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2023-2024学年九年级数学苏科版期末重难点检测卷
一、单选题
1．如图，任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于4的可能性是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A． B． C． D．
4．在同一平面内，已知的半径为5，点A在外，则的长度可以等于（ ）
A．6 B．5 C．3 D．0
5．若 的半径为1，圆心到直线l的距离为1，则直线l与⊙的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
6．如图所示，四边形是半圆的内接四边形，是直径，，点为的中点，连接．若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
8．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，．若．则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．是方程的根，则式子的值为 ．
10．某药品经过两次降价，每瓶零售价由58元降为43元．已知两次降价的百分率均为x则应列出方程 （列出方程即可，不要解方程）
11．为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生艺术素质教育成果．月份某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分）如表所示：若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择
甲 乙 丙 丁
平均数 98 96 98 95
方差 0.4 2 1.6 0.4
12．如图， 内接于， 是的直径，若，则的度数是 .
13．如图所示，在扇形中，，半径，点位于弧的处且靠近点的位置，点、分别在线段、上，，为的中点，连接，．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为 ．
14．如图四边形中，，分别与以为直径的半圆切于点，，切半圆于点，若，，则 ．

15．如图，某桥拱可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，则桥拱离路面最大距离为 m．
16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，以为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在点处为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是为 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．若代数式的值与的值互为相反数，求的值．
19．对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期（单位：天）：甲组：；乙组：． 问：
(1)10盆花的花期最多相差几天？
(2)施用何种花肥，花的平均花期较长？
20．某学校在课后延时服务中开设了 A（篮球），B（足球），C（音乐鉴赏），D（书法）四门课程供学生选择，李明和张华两位学生随机选择其中一门课程学习．
(1)求张华选择书法的概率；
(2)求两人恰好同时选择球类运动的概率．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为，求代数式的值．
22．如图，内接于半圆是直径，点是的中点，连接，，分别交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为，水面最深地方的高度为．
(1)用尺规作图法找出该圆形截面的圆心，保留作图痕迹；
(2)求该输水管的半径．
24．如图，是等腰直角三角形．，点为的中点，与相切于点，连接交于点．
(1)判断所在直线与的位置关系，并说明理由．
(2)若的半径为2，求的长．（结果保留）
参考答案：
1．B
【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】：∵任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，
∴任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是：．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握有两个不相等的实数根，则是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式即可得到答案．
【详解】解：
，
∴将关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为，
故选B．
4．A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围．
根据题意可以求得的范围，从而进行解答．
【详解】的半径为5，点A在外
∴的长度可以等于6．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查直线由圆位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交 ，②直线l和相切 ，③直线l和相离 ．
【详解】∵ 的半径为1，圆心到直线l的距离为1，
∴，
∴直线与圆相切，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了圆 内接四边形对角互补、圆中弧、弦、角的关系以及等腰三角形的“三线合一”性质等知识点，连接可得，进而得，；根据得，再求出即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∵点为的中点，
∴
∴
故选：C
7．A
【分析】本题考查了求不规则图形的面积、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、圆的性质，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明得到弓形的面积弓形的面积，则，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
弓形的面积弓形的面积，
，
故选：A．
8．D
【分析】根据题意连接，利用圆周角定理得，再得出，从而判定是等腰三角形，借助条件得，利用内角和定理即可得出的度数．
【详解】解：连接，
，
∵是的直径，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定及性质，三角形内角和定理，圆内接四边形对角互补．
9．2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．将代入已知方程后即可得，然后代入所给代数式求解即可．
【详解】解：把代入，得
，
则．
所以．
故答案为：2025．
10．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据降价后的价格降价前的价格（降价的百分率）．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
11．甲
【分析】本题考查了利用平均数和方差作决策，解题关键是掌握“方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好”．根据平均数和方差进行决策，即可得到答案．
【详解】解：甲、丙同学的平均数比乙、丁同学高，
应从甲和丙同学中选，
甲同学的方差比丙同学的小，
甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故答案为：甲．
12．/度
【分析】本题考查直径所对的圆周角等于和同弧所对的圆周角相等，连接，结合，求得，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r,那么的圆心角所对的弧的长度为．
如图，连接，取的中点T，连接．证明是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出，，推出当O，E，F共线时，的值最小，此时点E与点T重合，求出，的长即可．
【详解】解：如图，连接，取的中点T，连接．
，，
，
的长，
，
，
，
，
∴当O，E，F共线时，的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时，
，，
是等边三角形，
，
，
，
∴此时阴影部分的周长为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了切线长定理，由、和都是半圆的切线，由切线长定理得：，，所以：，由此即可解决问题．
【详解】解：、和都是半圆的切线，
∴由切线长定理得：，，
，
，，
，
故答案为：．
15．50
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得再由勾股定理求出然后求出的长即可．
【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：
则
∴，
∴，
即桥拱离路面最大距离为，
故答案为：50．
16．2
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接交于点，由题意得：，，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，最后由进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接交于点，
，
由题意得：，，，
，
，
，
点到弦所在直线的距离是为，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，，，
，
，
，；
（2）解：，
，即，
或，
，．
18．，．
【分析】此题考查了解一元二次方程，以及相反数．利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】解：根据题意得：，
去括号得：，
解得：，．
故答案为：，．
19．(1)10盆花的花期最多相差6天
(2)施用甲种花肥，花的平均花期较长
【分析】该题主要考查了平均数的相关知识点，解题的关键是读懂题意；
（1）用最大数字减去最小数字即可；
（2）算出甲组和乙组的平均数，比较即可；
【详解】（1）天，
答：10盆花的花期最多相差6天，
（2）（天），
（天），
，
∴施用甲种花肥，花的平均花期较长．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查用运用概率公式以及列表法或画树状图法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中李明和张华两人恰好同时选择球类运动（包含篮球和足球）的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）∵学校在课后延时服务中开设了 A（篮球），B（足球），C（音乐鉴赏），D（书法）四门课程供学生选择，书法是其中一门课程，
∴张华选择书法的概率是；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中李明和张华两人恰好同时选择体育运动（包含篮球和足球）的结果有4种，即，
∴李明和张华两人恰好同时选择体育运动（包含篮球和足球）为．
21．(1)证明见解析
(2)4
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的意义以及方程的解，解答的关键是对相应的知识的掌握．
（1）根据，即可作答．
（2）依题意，把代入，得，再化简，即可作答．
【详解】（1）证明：∴
，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入方程，
得，
∴．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出，根据半圆所对的圆周角为直角得出，根据平行线的判定得出；
（2）连接，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据是的中位线，即可求出结果．
【详解】（1）证明：点为的中点，
，
是半圆的直径，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
是半圆的直径，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴是的中位线，
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，平行线的判定，中位线的性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线．
23．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）先做线段的垂直平分线，交圆于两点，作线段的垂直平分线，两条线的交点即为圆心；
（2）先过点作于点，连接，由垂径定理可知，设，则，在中，利用勾股定理即可求出的值，从而得出该输水管的半径的长．
【详解】（1）如图，先做线段的垂直平分线，交圆于两点，作线段的垂直平分线，两条线的交点即为圆心；
（2）过点作于点，连接，
则，
设，
则，
在中，，
即，
解得．
故该输水管的半径为．
24．(1)相切，理由见详解
(2)
【分析】（1）根据题意连接，过点作于点，利用等腰三角形性质及切线性质判定出本题答案；
（2）由（1）得，再利用等腰三角形性质及弧长公式即可得到本题答案．
【详解】（1）解：所在直线与相切，证明如下：
如图，连接，过点作于点，
，
是等腰直角三角形，为的中点，
，
与相切，
，
，
，
所在直线与相切；
（2）解：，
，
，
，
的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，切线的判定及性质，弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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