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北京市海淀区2023~2024学年七年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A． B． C．5 D．
2．“霜降见霜，谷米满仓”，2023年我国粮食再获丰收．据统计，去年秋粮的种植面积为亿亩，比前年增加了700多万亩，奠定了增产的基础．将1310000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组有理数的大小关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．方程的解是（ ）．
A． B． C． D．
5．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长度为（ ）

A． B． C． D．
8．已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形网格中有，两点，点在点的南偏东方向上，且点在点的东北方向上，则点可能的位置是图中的（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
10．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（ ）注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．

A． B．
C． D．
二、填空题
11．如果单项式与是同类项，那么 ．
12．若关于的一元一次方程的解为正数，则的一个取值可以为 ．
13．小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为，小明用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理： ．
14．有这样一个问题：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余18本，如果每人分4本，则还缺22本．这个班有多少学生？设这个班有名学生，则可列方程为 （只列不解）．
15．如图所示的网格是正方形网格，则 ．（填“”“”或“”）
16．记为，为．我们知道，当这两个代数式中的取某一确定的有理数时，和的值也随之确定，例如当时，．若和，的值如下表所示．
的值 2
的值 3
的值
则和的值分别是：
① ；
② ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．已知，求的值．
20．如图，已知，点在射线上．

(1)请按照下列步骤画图（保留作图痕迹）．
①用圆规在射线上取一点，使；
②在内部作射线，使；
③在射线上取一点（不与点重合），连接，．
(2)由图可知，_______（填“>”“<”或“=”）．
21．如图，，是内部的两条射线，，，与互为补角，求的度数．
22．如图，点，在线段上，，，为线段的中点．

(1)求线段的长；
(2)若是直线上一点，且，求线段的长．
23．故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？

24．定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．
(1)直接写出 ；
(2)已知，求的值；
(3)若关于的方程的解为，则的值为 ．
25．已知（，且），，平分，平分．
(1)当射线在的内部时．
①若，则 ；
②猜想与之间的数量关系为： ；
(2)当射线在的外部时，画出图形，并求的大小（用含的式子表示）．
26．在数轴上，把原点记作点，点和点分别表示的数为，，我们称关于的一元一次方程为线段的相关方程，将方程的解记为，在数轴上对应的点为，若点在线段上，则称线段为美好线段，为线段的美好点．
(1)若，，则线段的相关方程为 ；线段是否是美好线段： （填“是”或“否”）；
(2)已知，若线段的美好点恰好是线段的中点，求点表示的数；
(3)已知数组，，…，，0，，，，…，，一共有4047个数，数组，，，，，，，，，，一共有10个数．有理数是数组中的一个数，有理数是数组中的一个数，若线段为美好线段，且线段的美好点在数轴的正半轴上，则这样的美好点一共有 个．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】题目主要考查倒数的定义，理解乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．
【详解】解：的倒数是，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将1310000000用科学记数法表示应为，
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小是解题的关键．
【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；
B、，原式正确，符合题意；
C、∵，
∴原式错误，不符合题意；
D、，原式错误，不符合题意；
故选B．
4．B
【分析】根据一元一次方程的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．
5．B
【分析】根据合并同类项法则进行判断即可，此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．与不是同类项，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意；
D．与不是同类项，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
6．C
【分析】根据等式的性质解答．
【详解】A、∵，∴，故该项不符合题意；
B、∵，∴，故该项不符合题意；
C、∵，∴m，故该项符合题意；
D、∵，∴，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
7．C
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，由是线段的中点，得出，由是线段的中点得出，最后有计算即可得出答案，找准线段之间的关系是解此题的关键．
【详解】解：是线段的中点，，
，
是线段的中点，
，
，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，乘法和加法计算，解题的关键是掌握相关法则并应用．
【详解】解：由数轴可知：，
∴，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解本题的关键；先画出图形，结合网格特点可得：，，在的东北方向，在的南偏东的方向，再画等边三角形，从而可得答案．
【详解】解：如图，
由网格特点可得：，，在的东北方向，
在的南偏东的方向，
在网格中画等边三角形，，连接并延长，
∴，
∴点可能的位置是图中的，
故选B
10．D
【分析】本题考查了单项式乘以单项式、整式的加减的应用，分别求出、、，进行比较即可得出答案，根据图形求出、、是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
，
，
，
，
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得，则．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先解方程得到，再由方程的解为正数得到，据此可得答案．
【详解】解：解方程得，
∵关于的一元一次方程的解为正数，
∴，
∴，
∴的一个取值可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
13．两点之间，线段最短
【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：其中的道理为两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
14．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设这个班有名学生，根据图书数量不变，列出一元一次方程，即可得出答案，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设这个班有名学生，
由题意得：，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了角的比较，根据，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了已知字母，求代数式的值，解一元一次方程，解题的关键在于理解题意，正确计算．
【详解】由题可知：当时，
即：
当时，
解得：
故答案为：．
17．(1)7
(2)1
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）根据有理数的混合运算法则计算即可得出答案；
（2）先计算乘方与绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：．
19．39
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把所求式子变形为，再利用整体代入法求解即可．
【详解】解：
∵，
∴．
即．
20．(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)<
【分析】本题考查尺规作图、比较角度的大小及线段的和与差，正确理解题意是解题关键．
（1）①以点为圆心，长为半径画弧，交于即可；②在内部，靠近一侧画射线即可；③在上找出点，连接即可；
（2）以为圆心，长为半径画弧，交于，根据图形判断即可得答案．
【详解】（1）解：如图，①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；
②在内部，靠近一侧画射线，射线即为所求，
③，即为所求

（2）如图，以为圆心，长为半径画弧，交于，
由图可知，，
∴，
故答案为：
21．
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，根据度数之和为180度的两个角互为补角得到，进而推出，则．
【详解】解：∵与互为补角，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．(1)5
(2)7或17
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算、线段之间的和差关系，利用数形结合的思想，找准线段之间的关系是解此题的关键．
（1）先求出，再由为线段的中点得出，即可得出答案；
（2）分两种情况：当在点右侧时，当在点左侧时，分别画出图形，根据线段之间的关系进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可知，
，，
，
为线段的中点，
；
（2）解：当在点右侧时，如图，

，且，
，
当在点左侧时，如图，

，且，
，
综上所述，的长为7或17．
23．还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作，根据工作总量工作时间工作效率列出方程求解即可．
【详解】解：设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作．
依题意列方程，得．
解得．
答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作．
24．(1)
(2)2或
(3)
【分析】本题考查了有理数的加法、解一元一次方程，理解题意，采用分类讨论的思想，准确进行计算是解此题的关键．
（1）由得出，即可得解；
（2）分三种情况：当时，当时，当时，分别得出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（3）由题意可得，从而得出，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；
（2）解：当时，，即，
解得：；
当时，，即，
解得：；
当时，，即，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为2或；
（3）解：，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
25．(1)①；②
(2)如图1所示，，如图2所示，
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）①先求出，再根据角平分线的定义得到，，则；②同（1）①求解即可；
（2）分如图1和图2两种情况，先求出，进而求出，的度数，进而根据角之间的关系可得答案．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
故答案为：；
②同（1）①得，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图1所示，当射线在的外部时，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
如图2所示，当射线在的外部时，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
，
26．(1)，是
(2)
(3)46
【分析】本题考查了定义新运算，一元一次方程的解，数轴上的点，解题的关键是根据题意列出方程．
（1）由题意和美好线段的定义可得答案；
（2）由线段的美好点恰好是线段的中点，得，将代入计算可得，即可求出点C表示的数；
（3）根据一元一次方程的定义求出，再解得，分两种情况或，当时，解得；当时，解得，即可得美好点数．
【详解】（1）解：由题意可知线段的相关方程为，
，解得：，
，
线段是美好线段；
（2）由题意可知：，
，
解得：，
，
点C表示的数是；
（3）因为是关于x的一元一次方程，所以；
，解得：，即，
因为点C在线段上，所以，，
所以，解得：，
，
，
或，
因为美好点在数轴的正半轴上，即，所以，
当时，，所以解得：，所以，
即，解得：，
所以，所以a可取共8个；
当时，，所以解得：，所以，
即，解得：，
所以，所以a可取，
共，
，
美好点一共有46个．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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