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（人教版）2024年中考数学一轮复习--二次根式 练习题
一、选择题
1．（2023·耿马模拟） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；积的乘方
【解析】【解答】
A：，A错误；
B：，B正确；
C：，C错误；
D：，D错误。 故答案为：B
【分析】根据二次根式的运算法则和整式的运算法则进行计算即可判断。
2．（2023·白云模拟） 下列选项中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，不是最简二次根式，不符合题意；
C：，是最简二次根式，符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义，分析判断，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式
3．（2023·巧家模拟）若二次根式有意义，则应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵二次根式有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
4．（2023·宜昌）下列运算正确的个数是（　　）．
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：①|2023|=2023，故①正确；
②20230=1，故②正确；
③2023-1=，故③正确；
④，故④正确；
正确的个数是4个.
故答案为：A.
【分析】直接根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂、二次根式的性质计算并判断即可.
5．（2023·衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴a≥0，b≥0，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可。
6．（2023·张家口模拟）下列各式中，化简后能与合并的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】 ∵，，，， ∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意， 故答案为：C。
【分析】此题考察二次根式的化简、同类二次根式，属于“双基”题型，难度很低。
7．（2023·江西）若有意义，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：a-4≥0，∴a≥4.
A、-1＜4，所以A不符合题意；
B、0＜4，所以B不符合题意；
C、2＜4，所以C不符合题意；
D、6＞4，所以D符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据二次根式有意义的条件，可列出不等式a-4≥0，解不等式求得a≥4，然后进行选择即可。
8．（2023·绵阳模拟）关于x的代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵关于x的代数式在实数范围内有意义，
∴1-x>0，
∴x<1.
故答案为：C.
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得1-x>0，求解即可.
9．（2023·松江模拟）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】A、 ， 与不是同类二次根式 ，故不符合题意；
B、，与是同类二次根式 ，故符合题意；
C、=2， 与不是同类二次根式 ，故不符合题意；
D、， 与不是同类二次根式 ，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将各选项二次根式化为最简二次根式，若被开方数为2，则与是同类二次根式，据此判断即可.
10．（2023·梧州模拟）若，则的值是（　　）
A．8 B．2 C．-8 D．-2
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
解得，
∴a+b=-3+5=2.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的非负性及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可列出关于字母a、b的方程组，求解可得a、b的值，最后再求和即可.
二、填空题
11．（2023·包河模拟） 计算　 　 ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据绝对值的性质以及二次根式的减法法则计算求解即可。
12．（2023·利州模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x+1≥0且x-2≠0，
解得x≥-1且x≠2.
故答案为：x≥-1且x≠2.
【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件可得x+1≥0且x-2≠0，求解即可.
13．（2023·通州模拟） 已知为整数，且，则等于　 　 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意可得：
故
故答案为：3
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案。
14．（2023·兴隆台模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x+3≥0，
∴x≥-3，
故答案为： x≥-3 .
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
15．（2022·荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是　 　.
【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， .
∴ ，
故答案为：2.
【分析】先估算出，再根据不等式的性质得，从而确定a、b的值，然后代入式子计算即可.
三、解答题
16．（2021·临沂）计算 ．
【答案】解：
=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用绝对值的性质和平方差公式进行计算，然后合并即可.
17．（2023·玉屏模拟）
（1）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：；
（2）小明解方程的过程如图：
解方程：.
解：， ..............第一步
即， ..............第二步
∴. ..........第三步
小明是用　 　 法来求解的，他的过程从第　 　 步开始出现错误；
请用不同于中的方法解该方程　 　．
【答案】（1）解：由题图数轴知：，，．
，．
；
（2）配方；二；，．或．，．
【知识点】二次根式的性质与化简；因式分解法解一元二次方程；绝对值的非负性
【解析】【解答】（2）小明是用配方法求解的，在配方时，等号右边没有加1，所有从第二步出现错误；
【分析】（1）根据数轴上点的特征可得，，根据二次根式，绝对值性质将代数式进行化简求值即可.
（2）根据配方法和十字相乘法的定义及性质即可求出答案.
18．（2023·虹口模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当 时，
原式
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据分式的化简求值结合二次根式有理化即可求解。
19．（2021·花溪模拟）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16
cm2和12 cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积.
【答案】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16 cm2和12 cm2，
∴它们的边长分别为 =4 cm， =2 cm，
∴AB=4 cm，BC=(2 +4)cm，
∴空白部分的面积=(2 +4)×4-12-16=8 +16-12-16=(-12+8 )cm2.
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质
【解析】【分析】根据两正方形的面积，可求出大正方形的边长为4，小正方形的边长为2 cm，从而得出BC=(2 +4)cm， 由空白部分的面积=长方形ABCD的面积-两个正方形的面积计算即得结论.
四、综合题
20．（2023·莲湖模拟）已知关于x、y的二元一次方程组，它的解是正数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：．
【答案】（1）解：解关于x、y的二元一次方程组 ，
得 ，
方程组的解是一对正数，
，
解得 ；
（2）解： ，
当 时，
， ， ，
；
当 时，
， ， ，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先解含字母参数的二元一次方程组，利用含m的式子表示出x、y，进而根据该方程组的解是一对正数可得关于字母m的不等式组，最后解出含m的不等式组即可；
（2）根据m的取值范围分当 时与当 时，两种情况判断出m-2、m+1、m-1的范围，并利用二次根式性质及绝对值的性质化简即可
21．（2023·舟山模拟）观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论.
【答案】（1）
（2）
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据前面三个式子的规律，可得到第④个等式.
（2）根据前面四个式子的规律，可得到第n（n≥1）个等式.
（3）利用二次根式的性质，进行证明即可.
22．（2022·泗水模拟）阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题
（1）若，只有当　 　时，有最小值　 　；若，只有当　 　时，有最小值　 　；
（2）疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
【答案】（1）1；2；2；8
（2）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，
依题意得：，
即，
∴，
即，
∴，
即，
当时， ，
此时，，
即每间隔离房长为 米，宽为米时，S的最大值为米．
【知识点】二次根式的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
又∵
∴，
∴当，即时，有最小值，最小值为2；
∵，
又∵，
∴，
∴当，即时，有最小值，最小值为8．
故答案为：1，2，2，8．
【分析】（1）利用题干中的计算方法求解即可；
（2）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意列出方程，再利用（1）中的计算方法求解即可。
23．（2020·通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如： ．
（1）求 ；
（2）若 ，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
【答案】（1） =
=
=
（2）∵ ，
∴
解得：
将解集表示在数轴上如下：
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式；定义新运算；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
1 / 1（人教版）2024年中考数学一轮复习--二次根式 练习题
一、选择题
1．（2023·耿马模拟） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·白云模拟） 下列选项中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·巧家模拟）若二次根式有意义，则应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·宜昌）下列运算正确的个数是（　　）．
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023·衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·张家口模拟）下列各式中，化简后能与合并的是（　　）．
A． B． C． D．
7．（2023·江西）若有意义，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·绵阳模拟）关于x的代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·松江模拟）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·梧州模拟）若，则的值是（　　）
A．8 B．2 C．-8 D．-2
二、填空题
11．（2023·包河模拟） 计算　 　 ．
12．（2023·利州模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（2023·通州模拟） 已知为整数，且，则等于　 　 ．
14．（2023·兴隆台模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
15．（2022·荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是　 　.
三、解答题
16．（2021·临沂）计算 ．
17．（2023·玉屏模拟）
（1）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：；
（2）小明解方程的过程如图：
解方程：.
解：， ..............第一步
即， ..............第二步
∴. ..........第三步
小明是用　 　 法来求解的，他的过程从第　 　 步开始出现错误；
请用不同于中的方法解该方程　 　．
18．（2023·虹口模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2021·花溪模拟）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16
cm2和12 cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积.
四、综合题
20．（2023·莲湖模拟）已知关于x、y的二元一次方程组，它的解是正数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：．
21．（2023·舟山模拟）观察下列各式：①，②；③，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论.
22．（2022·泗水模拟）阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题
（1）若，只有当　 　时，有最小值　 　；若，只有当　 　时，有最小值　 　；
（2）疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
23．（2020·通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定 ，如： ．
（1）求 ；
（2）若 ，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；积的乘方
【解析】【解答】
A：，A错误；
B：，B正确；
C：，C错误；
D：，D错误。 故答案为：B
【分析】根据二次根式的运算法则和整式的运算法则进行计算即可判断。
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，不是最简二次根式，不符合题意；
C：，是最简二次根式，符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义，分析判断，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式
3．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵二次根式有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
4．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：①|2023|=2023，故①正确；
②20230=1，故②正确；
③2023-1=，故③正确；
④，故④正确；
正确的个数是4个.
故答案为：A.
【分析】直接根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂、二次根式的性质计算并判断即可.
5．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴a≥0，b≥0，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可。
6．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】 ∵，，，， ∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意， 故答案为：C。
【分析】此题考察二次根式的化简、同类二次根式，属于“双基”题型，难度很低。
7．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：a-4≥0，∴a≥4.
A、-1＜4，所以A不符合题意；
B、0＜4，所以B不符合题意；
C、2＜4，所以C不符合题意；
D、6＞4，所以D符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据二次根式有意义的条件，可列出不等式a-4≥0，解不等式求得a≥4，然后进行选择即可。
8．【答案】C
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵关于x的代数式在实数范围内有意义，
∴1-x>0，
∴x<1.
故答案为：C.
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得1-x>0，求解即可.
9．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】A、 ， 与不是同类二次根式 ，故不符合题意；
B、，与是同类二次根式 ，故符合题意；
C、=2， 与不是同类二次根式 ，故不符合题意；
D、， 与不是同类二次根式 ，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将各选项二次根式化为最简二次根式，若被开方数为2，则与是同类二次根式，据此判断即可.
10．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
解得，
∴a+b=-3+5=2.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的非负性及偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可列出关于字母a、b的方程组，求解可得a、b的值，最后再求和即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据绝对值的性质以及二次根式的减法法则计算求解即可。
12．【答案】且
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x+1≥0且x-2≠0，
解得x≥-1且x≠2.
故答案为：x≥-1且x≠2.
【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件可得x+1≥0且x-2≠0，求解即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意可得：
故
故答案为：3
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案。
14．【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x+3≥0，
∴x≥-3，
故答案为： x≥-3 .
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
15．【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， .
∴ ，
故答案为：2.
【分析】先估算出，再根据不等式的性质得，从而确定a、b的值，然后代入式子计算即可.
16．【答案】解：
=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用绝对值的性质和平方差公式进行计算，然后合并即可.
17．【答案】（1）解：由题图数轴知：，，．
，．
；
（2）配方；二；，．或．，．
【知识点】二次根式的性质与化简；因式分解法解一元二次方程；绝对值的非负性
【解析】【解答】（2）小明是用配方法求解的，在配方时，等号右边没有加1，所有从第二步出现错误；
【分析】（1）根据数轴上点的特征可得，，根据二次根式，绝对值性质将代数式进行化简求值即可.
（2）根据配方法和十字相乘法的定义及性质即可求出答案.
18．【答案】解：原式
当 时，
原式
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】根据分式的化简求值结合二次根式有理化即可求解。
19．【答案】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16 cm2和12 cm2，
∴它们的边长分别为 =4 cm， =2 cm，
∴AB=4 cm，BC=(2 +4)cm，
∴空白部分的面积=(2 +4)×4-12-16=8 +16-12-16=(-12+8 )cm2.
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质
【解析】【分析】根据两正方形的面积，可求出大正方形的边长为4，小正方形的边长为2 cm，从而得出BC=(2 +4)cm， 由空白部分的面积=长方形ABCD的面积-两个正方形的面积计算即得结论.
20．【答案】（1）解：解关于x、y的二元一次方程组 ，
得 ，
方程组的解是一对正数，
，
解得 ；
（2）解： ，
当 时，
， ， ，
；
当 时，
， ， ，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先解含字母参数的二元一次方程组，利用含m的式子表示出x、y，进而根据该方程组的解是一对正数可得关于字母m的不等式组，最后解出含m的不等式组即可；
（2）根据m的取值范围分当 时与当 时，两种情况判断出m-2、m+1、m-1的范围，并利用二次根式性质及绝对值的性质化简即可
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据前面三个式子的规律，可得到第④个等式.
（2）根据前面四个式子的规律，可得到第n（n≥1）个等式.
（3）利用二次根式的性质，进行证明即可.
22．【答案】（1）1；2；2；8
（2）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，
依题意得：，
即，
∴，
即，
∴，
即，
当时， ，
此时，，
即每间隔离房长为 米，宽为米时，S的最大值为米．
【知识点】二次根式的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
又∵
∴，
∴当，即时，有最小值，最小值为2；
∵，
又∵，
∴，
∴当，即时，有最小值，最小值为8．
故答案为：1，2，2，8．
【分析】（1）利用题干中的计算方法求解即可；
（2）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意列出方程，再利用（1）中的计算方法求解即可。
23．【答案】（1） =
=
=
（2）∵ ，
∴
解得：
将解集表示在数轴上如下：
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次不等式；定义新运算；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
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