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第1讲 构造函数解不等式
知识与方法
遇到函数与导数不等式的题目，一般将不等式移项构造一个新函数，然后找到其原函数，从而判断其单调性．
类型一 直接利用求导的四则运算
法则1：．（可推广到多个函数）
法则2：．
法则3：．
类型二 构造可导积函数
若条件是，可构造，则单调递增；
若条件是，可构造，则单调递增；
若条件是，可构造，则单调递增；
若条件是，可构造，则，若，
则单调递增；
若条件是，可构造；
若条件是，可构造；
若条件是，可构造．
类型三 构造可导商函数
若条件是，可构造，
则，
说明单调递增，，，；
若条件是，则构造；
若条件是，则构造；
若条件是，可构造；
若条件是，可构造．
类型四 构造函数结合函数奇偶性
有的题目是一个函数和一个代数式组合，往往可以构造成一个奇函数，从而利用函数的单调性求解．
典型例题
【例1】已知函数的定义域为实数R，是其导函数，对任意实数x有，则当a>b时，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】定义在上的函数，导数为，且，则下式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】已知函数定义域为，且满足，，则对任意正数a，b，当a>b时，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
强化训练
1．设函数满足，则当，时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
2．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数定义域为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．有极大值无极小值 B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．没有极值
5．已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义在区间上的函数，使不等式恒成立，其中为的导数，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，恒成立，设，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．ab>c C．ba>c
8．已知是定在R上的可导函数，若在R上有恒成立，且（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，其中e是自然对数的底数．若．则实数a的取值范围是______．
10．设函数在R上存在导数，对任意的有，且在上．若，则实数a的取值范围是______．
11．设是R上的可导函数，且，，，求的值．
1第1讲 构造函数解不等式
知识与方法
遇到函数与导数不等式的题目，一般将不等式移项构造一个新函数，然后找到其原函数，从而判断其单调性．
类型一 直接利用求导的四则运算
法则1：．（可推广到多个函数）
法则2：．
法则3：．
类型二 构造可导积函数
若条件是，可构造，则单调递增；
若条件是，可构造，则单调递增；
若条件是，可构造，则单调递增；
若条件是，可构造，则，若，
则单调递增；
若条件是，可构造；
若条件是，可构造；
若条件是，可构造．
类型三 构造可导商函数
若条件是，可构造，
则，
说明单调递增，，，；
若条件是，则构造；
若条件是，则构造；
若条件是，可构造；
若条件是，可构造．
类型四 构造函数结合函数奇偶性
有的题目是一个函数和一个代数式组合，往往可以构造成一个奇函数，从而利用函数的单调性求解．
典型例题
【例1】已知函数的定义域为实数R，是其导函数，对任意实数x有，则当a>b时，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对任意实数x有，令，
∴，
∴在R上单调递增，若a>b，则，即，
【答案】B．
【例2】设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设，
当时，∵，
∴在当时为增函数．
∵．故为上的奇函数．
∴在上亦为增函数．已知，必有．
构造如图的图象，
可知的解集为．
【答案】D．
【例3】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设，则的导数为，
∵当时总有成立，即当时，恒小于0，
∴当时，函数为减函数，
又∵，∴函数为定义域上的偶函数，
又∵，∴函数的大致图象如图所示．
数形结合可得，不等式等价于，
即或，解得或．∴成立的x的取值范围是．
【答案】A．
【例4】定义在上的函数，导数为，且，则下式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为，
所以，即，
构造，则，所以单调递增，
因，所以，
即，即，
【答案】D．
【例5】已知函数定义域为，且满足，，则对任意正数a，b，当a>b时，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，，
∵，所以，即是减函数，即当a>b>0时，，
所以，从而．
【答案】B．
强化训练
1．设函数满足，则当，时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【解析】由已知得，设，
求导得，易得在x>0且是恒成立，因此在x>0且是恒成立，而，说明在x>0时没有极大值也没有极小值
【答案】D．
2．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设，则，
即当x>0时，函数单调递减，
∵，∴，∴，
∴，解得，则不等式的解集为．
【答案】D．
3．是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令，则，
∵当x>0时，，∴当x>0时，，
∴在上单调递减，
∵是定义在R上的奇函数，，∴，
∴当时，，
∴在；①
又，∴为奇函数，
又时，在上单调递减，
∴时，在上单调递减，∵，
∴当时，，从而；②
由①②得或时，．
∴不等式的解集是．
【答案】D．
4．已知函数定义域为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．有极大值无极小值 B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．没有极值
【解析】依题意由于，整理得．
此时令，故此时，
将带入导函数，即，
当时，函数，此时函数单调递增；
当时，函数，此时函数单调递减．
故函数在x=e处取得极大值，即，
即得到函数，故，
即函数单调递减，故函数当x>0时，无极值．
【答案】D．
5．已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设，∵，∴，
∴在单调递增，
由，得，即，
∴，解得或．
∴不等式的解集是．
【答案】A．
6．定义在区间上的函数，使不等式恒成立，其中为的导数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，则，
∵，即，
∴在恒成立，即有在递减，可得，即，
由，可得，则；
令，，∵，
即，
∴在恒成立，即有在递增，可得，
即，则．即有．
【答案】B．
7．已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，恒成立，设，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．ab>c C．ba>c
【解析】令，，∴，
∵时，恒成立，
即时，，
∴时，，递减，而，
∴，，是奇函数，∴在递减，
∵，
∴，
即，
∴．
【答案】A．
8．已知是定在R上的可导函数，若在R上有恒成立，且（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令函数，由题意，则，从而在R上单调递减，
∴，即，∴．
【答案】C．
9．已知函数，其中e是自然对数的底数．若．则实数a的取值范围是______．
【解析】
函数的导数为，
可得在R上递增；
又，可得为奇函数，
则，即有，
由，，即有，
解得，
【答案】．
10．设函数在R上存在导数，对任意的有，且在上．若，则实数a的取值范围是______．
【解析】令，∵，
∴函数为奇函数．
∵时，，故函数在上是增函数，
故函数在上也是增函数，由，可得在R上是增函数．
，等价于，
即，∴，解得．故答案为．
【答案】
11．设是R上的可导函数，且，，，求的值．
【解析】构造，则，所以单调递增或为常函数，而，，所以，故，得．
【答案】
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