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第2讲 导数构造秒解大法
知识与方法
很多选择题的压轴题，会以导数的构造出题，往往很多学生连如何构造原函数都不会，更加不用说下一步了．这个时候，如果你会导数构造秒解大法，也许会觉得思路又开了一扇窗．
导数构造秒解大法，实际上就是不构造，或者说跳过构造，直接根据导函数符号“猜测”函数单调性．
第一步，看后面的符号，如果是“＞”，则默认构造函数为增，如果是“＜”则默认构造函数为减．
第二步，看括号中的常数，题目往往给一个常数，其对应的函数值也会给出，将这个常数代入问题，肯定会刚刚好符合．
第三步，直接得出答案．如果后面的符号是“＞”，则答案与问题同号，而且不等式另一侧肯定是常数，如果后面的符号是“＜”，则答案与问题异号，同样，不等式另一侧肯定是常数．
如果有些题目没有给常数，而是直接求不等式解，例如求的解，则直接根据我们“猜测”的单调性，比较括号内的大小即可，不用管函数前面的系数．
总结一下此方法的优缺点，优点是快和简单，很多学生从来不敢尝试的题目，几分钟就可以明白此方法，弄懂之后就可以5秒一道压轴题了．缺点是此方法有一定的局限性，遇到定义域为负数，或涉及函数奇偶性，又或选项中有好几个都符合的时候，就有可能失效．
下面我们就一起来看看几道题，加深一下对此方法的了解．
典型例题
【例1】定义在R上的函数满足：，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】
设，则，
∵，∴，∴，
∴在定义域上单调递增，
∵，∴，
又∵，∴∴．
【解法2】，这里是“＞”，所以答案与同号，带上括号内常数0，
【答案】A．
【例2】定义在上的函数满足：，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】设，则，
∵，∴，
即当x>0时，函数单调递减，∵，∴，
则不等式等价为，即，
则不等式的解集为．
【解法2】，先移项，，这里是“＜”，
所以答案与异号，带上括号中的常数2，
【答案】B．
【例3】已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】设，则，
∵，∴，即函数单调递增．
∵，∴，
则不等式等价为，即，
∵函数单调递增．
∴，∴不等式的解集为．
【解法2】，先移项，，
这里是“＞”，所以答案与同号，带上括号中的常数0，
【答案】B．
【例4】函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】设，则，
又对任意，，所以，
即在R上单调递增，则的解集为，即的解集为．
【解法2】，这里是“＞”，所以答案与同号，带上括号中的常数-1，
【答案】A．
【例5】已知定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】设，则，
∴函数在上是减函数，
∵，，
∴，
∴，∴，∴，解得．
【解法2】，先移项，，这里是“＜”，所以构造原函数为递减，只需要比较括号内的大小即可，即．
再加上定义域的限定，得到3个不等式，完美秒解
解得．
【答案】D．
【例6】已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】构造函数，则，
∵满足，
∴，即函数在R上单调递增，
则，，，，
即，，，，
即，，，，
【解法2】，此时的符号是“＞”，
∴需要构造的原函数为增函数，只需要比较括号内的大小即可．∵，
【答案】A．
【例7】已知为R上的可导函数，且对任意，均有，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
【解法1】设，则，
因为，所以，所以为减函数，
因为，，所以，，
即，所以；
，即；
【解法2】，，此时的符号是“＜”，
∴需要构造的原函数为减函数，只需要比较括号内的大小即可．
∵，∴，∵，∴．
【答案】C．
【例】8．已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】构造函数，则函数的导数，
∵，∴，即函数单调递减，
∵，∴若，即，则，
则不等式等价为，
即，则，则或，解得或，
故不等式的解集为．
【解法2】，∴构造原函数单调递减，，则或，
解得或，
故不等式的解集为．
【答案】B．
【例9】设为R上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】根据题意，设，其导数，
又由当时，，则有，
即函数在上为减函数，
又由函数为奇函数，则，
即函数为奇函数，则函数在上为减函数，
又由，则，则，
则有在上，在上，在上，在上．
若，即，
则有，则不等式的解集为．
【解法2】当时，，符号为“＜”，
所以当时，单调递减．如图，
【答案】C．
【例10】已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【解法1】由，得，
设，则，
∵，∴当时，，此时函数单调递增．
∵是偶函数，∴关于对称，
即关于对称，即，故D错误，
，，则，即，即，故B错误，
，即，即，
则，即，故C错误，
【解法2】是偶函数，∴关于对称，
当时，，，单调递增，
所以自变量越接近2，函数值越小，
【答案】A．
【例11】对于R上可导的任意函数，若满足且，则解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令，则，∴函数为单调增函数，又，∴．则当时，，；
当时，，；当时，，；
∴解集是．
【答案】C．
【例12】 设函数是定义在上的可导函数, 其导函数为, 且有, 则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【解析】由, 得:,
即 , 设, 则即, 则当时, 得0, 即在上是减函数,
∴, 即不等式等价为在是减函数, ∴由得, , 即,
【答案】C.
【例14】若, 则实数的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【解析】
令, 则,
∵ 函数为上的偶函数. ∵当 时, 都有成 立, ∴ 函数在上单调递减, 在上单调递增., 即,
∴, 因此, 化为: ,
解得.
【答案】A.
强化训练
1. 已知定义在上的可导函数的导函数为, 满足, 且, 则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】构造函数,
则函数的导数为0 ,
即在上单调递减; 又∵, 则不等式化为, 它等价于, 即 , 即所求不等式的解集为.
【解法2】, 先移项, , 这里是“ ”, 所以答案与异号, 带上 括号中的常数0,
【答案】.
2. 函数的定义域为,对任意的. 都有成立, 则不等式 的解集为 ( )
A. B. C. D.
【解析】
【解法1】令对任意的 .
都有成立, ∴对任意的在上是减函数, 且,
故不等式的解集为,
【解法2】, 这里是“<”,所以答案与异号, 带上括号中的常数,
【答案】A.
3. 函数的定义域是, 对任意, 则不等式的解集为 ()
A. B. C. , 或 D. , 或
【解析】令, 则.
∵对任意,
∴恒成立, 即在上为增函数, 又∵,
故的解集为, 即不等式的解集为.
【答案】 A.
4. 已知的定义域为为的导函数, 且满足, 则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【解析】设, 则, 即当时, 函数单调递 减,
,
∴, 解得: , 则不等式的解集为 ,
【答案】 D.
5. 定义在上的函数是它的导函数,且恒有成立, 则 ( )
A. B.
C. D.
【解析】因为, 所以. 由, 得. 即 .
令, 则. 所以函数在上为增函数,对于A，由于, 即 ,
化简即可判断A错; 对于, 由于, 即 , 化简即可判断B 正确; 对于C, 由于 , 即 , 化简即可判断C错误; 对于 D, 由于,
即 , 所以 , 即. 故D错误.
【答案】B.
6. 定义在上的函数满足: 恒成立, 若, 则与的大小关系 为 （ ）
A. B.
C. D. 与 的大小关系不确定
【解析】构造函数, 则, 因此函数在上单调递增, ∵, ∴, 即, 因此: .
【答案】A.
7. 设函数是定义在上的偶函数,为其导函数. 当时, , 且0 , 则不等式的解集为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】, 故函数在上单调递 增. 再根据函数是定义在上的偶函数,可得函数是上的 奇函数, 故函数是上的奇函数, 故函数在, 0)上单调递增. ∵, 故函数的单调性如右图所 示.
由不等式, 可得与同时为正数或同时为负数, ∴, 或, 故不等式 的解集为: .
【答案】 D.
8. 已知函数是定义在上的奇函数, 且 (其中是的导函数) 恒成 立. 若, 则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
【解析】令, 则 任意的都有 成立,
∴ 在 上单调递增. ∴,
又∵.
而.
【答案】A.
9. 已知定义在上的函数, 其导函数记为, 若成立, 则下列正确的是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】 时, 时, .
构造函数 时, 时, , 化简得 .
【答案】 A.
10. 设是奇函数的导函数, , 当时, , 则使得 成立的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】构造时, 为奇函数, ∴时, 为偶函数. 时, 则时, 则. 当时, 函数在上单调递增,
∵时, 时, 为偶函数. ∴函数在上单调递减,
∵时, . 综上可得: 使得成立的取值范围是.
【答案】C.
1第2讲 导数构造秒解大法
知识与方法
很多选择题的压轴题，会以导数的构造出题，往往很多学生连如何构造原函数都不会，更加不用说下一步了．这个时候，如果你会导数构造秒解大法，也许会觉得思路又开了一扇窗．
导数构造秒解大法，实际上就是不构造，或者说跳过构造，直接根据导函数符号“猜测”函数单调性．
第一步，看后面的符号，如果是“＞”，则默认构造函数为增，如果是“＜”则默认构造函数为减．
第二步，看括号中的常数，题目往往给一个常数，其对应的函数值也会给出，将这个常数代入问题，肯定会刚刚好符合．
第三步，直接得出答案．如果后面的符号是“＞”，则答案与问题同号，而且不等式另一侧肯定是常数，如果后面的符号是“＜”，则答案与问题异号，同样，不等式另一侧肯定是常数．
如果有些题目没有给常数，而是直接求不等式解，例如求的解，则直接根据我们“猜测”的单调性，比较括号内的大小即可，不用管函数前面的系数．
总结一下此方法的优缺点，优点是快和简单，很多学生从来不敢尝试的题目，几分钟就可以明白此方法，弄懂之后就可以5秒一道压轴题了．缺点是此方法有一定的局限性，遇到定义域为负数，或涉及函数奇偶性，又或选项中有好几个都符合的时候，就有可能失效．
下面我们就一起来看看几道题，加深一下对此方法的了解．
典型例题
【例1】定义在R上的函数满足：，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】定义在上的函数满足：，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例4】函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例7】已知为R上的可导函数，且对任意，均有，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例】8．已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例9】设为R上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例10】已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【例11】对于R上可导的任意函数，若满足且，则解集是（ ）
A． B．
C． D．
【例12】 设函数是定义在上的可导函数, 其导函数为, 且有, 则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【例14】若, 则实数的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
强化训练
1. 已知定义在上的可导函数的导函数为, 满足, 且, 则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域为,对任意的. 都有成立, 则不等式 的解集为 ( )
A. B. C. D.
3. 函数的定义域是, 对任意, 则不等式的解集为 ( )
A. B.
C. , 或 D. , 或
4. 已知的定义域为为的导函数, 且满足, 则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 定义在上的函数是它的导函数,且恒有成立, 则 ( )
A. B.
C. D.
6. 定义在上的函数满足: 恒成立, 若, 则与的大小关系 为 （ ）
A. B.
C. D. 与 的大小关系不确定
7. 设函数是定义在上的偶函数,为其导函数. 当时, , 且0 , 则不等式的解集为 ( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数是定义在上的奇函数, 且 (其中是的导函数) 恒成 立. 若, 则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
9. 已知定义在上的函数, 其导函数记为, 若成立, 则下列正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 设是奇函数的导函数, , 当时, , 则使得 成立的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
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