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第4讲 导数与数列不等式
知识与方法
导数与数列型不等式的交汇问题, 主要用到两个方面的知识点: 第一, 学生要学会找到不等式右边和 的通项; 第二, 要学会运用放缩比较不等式左边的通项与右边的通项的大小.
我们通过几道例题来给大家讲解.
数列不等式常用通项求法有如下两种:
为通项, 为前 项和
为通项, 为前 项积
导数常见放缩技巧:
典型例题
【例1】 设函数, 其中是的导函数.
(1) , 求的表达式;
（2）若恒成立,求实数的取值范围;
（3）设, 比较与的大小, 并加以证明.
【例2】已知函数.
(1)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;
(2) 当且时, 证明: .
【例3】已知函数.
(1) 求函数的单调区间;
(2) 求证:.
强化训练
1. 已知.
(1) 若, 求在上的最大值与最小值;
(2) 当时, 求证：;
(3) 当且时, 求证: .
2. 已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式在区间 上恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证：.
3. 已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,函数图象上的点都在 所表示的平面区域内,求实数的取值范围;
(3)求证: (其中, e是自然数的底数)
1第4讲 导数与数列不等式
知识与方法
导数与数列型不等式的交汇问题, 主要用到两个方面的知识点: 第一, 学生要学会找到不等式右边和 的通项; 第二, 要学会运用放缩比较不等式左边的通项与右边的通项的大小.
我们通过几道例题来给大家讲解.
数列不等式常用通项求法有如下两种:
为通项, 为前 项和
为通项, 为前 项积
导数常见放缩技巧:
典型例题
【例1】 设函数, 其中是的导函数.
(1) , 求的表达式;
（2）若恒成立,求实数的取值范围;
（3）设, 比较与的大小, 并加以证明.
【解析】
,
.
综上, .
(2). 令
, 易知, 则. 当时, 在上恒成立, ∴在上单调递增, , 满足条件; 当时, 令, 解得, 令, 解得. 于是在上单调递减, 在 上单调递增,
∴, 与题设矛盾, 综上可知.
(3),
证明: 要证
,
只需证. 在(2)中取,可得, 令, 则,
故有,上述各式相加可得 .
【例2】已知函数.
(1)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;
(2) 当且时, 证明: .
【解析】(1) 实数的取值范围为.
(2) 证明: 由 (1) 知, 令, 则在上为增函数, ,
即, 当且仅当时取等号.
要证明, 只需证.
在中取, 有, 则;
在中取, 易知, 则.
综上可知成立, 则原命题成立.
【例3】已知函数.
(1) 求函数的单调区间;
(2) 求证:.
【解析】(1) 由于,
①当时, 易知, 当时, , 当时, ;
所以的单调递增区间为, 递减区间为;
②当时,同理可知 的单调递减区间为 , 递增区间为 ;
(2) 证明: 要证 成立;
只须证
即证
下面证明此式.
令此时, 所以,
由(1)知在上单调递减,
∴当时, 即,
∴对一切成立,
∵.故结论成立.
强化训练
1. 已知.
(1) 若, 求在上的最大值与最小值;
(2) 当时, 求证：;
(3) 当且时, 求证: .
【解析】
∴在上单调递减, 在上单调递增.
∵,
∴在上的最大值为,最小值为.
（2）证明:函数的定义域为, 构造函数,
∴ 函数在上单调递增, 在上单调递减,
∴ 在处,函数取得极大值,也就是最大值, ∴0. ∵构造函数,
∴ 函数在上单调递减, 在上单调递增,
∴ 在处,函数取得极小, 也就是最小值, ∴,
∵.
(3) 证明: ∵,
由 (2) 知: ,
∴
. 叠加可得 .
2. 已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式在区间 上恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证：.
【解析】 (1) ∵, 故其定义域为,
∴, 令, 解得, 令, 解得.
故函数的单调递增区间为, 单调递减区间为.
（2）∵, 令, 令,
解得, 当在(0, 内变化时, 的变化如下表：
由表知, 当时函数有最大值, 且最大值为, 所以实数的取值范围是.
(3) 证明:
由(2)知
3. 已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,函数图象上的点都在 所表示的平面区域内,求实数的取值范围;
(3)求证: (其中, e是自然数的底数)
【解析】
(1) 当时, , 有,
由解得 , 由解得: 函数的单调递增区间是, 单调递 减区间是;
(2) 当时, 函数的图象上的点都在 所表示的平面区域内, 即当, 时, 不等式 恒成立, 即恒成立, 设, 只需 即可, .
①当时, , 当时, , 函数在上单调递减,
∴成立.
②当 时, 由 , 因 .
若 , 即 时, 在区间上, , 函数 在 上单调递增, 函数在 上无最大值, 此时不满足;
若, 即时, 函数在上单调递减, 在区间上单调递增, 同样函数在上无最大值, 此时也不满足;
③当时,
有,
故函数在上单调递减, ∴恒成立, 综上, 实数的取值范围是.
(3) 证明: 当时, 在上恒成立.
,
∵
,
∴.
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