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第三章 函 数
第三节 反比例函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 反比例函数的图象与性质 ☆☆ 吉林中考中，有关反比例函数的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握反比例函数的图象与性质、反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的综合问题、反比例函数的应用等考点。
考点2 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） ☆☆
考点3 一次函数与反比例函数的综合问题 ☆☆☆
考点4 反比例函数与几何图形结合 ☆
考点5 反比例函数的实际应用 ☆
■考点一　反比例函数的图象与性质
1.反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为 .反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式.
2.反比例函数的图象与性质
图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象 ，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点．
性质 表达 式 （为常数，）
图象
k>0 k<0
经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 ①图象关于 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于 成轴对称,关于 成中心对称.
反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
■考点二　反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
1.反比例函数解析式的特征: ①等号 是函数，等号 是一个分式；
②；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
2．待定系数法：确定解析式的方法仍是 ，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要 ，即可求出k的值，从而确定其解析式．
3．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为 （k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于 的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
■考点三　一次函数与反比例函数的综合问题
1.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立 ，构造 ，然后求出 ．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由 来决定．
①k值同号，两个函数必有 ；
②k值异号，两个函数可无交点，可有 ；
2）从计算上看， 的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
■考点四　反比例函数与几何图形结合
1． 反比例函数中k的几何意义
2．解决面积问题常用结论：
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积 的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的 ．如图①，S△ABC＝2S△ACO＝|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝．
■考点五　反比例函数的实际应用
1.用反比例函数解决实际问题的步骤：
1） ：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2） ：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3） ：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4） ：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5） ：用函数解析式去解决实际问题．
2.利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的 ；
2）注意在自变量和函数值的取值上的 ；
3）问题中出现的不等关系转化成 来解，然后在作答中说明．
■易错提示
1. 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数.
2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.
4. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
5. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
6. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
7.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
8.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
■考点一　反比例函数的图象与性质
◇典例1： （2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限 B．点在反比例函数的图象上
C．当时，随的增大而增大 D．当时，
◆变式训练
1．（2023上·辽宁丹东·九年级校考期中）已知反比例函数的图象上有三个点、、，若，则，，的大小关系是( )
A． B． C． D．
2．（2022上·广东东莞·九年级东莞中学南城学校校考期末）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
■考点二　反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
◇典例2：（2023上·安徽亳州·九年级校联考期末）若反比例函数的图象经过点，则k的值是（　　）
A．3 B． C． D．2
◆变式训练
1．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）反比例函数一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，菱形在平面直角坐标系中，边在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上．若，，则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
■考点三　一次函数与反比例函数的综合问题
◇典例3：（2021上·北京海淀·九年级北大附中校考阶段练习）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）在同一直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会．现有函数（其中为常数，且），经小明研究得出了下面几个关于函数图象特征的结论，其中错误的是（ ）
A．经过原点 B．不经过第二、四象限
C．关于直线对称 D．与直线有三个交点
■考点四　反比例函数与几何图形结合
◇典例4：（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知点A在反比例函数上，点B，C在x轴上，使得，点D在线段上，也在反比例函数的图象上，且满足，连接并延长交y轴于点E，若的面积为6，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，的直角边在x轴正半轴上，斜边上的中线反向延长线交y轴负半轴于点E，双曲线的图象经过点A，若，则反比例函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期中）如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
■考点五　反比例函数的实际应用
◇典例5：（2022·山西大同·校联考三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
◆变式训练
1．（2023上·湖南娄底·九年级校考期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于
2．（2024上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若不超过为安全电流，则电阻的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，且．函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
3．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
4．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点．若点D的坐标是，则的值为（ ）

A．3 B． C．2 D．
5．（2023·吉林长春·校考模拟预测）如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C、点D在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为（ ）

A．3 B． C．6 D．
6．（2023·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线交边于点，．若，则的值为（ ）

A．3 B．4 C．8 D．12
7．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点A，B两点，若轴，菱形的面积为12，点A的纵坐标为1，则k的值为（ ）

A． B． C．6 D．
8．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）如图，的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B、C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则k的值为( )

A． B．2 C． D．3
9．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．若反比例函数的图像绕着原点逆时针旋转后与的边有公共点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
10．（2022·吉林长春·统考一模）若矩形的面积为，则矩形的长y关于宽的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·吉林松原·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点，若点在该反比例函数的图象上，则的面积为 ．
12．（2021·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数（x＞0）的图像经过A和B 两点其中A（2，m），且点B的纵坐标为n，则n＝ ．
13．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在中，，，．正方形的边长为，边和边都在直线l上，点E和点A重合．正方形以速度沿直线l向右运动，当点G在边上时，停止运动，设正方形的运动时间为，正方形与的重叠部分的面积为S．

(1)当时，______；
(2)当点G在边上时，_______；
(3)求S与t之间的函数解析式．
14．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离y（千米〉与时间x（（小时）之间的函数关系．点C在线段上，请根据图象解答下列问题：
(1)轿车的速度是___________千米/小时．
(2)求轿车出发后，轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式．
(3)在整个过程中，当轿车与货车之间的距为30千米时，直接写出x的值．
15．（2022·吉林长春·统考模拟预测）有甲、乙两个港口，一艘客船从甲港口出发，顺流航行到乙港口，立刻逆流航行返回甲港口.已知客船在甲、乙两个港口之间顺流航行的速度是每小时32千米.客船距乙港口的距离y（千米）与客船行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示.
(1)甲、乙两个港口的距离是_________千米.
(2)求y与x之间的函数关系式.
(3)甲、乙两个港口之间有一个灯塔P，若客船这次航行时两次经过灯塔P的时间间隔为6小时，直接写出灯塔P与甲港口之间的距离.
16．（2023·吉林松原·统考一模）如图，在中，，为边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当M点和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的y与x的几组对应值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算，补全表格： ；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的函数图象；
(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
1．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）下列各点中，在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·福建福州·九年级福建省福州铜盘中学校考阶段练习）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系．直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图，为了在上午第一节下课时能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）

A． B． C． D．
5．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．若，则
C．图象在第二、四象限内 D．随的增大而增大
6．（2023上·辽宁锦州·九年级校考阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，其中，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·湖南娄底·九年级统考期末）为了降低输电线路上的电能损耗，发电站都采用高压输电．输出电压（V）与输出电流（A）的乘积等于发电功率（即）（W），且通常把某发电站在某时段内的发电功率看作是恒定不变的，当输出电压提高1倍时，由线路损耗电能的计算公式（其中为常数）计算在相同时段内该线路的电能损耗减少（ ）倍．
A．1 B．4 C．0. 25 D．0. 75
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·河南新乡·九年级新乡市第一中学校考阶段练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
11．（2021上·河北唐山·九年级统考期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是
C．当R不超过时，I大于等于 D．当时，
12．（2023上·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（ ）

A． B． C． D．
13．（2024上·山西运城·九年级校考期末）若函数是反比例函数，则的值是 ．
14．（2023下·浙江·八年级专题练习）若反比例函数的图象过点，则等于 ．
15．（吉林省长春市第十三中学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知函数的图象两支分布在第二、四象限内，则k的取值范围是 ．
16．（2024上·北京石景山·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
17．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考阶段练习）图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是 ．

18．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式．
19．（2022上·安徽合肥·九年级统考期末）已知点在反比例函数的图象上.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知且，与两点都在该反比例两数的图像上，试比较与的大小．
20．（2024上·北京石景山·九年级统考期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，即，其图象如图所示．
(1)求的值；
(2)若用电器的电阻为，则电流为______；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不得超过，那么用电器的电阻应控制的范围是______．
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第三章 函 数
第三节 反比例函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 反比例函数的图象与性质 ☆☆ 吉林中考中，有关反比例函数的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握反比例函数的图象与性质、反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的综合问题、反比例函数的应用等考点。
考点2 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义） ☆☆
考点3 一次函数与反比例函数的综合问题 ☆☆☆
考点4 反比例函数与几何图形结合 ☆
考点5 反比例函数的实际应用 ☆
■考点一　反比例函数的图象与性质
1.反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式.
2.反比例函数的图象与性质
图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点．
性质 表达 式 （为常数，）
图象
k>0 k<0
经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
■考点二　反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
1.反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式；
②；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
2．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
3．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
■考点三　一次函数与反比例函数的综合问题
1.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
■考点四　反比例函数与几何图形结合
1． 反比例函数中k的几何意义
2．解决面积问题常用结论：
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积．如图①，S△ABC＝2S△ACO＝|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB＝S△AOC–S△BOC＝–＝．
■考点五　反比例函数的实际应用
1.用反比例函数解决实际问题的步骤：
1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
5）解：用函数解析式去解决实际问题．
2.利用反比例函数解决实际问题，要做到：
1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；
2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；
3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
■易错提示
1. 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数.
2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.
4. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
5. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
6. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
7.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；
8.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．
■考点一　反比例函数的图象与性质
◇典例1： （2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限 B．点在反比例函数的图象上
C．当时，随的增大而增大 D．当时，
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质：①当时，图象分别位于第一、三象限，在同一个象限内，y随x的增大而减小；②当时，图象分别位于第二、四象限，在同一个象限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴图象分别位于第二、四象限，故此选项不符合题意；
B、当时，，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意；
C、∵，∴当时，随的增大而增大，故此选项符合题意；
D、∵，∴当或时，随的增大而增大，又∵当时，，∴当时，，当时，，故此选项不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·辽宁丹东·九年级校考期中）已知反比例函数的图象上有三个点、、，若，则，，的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数性质，利用反比例函数的增减性“当时，在各个象限内y随x的增大而减小；当时，在各个象限内y随x的增大而增大”判断，，的大小关系即可．
【详解】解：反比例函数的比例系数，
函数在各个象限内y随x的增大而增大，
，
故选：A．
2．（2022上·广东东莞·九年级东莞中学南城学校校考期末）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】此题考查了反比例函数的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】解：点，都在反比例函数的图象上，，
在每个象限内随的增大而减小，
，
，
故选：C．
■考点二　反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
◇典例2：（2023上·安徽亳州·九年级校联考期末）若反比例函数的图象经过点，则k的值是（　　）
A．3 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，把点代入反比例函数解析式中求出k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
故选B．
◆变式训练
1．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）反比例函数一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图像与性质，将选项中各点的坐标代入验证即可得到答案，熟记反比例函数的性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、，则反比例函数不经过该点，不符合题意；
B、，则反比例函数经过该点，符合题意；
C、，则反比例函数不经过该点，不符合题意；
D、，则反比例函数不经过该点，不符合题意；
故选：B．
2．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，菱形在平面直角坐标系中，边在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上．若，，则反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查待定系数法确定反比例函数关系式，涉及菱形的性质、含角的直角三角形三边关系等知识，对于反比例函数问题，找到图象上点的坐标是解决问题的关键．如图所示，连接，过作于，则，四边形是菱形，，利用含角的直角三角形三边关系，得到，，从而有点的坐标是，根据点在反比例函数的图象上，求出值即可得到反比例函数的解析式．
【详解】解：连接，过作于，如图所示：
则，
∵四边形是菱形，，
∴，为等边三角形；
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，即反比例函数的解析式是，
故选：D．
■考点三　一次函数与反比例函数的综合问题
◇典例3：（2021上·北京海淀·九年级北大附中校考阶段练习）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质．因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【详解】解：∵当反比例函数图象位于第一、三象限，
∴，则，
∴一次函数的应该经过第二、四象限，
又∵，
∴该直线与y轴交于正半轴，
故B、C选项错误；
∵当反比例函数图象位于第二、四象限时，，则，
∴一次函数的应该经过第一、三象限，
故D选项错误．
故选：A．
◆变式训练
1．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）在同一直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【详解】解：∵，
①若，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限，
②若，则经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限，
只有选项A符合题意，
故选：A．
2．（2024上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会．现有函数（其中为常数，且），经小明研究得出了下面几个关于函数图象特征的结论，其中错误的是（ ）
A．经过原点 B．不经过第二、四象限
C．关于直线对称 D．与直线有三个交点
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数等性质，根据二次函数和反比例函数知识逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A.当时，，说法正确，故选项不符合题意；
B.当时，，当且时，，说法正确，故选项不符合题意；
C.当时，无意义，说法正确，故选项不符合题意；
D.由得，可以求得，只有两个交点，选项错误，故选项符合题意；
故选：D．
■考点四　反比例函数与几何图形结合
◇典例4：（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，已知点A在反比例函数上，点B，C在x轴上，使得，点D在线段上，也在反比例函数的图象上，且满足，连接并延长交y轴于点E，若的面积为6，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．连接，先根据、三角形的面积公式求出的面积，从而可得的面积，再利用三角形的面积公式可得，设点的坐标为，则，然后根据即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，，
设，则，
，
，
解得，
与是同底等高的三角形，
，
，即，
设点的坐标为，则，
则，
故选：C．
◆变式训练
1．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，的直角边在x轴正半轴上，斜边上的中线反向延长线交y轴负半轴于点E，双曲线的图象经过点A，若，则反比例函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 连接，由点D是的中点，得到，，则，再根据三角形面积公式得到，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：连接，
点D是的中点，
，，
，
．
解得：，
又由于反比例函数图象在第一象限，．
k等于8．
∴反比例函数的表达式为，
故选：C．
2．（2023上·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期中）如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和点的坐标，即可确定出a的值．
【详解】解：如图，过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴，过点D作于点F，
，，
，，
四边形为正方形，
，，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
把C坐标代入反比例函数解析式得：，
反比例函数解析式为，
同理可证
，
，
把代入反比例函数解析式，解得：，即，
则将正方形沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，
，
故选：C．
【点睛】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握各个性质是解本题的关键．
■考点五　反比例函数的实际应用
◇典例5：（2022·山西大同·校联考三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，，
∵反比例函数I随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；
∵时，，当时，，
∴当时，I的取值范围是，故D符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1．（2023上·湖南娄底·九年级校考期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为，把代入求出，得出该反比例函数的解析式为，再把代入求出，根据反比例函数的增减性，即可解答．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴该反比例函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小，
∴为了安全起见，气球的体积应不小于，
故选：B．
2．（2024上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若不超过为安全电流，则电阻的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据函数图象即可得可变电阻的变化范围．
【详解】解：根据函数图象知，
不超过为安全电流，则电阻的取值范围是，
故选：D．
1．（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，且．函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，过作轴于点，由，用表示点坐标，再求得关于的解析式，最后由不等式的性质求得的取值范围．
【详解】解：点的坐标为，轴于点，
，，
设，，过作轴于点，
则，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
把，代入函数中，得
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出关于的解析式．
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果．
【详解】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=，QN=，
∴，
即：，
解得：k=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是k的几何意义，表示出对应线段是解题的关键．
3．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3 B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，
依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设，
∴，
则，
又∵，，
∴
∴（负值已舍去）
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点．若点D的坐标是，则的值为（ ）

A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形的面积为4，求出即可．
【详解】解：如图，延长、交y轴于点E、F，延长、交x轴于点M、N，

由的几何意义得，，
∴，
∵，
∴，
∵点D的坐标是，
∴，，
∴，
∵正方形的面积为4，
∴， 而，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质，的几何意义的应用是解题关键．
5．（2023·吉林长春·校考模拟预测）如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C、点D在x轴上，与y轴交于点E，若，则k的值为（ ）

A．3 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】作轴于F，先证明四边形是矩形，根据平行四边形的性质得到，再根据矩形与平行四边形面积相等即可求出进而求解．
【详解】解：作轴于F，如下图所示：
在平行四边形中，，
∵轴，
∴轴，
∵轴，轴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点A在第一象限，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及反比例函数中k的几何意义：过反比例函数上任一点作x轴和y轴的垂线，则两个垂足、原点及该点所围成的矩形面积等于反比例函数的．得出，是解答本题的关键．
6．（2023·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线交边于点，．若，则的值为（ ）

A．3 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【分析】过作轴于，过作轴于，交于，如图所示，根据等腰直角三角形性质得到，从而，再由条件得到，进而，在中，，则，即，即可得到，代入双曲线得到．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，交于，如图所示：

在等腰直角三角形中， ，
，
，
，
等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，
，
，，
在中，，则，即，
，
双曲线交边于点，
，
故选：B．
【点睛】本题考查求反比例函数中的，涉及等腰直角三角形性质，根据题意，求出反比例函数图像上点的坐标是解决问题的关键．
7．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点A，B两点，若轴，菱形的面积为12，点A的纵坐标为1，则k的值为（ ）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】作轴于点G，求得，求得菱形的边长，再求得，据此即可求解．
【详解】解：作轴于点G，交x轴于点F，

∵四边形是菱形，A，B两点在反比例函数的图象上，且轴，
∴，，
∵点A的纵坐标为1，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，通过菱形面积确定点的坐标是解题的关键．
8．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）如图，的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B、C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则k的值为( )

A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】过点C作于D，过点B作轴于E，先证四边形为矩形，得出，再证，根据，再求，，从而利用k的几何意义求出k．
【详解】解：过点C作A于D，过点B作轴于E，

∴，
∵四边形为平行四边形，
∴ ，即，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
9．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．若反比例函数的图像绕着原点逆时针旋转后与的边有公共点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别将旋转，得到，，代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：如图所示，

将旋转，得到，，
当反比例函数的图像经过点，，
当反比例函数的图像经过点，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，反比例数的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（2022·吉林长春·统考一模）若矩形的面积为，则矩形的长y关于宽的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等量关系“矩形的长=矩形面积宽”即可列出关系式．
【详解】由题意得：矩形的长关于宽的函数关系式为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．
11．（2023·吉林松原·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点，若点在该反比例函数的图象上，则的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，结合题意求得，依据反比例函数比例系数的几何意义及中线的性质可求解．
【详解】解：连接，
点在该反比例函数的图象上，
，
在反比例函数图象上，且是的中点，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义及中线的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．
12．（2021·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数（x＞0）的图像经过A和B 两点其中A（2，m），且点B的纵坐标为n，则n＝ ．
【答案】/
【分析】过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，通过证△AOC≌△ABD可得：OC＝AD＝m，AC＝BD＝2，即可求得B点的纵坐标．
【详解】解：如图：过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAC+∠BAD＝90°，
∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAO，
∵∠D＝∠ACO＝90°，AO＝AB，
∴△ACO≌△DAB（AAS），
∴AD＝CO，BD＝AC，
∵A（2，m），
∴OC＝AD＝m，AC＝BD＝2．
∴点B坐标为．
∴ ．
∴解得，（舍去）．
∴n＝m﹣2＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，关键是求得BD的长．
13．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在中，，，．正方形的边长为，边和边都在直线l上，点E和点A重合．正方形以速度沿直线l向右运动，当点G在边上时，停止运动，设正方形的运动时间为，正方形与的重叠部分的面积为S．

(1)当时，______；
(2)当点G在边上时，_______；
(3)求S与t之间的函数解析式．
【答案】(1)2
(2)3
(3)
【分析】（1）先求出，如图1所示，当时，则，，证明得到，再根据重叠部分面积即为的面积进行求解即可；
（2）当点G在边上时，同理可得，则，由此即可求出时间t的值；
（3）分当时，如图1所示，当时，如图2所示，当时，如图3所示，三种情况根据图形之间面积的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
如图1所示，当时，则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；

（2）解：当点G在边上时，同理可得，
∴，
∴，
故答案为：3；

（3）解：当时，如图1所示，
同理可得，
∴；

当时，如图2所示，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴；

当时，如图3所示，
同理可得，，
∴．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，列函数关系式等等，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
14．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离y（千米〉与时间x（（小时）之间的函数关系．点C在线段上，请根据图象解答下列问题：
(1)轿车的速度是___________千米/小时．
(2)求轿车出发后，轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式．
(3)在整个过程中，当轿车与货车之间的距为30千米时，直接写出x的值．
【答案】(1)100
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据函数图象结合速度路程时间进行求解即可；
（2）根据路程速度时间进行求解即可；
（3）先求出货车的速度，再分当轿车未出发前，轿车与货车之间的距为30千米时，当轿车出发后且未追上货车前，轿车与货车之间的距为30千米时，当轿车追上货车后，且轿车未到终点前，轿车与货车之间的距为30千米时，当轿车到达终点后，轿车与货车之间的距为30千米时，列出对应的方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知轿车在小时行驶了千米，
∴轿车的速度为千米/小时，
故答案为：100；
（2）解：由题意得，；
（3）解：由函数图象可知货车在5小时行驶为300千米，
∴货车的速度为千米/小时，
∴；
当轿车未出发前，轿车与货车之间的距为30千米时，则，
解得；
当轿车出发后且未追上货车前，轿车与货车之间的距为30千米时，则，
解得；
当轿车追上货车后，且轿车未到终点前，轿车与货车之间的距为30千米时，则，
解得；
当轿车到达终点后，轿车与货车之间的距为30千米时，则，
解得；
综上所述，当轿车与货车之间的距为30千米时，x的值为或或或．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
15．（2022·吉林长春·统考模拟预测）有甲、乙两个港口，一艘客船从甲港口出发，顺流航行到乙港口，立刻逆流航行返回甲港口.已知客船在甲、乙两个港口之间顺流航行的速度是每小时32千米.客船距乙港口的距离y（千米）与客船行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示.
(1)甲、乙两个港口的距离是_________千米.
(2)求y与x之间的函数关系式.
(3)甲、乙两个港口之间有一个灯塔P，若客船这次航行时两次经过灯塔P的时间间隔为6小时，直接写出灯塔P与甲港口之间的距离.
【答案】(1)96
(2)y=
(3)千米
【分析】（1）由路程等于速度乘以时间求解即可；
（2）分两种情况：当0≤x≤3时，当3（3）设灯塔P与甲港口之间的距离为S千米，根据两次经过灯塔P的时间间隔为6小时，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：由图象知：从甲港口到甲港口行驶的时间为3小时，
∴甲乙两个港口的距离为：32×3=96（千米），
故答案为：96；
（2）解：当0≤x≤3时，
y=96-3x，
当3把(3,0)，(7,96)代入，得
，解得：，
∴y=24x-72，
综上，y与x之间的函数关系式为：y=.
（3）解：甲、乙两个港口之间逆流航行的速度是:96÷(7-3)=24（千米/时），
设灯塔P与甲港口之间的距离为S千米，根据题意，得
,解得：S=，
∴灯塔P与甲港口之间的距离为千米．
【点睛】本题考查分段函数图象，待定系数法求函数解析式，一元一次方程的应用，从函数图象获取到有用信息是解题的关键．
16．（2023·吉林松原·统考一模）如图，在中，，为边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当M点和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的y与x的几组对应值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算，补全表格： ；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的函数图象；
(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
【答案】(1)3.2
(2)见解析
(3)y随x的增大而减小
【分析】（1）先求出边上的高，进而求出，判断出点M与重合，即可得出答案；
（2）先描点，再连线，即可画出图象；
（3）根据图象直接得出结论．
【详解】（1）解：如图，
在中，，根据勾股定理得，，
过点C作于，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴当时，点M与点重合，
∴，
∵，
∴点M，N重合，
∴，
故答案为：3.2；
（2）如图所示，
（3）由图象知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
【点睛】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图象的画法，画出函数图象是解本题的关键．
1．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查判断点是否在反比例函数图象上．根据将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断．
【详解】解：A、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、当时，，则点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
故选：D
2．（2023上·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义：形如的函数是反比例函数，即可判断求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键D．
【详解】解：、，是的正比例函数，不符合题意；
、，是的反比例函数，不是的反比例函数，不符合题意；
、，是的正比例函数，不符合题意；
、，是的反比例函数，符合题意；
故选：．
3．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）下列各点中，在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求反比例函数值，求出当时，当时，当时的函数值即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，当时，，当时，，
∴四个选项中，只有B选项中的点在函数图象上，
故选B．
4．（2023上·福建福州·九年级福建省福州铜盘中学校考阶段练习）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系．直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图，为了在上午第一节下课时能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出开机加热时一次函数关系式，进而求出当时的值，再求出关机降温时反比例函数关系式，进而求出当时的值，观察可知饮水机的一个循环周期为分钟，每一个循环内，在及时间段内，水温不超过，最后逐项判断即可．
【详解】解：∵开机加热时间每分钟上升，
∴从到需要分钟．
设一次函数关系式为，
将点，代入，得
，解得，
∴一次函数关系式为，
令，则，
解得：，
设反比例函数关系式为，
将点代入关系式，得，
解得，
∴反比例函数关系式为，
将代入，得，
∴．
令，解得，

∴饮水机的一个循环周期为分钟，每一个循环内，在及时间段内，水温不超过．
∵至之间有85分钟，，不在及时间段内，A选项不符合题意；
∵至之间有75分钟，，不在及时间段内，B选项不符合题意；
∵至之间有60分钟，，在及时间段内，C选项符合题意；
∵至之间有45分钟，，不在及时间段内，D选项不符合题意；．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，求自变量的值，从图像中获取信息是解题的关键．
5．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．若，则
C．图象在第二、四象限内 D．随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：当，，
∴图象必经过点，A结论正确，故不符合题意；
∵，
∴图象位于第二、四象限，C正确，故不符合题意；
若，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，故若，则，故B结论正确；故不符合题意；
在第二或第四象限中，y随x的增大而增大，D错误，故符合要求；
故选：D．
6．（2023上·辽宁锦州·九年级校考阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，其中，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由反比例函数和一次函数图象都是关于原点对称，由可求点B坐标，根据图象可求解．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，其中，
∴点B坐标为
∴由图可知，当或，正比例函数图象在反比例函数的图象的上方，
即不等式的解集为或，
故选：D．
7．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键．由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案．
【详解】解：由题意设 ，
把代入得： ，
，
当h时，，
所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到，
故选B．
8．（2023上·湖南娄底·九年级统考期末）为了降低输电线路上的电能损耗，发电站都采用高压输电．输出电压（V）与输出电流（A）的乘积等于发电功率（即）（W），且通常把某发电站在某时段内的发电功率看作是恒定不变的，当输出电压提高1倍时，由线路损耗电能的计算公式（其中为常数）计算在相同时段内该线路的电能损耗减少（ ）倍．
A．1 B．4 C．0. 25 D．0. 75
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的性质，复习物理中的公式，是解决此题的前提和关键．
【详解】根据得，，
∵发电站的功率不变，当输出电压提高倍时，
∴输出电流将变为原来的；
由可知，在相同时段内该路线的电能损耗变为原来的，
∴在相同时段内该路线的电能损耗减少倍，
故选D．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I．
【详解】解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
设该反比函数解析式为，
当时，，
即电流为，
故选：A．
10．（2023上·河南新乡·九年级新乡市第一中学校考阶段练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出，再求出当时，，即可得到答案．
【详解】解：设气压与气体体积的关系式为，
把代入中得：，
∴，
∴，
∵，
∴P随V增大而减小，
当时，，
∴为了安全起见，即气压小于时，气球的体积应大于
故选A．
11．（2021上·河北唐山·九年级统考期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是
C．当R不超过时，I大于等于 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数解析式，设反比例函数的解析式为：，利用待定系数法可求得，再根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设反比例函数的解析式为：，
由图得：在函数图象上，
，
，
A、函数解析式为，则错误，故不符合题意；
B、蓄电池的电压是，则错误，故不符合题意；
C、当R不超过时，I大于等于，则正确，故符合题意；
D、当时，，则错误，故不符合题意；
故选C．
12．（2023上·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）如图1，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，延长线段交轴于点，当时，阴影部分的面积；如图2，点、在反比例函数的图象上，过点、作轴的垂线，垂足分别为，，连接，交于于点，当时，阴影部分的面积，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与三角形的面积，掌握反比例函数图像的性质是解题的关键．由题意得∽，再根据面积比等于相似比的平方求出，由得，结合求出；设，，则，，，，
根据求出，即可得出结论．
【详解】解：①，
∽，
，
，
而，，
，
，
，
，
，，，
②设，，
由图可知：，，，，
，
，
，
即，解得，
．
故选：C．
13．（2024上·山西运城·九年级校考期末）若函数是反比例函数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数就叫做反比例函数，解题的关键是根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得：，
∴的值为．
故答案为：．
14．（2023下·浙江·八年级专题练习）若反比例函数的图象过点，则等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解答即可，只需把所给点的坐标代入函数即可，比较简单．
【详解】解：把点代入反比例函数得：，
∴，
故答案为：．
15．（吉林省长春市第十三中学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知函数的图象两支分布在第二、四象限内，则k的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）时，图象是位于一、三象限；（2）时，图象是位于二、四象限．根据反比例函数的图象在第二，四象限，即可得出，然后求解即可．
【详解】解：∵函数的图象两支分布在第二、四象限内，
∴，
∴．
故答案为：．
16．（2024上·北京石景山·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当，在每个象限内，随的增大而减小，进行判断即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，在每个象限内，随的增大而减小，
又∵，
∴，
故答案为：．
17．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考阶段练习）图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．先由待定系数法求出反比例函数的解析式，然后分别求出和时对应的I，最后观察图象即可求解．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵图象经过点，
∴，
∴，
∴，
当时，；
当时，，
∴当时，的取值范围是．
故答案为：．
18．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得；
【详解】∵与x成正比例，与成反比例，
∴设，，
∴，
∵当时，，当时，，
∴，解得，
∴y与x之间的函数解析式为．
19．（2022上·安徽合肥·九年级统考期末）已知点在反比例函数的图象上.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知且，与两点都在该反比例两数的图像上，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式．
（1）把代入函数解析式即可求解；
（2）根据反比例函数图像的性质即可解答．
【详解】（1）解： ∵点在反比例函数的图象上，
∴.
∴
（2）∵反比例函数为，其图象在二、四象限内，且在每一象限内随的增大而增大，
又，
∴①当时，有，
此时点在第四象限的图象上，，
点 在第二象限的图象上，，
则，
②当时，有
∴.
20．（2024上·北京石景山·九年级统考期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，即，其图象如图所示．
(1)求的值；
(2)若用电器的电阻为，则电流为______；
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不得超过，那么用电器的电阻应控制的范围是______．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
（）根据待定系数法即可求解；
（）代入函数求值即可；
（）当时，代入求出，再根据图象即可求解．
【详解】（1）∵图象经过点，
∴，
解得：；
（2）由（）得：，
∴，
当时，，
故答案为：；
（3）当电流，，
解得：，
根据图象电流不得超过，则，
故答案为：．
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