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第二章 方程与不等式
第四节 一元一次不等式（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 不等式的性质 ☆☆ 吉林中考中，有关一元一次不等式（组）的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于一元一次不等式（组）的复习，需要熟练掌握一元一次不等式（组）的性质、解法和应用等考点。
考点2 一元一次不等式（组）的解法及解集表示 ☆☆☆
考点3 一元一次不等式的应用 ☆☆
■考点一　不等式的性质
1.不等式的相关概念
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.
不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示.
解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
不等式的性质
基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3 若a>b,c<0，则ac■考点二　一元一次不等式（组）的解法及解集表示
1.一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.
2.一元一次不等式的一般形式：或.
3.一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．
4.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
5.不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
6.解一元一次不等式组的一般步骤：
求出不等式组中各不等式的解集.
将各不等式的解决在数轴上表示出来.
在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
■考点三　一元一次不等式的应用
1.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的提示还要注意结合实际。
2.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
■易错提示
1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系.
2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种.
3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点.
4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值.
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值.
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解.
5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际．
6. 运用不等式的性质的注意事项：
1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算．
2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．
3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母．
4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.
1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1.
2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.
1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.
2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分.
■考点一　不等式的性质
◇典例1： （2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A，，故该选项不合题意；
B，若，则，故该选项符合题意；
C， ，故该选项符合题意；
D，，故该选项不合题意；
故选C．
◆变式训练
1．（2023下·全国·八年级假期作业）某高钙牛奶的包装盒上注明“每内含钙量”，它的含义是指（ ）
A．每内含钙量为 B．每内含钙量不低于
C．每内含钙量高于 D．每内含钙量不超过
【答案】B
【解析】略
2．（2022下·广西南宁·七年级校考阶段练习）已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项不符合题意；
D、若，则，故本选项符合题意；
故选：D
■考点二　一元一次不等式（组）的解法及解集表示
◇典例2：（2019下·广西百色·七年级统考期中）如图，是关于的不等式的解集，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集．解不等式得，根据数轴表示不等式的解集得，然后得到关于a的方程，求解即可．
【详解】解：解得，
由数轴表示不等式的解集，得，
∴，
解得，
故选：C．
◆变式训练
1．（2023下·七年级课时练习）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
2．（2022下·广西南宁·七年级校考阶段练习）若实数a使得关于x方程的解为正整数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次不等式组，分别解方程和不等式组，求出满足题意的所有的整数，相乘即可．熟练掌握解含参的方程和不等式是本题解题关键，注意分析含参的不等式时要考虑端点．
【详解】解：由方程的解为，
关于的方程的解为正数，
，解得：；
，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
关于的不等式组的解集为，
；
；
为整数，的值为正整数
；
所以符合条件的所有整数的积是．
故选：C．
■考点三　一元一次不等式的应用
◇典例3：（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设同学人数为x人，植树的棵数为棵，有植树但植树棵数不到3棵意思是植树棵数在1棵和3棵之间，包括1棵，不包括3棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入列出不等式组，解不等式组即可得解，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键．
【详解】设同学人数为x人，植树的棵数为棵，
∵有1位同学有植树但植树的棵数不到3棵，植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为
解不等式组得：，
∵人数要取非负整数，
∴
故选：A．
◆变式训练
1．（2023下·七年级课时练习）已知药品的保存温度要求为，药品的保存温度要求为，若需要将，两种药品放在一起保存，则保存温度要求为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
2．（2023下·全国·八年级假期作业）某运行程序如图所示，从“输入一个值m到结果是否大于107”为一次程序操作．若进行两次程序操作后输出结果，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
1．（2022·吉林长春·统考中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接移项解一元一次不等式即可．
【详解】，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
2．（2022·吉林·统考中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据差运算、不大于的定义列出不等式即可．
【详解】解：由题意，用不等式表示为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握“不大于是指小于或等于”是解题关键．
3．（2021·吉林·统考中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】按照解不等式步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
4．（2023·吉林白山·校联考二模）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解不等式得到解集即可．
【详解】解：，
∴，
在数轴上表示为：

故选：D
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，正确掌握不等式在数轴上表示的方法是解题的关键．
5．（2023·吉林长春·校考一模）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】移项即可求出不等式的解集．
【详解】∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据象限中点的坐标特征得到，解这个不等式组得到，在数轴上表示出来即可得到答案．
【详解】解：点在第二象限，
，解得，
在数轴上表示不等式组的解集为： ，
故选：C．
【点睛】本题考查象限中点的坐标特征与解一元一次不等式组，熟记不等式解集在数轴上的表示是解决问题的关键．
7．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分别求解两个不等式，再写出不等式的解集，根据解集即可进行解答．
【详解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为，
用数轴表示为：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是掌握求解不等式组的方法和步骤，以及用数轴表示不等式解集的方法．
8．（2023·吉林长春·一模）已知药品A的保存温度要求为，药品B保存温度要求为，若需要将A，B两种药品放在一起保存，则保存温度要求为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】需要将A，B两种药品放在一起保存，冷库储藏温度正好是A药品冷库储藏温度的最高度数和B药品冷库储藏温度的最低度数.
【详解】解：∵药品A的保存温度要求为，药品B保存温度要求为，
∴将A，B两种药品放在一起保存，冷库储藏温度要求为，
故选：C.
【点睛】此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题意，搞懂A药品冷库储藏温度和B药品冷库储藏温度的要求.
9．（2023·吉林长春·统考一模）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
10．（2023·吉林·统考中考真题）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解．
【详解】解：
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
11．（2021·吉林长春·统考中考真题）不等式组的所有整数解是 ．
【答案】0，1
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”求得不等式组的解集，进而可求得整数解．
【详解】解：
由①得：x＞
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为0，1
故答案为：0，1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（2023·吉林·统考一模）a与3的和是正数，用不等式表示为 .
【答案】
【分析】根据和运算、正数大于0列出不等式即可．
【详解】解：与3的和是正数，用不等式表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列不等式，理解不等关系是解题关键．
13．（2023·吉林长春·校考一模）若关于 x 的不等式的解集是，则关于 x 的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】由关于x的不等式的解集是知，且，即，据此将不等式变形为，再移项、系数化为1即可．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集是，
∴，且，即，
则不等式可变形为，
移项，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
14.（2022·吉林长春·校考模拟预测）昆明剧院举行专场音乐会，成人票每张元，学生票每张元，暑假期间，为了吸引广大师生来听音乐会，剧院制定了两种优惠方案：
方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；
方案二：成人票和学生票都打九折．
某校有名老师和若干名不少于人学生去听音乐会．
(1)如果该校有名学生和老师去听音乐会，按两种优惠方案，各应付多少门票费？
(2)请你结合参加听音乐会的学生人数，计算说明怎样购票花费少？
【答案】(1)，元
(2)见解析
【分析】（1）首先根据优惠方案一：付款总金额=购买成人票金额+除去4人后的学生票金额；优惠方案二：付款总金额=（购买成人票金额购买学生票金额）打折率，求出即可；
（2）根据题意列出函数关系式，求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数，再就是那种情况讨论．
【详解】（1）解：由题意可得：
元，
元；
（2）按优惠方案一可得：
，
按优惠方案二可得：
，
∵，
①当时，得，解得，
当购买张票时，两种优惠方案付款一样多．
②当时，得，解得，
时，，优惠方案一付款较少．
③当时，得，解得，
当时，，优惠方案二付款较少．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点 的取值，再进一步讨论
1．（2019下·七年级单元测试）已知且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，先将两不等式相加，得到，再两边同时除以2，即可求出a的取值范围．
【详解】解：∵且，
∴，即，
∴．
故选：C．
2．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据,应用不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：
∴选项A符合题意；
∴选项B不符合题意；
，
∴选项C不符合题意；
，
，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
3．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，根据，则用数轴表示不等式的解集，即可作答．
【详解】解：因为
所以不等式在数轴上表示为：
故选：A
4．（2024下·全国·七年级假期作业）给出下列各数：，－2，0.8，2，3，4，5，2023，其中是不等式x－1＞0的解的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解析】略
5．（2024下·全国·七年级假期作业）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数个 B．不等式x＜5的正整数解有有限个
C．不等式－2x＜8的解集是x＞－4 D．－40是不等式－2x＜8的一个解
【答案】D
【解析】略
6．（2024下·全国·七年级假期作业）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
7．（2024下·全国·八年级假期作业）某公司推出两种手机通话收费方案．方案一：月租费36元，通话费为0.1元/分；方案二：不收月租费，通话费为0.6元/分．设小明一个月的通话时间为，已知小明选择方案一比选择方案二更优惠，则他一个月的通话时间超过（ ）
A．60min B．70min C．72min D．80min
【答案】C
【解析】略
8．（2023下·七年级课时练习）2022年某地区空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果2023年（365天）这样的比值要超过70%，那么2023年空气质量良好的天数比去年至少要增加的天数是（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】D
【解析】略
9．（2023下·七年级课时练习）某社区阅览室出售会员卡，每张会员卡50元，只限本人使用，凭会员卡购入场券每张2元，没有会员卡购入场券每张4元，在什么情况下，购会员卡比不购会员卡更合算（ ）
A．购券多于30次 B．购券少于30次
C．购券多于25次 D．购券少于25次
【答案】C
【解析】略
10．（2023下·全国·八年级假期作业）小明要从甲地到乙地，两地相距．已知他步行的平均速度为，跑步的平均速度为．若他要在不超过的时间内从甲地到达乙地，则至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步，则列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】略
11．（2023下·全国·八年级假期作业）某人计划在15天里加工408个零件，前3天每天加工24个．如果他要在规定时间内超额完成任务，那么他以后每天至少要加工的零件个数为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
【答案】A
【解析】略
12．（2023下·七年级课时练习）在，，，0，1，3中，是不等式的解的有 ，是不等式的解的有 ．
【答案】 ，0，1，3 ，，，0，1
【解析】略
13．（2023上·广西南宁·七年级校考阶段练习）已知有理数a，b的和即与差即在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减运算，不等式的性质，先判断，再化简绝对值即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：．
14．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）用不等式表示：x与2的和大于6，则这个不等式是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
【详解】解：列不等式为：，
故答案为：．
15．（2023上·浙江·八年级校联考期末）国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不能超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为15cm，长与高的比为，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm．
【答案】60
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握题意是解题的关键；由题意可设该行李箱的长和高分别为，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由题意可设该行李箱的长和高分别为，则有：
，
解得：，
∴该行李箱的高的最大值为；
故答案为60．
16．（2023上·黑龙江大庆·八年级统考期末）已知关于的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解关于x的不等式组，确定不等式组的解集，然后根据不等式组恰好有个整数解，确定a的范围即可．
【详解】，
∵解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组恰好有个整数解，则一定是2，3，
∴，
∴．
故答案为：．
17．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）已知，利用不等式的性质比较与的大小．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
18．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）某人想租用一辆汽车．现有甲、乙两家出租公司，甲公司的出租条件为汽车每行驶需付租车费元，乙公司的出租条件为每月付3000元租车费．另外，汽车每行驶，租车人需再付元汽车磨损费，请你通过计算说明这个人租哪家的汽车较合算？
【答案】当汽车每月的行驶里程小于时，这个人租甲公司的车合算；当汽车每月的行驶里程等于时，这个人租甲、乙公司的车费用一样；当汽车每月的行驶里程大于时，这个人租乙公司的车合算．
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设汽车行驶的路程为，则甲公司所需费用为元，乙公司所需费用为元，再分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：设汽车行驶的路程为，则甲公司所需费用为元，乙公司所需费用为元，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：．
∴当汽车每月的行驶里程小于时，这个人租甲公司的车合算；当汽车每月的行驶里程等于时，这个人租甲、乙公司的车费用一样；当汽车每月的行驶里程大于时，这个人租乙公司的车合算．
19．（2024下·宁夏中卫·八年级校考期末）某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】(1)A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元
(2)购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用．
（1）设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件，利用总价单价数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5160元，列出一元一次不等式组，解之得出m的取值范围，根据m为正整数，分别求出利润比较即可．
【详解】（1）解：设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元，
依题意得：
，
解得：，
答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元；
（2）解：设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件，
依题意得：，
解得：，
m为正整数，
m可取28，29，30，
当购进A种农产品28件，则购进B种农产品件，
则
（元），
当购进A种农产品29件，则购进B种农产品件，
则
（元），
当购进A种农产品30件，则购进B种农产品件，
则
（元），
，
购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多，
答：购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多．
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第二章 方程与不等式
第四节 一元一次不等式（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 不等式的性质 ☆☆ 吉林中考中，有关一元一次不等式（组）的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于一元一次不等式（组）的复习，需要熟练掌握一元一次不等式（组）的性质、解法和应用等考点。
考点2 一元一次不等式（组）的解法及解集表示 ☆☆☆
考点3 一元一次不等式的应用 ☆☆
■考点一　不等式的性质
1.不等式的相关概念
不等式的定义：用 “＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示 的式子，叫做 .
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做 .
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个 .
不等式的解集的表示方法：① ；② .
解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做 .
不等式的性质
基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3 若a>b,c<0，则ac■考点二　一元一次不等式（组）的解法及解集表示
1.一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是 ，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 ，像这样的不等式叫 .
2.一元一次不等式的一般形式： .
3.一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成 ．
4.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的 ．
5.不等式组解集的确定有两种方法：
1） ：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2） ：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
6.解一元一次不等式组的一般步骤：
求出不等式组中各不等式的 .
将各不等式的解决在 表示出来.
在数轴上找出各不等式解集的 ，这个公共部分就是不等式组的解集.
■考点三　一元一次不等式的应用
1.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以 等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“ ”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的提示还要注意 。
2.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：
：理解并找出实际问题中的等量关系;
：用代数式表示实际问题中的基础数据;
：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
：求解方程;
：考虑求出的解是否具有实际意义;
：实际问题的答案.
■易错提示
1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系.
2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种.
3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点.
4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值.
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值.
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解.
5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的提示还要注意结合实际．
6. 运用不等式的性质的注意事项：
1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算．
2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．
3）不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母．
4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向.
1. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1.
2. 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论．
3. 在解一元一次不等式时,上述的五个步骤不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.
1. 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.
2. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分.
■考点一　不等式的性质
◇典例1： （2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023下·全国·八年级假期作业）某高钙牛奶的包装盒上注明“每内含钙量”，它的含义是指（ ）
A．每内含钙量为 B．每内含钙量不低于
C．每内含钙量高于 D．每内含钙量不超过
2．（2022下·广西南宁·七年级校考阶段练习）已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
■考点二　一元一次不等式（组）的解法及解集表示
◇典例2：（2019下·广西百色·七年级统考期中）如图，是关于的不等式的解集，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023下·七年级课时练习）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·广西南宁·七年级校考阶段练习）若实数a使得关于x方程的解为正整数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为（ ）
A．0 B． C． D．
■考点三　一元一次不等式的应用
◇典例3：（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
◆变式训练
1．（2023下·七年级课时练习）已知药品的保存温度要求为，药品的保存温度要求为，若需要将，两种药品放在一起保存，则保存温度要求为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·全国·八年级假期作业）某运行程序如图所示，从“输入一个值m到结果是否大于107”为一次程序操作．若进行两次程序操作后输出结果，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·吉林长春·统考中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·统考中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·吉林·统考中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林白山·校联考二模）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·吉林长春·校考一模）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·吉林长春·一模）已知药品A的保存温度要求为，药品B保存温度要求为，若需要将A，B两种药品放在一起保存，则保存温度要求为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·吉林长春·统考一模）不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林·统考中考真题）不等式的解集为 ．
11．（2021·吉林长春·统考中考真题）不等式组的所有整数解是 ．
12．（2023·吉林·统考一模）a与3的和是正数，用不等式表示为 .
13．（2023·吉林长春·校考一模）若关于 x 的不等式的解集是，则关于 x 的不等式的解集是 ．
14.（2022·吉林长春·校考模拟预测）昆明剧院举行专场音乐会，成人票每张元，学生票每张元，暑假期间，为了吸引广大师生来听音乐会，剧院制定了两种优惠方案：
方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；
方案二：成人票和学生票都打九折．
某校有名老师和若干名不少于人学生去听音乐会．
(1)如果该校有名学生和老师去听音乐会，按两种优惠方案，各应付多少门票费？
(2)请你结合参加听音乐会的学生人数，计算说明怎样购票花费少？
1．（2019下·七年级单元测试）已知且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024下·全国·七年级假期作业）给出下列各数：，－2，0.8，2，3，4，5，2023，其中是不等式x－1＞0的解的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（2024下·全国·七年级假期作业）下列说法中，错误的是（ ）
A．不等式x＜5的整数解有无数个 B．不等式x＜5的正整数解有有限个
C．不等式－2x＜8的解集是x＞－4 D．－40是不等式－2x＜8的一个解
6．（2024下·全国·七年级假期作业）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是( )
A． B． C． D．
7．（2024下·全国·八年级假期作业）某公司推出两种手机通话收费方案．方案一：月租费36元，通话费为0.1元/分；方案二：不收月租费，通话费为0.6元/分．设小明一个月的通话时间为，已知小明选择方案一比选择方案二更优惠，则他一个月的通话时间超过（ ）
A．60min B．70min C．72min D．80min
8．（2023下·七年级课时练习）2022年某地区空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60%，如果2023年（365天）这样的比值要超过70%，那么2023年空气质量良好的天数比去年至少要增加的天数是（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
9．（2023下·七年级课时练习）某社区阅览室出售会员卡，每张会员卡50元，只限本人使用，凭会员卡购入场券每张2元，没有会员卡购入场券每张4元，在什么情况下，购会员卡比不购会员卡更合算（ ）
A．购券多于30次 B．购券少于30次
C．购券多于25次 D．购券少于25次
10．（2023下·全国·八年级假期作业）小明要从甲地到乙地，两地相距．已知他步行的平均速度为，跑步的平均速度为．若他要在不超过的时间内从甲地到达乙地，则至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步，则列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023下·全国·八年级假期作业）某人计划在15天里加工408个零件，前3天每天加工24个．如果他要在规定时间内超额完成任务，那么他以后每天至少要加工的零件个数为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
12．（2023下·七年级课时练习）在，，，0，1，3中，是不等式的解的有 ，是不等式的解的有 ．
13．（2023上·广西南宁·七年级校考阶段练习）已知有理数a，b的和即与差即在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果为 ．
14．（2023上·浙江衢州·八年级统考期中）用不等式表示：x与2的和大于6，则这个不等式是 ．
15．（2023上·浙江·八年级校联考期末）国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不能超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为15cm，长与高的比为，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm．
16．（2023上·黑龙江大庆·八年级统考期末）已知关于的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围为 ．
17．（2023上·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）已知，利用不等式的性质比较与的大小．
18．（2022上·河北石家庄·九年级校考期末）某人想租用一辆汽车．现有甲、乙两家出租公司，甲公司的出租条件为汽车每行驶需付租车费元，乙公司的出租条件为每月付3000元租车费．另外，汽车每行驶，租车人需再付元汽车磨损费，请你通过计算说明这个人租哪家的汽车较合算？
19．（2024下·宁夏中卫·八年级校考期末）某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
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