- ，再利用正弦曲线的零点即可求得3
ω的取值范围
【详解】将函数 f x = sinx π π的图象先向右平移 个单位长度，得到 y= sin x-3 3
26
1
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 (ω> 0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x = sin ωx- πω 3
由函数 g x
π 3π T 3π π 2π
在 , 上没有零点，则 ≥ - ，则T≥ 2π由 ≥ 2π，可得 0<ω≤ 12 2 2 2 2 ω
π 3π
假设函数 g x 在 , 上有零点，2 2
ωx- π则 = kπ,k∈ Z，则 x= kπ + π ,k∈ Z
3 ω 3ω
π < kπ + π 3π 2k 2由 < ，可得 + <ω< 2k+ 2 ,k>- 1 ,k∈ Z
2 ω 3ω 2 3 9 3 3
2 2
又 0<ω≤ 1，则ω∈ , ∪ 8 ,1 9 3 9
g x π , 3π 2则由函数 在 上没有零点，且 0<ω≤ 1，可得ω∈ 0,2 2 9 ∪
2 , 8 故选：A3 9
5
3 (2022·全国·高三专题练习)将函数 f x = cosx的图象先向右平移 π个单位长度，再把所得函
6
1
数图象的横坐标变为原来的 (ω> 0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图象，若函数 g x 在
ω
π , 3π 上没有零点，则ω的取值范围是 ( )2 2
A. 0, 2 ∪ 2 , 8 B. 0, 89 3 9 9 C. 0,
2 ∪ 8 ,1 D. 0,1 9 9
【答案】A
【解析】根据图象变换求出 g(x)的解析式，利用周期缩小ω的范围，再从反面求解可得结果.
5 5π
【详解】将函数 f x = cosx的图象先向右平移 π个单位长度，得到 y= cos x- 的图象，6 6
1
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 (ω> 0)倍，纵坐标不变，得到函数 g(x) = cos ωx- 5πω 6 (ω
> 0) T= 2π，周期 ，
ω
g x π , 3π 3π π T 2π因为函数 在 上没有零点，所以 - ≤ ，得T≥ 2π，得 ≥ 2π，得 0<ω≤ 1，2 2 2 2 2 ω
π 3π
假设函数 g x 在 , 上有零点，2 2
令 g(x) = 0 5π，得ωx- = kπ+ π kπ 4π，k∈ Z，得 x= + ，k∈ Z，
6 2 ω 3ω
π < kπ + 4π < 3π 8 + 2k 8则 ，得 <ω< + 2k，k∈ Z 2 2 8，又 0<ω≤ 1，所以 <ω< 或 <ω
2 ω 3ω 2 9 3 3 9 3 9
≤ 1，
π 3π
又函数 g x 在 , 上有零点，且 0<ω≤ 1 0<ω≤ 2 2 ≤ω≤ 8，所以 或 .故选：A2 2 9 3 9
题型 10 区间内最值点型求w
27
【解题攻略】
极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
2 π
1 已知函数 f x = sin ωx+ φ (ω> 0，0< φ< π)，f 0 = ，f = 0，f x 在 0, π 内有相邻2 4 4
两个最值点，且最小值点距离 y轴近，则ω的最小正整数值为 ( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
【答案】C
2 3π 3π π
【分析】由 f 0 = 结合已知条件可得 φ= + 2kπ，由 0< φ< π可求出 φ= ，再由 f = 0，2 4 4 4
π ω+ 3π可知 = kπ 2π π，结合 =T< ，可求出ω> 8，从而可选出正确答案.
4 4 ω 4
f 0 = sinφ= 2 3π【详解】解析：因为 ，结合已知，知 φ= + 2kπ(k∈Z)，
2 4
3π 3π
又因为 0< φ< π，所以 φ= ，所以 f x = sin ωx+ ．4 4
因为 f π = sin4
π ω+ 3π = 0 π 3π，所以 ω+ = kπ，k∈Z，4 4 4 4
解得ω= 4k- 3，k∈Z 2π =T< π．又因为 ，可得ω> 8，
ω 4
所以当 k= 3时，ω的最小正整数值为 9．故选:C.
π π π
2 已知函数 f x = sin ωx+ φ ω> 0, φ ≤ 的图象关于点M - ,0 及直线 l:x= 对称，且2 6 3
f x 在 π ,π 不存在最值，则 φ的值为 ( )2
A. - π B. - π C. π D. π
3 6 6 3
【答案】C
2π
【解析】根据对称得到T= + ,k∈N，根据没有最值得到T≥ π，得到T= 2π，ω= 1，再根据对称1 2k
中心得到 φ=mπ+ π ,m∈ Z，得到答案.
6
π π π
【详解】函数 f x = sin ωx+ φ ω> 0, φ ≤ 的图象关于点M - ,0 及直线 l:x= 对称.2 6 3
T + kT = π + π = π ,∴T= 2π则
4 2 3 6 2 1+ ,k∈N.2k
f x
π
在 ,π 不存在最值，则T≥ π，故 k= 0时满足条件，T= 2π，ω= 1.2
f - π = sin - π + φ6 6 = 0
π
，则- + φ=mπ,∴ φ=mπ+ π ,m∈ Z.
6 6
28
当m= 0 π时满足条件，故 φ= .故选：C.
6
【变式训练】
1 (2022年全国高考乙卷数学 (理)试题变式题 13- 16题)已知函数 f(x) = sin ωx+ π ,ω> 0，6
若 f π = f 5π π 5π且 f(x)在区间 , 上有最小值无最大值，则ω= ．4 12 4 12
【答案】4或 10##10或 4
π
【分析】根据 f 4 = f
5π 可求出 f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，12
结合 y= sinx的图像，根据 f(x) π , 5π在区间 上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω4 12
的取值.
π + 5ππ 5π
【详解】∵ f(x)满足 f = f4 12 ，∴ x=
4 12 = π 是 f(x)的一条对称轴，
2 3
∴ π ω+ π = π + kπ，∴ω= 1+ 3k，k∈ Z，
3 6 2
∵ω> 0，∴ω= 1,4,7,10,13, .
当 x∈ π , 5π π时，ωx+ ∈ π ω+ π , 5π ω+ π ，4 12 6 4 6 12 6
y= sinx图像如图：
要使 f(x) π 5π在区间 , 上有最小值无最大值，则：4 12
π ≤ π ω+ π < 3π 5π ≤ π ω+ π < 7π 2 4 6 2 4≤ω< 16 2 4 6 2 28 ≤ω< 52 或 ，
3π < 5π ω+ π

≤ 5π 3 7π < 5π ω+ π ≤ 9π 3 5 2 12 6 2 2 12 6 2
此时ω= 4或 10满足条件；
π , 5π 5π - π区间 的长度为： = 5π - 3π = π ，4 12 12 4 12 12 6
当ω≥ 13时，f(x) 2π 2π π π 5π最小正周期T= ≤ < ，则 f(x)在 , 既有最大值也有最小值，故ω
ω 13 6 4 12
≥ 13不满足条件.
综上，ω= 4或 10.
29
故答案为：4或 10.
2 (2022届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题)已知函数 f x = 3sin ωx+ φ ，
ω> 0,0< φ< π ，若 f - π = 0，对任意 x∈R恒有 f x ≤ f π π π，在区间 , 上有且只有一3 3 15 5
个 x1使 f x1 = 3，则ω的最大值为 ( )
A. 123 B. 111 C. 105 D. 117
4 4 4 4
【答案】C
【分析】
根据 f x
π π
的零点和最值点列方程组，求得ω,φ的表达式 (用 k表示)，根据 f x1 在 , 上有且只15 5
有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应 k的取值范围，由 k为整数对 k的取值进行验证，由此求
得ω的最大值.
【详解】
- π 3ω+ φ= k1π, ω=
3 2k+ 1 ,
由题意知 k 4 π π 1,k2∈ Z，则 + 其中 k= k1-k2，k= k2+k．3ω+ φ= 1k π+ , φ= 2k 1 π2 2 4 ,
π π π π 2π 3 2k+ 1
又 f x1 在 , 上有且只有一个最大值，所以 - = ≤ 2T，得 0<ω≤ 30，即15 5 5 15 15 4
≤ 30，所以 k≤ 19.5，又 k∈ Z，因此 k≤ 19．
π
k= 19 ω= 117 3π
- ω+ φ= k1π, π π 117
①当 时， ，此时取 φ= 可使 3 π π 成立，当 x∈ , 时， x+4 4 ω+ φ= k2π+ , 15 5 43 2
3π ∈ 2.7π,6.6π 117 3π ，所以当 x1+ = 4.5π或 6.5π时，f x1 = 3都成立，舍去；4 4 4
- πω+ φ= k1π,
②当 k= 18 ω= 111时， ，此时取 φ= π 3 x∈ π , π 111 π可使 成立，当 时， x+
4 4 π3ω+ φ= k π+ π , 2 15 5 4 42
∈ 2.1π,5.8π 111 π ，所以当 x1+ = 2.5π或 4.5π时，f x1 = 3都成立，舍去；4 4
- πω+ φ= k1π,
③当 k= 17 105时，ω= ，此时取 φ= 3π 3 x∈ π , π 105可使 成立，当 时， x+
4 4 πω+ φ= k π+ π2 , 15 5 43 2
3π ∈ 2.5π,6π 105 ，所以当 x1+ 3π = 4.5π时，f x1 = 3成立；4 4 4
105
综上所得ω的最大值为 ．故选:C
4
3 【( 全国百强校】河北衡水金卷 2022届高三 12月第三次联合质量测评数学试题)已知函数 f x
=Acos ωx+ φ A> 0,ω> 0, π π π π φ ≤ ，两个等式：f - + x - f - - x = 0,f - x +2 4 4 4
30
f π + x = 0 3π对任意的实数 x均恒成立，且 f x 在 0， 上单调，则ω的最大值为4 16
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
π π π π T T
由函数 f x 的图象关于直线 x=- 和点 ,0 对称可得： - - = + k k∈N ，即ω=4 4 4 4 4 2
2k+ 1 k∈N ，结合选项检验ω= 3与ω= 1即可.
【详解】
π π π
因为两个等式：f - + x - f - - x = 0,f - x + f π + x = 0对任意的实数 x均恒成立，所4 x 4 4
以 f x π π π π T T 的图象关于直线 x=- 和点 ,0 对称，所以 - - = + k k∈N ，因为T=
4 4 4 4 4 2
2π
，所以ω= 2k+ 1 k∈N . f x 0, 3π 3π 3π T π 因为 在 上单调，所以 - 0= ≤ = ，所以ω≤ω 16 16 16 2 ω
16
，由选项知，只需要验证ω= 3.
3
4 当ω= 3时，f x =Acos π 3x+ φ ，因为 f - x =-f π + x 对任意的实数 x均恒成立，所4 4
π
以 3 + φ= kπ+ π k∈ Z ，因为 φ ≤ π ，所以 φ=- π ，所以 f x =Acos 3x- π ，可以验证4 2 2 4 4
f x
3π
在 0, 上不单调，16
5 当ω= 1时，f x =Acos x+ φ π ，因为 f - x =-f π + x 对任意的实数 x均恒成立，所以4 4
π + φ= kπ+ π k∈ Z π π π ，因为 φ ≤ ·所以 φ= ·所以 f x =Acos x+ ，可以验证 f x 在4 2 2 4 4
0, 3π 上单调，所以w= 1.故选A.16
题型 11多可能性分析型求w
【解题攻略】
解决函数 f x =Asin ωx+ φ 综合性问题的注意点
(1)结合条件确定参数A,ω,φ的值，进而得到函数的解析式．
(2)解题时要将ωx+ φ看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
(3)解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
31
1 函数 f(x) = sin(ωx+ φ) ω> 0,|φ| ≤ π - π，已知 ,0 13π为 f(x)图象的一个对称中心，直线 x=2 6 12
f(x) 13π 19π为 图象的一条对称轴，且 f(x)在 ,12 12

上单调递减．记满足条件的所有 ω的值的和为 S，
则S的值为 ( )
A. 12 B. 8 C. 16 D. 18
5 5 5 5
【答案】A
13 π+ π = T + kT 13π + π = 3T【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到 或 + kT,k∈Z，
12 6 4 12 6 4
f(x) 13π , 19π由 在
19 13π T
上单调递减可以得到 π- ≤ ，算出ω的大致范围，验证即可.12 12 12 12 2
13
【详解】由题意知： π+ π = T + kT 13π π 3T或 + = + kT,k∈Z∴ 5 π=
12 6 4 12 6 4 4
1 + k 2π 5π或4 ω 4
= 3 + k 2π4 ω
∴ω= 2 (1+ 4k) ω= 2或 (3+ 4k),k∈ Z∵ f(x) 13π , 19 π ∴ 19 π- 13π ≤ T在5 5 12 12 上单调递减， 12 12 2
∴ π ≤ 1 2π ω≤ 2
2 2 ω
2
①当ω= (1+ 4k) 2时，取 k= 0知ω=
5 5
此时 f(x) = sin 2 x+ π x∈ 13π，当 , 19π 5 15 12 12 时，
2 x+ π ∈ π , 7π f(x) 13π , 19 2 满足 在

5 15 2 10
π 上单调递减，∴ω= 符合12 12 5
取 k= 1时，ω= 2，此时 f(x) = sin 2x+ π3 x∈
13π , 19π π 5π 7π，当 12 12 时，2x+ ∈ , 满足 f(x)3 2 2
13π , 19在 π
上单调递减，∴ω= 2符合12 12
当 k≤-1时，ω< 0，舍去，当 k≥ 2时，ω> 2也舍去
ω= 2 (3+ 4k) 6 6 π 13π 19π②当 时，取 k= 0知ω= 此时 f(x) = sin x+ ，当 x∈ , 时，5 5 5 5 12 12
32
6 x+ π ∈ 3π 21 13π 19 , π ，此时 f(x)在 , π 上单调递增，舍去5 5 2 10 12 12
当 k≤-1时，ω< 0，舍去，当 k≥ 1时，ω> 2也舍去
ω= 2 2 S= 2综上： 或 ， + 2= 12 .故选：A.
5 5 5
2 (北京市西城区北京师范大学附属实验中学 2021- 2022学年高三上学期 12月月考数学试题)已知
A π , 3点 ,B π ,1 ,C π ,0 ，若三个点中有且仅有两个点在函数 f x = sinωx的图象上，则正6 2 4 2
数ω的最小值为 .
【答案】4
【分析】
由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，再进行比较从而
得出结论．
【详解】
π 3
①若只有A , ,B π ,1 两点在函数 f(x) = sinωx的图象上，6 2 4
sin ω π = 3则有 ，sin ω π = 1，sinω π ≠ 0，6 2 4 2
π ω 6 = 2kπ+
π ,或ω= 2kπ+ 2π3 3 ,k∈ Z ω= 12k+ 2,或ω= 12k+ 4,k∈ Z
则 ω
π
4 = 2kπ+
π
2 ,k∈ Z ，即 ω= 8k+ 2,k∈ Z ，求得ω无解．
ω π ≠ kπ,k∈ Z ω≠ 2k,k∈ Z2
π 3 π
②若只有点A , ,C ,0 在函数 f(x) = sin(ωx)的图象上，6 2 2
π
则有 sin ω = 3 ，sin ω π = 0，sin ω π ≠ 1，故有6 2 2 4
ω
π
6 = 2kπ+
π
3 ,或ω
π
6 = 2kπ+
2π
3 ,k∈ Z
ω π 2 = kπ,k∈ Z ，

ω π π4 ≠ 2kπ+ 2 ,k∈ Z
ω= 12k+ 2,或ω= 12k+ 4,k∈ Z即 ω= 2k,k∈ Z ，求得ω的最小值为 4．ω≠ 8k+ 2,k∈ Z
π
③若只有点B ,1 ,C π ,0 在函数 f(x) = sinωx的图象上，4 2
ω
π
4 = 2kπ+
π
2
,k∈ Z
sinω π ≠ 3 sinω π = 1 sinω π则有 ， ， = 0，故有 ω
π
2 = kπ,k∈ Z ，6 2 4 2 ω π ≠ 2kπ+ π ,且ω π 2π6 3 6 ≠ 2kπ+ 3 ,k∈ Z
33
ω= 8k+ 2,k∈ Z即 ω= 2k,k∈ Z ，求得ω的最小正值为 10，ω≠ 12k+ 2且ω≠ 12k+ 4,k∈ Z
综上可得，ω的最小正值为 4，故答案为：4．
【变式训练】
1 (北京市东城区 2021- 2022学年高三上学期数学试题)已知函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ) (ω> 0)，
曲线 y= f x 与直线 y= 3 π相交，若存在相邻两个交点间的距离为 ，则ω的所有可能值为 ．
6
【答案】2或 10
【分析】
令 2sin(ωx+ φ) = 3，解得ωx+ φ= 2kπ+ π ,k∈ Z或ωx+ φ= 2kπ+ 2π ,k∈ Z，
3 3
π
根据存在相邻两个交点间的距离为 ，得到 x 2-x π π1= = 或 x 2-x = 5π1 = π ，即可求解，得到6 3w 6 3w 6
答案.
【详解】
由题意，函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ) (ω> 0)，曲线 y= f x 与直线 y= 3 相交，
令 2sin(ωx+ φ) = 3，即 sin(ωx+ φ) = 3 ，
2
解得ωx+ φ= 2kπ+ π ,k∈ Z或ωx+ φ= 2kπ+ 2π ,k∈ Z，
3 3
π
由题意存在相邻两个交点间的距离为 ，结合正弦函数的图象与性质，
6
2π
可得 - π + 2kπ=w(x 2-x 1),k∈ Z，令 k= 0，可得 x 2-x = π1 = π ，解得w= 2.3 3 3w 6
7π 2π
或 - + 2kπ=w(x 2-x 1),k∈ Z，令 k= 0，可得 x 2-x 1= 5π = π ，解得w= 10.3 3 3w 6
故答案为：2或 10.
2 (上海市晋元高级中学 2022届高三数学试题)已知A= y y= sin ωn+ φ ,n∈ Z ，若存在 使
得集合A中恰有 3个元素，则ω的取值不可能是 ( )
A. 2π B. 2π C. π D. 2π
7 5 2 3
【答案】A
【分析】
利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在 符合题意即可.
【详解】
解：对A，当ω= 2π y= sin 2π n+ φ 2π 2π， ，函数的周期为T= = = 7在一个周期内，对n赋值7 7 ω 2π
7
34
当n= 0时，y= sinφ 2π；当n= 1时，y= sin + φ7 ；
n= 2 y= sin 4π当 时， + φ ；当n= 3时，y= sin 6π + φ ；7 7
n= 4 y= sin 8π + φ = sin - 6π当 时， + φ ；7 7
n= 5 y= sin 10π当 时， + φ = sin - 4π + φ7 7 ；
当n= 6时，y= sin 12π + φ = sin - 2π + φ ；7 7
π π 2π π
令 φ= 时，sinφ= sin = 1。 sin + = sin2 2 7 2 -
2π + π = cos 2π 4π π。 sin + =7 2 7 7 2
sin - 4π + π = cos 4π7 2 7
sin 6π + π = sin - 6π + π = cos 6π7 2 7 2 7
所以存在 使得n= 1时的 y值等于n= 6时的 y值，n= 2时的 y值等于n= 5时的 y值，n= 3时的
y值等于n= 4时的 y值.
但是当n等于 0、1、2、3时，不存在 使得这个 y值中的任何两个相等
所以当ω= 2π 时，集合A中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；
7
2π
对B，当ω= ，y= sin 2π n+ φ 2π 2π，函数的周期为T= = = 55 5 ω 2π
5
在一个周期内，对n赋值
当n= 0时，y= sinφ；当n= 1时，y= sin 2π + φ5 ；
当n= 2时，y= sin 4π + φ n= 3 y= sin 6π；当 时， + φ = sin - 4π + φ5 5 5 ；
当n= 4时，y= sin 8π + φ = sin - 2π + φ π π；令 φ= ，sin = 15 5 2 2
sin 2π + π = sin - 2π + π = cos 2π。 sin 4π + π = sin - 4π + π = cos 4π5 2 5 2 5 5 2 5 2 5
所以当ω= 2π 时，符合题意，故B正确；
5
π π 2π
对C，当ω= ，y= sin n+ φ ，函数的周期为T= = 2π = 42 2 ω π
2
在一个周期内，对n赋值
当n= 0时，y= sinφ；
当n= 1时，y= sin π + φ = cosφ；2
当n= 2时，y= sin π+ φ =-sinφ；
当n= 3时，y= sin 3π + φ2 =-cosφ；
35
令 φ= 0，则 sin0=-sin0= 0，cos0= 1，-cos0=-1
所以当ω= π 时，符合题意，故C正确；
2
对D，当ω= 2π y= sin 2π， n+ φ ，函数的周期为T= 2π = 2π = 33 3 ω 2π
3
在一个周期内，对n赋值
当n= 0 2π时，y= sinφ；当n= 1时，y= sin + φ ；3
当n= 2时，y= sin 4π + φ ；3
φ= 0 sin0= 0 sin 2π 3令 ， ， = ，sin 4π =- 3
3 2 3 2
2π
所以当ω= 时，符合题意，故D正确.
3
故选：A.
3 (2021 淮北二模)已知函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ) (ω> 0)满足 f π = 2，f(π) = 0，且 f(x)4
π π在区间 , 上单调，则满足条件的ω个数为 ( )4 3
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【解答】解：设函数的最小正周期为T，由于函数 f(x) = 2sin(ωx+ φ) (ω> 0) π满足 f = 2，f(π) = 0，4
T - kT = π - π = 3π 3π 2(1+ 2k)故 ，解得 T = + ，所以 ω = (k ∈ Z )，由于函数 f (x)在区间4 2 4 4 1 2k 3
π , π4 3 上单调，
π π T π 2π 2(1+ 2k) 17
故 - ≤ ，故T≥ ，ω= ≤ 12，即 ≤ 12，解得 k≤ ，由于 k∈N+，
3 4 2 6 T 3 2
所以 k取 0，1，2，3，4，5，6，7，8．故ω的取值为 9个；故选：C．
题型 12三角应用：三角双换元
【解题攻略】
2 2 x2 2
形如x +y = a(a> 0), + y = t(t> 0),x2-xy+ y2= 1 x2+y2， +z2= a(a> 0)等，均可以用三角换
3
元来解决.
在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是 [-1，1]，但其角度有多种形式，于
是我们在设置角度时要抓住 2点：
（1）设置的角度要使三角函数的范围为 [-1，1]，
36
(2)根号要能直接开出来.就如本题来讲，令x= cosθ,θ∈ [0,π]，此时 cos∈ [-1,1]，sinθ> 0，于是
1- x2= 1- cos2θ= sinθ = sinθ.
1 (2023·全国·高三专题练习)设 x、y∈R且 3x2+2y2= 6x，求 x2+y2的取值范围是 .
【答案】 0,4
【分析】解法一：利用条件 3x2+2y2= 6x，将 x2+y2转化为二次函数，进而可确定 x2+y2的范围．
y2 x- 1= cosα 1 9
解法二：由 3x2+2y2= 6x得 x- 1 2+ = 1，设 ，则 x
2+y2=- cosα- 2 2+ ，再结
3 y= 62 sinα

2 2
2
合余弦函数及二次函数的性质计算可得.
【详解】解法一：∵ 3x2+2y2= 6x，∴ y2= 3x- 3 x2≥ 0，
2
可得 0≤ x≤ 2． x2+y2= x2+3x- 3 x2=- 1 9 x- 3 2+ ，
2 2 2
令 f 1 x =- x- 3 2+ 9 ，x∈ 0,2 ，显然函数 f x 在 0,2 上单调递增，f 0 = 0，f 2 = 4，
2 2
即 f x ∈ 0,4 ，
∴ x2+y2的取值范围是 0,4 ．
y2 x- 1= cosα x= 1+ cosα
解法二：由 3x2+2y2= 6x得 x- 1 2+ = 1，设 ，即 ，3 y= 6 sinα y= 6 sinα
2 2 2
则 x2+y2= 1+ 2cosα+ cos2α+ 3 sin2α= 1+ 2cosα+ 3 - 1 cos2α
2 2 2
=- 1 cos2α+ 2cosα+ 5 =- 1 cosα- 2 9 2+
2 2 2 2
令 t= cosα，t∈ -1,1 1 9 ，g t =- t- 2 2+ ，t∈ -1,1 ，显然 g t 在 -1,1 上单调递增，
2 2
1 9
所以 g t ∈ 0,4 ，即- cosα- 2 2+ ∈ 0,4 ，
2 2
所以 x2+y2的取值范围是 0,4 .故答案为： 0,4
2 ( a +a2020·江西·校联考模拟预测)若等差数列 a 满足 a2+a2= 2，且 a ≥ 1，求 2 3n 1 3 1 + 的取值范围a1 a2
( )
A. (-1,1) B. [-1,1]
C. (-∞,-1) ∪ (1,+∞) D. (-∞,-1]∪ [1,+∞)
【答案】B
a1= 2cosθ【分析】设 = ，θ∈ [-π,π)，根据 a ≥ 1求出 θ的范围，利用等差中项的性质得到 a ，再利用a3 2sinθ 1 2
同角公式可求得结果.
37
a1= 2cosθ 2【详解】设 = ，θ∈ [-π,π)，又∵ a1≥ 1，∴ 2cosθ≥ 1，即 cosθ∈

,1
π π
a 2sinθ 2
，∴ θ∈ - ,4 4

，3
2
a +a 2 2 a +a cosθ+
2 sinθ+ 2sinθ
∴ a 1 32= = cosθ+ sinθ ∴ 2 3 = 2 2 = 3sinθ+ cosθ， =2 2 2 a1+a2 2cosθ+ 2 cosθ+ 2 sinθ sinθ+ 3cosθ2 2
3tanθ+ 1 = 3- 8 ，
tanθ+ 3 tanθ+ 3
∵ θ∈ π π 8又 - , ，所以 tanθ∈ [-1,1]，所以 3- ∈[-1,1]，4 4 tanθ+ 3
∴ a2+a3+ ∈[-1,1]．故选：Ba1 a2
【变式训练】
1 (2021·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习)已知 a,b∈R，a2+b2= 4，求 3a+ 2b的
取值范围为 ( )
A. -∞,4 B. -2 13,2 13
C. 4,+∞ D. -∞,-2 13 ∪ 2 13,+∞
【答案】B
【分析】根据题意，设 a= 2sinα，b= 2cosα，那么 3a+ 2b= 6sinα+ 4cosα，结合三角函数的有界限，即
可得到答案.
【详解】由题意知，a,b∈R且 a2+b2= 4，
设 a= 2sinα，b= 2cosα，α∈ [0,2π)
那么 3a+ 2b= 6sinα+ 4cosα= 62+42sin α+ φ = 2 13sin α+ φ 2 ，其中 tanφ= ，
3
因为 sin α+ φ 的取值范围是 -1,1 ，所以-2 13≤ 3a+ 2b≤ 2 13，
即 3a+ 2b的取值范围为 -2 13,2 13 .
故选：B
2
2 (江西省抚州市金溪一中等七校 2021- 2022学年高三考试数学试题 (B卷))已知 x、y x满足
3
+ y2= 1，则u= 2x+ y- 4 + 3- x- 2y 的取值范围为 ( )
A. 1，12 B. 0，6 C. 0，12 D. 1，13
【答案】D
【详解】由题意，令 x= 3cosα,y= sinα，
所以 2x+ y= 2 3cosα+ sinα= 13sin(α+ θ)< 4，
所以 2x+ y- 4 = 4- 2x- y，
因为 x+ 2y= 3cosα+ 2sinα= 7sin(α+ β)< 3，所以 3- x- 2y = 3- x- 2y
38
所以u= 2x+ y- 4 + 3- x- 2y = 4- 2x- y- x- y+ 3= 7- 3(x+ y)
= 7- 3( 3cosα+ sinα) = 7- 6sin(α+ 600)
所以 1≤u≤ 13，故选D.
3 ( y y+1浙江省嘉兴市 2022届高三试数学试题)已知实数 x,y满足 4x+9 = 1,则 2x+1+3 的取值范围
是 ．
【答案】(2, 13]
【解析】
设 2x=u,3y= v∴u2+v2= 1,u> 0,v> 0∴u= cosθ,v= sinθ,θ∈ 0, π2
y+1
因此 2x+1+3 = 2u+ 3v= 2cosθ+ 3sinθ= 13sin(θ+ φ),tanφ= 2 , φ∈ 0, π3 4
π
因为 φ+ θ∈ φ，φ+ ∴ sin(φ+ θ) ∈ (sinφ,1],sinφ= 2 ，所以 2< 2u+ 3v≤ 13，即取值范围2 13
是 2, 13
点睛：利用三角函数的性质求范围，先通过变换把函数化为 y=Asin(ωx+ φ) +B的形式再借助三角
函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
题型 13三角应用：无理根号型
【解题攻略】
无理根号型求范围，可以通过换元求得：
1.单根号，一般是齐次关系。
2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去 x。
3.式子可能具有“轮换特征”
4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。
1 求函数 y= 3x+ 1- x2 的值域.
【分析】 遇到根号问题，通常我们都需要利用换元法就值域，但由于根号内有平方，则需要利用含平
方的换元形式，于是我们利用三角换元．
解析：令 x= cosθ,θ∈ [0,π]，则原式
y= 3x+ 1- x2= 3cosθ+ sinθ= 10sin(θ+ ) = f(θ)，θ∈ 0,π
3 10 10
其中 tan = 3,即 sin = ,cos = .
10 10
∵ θ∈ 0,π ,∴ (θ+ ) ∈ ,π+ ，f(θ)min= f(π+ ) =- 3 10 10=-310
∴ f(θ)的值域为 -3, 10
39
2 求函数 y= 3x+ 6+ 8- x的值域.
【答案】 10,2 10
【分析】y= 3x+ 6+ 8- x可化为 y= 3 x+ 2+ 10- (x+ 2)，令 x+ 2= 10sin2α,0≤ α≤
π
，结合辅助角公式及三角函数的性质求解.
2
【详解】y= 3x+ 6+ 8- x可化为 y= 3 x+ 2+ 10- (x+ 2)，令 x+ 2= 10sin2α,0≤ α≤
π
，
2
则 y= 30sinα+ 10cosα= 2 10 3 sinα+ 1 cosα = 2 10sin α+ π ，2 2 6
∵ 0≤ α≤ π ,∴ π ≤ α+ π ≤ 2π ，∴ 1 ≤ sin α+ π ≤ 1，∴ y∈ 10,2 10 ,2 6 6 3 2 6
故函数的值域为 10,2 10 .
【变式训练】
1 若对任意 x≥ 0，k 1+ x≥ 1+ x恒成立，则实数 k的取值范围是 .
【答案】[ 2,+∞)
1+ x
【分析】由 1+ x> 0可得原不等式等价于 k≥ ，两边平方，利用均值不等式求解即可.
1+ x
1+ x
【详解】因为 x≥ 0，所以 1+ x> 0，所以不等式可化为 k≥ ，
1+ x
μ= 1+ x x≥ 0 μ> 0 μ2= 1+ x+ 2 x 2 x设 ， ，则 ，则 = 1+
1+ x 1+ x 1+
，
x
因为 x≥ 0，所以 1+ x≥ 2 x，当且仅当 x= 1时取等号，
所以 μ2= 1+ 2 x ≤ 1+ 1+ x+ + = 2，即 0< μ≤ 2，所以 k∈ [ 2,+∞)，1 x 1 x
故答案为：[ 2,+∞)
2 (新疆莎车县第一中学 2022届高三上学期第三次质量检测数学试题)函数 y= x- 4- x2 的值
域为 ．
【答案】 -2 2,2
【分析】函数的定义域为 -2,2 ，设 x= 2cosθ将原函数转化为关于 θ的三角函数，利用同角三角函数
基本关系以及辅助角公式，余弦函数的性质即可求解.
【详解】由 4- x2≥ 0可得-2≤ x≤ 2，即函数的定义域为 -2,2 。所以设 x= 2cosθ，θ∈ 0,π ，
则 y= 2cosθ- 4- 4cos2θ= 2cosθ- 2sinθ= 2 2 2 cosθ- 2 sinθ = 2 2cos θ+ π ，2 2 4
π
因为 θ∈ 0,π ，所以 θ+ ∈ π 5π
4
,
4 4
，所以 cos θ+ π ∈ 2 π4 -1, ，所以 y= 2 2cos θ+ ∈2 4
-2 2,2 ，
40
所以函数 y= x- 4- x2 的值域为 -2 2,2 ，故答案为： -2 2,2 .
3 (2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷 (七)数学 (理)试题)已知 a,b,c∈ [-4,4]，
则 |a- b| + |b- c| + 2|c- a|的最大值为 .
【答案】8
【分析】设 x= |a- b|,y= |b- c|,z= |c- a|，不妨设 a≥ b≥ c，再利用三角换元，结合三角函数的
有界性，即可得答案.
【详解】设 x= |a- b|,y= |b- c|,z= |c- a|，不妨设 a≥ b≥ c，
则 x2= a- b,y2= b- c,z2= a- c，故 x2+y2= z2，所以，
可设 x= zcosθ,y= zsinθ 0≤ θ≤ π ，0≤ z≤ 2 2，则2
x+ y+ 2z= z(sinθ+ cosθ+ 2)
= z 2sin θ+ π + 2 ≤ z( 2+ 2) = 2 2 × 2 2= 8，当且仅当 a= 4,b= 0,c=-4时取等号4
即 |a- b| + |b- c| + 2|c- a|的最大值为 8.故答案为：8.
题型 14三角应用：圆代换型
【解题攻略】
圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应 x，正弦对应 y
( - )2+ ( - )2= 2 x=Rcosθ+ ax a y b R 的参数方程是： y=Rsinθ+ b
1 (上海市第二中学 2020- 2021学年高三下学期 5月月考数学试题)知点A(2,0)，点P是以原点O为
圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点P绕点O逆时针旋转 90°得点Q，线段AP的中点为M，则
|MQ|的最大值是
【答案】1+ 5
2
【分析】
设P(cosθ,sinθ) 2+ cosθ sinθ，则Q(-sinθ,cosθ)，则M , ，从而得 |MQ| =2 2
2+ cosθ
2 2
+ sinθ + sinθ - cosθ ，利用降幂公式、辅助角公式及平方关系化简，再根据正弦型2 2
函数得值域即可得解.
【详解】
解：由题可知，设P(cosθ,sinθ)，则Q(-sinθ,cosθ)，
41
A(2,0) AP M 2+ cosθ sinθ因为 ，所以线段 的中点 得坐标为 , ，2 2
所以 |MQ| = 2+ cosθ
2
+ sinθ + sinθ
2
- cosθ =2 2
(cosθ+ 2)2+4sinθ(cosθ+ 2) + 4sin2θ+ sin2θ- 4sinθcosθ+ 4cos2θ
4
= 9+ 4cosθ+ 8sinθ = 9+ 4 5sin(θ+ φ)，其中 tanφ= 1 ，因为 sin(θ+ φ) ∈ [-1,1]，
2 2 2
所以当 sin(θ+ φ) = 1时，|MQ| 5取最大值为 1+ .故答案为：1+ 5 .
2 2

2 设圆O:x2+y2= 1上两点A x1,y1 ，B x2,y2 满足：OA OB=- 1 ，则 x1-2y1 + x2-2y2 的取值范2
围是 .
15
【答案】 , 15

2
【解析】
【分析】
x -2y x -2y
首先由数量积公式可得∠ AOB= 120° 1 1 2 2，再根据绝对值的几何意义得 h= + 表示两
5 5
点A，B分别到直线 x- 2y= 0的距离之和，再以直线 x- 2y= 0为 x轴重新建立直角坐标系后，利
用三角函数表示 h，根据角的范围求值域.
【详解】

OA OB=- 1由 ，得∠AOB= 120°.
2
x
h= 1
-2y1 x -2y
设 + 2 2 表示两点A，B分别到直线 x- 2y= 0的距离之和.
5 5
取直线 x- 2y= 0为 x轴重新建立直角坐标系后，则 h表示两点A，B分别到 x轴的距离之和.
在新的直角坐标系下，设A cosθ,sinθ ，B cos θ+ 120° ,sin θ+ 120° 则有 h= sinθ +
sin θ+ 120° .
由对称性，不妨设点B在 x轴上或上方，即-120° ≤ θ≤ 60°.所以 h=
sinθ+ sin θ+ 120° , 0° ≤ θ≤ 60° ，-sinθ+ sin θ+ 120° , -120° ≤ θ< 0°
0° ≤ θ≤ 60°时，h= sinθ+ sin θ+ 120° 1 = sinθ+ 3 cosθ= sin θ+ 60° ，
2 2
得 θ+ 60° ∈ 60°,120° 3 ，则 h∈ ,12 ，
当-120° ≤ θ< 0°时，h=-sinθ+ sin θ+ 120° =- 3 sinθ+ 3 cosθ=- 3sin θ- 30° ，
2 2
42
θ- 30° ∈ -150°,-30° 3 ，此时 h∈ , 3 2
3
综上得 ≤ h≤ 3，从而得 x1-2y1 + x2-2y2 = 5h∈ 15 , 15
.
15
故答案为： , 15

2 2 2
【变式训练】
1 已知A xA,y
π
A 是单位圆 (圆心在坐标原点O)上任一点，将射线OA绕O点逆时针旋转 到3
OB交单位圆于点B xB,yB ，则 2yA-yB的最大值为 .
【答案】 3
【分析】
设A(cosα,sinα)，则B cos α+ π ,sin α+ π ，代入要求的式子由三角函数的知识可得解．3 3
【详解】设A(cosα,sinα)，则B cos α+ π ,sin α+ π ，∴ 2yA-yB= 2sinα- sin α+ π3 3 3
= 3 sinα- 3 cosα= 3sin α- π ，∴ 2yA-yB的最大值为 3，故答案为： 32 2 6

2 设圆O:x2+y2= 1上两点A x1,y1 ，B x2,y2 满足：OA OB=- 1 ，则 x1-2y1 + x2-2y2 的取2
值范围是 .
15
【答案】 , 15

2
x1-2y1 x2-2y2
【分析】首先由数量积公式可得∠AOB= 120°，再根据绝对值的几何意义得 h= +
5 5
表示两点A，B分别到直线 x- 2y= 0的距离之和，再以直线 x- 2y= 0为 x轴重新建立直角坐标系
后，利用三角函数表示 h，根据角的范围求值域.
1 x -2y x -2y
【详解】由OA OB=- ，得∠AOB= 120°. h= 1 1 + 2 2设 表示两点A，B分别到直线 x
2 5 5
- 2y= 0的距离之和.
取直线 x- 2y= 0为 x轴重新建立直角坐标系后，则 h表示两点A，B分别到 x轴的距离之和.
在新的直角坐标系下，设A cosθ,sinθ ，B cos θ+ 120° ,sin θ+ 120° 。则有 h= sinθ +
sin θ+ 120° .
由对称性，不妨设点B在 x轴上或上方，即-120° ≤ θ≤ 60°.
sinθ+ sin θ+ 120° , 0° ≤ θ≤ 60°所以 h= ，0° ≤ θ≤ 60°时，h= sinθ+ sin θ+ 120° =-sinθ+ sin θ+ 120° , -120° ≤ θ< 0°
1 sinθ+ 3 cosθ= sin θ+ 60° ，
2 2
得 θ+ 60° ∈ 3 60°,120° ，则 h∈ ,1 ，2
43
当-120° ≤ θ< 0°时，h=-sinθ+ sin θ+ 120° 3 =- sinθ+ 3 cosθ=- 3sin θ- 30° ，
2 2
θ- 30° ∈ -150°,-30° 3 3 ，此时 h∈ , 3 2 综上得 ≤ h≤ 3，2
从而得 x1-2y1 + x2-2y2 = 5h∈ 15 , 15
15
.故答案为：

, 15

2 2
3 (2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)已知点P为圆 x- 6 2+ y- 8 2= 1上任一点，F1，
2
x2 y F2分别为椭圆 + = 1的两个焦点，求PF PF4 3 1 2的取值范围 .
【答案】[80,120]
【分析】由椭圆的标准方程可得焦点F1 -1,0 ,F2 1,0 ,由点P在圆上可设P 6+ cosθ,8+ sinθ ,求得

PF1,PF2,进而利用三角函数的性质求解即可.
【详解】由题,椭圆的焦点为F1 -1,0 ,F2 1,0 ,
设点P 6+ cosθ,8+ sinθ ,

则PF1= -7- cosθ,-8- sinθ ,PF2= -5- cosθ,-8- sinθ ,

所以PF1 PF2= -7- cosθ -5- cosθ + -8- sinθ -8- sinθ = 100+ 12cosθ+ 16sinθ= 100
+ 20sin θ+ φ ,tanφ= 3 ,
4

因为 sin θ+ φ ∈ -1,1 ,所以PF1 PF2∈ 80,120 ,故答案为: 80,120
题型 15三角应用：向量型换元
【解题攻略】

向量中的三角换元原理之一，就是源于 a =R,实质是圆。
所以模定值，可以用圆的参数方程代换。
1 (2022上· π广东佛山·高三统考)菱形ABCD中，AB= 1,A∈
, π ，点E，F分别是线段AD,CD上3 2

的动点 (包括端点)，AE=CF，则 (AE+CF) AC = ，ED EB的最小值为 .
1
【答案】 0 - /- 0.25
4
【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设
1+ cosA 2 cosA- 1 2
出AE=m∈ 0,1 ，表达出ED EB= m- - ，利用二次函数的性质求最小2 4
cosA- 1 2
值- 1，再结合 cosA∈ 0, 4 2 求出最小值.
44
【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为 x轴，垂直AB所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，故
A 0,0 ，B 1,0 ，D cosA,sinA ，C 1+ cosA,sinA ，设AE=m∈ 0,1 ，则E mcosA,msinA ，

F 1-m+ cosA,sinA ，则AE= mcosA,msinA ，CF = -m,0 ，AC = 1+ cosA,sinA ，(AE+

CF) AC = mcosA-m,msinA 1+ cosA,sinA =-msin2A+msin2A= 0；

2 1+ cosA 2 cosA- 1
2
ED EB=m - 1+ cosA m+ cosA= m- 2 - 4
A∈ π , π cosA∈ 0, 1 1+ cosA ∈ 1 , 3 0,1 m= 1+ cosA

因为 3 2
，所以 ， ，故当 时，ED 2 2 2 4 2
cosA- 1 2
EB - cosA∈ 0, 1取得最小值为 ，因为 π ，所以当 cosA= 0，即A= 时，4 2 2
cosA- 1-
2
1
最小，最小值为-
4 4
1
故答案为：0，-
4

2 (2020· 江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测)已知 a- 2e = b- e = 1， e = 1，则向量 a b的最
小值为 .
1
【答案】-
4

【分析】 e = 1 ，不失一般性，设 e= (1,0)，由 a - 2e = b- e = 1 a 知 ，b的终点在两个圆上运动，设 a

= (2+ cosα,sinα)，b= (1+ cosβ,sinβ) a ，化简 b= (2+ cosα) (1+ cosβ) + sinαsinβ放缩后得到
β 2
4 cos - 1 - 1 ≥- 1 得解.2 4 4 4

【详解】∵ e = 1 e ，不妨设 = (1,0) a = (m.n)，b= (c.d)，
∵ a - 2e = 1，∴ (m- 2)2+n2= 1 所以A(m,n)在圆 (x- 2)2+y2= 1上运动

∵ b- e = 1，∴ (c- 1)2+d2= 1所以B(c,d)在圆 (x- 1)2+y2= 1上运动
再令A(2+ cosα,sinα)，B(1+ cosβ,sinβ)

∴ a = (2+ cosα,sinα)，b= (1+ cosβ,sinβ)，
∴ a

b= (2+ cosα) (1+ cosβ) + sinαsinβ= 2+ cosα+ 2cosβ+ cosαcosβ+ sinαsinβ
45
= 2+ β β β β βcosα+ 2cosβ+ cos(α- β) = 2+ 2cosβ+ 2cos α- cos = 4cos2 + 2cos α- cos2 2 2 2 2
≥ 2 β - β ( - β β β4cos 2 cos 当且仅当 cos α =-1，cos = cos 时，等号成立)2 2 2 2 2
2
= 4 βcos 2 -
1 - 1 ≥- 1 β 1，当且仅当 cos = 时，等号成立.4 4 4 2 4
1
故答案为：-
4
【变式训练】

1 (2024 · · 上 重庆 高三重庆南开中学校考阶段练面向量 a，b，c满足 a = b = 2， c- a

c - b =-1 ，则 a c的最大值为 .
【答案】4

【分析】不妨设OA= a = 2,0 ，b=OB= 2cosθ,2sinθ c ， = x,y ，则求 a c的最大值，即求 x的最
大值，将问题转化为方程有解的问题，得到 x,y 的轨迹为一个圆，最后利用投影向量的意义求出 x的
最大值即可求解.

【详解】设O 0,0 ，OA= a = 2,0 a ，向量 ，b的夹角为 θ，则 b=OB= 2cosθ,2sinθ ，θ∈ 0,2π ，

设 c=OC = x,y ，由 c- a c- b =-1得： x- 2,y- 0 x- 2cosθ,y- 2sinθ =-1，即
x- 2 x- 2cosθ + y y- 2sinθ =-1，化简得： x- (1+ cosθ) 2+ (y- sinθ)2= 1- 2cosθ，
∵ ∴ 1- 2cosθ≥ 0 ∴ x,y a c 上述方程一定有解， ， 即 在一个圆上，而 = 2x，所以转化为求 x的最大
值，
∴当 c 在 a上投影长度最大时，xmax= 1+ cosθ+ 1- 2cosθ，令 t= 1- 2cosθ，t∈ 0, 3 ，
则 2x= 2 1+ cosθ+ 1- 2cosθ = 3- t2+2t=- t- 1 2+4≤ 4，当 t= 1时， a c max= 2x max= 4.
∴ a c 的最大值为 4.

2 (2023·全国· 高三专题练习)已知向量 a，b满足 2a + b = 3 b = 1 a ， ，则 + 2 a + b 的最大

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