资源简介

人教版九年级上册数学期末与圆相关的证明题专题训练
1．如图，是的直径，于点E，.
(1)求证：；
(2)若的半径为2，求，的长.
2．如图，在中，，以为直径的分别交线段、于点、，过点作，垂足为，线段、的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
3．如图，在中，，以腰为直径画半圆，分别交，于点D，E．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分弓形的面积．
4．如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
5．如图，是的直径，F是上的点，C是弧的中点，过点C作于点E，延长交延长线于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
6．如图，是的直径，F为上一点，平分交于点C．过点C作交的延长线于点D．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
7．如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，，求弦的长．
8．如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
9．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，过点D作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为5，，求的长．
10．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：；
(2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．
11．如图，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．
(1)求证：是的切线；
(2)若与相切于点，，，求阴影部分面积．
12．如图所示，已知为的直径，是弦，且于点E．连接、．
(1)求证：；
(2)若，求的直径．
13．如图，在中，，点为边上一点，以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求半径的长．
14．如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点D，连接，点E在弦上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．如图，为半圆O的直径，C是半圆O上一点，D是的中点，过点D作直线，直线l，垂足为F，的延长线交直线l于点E．
(1)求证：直线l是的切线．
(2)若的半径为1，求的值．
16．如图，内接于半圆是直径，点是的中点，连接，，分别交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．如图1，四边形内接于为直径，过点C作于点E，连接AC．
(1)求证：；
(2)如图2，连结，若，，求与弧围成阴影部分的面积．
18．如图，、、都是的半径，.
(1)求证：；
(2)若，，求的半径.
19．如图,内接于,平分交于点,过点作交的延长线于点．
(1)求证:;
(2)若,的半径为,求的长;
(3)在（2）的条件下,求的长．
20．在中，已知为直径，点是弧上一点，弦，且弦，连交于点，点在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
参考答案：
1．
【分析】本题主要考查垂径定理，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质：
（1）根据垂径定理可得，根据同弧所对的圆心角相等，可得；
（2）先证，，相等且度数都是，再证，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可求，根据弧长公式可求的长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，于点E，
∴，
∴.
（2）解：∵是的直径，于点E，
∴，
又∵，
∴，，相等且度数都是，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中， ，，
∴，
的长．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接、，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得点为线段的中点，结合点为的中点，得出为的中位线，从而得到，再由得出，即可得证；
（2）由含角的直角三角形的性质可得，从而得到，证明为等边三角形，得出，从而得出为等边三角形，即可得出，，求出，再由，计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
，
为直径，
，
，
，
点为线段的中点，
点为的中点，
为的中位线，
，
，
，
是的切线；
（2）解：在中，，，
，
由（1）可得，，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
．
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由圆周角定理可知， 由等腰三角形的性质得到，再由弧，弦关系证明即可．
（2）连接，过点作于点，证明为等边三角形，由计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式．熟练掌握圆周角定理，扇形的面积公式是解题的关键．
4．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由为的直径得，通过证明，得到，又由，从而得到；
（2）设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元二次方程得到的长，由（1）知，从而得到，又由，得到．
【详解】（1）证明：为的直径，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，（舍去），
，
由（1）得：，
，
，
，
的长为
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．
5．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据C是弧的中点，可得，结合可得，依次推出，，即可证明是的切线；
（2）过C作于M，设的半径为r，用勾股定理解求出，再利用三角形面积法求出，根据角平分线的性质定理可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵C是弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，过C作于M，
设的半径为r，
在中，
∵，，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，角平分线的性质等，难度一般，正确添加辅助线是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，交与点，首先借助圆周角定理证明四边形为矩形，由矩形性质可得，，利用垂径定理即可推导；然后在中，由勾股定理计算的长即可．
【详解】（1）证明：连接，如下图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，交与点，如下图，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，即，
∵为半径，
∴，
∴在中，由勾股定理可得．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；
（1）先根据圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后利用即可得到结论；
（2）先根据垂径定理得到，再计算出，然后利用勾股定理可计算出，从而得到的长．
【详解】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
在中，
，
．
8．(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查了等腰三角形，圆的切线，垂径定理，矩形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，圆的切线判定和性质定理，垂径定理，矩形判定和性质，勾股定理解直角三角形．
（1）连接，则，根据等腰三角形的性质，得，再证明 即可；
（2）过点O作 ，则，证明四边形是矩形，得到，设，在中，由勾股定理得，，代入解方程即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，过点O作，
则，
∵，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∵，设，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握切线相关知识；
（1）连接，通过角的转换，可证明，进而得证，即可的答案；
（2）连接，可得，根据勾股定理求得，在中，根据面积法求得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键．
（1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证；
（2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：过O作于点E，如图，
由垂径定理可得，，
∴，
∴；
（2）解：连接、，如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴，即小圆的半径r为
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图：连接，由可得，则，所以即可结论；
（2）如图：连接，可证明四边形是正方形，则，设,则,由勾股定理得解得，最后根据图形即可解答．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：连接，
∵与相切于点G，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
设,
∵，
∴，且,
∴，解得（不符合题意，舍去），
∴，
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂径定理求出，再根据圆周角定理即可得出，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）设，则，在中根据勾股定理求出k的值，进而可得出结论．
此题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵为的直径，是弦，且于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
∵为的直径，是弦，且于点E，
∴，
在中，，
即，
解得或（不合题意，舍去），
∴．
即的直径为．
13．(1)见解析
(2)半径的长为3
【分析】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质．
（1）连接，利用圆周角定理可以得到，然后根据切线的判定方法可得结论；
（2）设半径为，在直角三角形中，根据勾股定理列方程即可求出半径．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，即，
是半径，
是的切线；
（2）解：，
，
设半径为，则，
在直角三角形中，
，即，
．
半径的长为3．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到，根据等边对等角得到，进而得到，进而求解即可；
（2）连接，首先证明出，得到，，然后由勾股定理得到，然后证明出是等边三角形，进而得到．
【详解】（1）证明：∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
即
（2）解：连接，
∵为的直径
∴
∵
∴
∴，
∵在中，
∴
∵
∴
∵
∴是等边三角形
∴．
【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据弧与弦之间的关系得到，则垂直平分线，进而证明直线，由此即可证明结论；
（2）如图，过点D作，垂足为M，由直径所对的圆周角是直角得到，进而证明，进一步推出，则由角平分线的性质得到，同理可得，再证明，进而证明，得到，即可推出．
【详解】（1）证明：如图所示，连接．
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴点O和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分线，
∴．
又∵直线，
∴直线，
∵是的半径，
∴直线l是的切线．
（2）解：如图，过点D作，垂足为M，
由（1）得，
∵为半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
同理可得，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定与性质，平行线的判定，圆周角定理，角平分线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出，根据半圆所对的圆周角为直角得出，根据平行线的判定得出；
（2）连接，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据是的中位线，即可求出结果．
【详解】（1）证明：点为的中点，
，
是半圆的直径，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
是半圆的直径，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴是的中位线，
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，平行线的判定，中位线的性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解本题的关键．
（1）先判断出，然后用等角的余角相等即可证明结论；
（2）求出和，再利用面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴与弧围成阴影部分的面积为：．
18．(1)详见解析
(2)的半径为5
【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系．
（1）利用圆周角定理可得，结合可证明结论；
（2）过点O作半径于点E，可得，根据圆周角、弦、弧的关系可证得，即可求得，利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解圆的半径．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）过点O作半径于点E，连接，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即的半径是 5．
19．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用角平分线的性质,圆周角定理和垂直的定义与平行线的性质解答即可;
（2）利用平行线性质和直角三角形的边角关系定理及勾股定理解答即可;
（3）利用圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”,再利用直角三角形三边关系即可求出本题．
【详解】（1）证明:∵为的直径,
∴,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴．
（2）解:∵,,
∴,
又∵,
∴,
∵的半径为,
∴,
∴,
∴．
（3）解:连接,作于,
∵
∴,,
∴,
∴,
∴．
【点睛】本题考查了角平分线性质,圆周角定理,垂直的定义,平行线性质,勾股定理等知识．熟记并活学活用圆周角定理 利用勾股定理正确计算出结果是解出本题的关键．
20．(1)见解析
(2)15
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，．证出，即，即可得出结论；
（2）连接，证出为的直径．由垂径定理得出，得出．求出，由勾股定理得出．设，则．在和中，由勾股定理得出方程，解方程求出，由勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线．
（2）连接，如图2所示：
∵，
∴
∴为的直径．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
由（1）知．设，则．
在和中，由勾股定理，得：，
即，
解得：，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

展开更多......

收起↑