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第三章 函 数
第四节 二次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的图象与性质 ☆☆ 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2024年吉林中考一定会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面，题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.
考点2 二次函数的图象与a,b,c之间的关系 ☆
考点3 二次函数与方程、不等式之间的关系 ☆☆☆
■考点一　二次函数的图象与性质
1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做 ．
2.二次函数解析式的三种形式
（1） ：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2） ：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3） ：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
3.二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （–，）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向 . 开口向 .
最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值=
最点 抛物线有最 点 抛物线有最 点
增减性 当x<–时，y随x的 ；当x>–时，y随x的 . 当x<–时，y随x的 ；当x>–时，y随x的 .
■考点二　二次函数的图象与a,b,c之间的关系
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系
符号 图象特征 备注
a a>0 开口向 . a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
a<0 开口向 .
b b=0 坐标轴是y轴
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过 . c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0 与y轴 相交
c<0 与y轴 相交
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论
-2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0
x轴上 4a-2b+c =0
x轴的下方 4a-2b+c <0
-1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0
x轴上 a-b+c =0
x轴的下方 a-b+c <0
1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0
x轴上 a+b+c =0
x轴的下方 a+b+c <0
2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0
x轴上 4a+2b+c =0
x轴的下方 4a+2b+c <0
■考点三　二次函数与方程、不等式之间的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当 时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是 . 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac
2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
2.二次函数与不等式的关系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 个交点 个交点 个交点
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 xx2 x≠ 取任意实数
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1■易错提示
1.二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax ＋c（a）
2)当c＝0时， y＝ax ＋bx （a）
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax （a）
2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围.
3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
4. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
5. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标.
6. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线.
7. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= .
（原因：MN=| x1- x2|=）
■考点一　二次函数的图象与性质
◇典例1： （2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）若二次函数的图象过点则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
◆变式训练
1．（吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）抛物线经过和，则抛物线的最低点为（ ）
A． B． C． D．
■考点二　二次函数的图象与a,b,c之间的关系
◇典例2：（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级呼和浩特市实验中学校考期中）二次函数中，y与x的部分对应值如下：则一元二次方程的一个解x满足条件（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y 0.25 0.76
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有以下结论：①抛物线开口向下；②当时，y取最大值；③当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点A，B，当时，x的取值范围是．正确的结论是（）

A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
2．（2023上·河南新乡·九年级校考期中）如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
■考点三　二次函数与方程、不等式之间的关系
◇典例3：（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）二次函数图象经过点，，且，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
◆变式训练
1．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于的函数 是常数，设分别取，，时，所对应的函数为，以下结论：①满足的取值范围是；②不论取何实数，的图象都经过点和点；③当时，满足，则以上结论正确的是(　　)
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
2．（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
1．（2022·吉林·校联考一模）顶点为(﹣2，1)，且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2+1
C．y＝﹣2(x+2)2﹣1 D．y＝﹣2(x+2)2+1
2．（2023·吉林长春·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是( )
A． B． C． D．
3．（2020·吉林长春·统考二模）已知二次函数y=﹣（x﹣k）2（k为常数），当自变量x的值满足1≤x≤6时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则k的值为（ ）
A．0或5 B．5或7 C．0或7 D．2或5
4．（2021·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2021·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m的顶点为A，它与x轴分别交于B，C两点，与y轴的交点为D，过点D作DE平行于x轴交于抛物线于点E，BF∥CE交DE于点F，若3S△ABC＝4S△FEC，则m的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣12 D．12
6．（2020·吉林长春·统考三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．（2022·吉林长春·统考中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
8．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
9．（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．

10．（2023·吉林长春·校联考二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围为 ．
11．（2023·吉林长春·统考二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点，点为此抛物线上的一动点（点在第一象限），连接，则四边形面积的最大值为 ．

12．（2023·吉林长春·统考一模）如图，抛物线与y轴交于点A，过的中点作轴，交抛物线于B、C两点（点B在C的左边），连接、，若将向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线上，则点O平移后的坐标为 ．

13．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点和点．若点的横坐标是3，则的解集为 ．
14．（2023·吉林松原·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点的坐标为，点在轴的正半轴上，将沿轴向下平移得到，点的对应点恰好在反比例函数的图象上．

(1)求的值；
(2)求平移的距离．
15．（2023·吉林松原·统考二模）已知是的反比例函数，并且当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)当时，求的值．
16．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点、，将向右平移到的位置，点、的对应点分别是、，函数的图象经过点和的中点，求的值．

1．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，所得图象的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023上·重庆江津·九年级校考阶段练习）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山东日照·九年级校考期中）如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．对于任意实数，都有
5．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）对于代数式、，定义一种新运算：．①若，则或；②若、是一元二次方程的两个根，则；③若二次函数在内有最小值，则；④若的函数图象与直线有两个交点，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）根据下列表格中二次函数的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
x 0 1 2 3 4
y 5 13 23
A． B． C． D．
8．（2023上·山东德州·九年级校考阶段练习）二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．（2024上·黑龙江绥化·九年级校考期末）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2023上·江苏淮安·九年级淮安市洪泽实验中学校考期中）下列哪一个函数，其图形与轴有两个交点（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023上·云南昭通·九年级统考期中）如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图像如图所示,下列结论:
①;②;
③方程的两个根是,;
④;⑤当时,随增大而增大．
其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ．
13．（2023上·山东青岛·九年级期末）二次函数的图像的顶点坐标是
14．（2024上·甘肃陇南·九年级统考期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则的最大值是 ．
15．（2024上·江西南昌·九年级校考阶段练习）小王同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图像，请根据图像判断，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是 ．
16．（2024上·安徽亳州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
x
那么方程的一个近似根是 （精确到）
17．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）已知:抛物线经过点，，求抛物线的函数表达式．
18．（2023上·江苏南京·九年级南京外国语学校校考阶段练习）如图，抛物线经过两点，且其对称轴为直线．
(1)求此抛物线及直线的函数表达式；
(2)若是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点），若的面积为6，求出此时点的坐标．
19．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）已知二次函数的大致图象如图：
(1)求该二次函数与轴的交点坐标和顶点坐标；
(2)结合（1）的结论及该二次函数的图象，直接写出当时，的取值范围．
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第三章 函 数
第四节 二次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的图象与性质 ☆☆ 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2024年吉林中考一定会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面，题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.
考点2 二次函数的图象与a,b,c之间的关系 ☆
考点3 二次函数与方程、不等式之间的关系 ☆☆☆
■考点一　二次函数的图象与性质
1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
3.二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （–，）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值=
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
■考点二　二次函数的图象与a,b,c之间的关系
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系
符号 图象特征 备注
a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
a<0 开口向下
b b=0 坐标轴是y轴
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论
-2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0
x轴上 4a-2b+c =0
x轴的下方 4a-2b+c <0
-1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0
x轴上 a-b+c =0
x轴的下方 a-b+c <0
1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0
x轴上 a+b+c =0
x轴的下方 a+b+c <0
2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0
x轴上 4a+2b+c =0
x轴的下方 4a+2b+c <0
■考点三　二次函数与方程、不等式之间的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac
2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0
1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0
0个交点 没有实数根 b2-4ac<0
2.二次函数与不等式的关系:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 xx2 x≠ 取任意实数
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1■易错提示
1.二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax ＋c（a）
2)当c＝0时， y＝ax ＋bx （a）
3)当b＝0，c＝0时， y＝ax （a）
2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围.
3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
4. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
5. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标.
6. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线.
7. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= .
（原因：MN=| x1- x2|=）
■考点一　二次函数的图象与性质
◇典例1： （2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）若二次函数的图象过点则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式．
【详解】解：将代入函数解析式，得：，
解得：．
故选：B．
◆变式训练
1．（吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）若点在二次函数图象的对称轴上，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确确定抛物线的对称轴．
根据函数解析式可确定对称轴为，点在对称轴上，因此的横坐标为，进而可得答案．
【详解】解：二次函数图象的对称轴为，
点在二次函数图象的对称轴上，
点的横坐标为，
故选：．
2．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）抛物线经过和，则抛物线的最低点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称性．根据二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴为直线，再求出抛物线的顶点坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过和，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线的最低点为．
故选：B
■考点二　二次函数的图象与a,b,c之间的关系
◇典例2：（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级呼和浩特市实验中学校考期中）二次函数中，y与x的部分对应值如下：则一元二次方程的一个解x满足条件（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y 0.25 0.76
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查图象法求一元二次方程的近似根．找到表格中相邻的两个自变量的值，对应的两个函数值一个大于0，一个小于0，即可．
【详解】解：由表格可知：时，，时，，
∴当，存在一个的值，使，
∴一元二次方程的一个解x满足条件为；
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有以下结论：①抛物线开口向下；②当时，y取最大值；③当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；④直线经过点A，B，当时，x的取值范围是．正确的结论是（）

A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题；
结合函数图象，利用二次函数的对称性，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．
【详解】二次函数的图象经过点A，B，C，由此可知，抛物线开口向下，所以①正确；
若当时，取最大值，则由于点和点C到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，图中点A和点C的纵坐标相等，所以②正确；
当时，二次函数的图象与有两个交点，则关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；所以③是正确的；
直线经过点A，B，当时，的取值范围是或，从而④错误；
故选：B．
2．（2023上·河南新乡·九年级校考期中）如图，一次函数与二次函数的图象交于和两点，当时，x的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，由图象中抛物线在直线上方时x的取值范围求解．解题关键是掌握二次函数与不等式的关系．
【详解】解：由图象可得在点D，B之间时，二次函数图象在一次函数的上方，
∵，
∴当时，则，
故选：C
■考点三　二次函数与方程、不等式之间的关系
◇典例3：（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）二次函数图象经过点，，且，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由二次函数图象经过点，，代入，，根据，列出不等式即可，准确理解二次函数的性质，正确求解不等式组是解题的关键．
【详解】∵二次函数图象经过点，
∴，，
则，
∵，
∴，整理得：，
解得：或，
故选：．
◆变式训练
1．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于的函数 是常数，设分别取，，时，所对应的函数为，以下结论：①满足的取值范围是；②不论取何实数，的图象都经过点和点；③当时，满足，则以上结论正确的是(　　)
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，利用不等式求二次函数的取值范围．将，，代入，解不等式可判定①③，经过定点，可知的系数为，则可判定②．
【详解】解：当分别取，，时，所对应的函数解析式分别为：
，，，
若，则，
，
即．
则①正确；
关于的函数，
当时，函数值与无关，
即当，，
当，，
过定点，，
则②正确；
若，
或；
若，
或，
当时，，
则③正确．
故选：D．
2．（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与不等式．
先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，即可解答．
【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线，
∴该二次函数的图象与x轴的另一交点坐标为，
∵由图象可得，当或时，，
∴不等式的解集为或．
故选：C
1．（2022·吉林·校联考一模）顶点为(﹣2，1)，且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2(x﹣2)2﹣1 B．y＝2(x+2)2+1
C．y＝﹣2(x+2)2﹣1 D．y＝﹣2(x+2)2+1
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵此函数的开口方向、形状与函数，
∴该函数的关系式中，
根据顶点式可得该函数关系式为：y＝﹣2（x+2）2+1，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的知识解答．
2．（2023·吉林长春·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定，再解方程得，，所以，设，利用三角形面积公式表示出，然后利用二次函数的性质解决问题．
【详解】解：当时，，则，
当时，，解得，则，，
，
设，
当时，面积的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2020·吉林长春·统考二模）已知二次函数y=﹣（x﹣k）2（k为常数），当自变量x的值满足1≤x≤6时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则k的值为（ ）
A．0或5 B．5或7 C．0或7 D．2或5
【答案】C
【分析】分k＜1、1≤k≤6和k＞6三种情况考虑：
当k＜1时，根据二次函数的性质可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出结论；
当1≤k≤6时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；
当k＞6时，根据二次函数的性质可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【详解】解：当k＜1时，有-（1-k）2=-1，
解得：k1=0，k2=2（舍去）；
当1≤k≤6时，y=-（x-k）2的最大值为0，不符合题意；
当k＞6时，有-（6-k）2=-1，
解得：k3=5（舍去），k4=7．
综上所述：k的值为0或7．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分k＜1、1≤k≤6和k＞6三种情况求出k值是解题的关键．
4．（2021·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】由y=ax2-2ax+2（a＜0）可得点B坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点D坐标，再通过CD=BC求出BC长度，通过三角形面积=×底×高求解．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x=，
点B的坐标为（0，2），
∴点D的坐标为（2，2），
BD=2-0=2，
∵CD=BC，
∴CD=BD=1，
∴BC=2+1=3．
∴S△ABC=×3×2=3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．（2021·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m的顶点为A，它与x轴分别交于B，C两点，与y轴的交点为D，过点D作DE平行于x轴交于抛物线于点E，BF∥CE交DE于点F，若3S△ABC＝4S△FEC，则m的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣12 D．12
【答案】A
【分析】先证明四边形BCEF是平行四边形，求得S△FEC=BC|yD|，S△ABC=BC|yA|，求得顶点A的坐标为(2，4+m)，点D的坐标为(0，m)，m<0，根据题意列方程计算即可求解．
【详解】解：∵BF∥CE，BC∥FE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴BC=EF，
∴S△FEC=EFOD=BCOD=BC|yD|，
S△ABC=BC|yA|，
y=﹣x2+4x+m=-( x2-4x+4-4)+m=-( x-2)2+4+m，
当x=0时，y=m，
∴顶点A的坐标为(2，4+m)，点D的坐标为(0，m)，m<0，
∵3S△ABC=4S△FEC，
∴3×BC=4×BC，
∴3(4+m)=4(-m)，
解得：m=．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，函数图象上的点的坐标的特征，利用图象上的点的坐标的特征表示相应线段是解题的关键．
6．（2020·吉林长春·统考三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】函数与坐标轴有3个交点，所以此函数为二次函数，与y轴必有一个交点，所以与x轴有两个交点，故△＞0，代入求出k的范围，即可解决本题．
【详解】解：∵函数与坐标轴有3个交点
∴此函数为二次函数
∴k-2≠0
∴k≠2
∵与y轴必有一个交点
∴与x轴有两个交点
∴△＞0
∴（-2k）2-4k（k-2）＞0
∴k＞0
∴k可以为1
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴、y轴的交点问题，熟练二次函数与x轴的交点是由△决定以及二次项系数不等于零是解决本题的关键．
7．（2022·吉林长春·统考中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
【答案】/
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
【详解】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为 ．
【答案】
【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解．
【详解】解：将点代入抛物线中，解得，
∴抛物线解析式为，
设CD、EF分别与轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中，
得到：，
解得，(负值舍去)，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
9．（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．

【答案】
【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（2023·吉林长春·校联考二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，结合图象，在的范围确定y的取值范围即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为．
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，如图，
当时，，
当时，．
∵方程在的范围内有实数根，即函数的图象在的范围内与的图象有交点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，从而借助数形结合解题是关键．
11．（2023·吉林长春·统考二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点，点为此抛物线上的一动点（点在第一象限），连接，则四边形面积的最大值为 ．

【答案】
【分析】过作于，如图所示，根据抛物线图像与性质求出的坐标，再由，利用二次函数最值性质求出四边形面积最大值即可得到答案．
【详解】解：过作于，如图所示：

设，则，
抛物线与轴交于两点（点在的左边），与轴交于点，
当时，，即；当时，，解得或，即、，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，即当时，四边形面积有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数综合的面积最值问题，熟练掌握二次函数综合面积问题解法，灵活运用二次函数图像与性质是解决问题的关键．
12．（2023·吉林长春·统考一模）如图，抛物线与y轴交于点A，过的中点作轴，交抛物线于B、C两点（点B在C的左边），连接、，若将向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线上，则点O平移后的坐标为 ．

【答案】
【分析】先求出，从而可得点和点的坐标，再设点平移后的对应点分别为点，则点的横坐标为，点的横坐标为，代入函数解析式可得的纵坐标，从而可得的中点向上平移的距离，由此即可得．
【详解】解：抛物线与轴交于点，
，
过的中点作轴，
点和点的纵坐标均为，
当时，则，解得，
，
如图，设点平移后的对应点分别为点，

则点的横坐标为，点的横坐标为，
当时，，
则的中点向上平移了个单位长度，
所以点也向上平移了个单位长度，
所以点平移后的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、点坐标的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
13．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点和点．若点的横坐标是3，则的解集为 ．
【答案】/
【分析】根据题意可得是方程的一个解，据此求出，则不等式可以化简为，由此求解即可．
【详解】解：∵抛物线和直线交于点和点，点的横坐标是3，
∴是方程的一个解，
∴，
∴，
∴即为，
∴
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程，正确推出是解题的关键．
14．（2023·吉林松原·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点的坐标为，点在轴的正半轴上，将沿轴向下平移得到，点的对应点恰好在反比例函数的图象上．

(1)求的值；
(2)求平移的距离．
【答案】(1)2
(2)5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出即可；
（2）根据平移的特点和反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】（1）解：过点作于，

是等腰直角三角形，，
，
，
（2）解：由平移可得点横坐标和点横坐标相同，设，
在反比例函数的图象上，
，
，
，
平移的距离为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形变化-平移，求得点的坐标是解答本题的关键．
15．（2023·吉林松原·统考二模）已知是的反比例函数，并且当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出解析式；
（2）将代入求出函数值．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
把，代入，得．
解得．
所以关于的函数解析式为．
（2）当时，．
【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
16．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点、，将向右平移到的位置，点、的对应点分别是、，函数的图象经过点和的中点，求的值．

【答案】
【分析】设，则，再求出，，由F是的中点，得到，再由函数的图象经过点和点， 得到，由此即可求出答案．
【详解】解：由平移的性质可知 ，
设，则，
∵，，
∴轴，，
∴，
∴．
∵F是的中点，
∴，
∵函数的图象经过点和点，
∴，
解得，
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，平移的性质，熟知正确用表示出点和点的坐标是解题的关键．
1．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，解题的关键是能够根据函数图象判断解析式中系数的正负．
先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致，逐一判断即可．
【详解】解：A．∵二次函数图象的开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴m、n异号，
∴，
此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故不符合题意；
B．∵二次函数图象的开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴m、n异号，
∴，
此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象不一致，故不符合题意；
C．∵二次函数图象的开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴m、n异号，
∴，
此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故不符合题意；
D．∵二次函数图象的开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴m、n异号，
∴，
此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象一致，符合题意．
故选D．
2．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，所得图象的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，得到：，再向下平移5个单位，
所得的图象解析式是：．
故选：A．
3．（2023上·重庆江津·九年级校考阶段练习）设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．先求出二次函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点A到对称轴的距离为：，
点B到对称轴的距离为：，
点C到对称轴的距离为：，
∵，
∴该函数开口向下，
∵，
∴，
故选：A．
4．（2023上·山东日照·九年级校考期中）如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．对于任意实数，都有
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的图象可得，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与的函数值相等，从而可得当时，，结合即可判断②正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与的函数值相等，即为，再根据二次函数的增减性即可判断③正确；根据当时，即可判断④错误．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
，
，选项A正确；
∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∵抛物线的图象与的一个交点在点和之间，
当时，，
由二次函数的对称性可知，时的函数值与的函数值相等，
∴当时，，即，
，选项B正确；
由二次函数的对称性可知，时的函数值与的函数值相等，即为，
∵该抛物线的图象经过点与点，且，
∴由二次函数的增减性可知，，选项C正确；
当时，，则选项D错误；
故选：D．
5．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．先得到抛物线的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位的解析式，再代入计算即可．
【详解】解： ∵，
将抛物线的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得：
，
A选项代入，，不符合题意；
B选项代入， ，符合题意；
C选项代入， ，不符合题意；
D选项代入，，不符合题意；
故选：B．
6．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）对于代数式、，定义一种新运算：．①若，则或；②若、是一元二次方程的两个根，则；③若二次函数在内有最小值，则；④若的函数图象与直线有两个交点，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将新运算转化成一元二次方程，①利用因式分解法解方程；②根据一元二次方程根与系数的关系，求出，，然后代入变形得到结果；③根据定义的新运算，得到，根据二次函数的性质和二次函数的最值，确定答案；④利用数形结合的思想，得到当或时，的函数图象与直线有两个交点．
【详解】解：根据题意得：
①，，
，
即，
，
解得：，，
故①正确；
②根据定义的新运算得：
，
即，
、是一元二次方程的两个根，
，，
，
故②正确；
③根据定义的新运算得：
二次函数
，
，
函数的顶点坐标为，
二次函数在内有最小值，
，
故③不正确；
④根据定义的新运算得：
函数，
令，则，
解得：，
的函数图象与轴交点为，，
把代入，得，
把代入，得，
当时，的函数图象与直线有两个交点；
令，整理得：
，
若时，的函数图象与直线有三个交点，
即，
解得：，
当时，的函数图象与直线有两个交点，
综上，当或时，的函数图象与直线有两个交点，
故④不正确，
故正确的是①②，
故选．
【点睛】本题考查了定义的新运算，二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，结合题意，熟练运用相关性质是解答本题的关键．
7．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）根据下列表格中二次函数的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
x 0 1 2 3 4
y 5 13 23
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查估算能力，仔细看表，可发现y的值和5最接近0，再看对应的x的值即可得．
【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
故关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是．
故选：C．
8．（2023上·山东德州·九年级校考阶段练习）二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数（是常数，），决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴且，
∴且．
故选：D．
9．（2024上·黑龙江绥化·九年级校考期末）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（为常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．通过解方程得，，则、两点为，，则，则，进一步计算即可．
【详解】解：当时，，
因式分解得：，
解得：，，
∴、两点为，，
∴，
∴
．
故选：D．
10．（2023上·江苏淮安·九年级淮安市洪泽实验中学校考期中）下列哪一个函数，其图形与轴有两个交点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，灵活掌握抛物线的性质是解决问题的关键，属于中考常考题型．分别令得到一元二次方程，然后通过判断方程的实数解的个数确定抛物线与x轴的交点个数．
【详解】解：A、当时，方程没有实数解，所以该函数的图象与x轴没有交点，本选项不符合题意；
B、当时，方程没有实数解，所以该函数的图象与x轴没有交点，本选项不符合题意；
C、当时，方程没有实数解，所以该函数的图象与x轴没有交点，本选项不符合题意；
D、当时，方程有两个不相等的实数解，所以该函数的图象与x轴有两个交点，本选项符合题意；
故选：D．
11．（2023上·云南昭通·九年级统考期中）如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图像如图所示,下列结论:
①;②;
③方程的两个根是,;
④;⑤当时,随增大而增大．
其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据题意对序号逐个进行分析即可得到本题答案,熟记二次函数图像性质是解出本题的关键．
【详解】解:∵根据二次函数图像对称性,对称轴为直线,与x轴的一个交点坐标为,
∴与x轴的另一个交点坐标为,
∴二次函数与x轴有两个交点,即方程的两个根是,,
∴③不正确;
∴,即,
∴①正确;
∵对称轴为直线,
∴,即,
∴②正确;
∵当时,,
∵,
∴,
∴④不正确;
∵,对称轴为直线,
∴当时,y随x增大而增大,
∴⑤正确,
∴正确的序号有:①②⑤,
故选:B．
12．（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键． 根据原点是抛物线的最低点，则抛物线必须开口向上，可得，即可解答．
【详解】解：解：点是是抛物线的最低点，
．
故答案为：．
13．（2023上·山东青岛·九年级期末）二次函数的图像的顶点坐标是
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图像的顶点式解析式，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．如果，那么函数图像的顶点坐标为，根据二次函数的顶点式解析式写出即可．
【详解】解：二次函数 图像的顶点坐标是，
故答案为：．
14．（2024上·甘肃陇南·九年级统考期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则的最大值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，用配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
【详解】解：由方程有两个不相等的实根，，
可得，，，
∵，可得，，即，
化简得∶，
则，
故最大值为2．
故答案为：2．
15．（2024上·江西南昌·九年级校考阶段练习）小王同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图像，请根据图像判断，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与方程的关系，求得函数的顶点坐标，然后结合图像即可求解．
【详解】解：∵
∴顶点坐标为
∴与直线有3个交点，
观察图像，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是为或，
故答案为：或．
16．（2024上·安徽亳州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表：
x
那么方程的一个近似根是 （精确到）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法．
【详解】解∶由可得：
，
当时，，
当时，，
故的一个近似根，
距离x轴更近，
的一个近似根是，
的另一个近似根是
故答案为：或
17．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）已知:抛物线经过点，，求抛物线的函数表达式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
将两点坐标代入得到a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可求得解析式．
【详解】将点，代入抛物线得，
，
，
抛物线的函数表达式
18．（2023上·江苏南京·九年级南京外国语学校校考阶段练习）如图，抛物线经过两点，且其对称轴为直线．
(1)求此抛物线及直线的函数表达式；
(2)若是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点），若的面积为6，求出此时点的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为；直线的解析式为
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数解析式和求二次函数解析式，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）设抛物线解析式为，根据对称轴计算公式得到，再把代入中求出a、b、c的值即可；设直线的解析式为，把代入中求出k、的值即可：
（2）如图所示，过点P作轴于H，设，则，，根据，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即
把代入中得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴于H，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
19．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）已知二次函数的大致图象如图：
(1)求该二次函数与轴的交点坐标和顶点坐标；
(2)结合（1）的结论及该二次函数的图象，直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)与x轴的交点坐标为，顶点坐标为
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
（1）令，求出x的值，即可求出与x轴的交点坐标；将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标
（2）根据与x轴的交点坐标，再根据图像即可得出x的取值范围．
【详解】（1）当时，，解得，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为；
因为，
所以抛物线的顶点坐标为；
（2）由图象可知，当时，的取值范围是或．
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