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2007年高考中的“圆锥曲线与方程”试题汇编大全
一、选择题：
1.(2007安徽文)椭圆的离心率为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
2.(2007安徽理)如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，
且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
3．（2007北京文)椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　D　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.（2007福建文)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ B ）
A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0 C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0
5.（2007福建理)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ A ）
A  B 
C  D 
6．（2007江苏）在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（A）
A． B． C． D．
7．(2007海南、宁夏文、理)已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（　C　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8.(2007湖北理)双曲线C1：（a>0,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2.C1和C2的一个交点为M，则等于（ A ）
A.-1 B.1 C. D.
9．（2007湖南文）设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是(D )
A． B. C. D.
10．（2007湖南理）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A． B． C． D．
11．（2007江西文）连接抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1，0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（Ｂ ）
A．－1＋ B．－ C．1＋ D．＋
12．（2007江西文、理）设椭圆的离心率为e＝，右焦点为F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2) （ Ｃ）
A．必在圆x2＋y2＝2上 B．必在圆x2＋y2＝2外
C．必在圆x2＋y2＝2内 D．以上三种情形都有可能
13．（2007辽宁文）双曲线的焦点坐标为（C ）
A．， B．，
C．， D．，
14．（2007辽宁理）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ B ）
A． B． C． D．
15.（2007全国Ⅰ文、理）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ Ａ ）
（A） （B） （C） （C）
16.（2007全国Ⅰ文、理）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l,满足为K，则△AKF的面积是（Ｃ ）
（A）4 （B）3 (C) 4 (D)8
17.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ D ）
(A) (B) (C) (D)
18.（2007全国Ⅱ文）设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左右焦点，若点P在双曲线上,且，则（ B ）
(A) (B)2 (C) (D) 2
19.（2007全国Ⅱ理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ B ）
(A) (B) (C) (D)
20.（2007全国Ⅱ理）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（ B ）
(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
21．（2007山东文）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ B ）
A． B． C． D．
22.（2007陕西文、理）抛物线的准线方程是（ Ｂ ）
（A） （B） （C） （D）
23.（2007陕西文、理）已知双曲线C∶＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（ Ｂ ）
（A）a (B)b (C) (D)
24.（2007四川文、理）如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（ A ）
(A) (B) (C) (D)
25.（2007四川文、理）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ C ）
（A）3 （B）4 （C） （D）
26.（2007天津文、理）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　D　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
27.（2007浙江文、理）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
28.（2007重庆文）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ C ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
1.（2007福建文)已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。
2.（2007福建理)已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为；
3．( 2007广东文)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是 ．
4. (2007广东理)在平面直角坐标系中，有一定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 x= - .
5．(2007海南、宁夏文、理)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　3　　．
6.（2007湖北文）过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左焦点M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|-|NF2|-|MN|的值为 8 。
7.（2007江苏）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　5/4　　.
8．（2007辽宁文、理）设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则= 2 ．
9.（2007山东理）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°,则为 .
10.（2007上海文）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．
11.（2007上海理）以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ．
12.（2007重庆理）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.
三、解答题：
1.（2007安徽文)（本小题满分14分）设F是抛物线G:x2=4y的焦点.
　　　（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：
（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.
1.本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点和焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力，本小题满分14分.
解：（Ⅰ）设切点知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程为
即
因为点P（0，-4）在切线上，
所以
所以切线方程为y=±2x-4.
(Ⅱ)设
由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0.
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.
点A，C的坐标满足方程组
得
由根与系数的关系知
同理可求得
当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.
2. (2007安徽理) (本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.
（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关
系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：
直线CD的斜率为定值.
2.本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.本小题满分12分.
解：（Ⅰ）由题意知，A（）.
因为
由于
由点B（0，t）C（c,0）的坐标知，直线BC的方程为
又因点A在直线BC上，故有
将（1）代入上式，得
解得
（Ⅱ）因为
所以直线CD的斜率为定值.
3．（2007北京文、理)（本小题共14分）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．
（I）求边所在直线的方程；
（II）求矩形外接圆的方程；
（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，
求动圆的圆心的轨迹方程．
3．解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
．
（II）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，
即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．
所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为．
4.（2007福建文)（本小题满分14分）如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且
·
（I）求动点P的轨迹C的方程;
（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.
（1）已知的值;
(2)求||·||的最小值.
4.本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：
(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y2=4x.
(II)（1）设直线AB的方程为：
x=my+1(m≠0).
设A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.
联立方程组,消去x得：
y2-4my-4=0,
=(-4m)2+12>0,
由得：
，整理得：
,
∴
=
=-2-
=0.
解法二：（I）由
∴·，
∴=0,
∴
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.
(II)(1)由已知
则：…………①
过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,
则有：…………②
由①②得：
（II）（2）解：由解法一：
·＝（）2|y1-yM||y2-yM|
=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|
=(1+m2)|-4+ ×4m+| =
=4(2+m2+) 4(2+2)=16.
当且仅当，即m=1时等号成立，所以·最小值为16.
5.（2007福建理)（本小题满分12分）如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求的值。
5．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．
解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得．
（Ⅱ）设直线的方程为：
．
设，，又，
联立方程组，消去得：
，，故
由，得：
，，整理得：
，，
．
解法二：（Ⅰ）由得：，
，
，
．
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．
（Ⅱ）由已知，，得．
则：．…………①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则有：．…………②
由①②得：，即．
6.( 2007广东文、理)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线相切于坐标原点0．椭圆与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
(1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
6.【解析】(1)设圆的方程为………………………2分
依题意,,…………5分
解得,故所求圆的方程为……………………7分
(注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!)
(2)由椭圆的第一定义可得,故椭圆方程为,焦点……9分
设,依题意, …………………11分
解得或(舍去) ……………………13分
存在使得该点到右焦点F的距离等于的长。……14分
7．(2007海南、宁夏文)（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
7．解：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直线方程为．
代入圆方程得，
整理得．　　　①
直线与圆交于两个不同的点等价于
，
解得，即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
　　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．
8．(2007海南、宁夏理)（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
8．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得　　　①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．　　　②
又．　　　　③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
9. （2007湖北文、理）（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于A、B两点.
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB
面积的最小值;
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC
为直径的圆截得的张长恒为定值？
若存在，求出l的方程;若不存在，说明理由.
（此题不要求在答题卡上画图）

9.本小题主要考查直线、圆和抛物线平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x1·y1），B（x2,y2）,直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是S△ABN=S△BCN+S△CAN =
=p|x1-x2|=p
令a-得a=此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在.其方程为y=
即抛物线的通径所在的直线.
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
|AB|=
=
=
又由点到直线的距离公式得d=
从而，S△ABC=d|AB|=
=2p2
∴当k=0时，（S△ABN）min=2
(Ⅱ)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,则以AC为直径的圆的方程为
（x-0）(x-x1)+(y-p)(y-y1)=0,将直线方程y=a代入代
x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0,则
△=x-4(a-p)(a-y1)=4
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3,y3）,Q(x4,y4),则有
令a-此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y=
即抛物线的通径所在的直线.
10.（2007湖南文）（本小题满分１3分）已知双曲线的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）.
（Ｉ）证明为常数；
（Ⅱ）若动点（其中为坐标原点），求点的轨迹方程.
10．解：由条件知，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
综上所述，为常数．
（II）解法一：设，则，，
，，由得：
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………②
．………………………③
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
11．（2007湖南理）（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．解：由条件知，，设，．
解法一：（I）设，则则，，
，由得
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是
．
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
解法二：（I）同解法一的（I）有
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以．
．
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有，．
以上同解法一的（II）．
12、（2007江苏）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，
（1）若，求的值；（5分）
（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
12.解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，
因为，所以
，即，
所以，即
所以
（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以
因为，所以P为AB的中点。
13．（2007江西文）（本小题满分14分） 设动点P到两定点F1(－l，0)和F2(1，0)的距离分别为d1和d2，∠F1PF2＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d1d2 sin2θ＝λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）如图，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A、B两
点．问：是否存在λ，使△F1AB是以点B为直角定点的
等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明
理由．
13．解：（1）在中，
（小于的常数）
故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．
方程为．
（2）方法一：在中，设，，，．
假设为等腰直角三角形，则
由②与③得，
则
由⑤得，
，
故存在满足题设条件．
方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得
所以，．
则．①
由，可设，
则，．
则．②
由①②得．③
根据双曲线定义可得，．
平方得：．④
由③④消去可解得，
故存在满足题设条件．
14．（2007江西理）（本小题满分12分）设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，∠APB＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d1d2 sin2θ＝λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使·＝0，其中点O为坐标原点．
14．解法一：（1）在中，，即，
，即（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．
方程为：．
（2）设，
①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．
即，因为，所以．
②当不垂直于轴时，设的方程为．
由得：，
由题意知：，
所以，．
于是：．
因为，且在双曲线右支上，所以
．
由①②知，．
解法二：（1）同解法一
（2）设，，的中点为．
①当时，，
因为，所以；
②当时，．
又．所以；
由得，由第二定义得
．
所以．
于是由得
因为，所以，又，
解得：．由①②知．
15．（2007辽宁文、理）（本小题满分14分）已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）
（I）求圆的方程；
（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．
15.本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。
（Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（），（），由题设知
，
解得，
所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）。
设圆心C的坐标为（r,0），则，所以圆C的方程为
……4分
解法二：设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知
又因为，可得，即
。
由，可知x1＝0，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上，
设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（），于是有，解得r=4，所以圆C的方程为
。……4分
（Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则
……8分
在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得
≤≥ 10分
所以≤≤，由此可得
≤≤.
故的最大值为，最小值为. 14分
16.（2007全国Ⅰ文、理）(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P.
(Ⅰ)设P点的坐标为（x0，y0），证明：；
(Ⅱ)求四过形ABCD的面积的最小值.
16.证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，
故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，，
；
因为与相交于点，且的斜率为．
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
17.（2007全国Ⅱ文、理）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求
的取值范围。
17．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得
．
设，由成等比数列，得
，
即 ．


由于点在圆内，故
由此得．
所以的取值范围为．
18．（2007山东文、理）（本小题满分14分） 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
18．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，

椭圆的标准方程为．
（2）设．
联立
得 ，则

又．
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即．
．
．
．
解得：，且均满足．
当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
19.（2007陕西文、理）(本小题满分14分)已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．
．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．
20．（2007上海文）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当取得最小值时，
在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，
求取得最小值时点的横坐标．
20．解：（1） ，
，
于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则

，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．

．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
21（2007上海理）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求
“果圆”的方程；
（2）当时，求的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”
的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，
求出所有可能的值；若不存在，说明理由．
21． 解：（1） ，
，
于是，所求“果圆”方程为
，．
（2）由题意，得 ，即．
，，得．
又． ．
（3）设“果圆”的方程为，．
记平行弦的斜率为．
当时，直线与半椭圆的交点是
，与半椭圆的交点是．
的中点满足
得 ．
， ．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．
当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
22.（2007四川文）(本小题满分12分)求F1、F2分别是横线的左、右焦点.
（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，其PF＋PF＝－，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
22.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则
由题意知，即，又 ∴
从而，而 ∴
故点的坐标是
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或 ①
又
∴
又
∵，即 ∴ ②
故由①、②得或
23.（2007四川理）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
23.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
24.（2007天津文）（本小题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．
24.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中
，由于点在椭圆上，有，
，
解得，从而得到，
直线的方程为，整理得
．
由题设，原点到直线的距离为，即
，
将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，
过点作，垂足为，易知，故
由椭圆定义得，又，所以
，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组
的解．当时，由①式得
代入②式，得，即
，
于是，
．
若，则
．
所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．
25.（2007天津理）（本小题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．
25．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，
将代入上式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为．
过点作，垂足为，易知，
故．
由椭圆定义得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．
点的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，
整理得，
于是，．
由①式得
．
由知．将③式和④式代入得，
．
将代入上式，整理得．
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组
所以，．
由知，即，
解得．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为　．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．
记（显然），点的坐标满足方程组
由①式得．　　　　　　③
由②式得．　　　④
将③式代入④式得．
整理得，
于是．　　　⑤
由①式得．　　　⑥
由②式得．　　⑦
将⑥式代入⑦式得，
整理得，
于是．　　　⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得，
．
将代入上式，得．
所以，点的轨迹方程为．
26.（2007浙江文、理）（本题14分）如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．
（I）求在，的条件下，的最大值；
（II）当，时，求直线的方程．
26.本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，
由，解得，
所以
．
当且仅当时，取到最大值．
（Ⅱ）解：由
得，
，
． ②
设到的距离为，则
，
又因为，
所以，代入②式并整理，得
，
解得，，代入①式检验，，
故直线的方程是
或或，或．
27.（2007重庆文）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。
27.（本小题12分）
（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，
则，从而
因此焦点的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。
答（21）图
（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz，则
|FA|＝|AC|＝解得，
类似地有，解得。
记直线m与AB的交点为E，则
所以。
故。
解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。
将此式代入,得，故。
记直线m与AB的交点为，则
，
，
故直线m的方程为.
令y=0,得P的横坐标故
。
从而为定值。
28.（2007重庆理） (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明
为定值，并求此定值。
28.（本小题12分）
解：（I）设椭圆方程为．
因焦点为，故半焦距．
又右准线的方程为，从而由已知
，
因此，．
故所求椭圆方程为．
（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，
假设，且，．
又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有
．
解得 ．
因此
，
而
，
故为定值．
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（12圆锥曲线与方程）
一、选择题：
1．（2008北京理）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ D ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．(2008福建文、理)双曲线的两个焦点为，若P为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（　B　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为（ D ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
4、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）
A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）
5. (2008湖北文、理)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①②③④
其中正确式子的序号是（ B ）
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
6．(2008湖南文) 双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线
的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )
A． B． C． D．
7. (2008湖南理)若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B. )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
8．(2008江西文、理) 已知是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）
A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
9.(2008辽宁文) 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．(2008辽宁理) 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）
A． B． C． D．
11．(2008全国Ⅰ卷文)若直线与圆有公共点，则（ D ）
A． B． C． D．
12．(2008全国Ⅱ卷文)设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
13．(2008全国Ⅱ卷理)设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
14.(2008山东理)设椭圆C1的离心率为，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点
到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ A ）
（A） (B) (C) (D)
15.(2008陕西文、理) 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
16.(2008上海文)设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（D）
A．4 B．5 C．8 D．10
17．(2008四川文) 已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( C )
（Ａ）　　（Ｂ）　　 （Ｃ）　 （Ｄ）
17．【解】：∵双曲线中
∴
∵ ∴
作边上的高，则 ∴
∴的面积为 故选C
18．(2008四川理) 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( B )
（Ａ）　 （Ｂ）　 （Ｃ）　　（Ｄ）
18．【解】：∵抛物线的焦点为，准线为 ∴
设，过点向准线作垂线，则
∵，又
∴由得，即，解得
∴的面积为 故选B
19(2008天津文)设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，
离心率为，则此椭圆的方程为（ B ）
A． B． C． D．
20. (2008天津理)设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（ B ）
(A) 6 (B) 2 (C) (D)
21.（2008浙江文、理）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ D ）
（A）3 （B）5 （C） （D）
22.（2008浙江理）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ B ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线
23. (2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px
的准线上，则p的值为 (C )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
24. (2008重庆理)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为 (C )
（A）－=1 (B) (C) (D)
二、填空题：
1.（2008安徽文）已知双曲线的离心率是。则＝ 4
2. (2008福建文)若直线与圆没有公共点，则实数m的取值范围是
3、(2008海南、宁夏理)过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________
4、(2008海南、宁夏文)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________
5. (2008湖南理)已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=
过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 .
6. (2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
7．(2008江西文)已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
8．(2008江西理)过抛物线的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝ ．
9．(2008全国Ⅰ卷文)在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
10．(2008全国Ⅰ卷文、理)已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2 ．
11．(2008全国Ⅰ卷理)在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
12．(2008全国Ⅱ卷理)已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．
13．(2008全国Ⅱ卷文)已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于 2 ．
13.(2008山东文)已知圆．以圆
与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述
条件的双曲线的标准方程为
14．(2008上海文)若直线经过抛物线的焦点，则实数 -1. ．
15.(2008上海理)某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是
16.(2008天津理)已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .
17. （2008浙江文、理）已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点。若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= 8 。
三、解答题：
1.（2008安徽文）设椭圆其相应于焦点的准线方程为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：
;
（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值
1.解 ：（1）由题意得：

椭圆的方程为

(2)方法一：
由（1）知是椭圆的左焦点，离心率
设为椭圆的左准线。则
作，与轴交于点H(如图)
点A在椭圆上




同理
。
方法二：
当时，记，则
将其代入方程 得
设 ，则是此二次方程的两个根.


................(1)
代入（1）式得 ........................(2)
当时， 仍满足（2）式。

（3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得
，

当时，取得最小值
2.（2008安徽理）设椭圆过点，且着焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.
2.解 (1)由题意：
，解得，所求椭圆方程为
(2)方法一: 设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零，记,则且
又A，P，B，Q四点共线，从而
于是 ，
，
从而
，（1） ，（2）
又点A、B在椭圆C上，即

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
即点总在定直线上
方法二:设点，由题设，均不为零。
且
又 四点共线，可设,于是
（1）
（2）
由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 　　　得
即点总在定直线上
3.（2008北京文）已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l:y=x+2上，且AB∥l.
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.
3. 解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.
设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由得
所以
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以
（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.
由得
因为A，B在椭圆上，
所以
　　　 设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.
则
　　　 所以
　　　 又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即
所以
　　　 所以当m=-1时，AC边最长.（这时）
此时AB所在直线的方程为y=x-1.
4.（2008北京理）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；
（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．
4．解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．
因为四边形为菱形，所以．
于是可设直线的方程为．
由得．
因为在椭圆上，
所以，解得．
设两点坐标分别为，
则，，，．
所以．
所以的中点坐标为．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以，解得．
所以直线的方程为，即．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，
所以．
所以菱形的面积．
由（Ⅰ）可得，
所以．
所以当时，菱形的面积取得最大值．
5. (2008福建文) 如图，椭圆的一个焦点为F（1，0）且过点（2，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）若AB为垂直与x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于N，直线AF与BN交于点M。
①求证：点M恒在椭圆C上；②求面积的最大值。
5. 解：（1）由题设a=2,c=1,从而：所以方程为：
（2）①有F(1,0),N(4,0); 设A（m,n），则B（m,-n）,
AF与BN得方程分别为：，
设交点M坐标为：，则
； 点M恒在椭圆C上
②设AM的方程为x=ty+1,带入，得：
设，则有,
则
令，则
所以当时，有最大值3，此时AM过点F。
有最大值为
6.(2008福建理)如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.
　　　
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.
6. 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.
解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，
所以,
即1＝
因此，椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：
整理得
所以
因为恒有，所以AOB恒为钝角.
即恒成立.



又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.
当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0.
a2因为a>0,b>0,所以a0,
解得a>或a<(舍去)，即a>,
综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，
x=1代入=1.
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1,
解得a>或a<(舍去)，即a>.
（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.
设直线AB的方程为y=k(x-1)代入
得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
故x1+x2=
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,
得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
=(1+k2).
由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立.
①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意；
②当a2- a2 b2+b2=0时，a=;
③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,
解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.
综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.
7. (2008广东文、理)设b>0，椭圆方程为，抛物线方程为.如图4所示,过点F(0,b+2)作x轴的平行线，与抛物线在
第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经
过椭圆的右焦点.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在
抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？
若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由
（不必具体求出这些点的坐标）.
7.解: (1)解方程组得,
所以点G的坐标为G(4,b+2)，
由，得，求导数得，
于是，抛物线在点G的切线l的斜率为，
又椭圆中，即c=b,所以椭圆的右焦点为（b,0）
由切线l过点，可知，解得b=1.
所以满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为和
(2) 在抛物线上存在点P，使得△ABP为直角三角形。且这样的点有4个。
证明：分别过点A、B做y轴的平行线，交抛物线于M，N点，则∠MAB=90O，∠NBA=90O，
显然M，N在抛物线上，且使得△ABM，△ABN为直角三角形。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，
综上所述, 满足条件的点共有4个。
8、(2008海南、宁夏理)在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2。F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且。
（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。
8．解：（Ⅰ）由：知．
设，在上，因为，所以，
得，．
在上，且椭圆的半焦距，于是
消去并整理得
，
解得（不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，
因为，所以与的斜率相同，
故的斜率．
设的方程为．
由消去并化简得
．
设，，
，．
因为，所以．
．
所以．
此时，
故所求直线的方程为，或．
9. (2008湖北文)已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程
9.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.
（满分13分）
(Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4＝，
将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，
故所求双曲线方程为
解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.
2a=|PF1|－|PF2|=
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
∴双曲线C的方程为
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6=0.
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴
∴k∈(－)∪(1,).
设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=
而原点O到直线l的距离d＝,
∴SΔOEF=
若SΔOEF＝，即解得k=±,
满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和
解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ①
∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈(－)∪(1,). ②
设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得
|x1－x2|＝. ③
当E、F在同一支上时（如图1所示），
SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=；
当E、F在不同支上时（如图2所示），
SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝
综上得SΔOEF＝，于是
由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝.
若SΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②.
故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和y=
10. (2008湖北理)如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，
∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.
若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.
10.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得
｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲线C的方程为.
解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜
｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为＞0，b＞0）.
则由　 解得a2=b2=2,
∴曲线C的方程为
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴ 　　
∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.
设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是
｜EF｜＝
＝
而原点O到直线l的距离d＝，
∴S△DEF=
若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有
③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ).
解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-K2）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴ .
∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
｜x1-x2｜= ③
当E、F在同一去上时（如图1所示），
S△OEF＝
当E、F在不同支上时（如图2所示）.
S△ODE=
综上得S△OEF＝于是
由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
若△OEF面积不小于2
　④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.
11.(2008湖南文)已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，
求的取值范围。
11.解：（I）设椭圆的方程为
由条件知且所以
故椭圆的方程是
（II）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是
设点关于直线的对称点为则
解得
因为点在椭圆上，所以即
设则
因为所以于是,
当且仅当
上述方程存在正实根,即直线存在.
解得所以
即的取值范围是
12. (2008湖南理)若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.
12. 解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,
两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则
k=.从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x0,0）在直线上，所以
而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，
整理得 （·）
则是方程（·）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

因为0<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8).
记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
若x0>3,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,
l有最大值2(x0-1).
若2所以0综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值
为2（x0-1）；当2< x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
13．(2008江西文)已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．
（1）证明三点共线；
（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．
13．（1）证明：设，
则直线的方程：
即：
因在上，所以①
又直线方程：
由得：
所以
同理，
所以直线的方程：
令得
将①代入上式得，即点在直线上
所以三点共线
（2）解：由已知共线，所以
以为直径的圆的方程：
由得
所以（舍去），
要使圆与抛物线有异于的交点，则
所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点
则，所以交点到的距离为
14．(2008江西理) 设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点(，0)．
（1）过点作直线的垂线，垂足为，
试求△的重心所在的曲线方程；
（2）求证：三点共线．
14..解：（1）设，，∵AN⊥直线，则
∴，∴，
设，则
，解得
，代入双曲线方程，并整理得，
即G点所在曲线方程为
（2）设，，PA斜率为k，则切线PA的方程为：
由，消去y并整理得：
，因为直线与双曲线相切，从而
△= = 0，及，解得
因此PA的方程为：
同理PB的方程为：
又在PA、PB上，
∴
即点，都在直线上，
又也在上，
∴A、M、B三点共线。
15．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？
15．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为． 4分
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，
故． 6分
，即．
而，
于是．
所以时，，故． 8分
当时，，．
，
而
，
所以． 12分
16．(2008辽宁理) 在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．
16．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为． 3分
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，
故． 5分
若，即．
而，
于是，
化简得，所以． 8分
（Ⅲ）


．
因为A在第一象限，故．由知，从而．又，
故，
即在题设条件下，恒有． 12分
17．(2008全国Ⅰ卷文、理)双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
17．解：（1）设，，
由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得
则离心率．
（2）过直线方程为
与双曲线方程联立
将，代入，化简有
将数值代入，有
解得
最后求得双曲线方程为：．
18．(2008全国Ⅱ卷文、理)设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
18．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，． 2分
如图，设，其中，
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化简得，
解得或． 6分
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
． 9分
又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为
9分
，
当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
19. (2008山东文)已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．
19．解：（Ⅰ）由题意得
又，
解得，．
因此所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，
．
解方程组得，，
所以．
设，由题意知，
所以，即，
因为是的垂直平分线，
所以直线的方程为，
即，
因此，
又，
所以，
故．
又当或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，的轨迹方程为．
（2）当存在且时，由（1）得，，
由解得，，
所以，，．
解法一：由于
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
解法二：因为，
又，，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
20.(2008山东理) 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（Ⅰ）证明：由题意设
由得，则
所以
因此直线MA的方程为
　　　　　　　　直线MB的方程为
所以 ①
②
由①、②得　　
因此　，即
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，
将其代入①、②并整理得：
　
　
　　　　　所以　x1、x2是方程的两根，
因此
又
所以
由弦长公式得

　　　　又，
所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为或
（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),
则CD的中点坐标为
　设直线AB的方程为
　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，
　代入得
　若D（x3,y3）在抛物线上，则
　因此　x3=0或x3=2x0.
即D(0，0)或
（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.
（2）当，对于D(0，0)，此时
　　又AB⊥CD，
所以
即矛盾.
对于因为此时直线CD平行于y轴，
又
所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意的M点.
综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.
21.(2008陕西文、理)已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
21. 解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，
由韦达定理得，，
，点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，
直线与抛物线相切，
，．
即．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，
．
由（Ⅰ）知
．
轴，．
又
．
，解得．
即存在，使．
解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得
．由韦达定理得．
，点的坐标为．，，
抛物线在点处的切线的斜率为，．
（Ⅱ）假设存在实数，使．
由（Ⅰ）知，则
，
，，解得．
即存在，使．
22．(2008上海文) 已知双曲线．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．
记．求的取值范围；
（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．
22、【解】（1）所求渐近线方程为 ……………...3分
（2）设P的坐标为，则Q的坐标为， …………….4分

……………7分

的取值范围是 ……………9分
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，
则直线的斜率 ……………11分
由计算可得，当
当 ……………15分
∴ s表示为直线的斜率k的函数是….16分
23.(2008上海理)设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2＝2py（p≠0）的异于原点的交点
⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标
⑵已知点P(a,b)（ab≠0）在椭圆+y2＝1上，p＝，求证：点Q落在双曲线4x2－4y2＝1上
⑶已知动点P(a,b)满足ab≠0，p＝，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由
23．解
（1）当时，
解方程组 得 即点的坐标为
（2）【证明】由方程组 得 即点的坐标为
时椭圆上的点，即
，因此点落在双曲线上
（3）设所在的抛物线方程为
将代入方程，得，即
当时，，此时点的轨迹落在抛物线上；
当时， ，此时点的轨迹落在圆上；
当时，，此时点的轨迹落在椭圆上；
当时，此时点的轨迹落在双曲线上；
24．(2008四川文)设椭圆的左右焦点分别为，离心率，点到右准线为的距离为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是上的两个动点，，
证明：当取最小值时，
24．【解】：因为，到的距离，所以由题设得
解得
由，得
（Ⅱ）由得，的方程为
故可设
由知知
得，所以

当且仅当时，上式取等号，此时
所以，

【点评】：此题重点考察椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量与椭圆的综合应用；
【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中应灵活应用。
25．(2008四川理) 设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线。
25．【解】：由与，得
，的方程为
设
则
由得 ①
（Ⅰ）由，得
②
③
由①、②、③三式，消去，并求得
故
（Ⅱ）
当且仅当或时，取最小值
此时，
故与共线。
【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；
【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。
26．(2008天津文、理)已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．
26．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得
解得
所以双曲线的方程为．
（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得
．
此方程有两个不等实根，于是，且
．整理得
． ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
，．
从而线段的垂直平分线的方程为
．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得
．
整理得
，．
将上式代入③式得，
整理得
，．
解得或．
所以的取值范围是
27.（2008浙江文、理）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数
27．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置
关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
（Ⅰ）解：设为上的点，则
，
到直线的距离为．
由题设得．
化简，得曲线的方程为．
（Ⅱ）解法一：
设，直线，则
，从而．
在中，因为
，
．
所以 .
，
．
当时，，
从而所求直线方程为．
解法二：设，直线，则，从而
．
过垂直于的直线．
因为，所以，
．
当时，，
从而所求直线方程为．
28.(2008重庆文) 如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l： 的距离，若,求的值.
28.（本小题12分）
解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=,
所以双曲线的方程为x2-=1.
(II)解法一：
由（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=.
R所以双曲线的方程为x2-=1.
(II)解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|2, ①
知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ②
将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以
|PN|=.
因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2,
所以d=|PN|,因此
解法：
设P（x,y），因|PN|1知
|PM|=2|PN|22|PN|>|PN|,
故P在双曲线右支上，所以x1.
由双曲线方程有y2=3x2-3.
因此
从而由|PM|=2|PN|2得
2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0.
所以x=(舍去x=).
有|PM|=2x+1=
d=x-=.
故
29. (2008重庆理)如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若,求点P的坐标.
29.（本小题12分）
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=，
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)由得
①
因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，
②
将①代入②，得

故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.
由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以
由方程组 解得
即P点坐标为

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