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专题2.1 直线的倾斜角与斜率-重难点题型精讲
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3．两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
4．两条直线垂直的判定
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
【题型1 直线的倾斜角】
【方法点拨】
直线倾斜角的概念和范围：
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨
论．
(2)注意倾斜角的范围．
【例1】（2022·江苏·盐城市高二阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．120° D．150°
【解题思路】求得直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解.
【解答过程】由题意，直线可化为，可得斜率，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以．
故选：A．
【变式1-1】（2022·甘肃临夏·高二期末（文））直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线斜率求倾斜角即可.
【解答过程】直线中，斜率，而斜率，，
又，.
故选：C.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过，两点的直线的倾斜角是（ ）
A．45 B．60° C．120° D．135°
【解题思路】求出斜率后，由斜率与倾斜角的关系可得倾斜角．
【解答过程】由已知直线的斜率为，，
所以倾斜角．
故选：D.
【变式1-3】（2021·安徽·高二阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得结果.
【解答过程】设直线的倾斜角为，则，因为，故.
故选：D.
【题型2 直线的斜率】
【方法点拨】
求直线的斜率：
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．
【例2】（2022·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接由斜率的定义判断大小即可.
【解答过程】由斜率的定义知，.
故选：D.
【变式2-1】（2022·安徽省亳州市高二期末）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案.
【解答过程】由知斜率为，设其倾斜角为，则，
将直线绕着原点逆时针旋转，
则
故新直线的斜率是.
故选：B.
【变式2-2】（2021·广东·深圳高二阶段练习）直线的斜率是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用直线的斜截式方程可求得直线的斜率.
【解答过程】直线的斜率为.
故选：D.
【变式2-3】（2021·全国·高二专题练习）已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为，则BC的斜率可能为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先寻求AB，BC倾斜角之间的关系，然后结合两角和的正切公式即可求解.
【解答过程】设AB的倾斜角α，BC的倾斜角β，
则或，tanα，
当时，tanβ，
当时，tanβ=.
故选：C.
【题型3 倾斜角和斜率的应用】
【方法点拨】
倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不对
【解题思路】先画出线段AB，之后连接PA，PB求得PA，PB的斜率，通过观察图像找到直线l斜率的取值范围
【解答过程】如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，
结合图形可知或
故选：A.
【变式3-1】（2022·贵州·遵义市高二期中（理））直线l的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则直线l的斜率是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出直线倾斜角，即可求出直线l的倾斜角和斜率.
【解答过程】直线的斜率，则其倾斜角为30°，故直线l的倾斜角为60°，
所以l的斜率为.
故选：B.
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．
【解答过程】由题意，直线的倾斜角为，则，
因为，即，
结合正切函数的性质，可得．
故选：D．
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线，，若直线l过且与直线m n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】根据题意，设直线的斜率为，分析直线、的交点为，设，而点在直线上，求出的值，分析可得，故必为顶点，由此可得，必有，解可得的值，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设直线的斜率为，
直线，，两直线相交于点，设，
点在直线上，直线与直线相交于点，
为等腰锐角三角形，
则，则，
故必为顶点，必有
则有，
必有，解可得：或，
则，
故选：．
【题型4 两条直线平行的判定】
【方法点拨】
判断两条不重合的直线是否平行的方法
【例4】（2022·江苏·高二课时练习）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【解题思路】利用两直线平行的等价条件即可求解.
【解答过程】因为直线和直线平行，
所以，
故直线为，与直线平行
故选：B.
【变式4-1】（2022·河南高二阶段练习）若直线与直线平行，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【解题思路】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.
【解答过程】由直线与直线平行，可得:，解得．
故选:B.
【变式4-2】（2021·山西·怀仁市高二阶段练习）直线，，则“”是“”的（ ）条件
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用直线与直线平行时，斜率相等且截距不相等的性质分别讨论充分性和必要性即可.
【解答过程】解：①充分性：当时，，，所以与斜率相等，且截距不相等，故，所以充分；
②必要性：，，当时，
则，解得：或，
当时，两直线重合，所以舍去，
当时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要.
所以“”是“”的充要条件
故选：C.
【变式4-3】（2021·全国·高二课时练习）满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
①的斜率为2，过点，；
②经过点，，平行于轴，但不经过点；
③经过点，，经过点，．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【解题思路】从斜率是否相等以及直线是否重合两个角度逐项分析即可.
【解答过程】根据两点间的斜率公式知①中的斜率为2，但是不能保证，有可能两条直线重合；
②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证．
故选：B.
【题型5 两条直线垂直的判定】
【方法点拨】
判断两条直线是否垂直：
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂
直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
【例5】（2022·江苏·高二课时练习）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【解题思路】两直线一条斜率为零，一条斜率不存在，此时它们垂直；或者两直线斜率均存在且不为零，斜率之积为－1，则它们垂直.据此即可求解.
【解答过程】A：a＝0时，两直线分别为：，此时它们垂直；当a≠0时，它们斜率之积为，则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；
B：两直线斜率之积为：，故两直线垂直；
C：两直线斜率之积为：，故两直线不垂直；
D：两直线斜率之积为：，故两条直线不垂直；
故选：B.
【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）下列直线中，与直线垂直的是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【解题思路】由两直线垂直，当斜率存在时，有，即得解
【解答过程】因为直线的斜率为3，所以与直线垂直的直线的斜率为，经观察只有选项D中的直线的斜率为
故选：D.
【变式5-2】已知直线，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】利用一般式下两直线垂直的充要条件“”即可求解
【解答过程】由．
故选：A．
【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习）m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直时的值，再根据充分必要条件的定义即可得出答案.
【解答过程】因为直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直，
所以，所以，所以或，
所以当m＝－1时，直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直.
但直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直时，m＝－1不一定成立.
所以m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的充分不必要条件.
故选：A.
【题型6 垂直与平行的应用】
【方法点拨】
用代数运算解决几何图形问题
(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的
斜率关系进行判定．
(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．
【例6】（2022·江苏·高二课时练习）已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状．
【解题思路】计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形的形状 .
【解答过程】由斜率公式，得，，，,
所以，又因为 ,说明与不重合，
所以．
因为，所以与不平行．
又因为，所以．
故四边形为直角梯形．
【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形
【解题思路】由分别为直角求解（相应直线斜率乘积为）可得．
【解答过程】要使为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在．
当A为直角时，则AC⊥AB，所以，即，解得，舍去；
当B为直角时，，；
当C为直角时，，或（舍去）.
综上所述，存在正实数或，使为直角三角形.
【变式6-2】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【解题思路】根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可.
【解答过程】四边形是矩形．证明如下：
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
所以，，所以，，
所以四边形是平行四边形．
又，
所以，所以四边形是矩形．
又，，
令，即，无解，
所以与不垂直，故四边形是矩形．
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.
【解题思路】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可；
（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可.
【解答过程】（1）由题意得，
，，设.
若四边形是平行四边形，则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
若四边形是平行四边形，
则，，
即，解得，即.
综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.
（2）若的坐标为（-1，6），
因为，，
所以，所以，
所以平行四边形为菱形.
若的坐标为（7，2），
因为，，
所以，所以平行四边形不是菱形.
若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.
因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.专题2.1 直线的倾斜角与斜率-重难点题型精讲
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3．两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
4．两条直线垂直的判定
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在) k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
【题型1 直线的倾斜角】
【方法点拨】
直线倾斜角的概念和范围：
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨
论．
(2)注意倾斜角的范围．
【例1】（2022·江苏·盐城市高二阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．120° D．150°
【变式1-1】（2022·甘肃临夏·高二期末（文））直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）过，两点的直线的倾斜角是（ ）
A．45 B．60° C．120° D．135°
【变式1-3】（2021·安徽·高二阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 直线的斜率】
【方法点拨】
求直线的斜率：
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．
【例2】（2022·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2022·安徽省亳州市高二期末）将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·广东·深圳高二阶段练习）直线的斜率是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2021·全国·高二专题练习）已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为，则BC的斜率可能为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 倾斜角和斜率的应用】
【方法点拨】
倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．以上都不对
【变式3-1】（2022·贵州·遵义市高二期中（理））直线l的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则直线l的斜率是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线，，若直线l过且与直线m n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【题型4 两条直线平行的判定】
【方法点拨】
判断两条不重合的直线是否平行的方法
【例4】（2022·江苏·高二课时练习）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交
【变式4-1】（2022·河南高二阶段练习）若直线与直线平行，则（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【变式4-2】（2021·山西·怀仁市高二阶段练习）直线，，则“”是“”的（ ）条件
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-3】（2021·全国·高二课时练习）满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
①的斜率为2，过点，；
②经过点，，平行于轴，但不经过点；
③经过点，，经过点，．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【题型5 两条直线垂直的判定】
【方法点拨】
判断两条直线是否垂直：
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂
直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
【例5】（2022·江苏·高二课时练习）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）下列直线中，与直线垂直的是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【变式5-2】已知直线，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习）m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型6 垂直与平行的应用】
【方法点拨】
用代数运算解决几何图形问题
(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的
斜率关系进行判定．
(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．
【例6】（2022·江苏·高二课时练习）已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状．
【变式6-1】（2022·全国·高一课时练习）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形
【变式6-2】（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知，，.
（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.

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