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专题2.11 圆的方程-重难点题型精讲
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
4．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
5．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
6．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
7．与圆有关的最值问题
(1)与圆的代数结构有关的最值问题
①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(2)与圆的几何性质有关的最值问题
①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；
②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最
小距离为d-r；
④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.
【题型1 圆的方程的求法】
【方法点拨】
(1)圆的标准方程的求法
①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.
②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲
线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.
(2)圆的一般方程的求法
待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程；
②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【解答过程】由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
【变式1-1】（2022·江苏省高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意直接写出圆的标准方程即可.
【解答过程】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.
故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案.
【解答过程】依题意，设所求圆的方程为，
由于所求圆过点，所以，
解得，所以所求圆的方程为．
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用待定系数法进行求解即可.
【解答过程】设圆的一般方程为，
因为，，在这个圆上，
所以有，
故选：B.
【题型2 二元二次方程表示圆的条件】
【方法点拨】
判断一个二元二次方程是否表示圆，可以从以下几个方面入手：①看
系数：与的系数应相等；②看形式：表达式中不应含有xy项；③在比较：要大于0.
【例2】（2022·江苏·高二课时练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.
【解答过程】若方程表示圆，则，解得：；
∵，，
甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
【变式2-1】（2022·江苏·高二课时练习）若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.
【解答过程】由，
得，
由该曲线表示圆，
可知，
解得或，
故选：B.
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）若方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据圆的一般式方程需满足的条件即可直接求出答案.
【解答过程】因为方程表示圆，
所以，解得.
故选：B.
【变式2-3】（2022·内蒙古·高一期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.
【解答过程】由，
得，则.
故选：A.
【题型3 点与圆的位置关系】
【方法点拨】
点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断.
【例3】（2022·四川省高二阶段练习（理））点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关
【解题思路】将点的坐标代入圆的方程中，看结果即可判断选项是哪个.
【解答过程】将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，
有： 恒成立，故点P在圆外，
故选：A.
【变式3-1】（2021·全国·高二课前预习）两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【解题思路】本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【解答过程】将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可
【解答过程】由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A.
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可.
【解答过程】由点在圆外知，即，解得，
又为圆，则，
解得，故.
故选：D.
【题型4 圆有关的轨迹问题】
【方法点拨】
求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：直接法、代入法、定义法等.
①“轨迹”与“轨迹方程”有区别，“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方
程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.
②求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由
条件判断轨迹图形，再由图形求方程.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，根据即得.
【解答过程】设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故，
即，所以，
因为为直角三角形的直角顶点，
所以，故所求轨迹方程为．
故选：C.
【变式4-1】（2021·全国·高二课时练习）已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】通过定比分点坐标公式，用M的坐标表示B，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程.
【解答过程】设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又点B是圆x2+y2＝1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即
故选：A.
【变式4-2】（2022·江苏·高二课时练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A． B．
C． D．
【解题思路】在直角三角形中利用几何关系即可获解
【解答过程】圆即,半径
因为,所以
又是的中点,所以
所以点的轨迹方程为
故选：B.
【变式4-3】（2022·江苏·高二课时练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理．
【解答过程】∵，即
设，则，整理得
故选：B．
【题型5 与圆有关的对称问题】
【方法点拨】
(1)圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(2)圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【例5】（2021·全国·高二课时练习）圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出已知圆的圆心和半径，求出圆心关于原点对称的圆的圆心的坐标，即可得到对称的圆的标准方程．
【解答过程】解：圆的圆心，半径等于，
圆心关于原点对称的圆的圆心，
故对称圆的方程为，
故选：．
【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由对称性得出的圆C圆心坐标，进而写出方程.
【解答过程】圆的标准方程为，其圆心为，半径为
因为关于直线对称的点为，所以圆C的方程为
即
故选：C.
【变式5-2】（2021·全国·高二课时练习）圆关于点对称的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，对称圆的半径为1.
【解答过程】圆的圆心为，
因为点关于点对称的点为，
所以对称圆的圆心为，
又因为半径不变，
所以所求圆的标准方程为.
故选：A.
【变式5-3】（2021·广东·高二阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可知直线即为线段的中垂线，求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，从而可求的直线的斜率，即可得出答案.
【解答过程】解：因为圆和圆关于直线对称，
所以直线即为线段的中垂线，
，
则线段的中点坐标为，，
所以直线的斜率，
所以直线的方程是，即.
故选：A.
【题型6 与圆有关的最值问题】
【方法点拨】
与圆有关的最值问题主要有两类：①与圆的代数结构有关的最值问题；②与圆的几何性质有关的最值问题；
解题时，根据具体题目分析是哪类最值问题，再进行求解即可.
【例6】（2022·山西·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】令为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆，求定点到所得圆上点距离的最大值，结合即可求结果.
【解答过程】由，要使最大只需到中点距离最大，
又且，
令，则，整理得，
所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内，
故，而，故.
故选：D.
【变式6-1】（2022·河南·高二阶段练习）若x，y满足，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．无法确定
【解题思路】由为圆上的点与原点距离的平方，结合圆的性质即得.
【解答过程】由，可得，
表示以为圆心，以为半径的圆，
设原点， ，
则（为圆上的点与原点距离的平方）的最小值是
．
故选：C．
【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
【解题思路】利用直线垂直的性质、直线的点斜式以及直线与圆上的点的位置关系进行求解.
【解答过程】过点且与直线垂直的直线为：，
已知点在该直线上，所以，即，
所以点的轨迹方程为，又圆：，
所以圆心，半径，所以圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为：
.故A，B，D错误.
故选：A.
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【解答过程】由得 ，
故 由得，
由得，设 ，则 ，
即，即点C轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为 ，则，
整理得 ，代入到中，
得： ，即C轨迹的圆心在圆上，
故点（1,1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ，
故选：B.专题2.11 圆的方程-重难点题型精讲
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
4．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是
5．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
6．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
7．与圆有关的最值问题
(1)与圆的代数结构有关的最值问题
①形如t=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如t=形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(2)与圆的几何性质有关的最值问题
①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；
②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最
小距离为d-r；
④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.
【题型1 圆的方程的求法】
【方法点拨】
(1)圆的标准方程的求法
①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.
②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲
线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.
(2)圆的一般方程的求法
待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程；
②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022·江苏省高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 二元二次方程表示圆的条件】
【方法点拨】
判断一个二元二次方程是否表示圆，可以从以下几个方面入手：①看
系数：与的系数应相等；②看形式：表达式中不应含有xy项；③在比较：要大于0.
【例2】（2022·江苏·高二课时练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】（2022·江苏·高二课时练习）若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）若方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·内蒙古·高一期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 点与圆的位置关系】
【方法点拨】
点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断.
【例3】（2022·四川省高二阶段练习（理））点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关
【变式3-1】（2021·全国·高二课前预习）两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【题型4 圆有关的轨迹问题】
【方法点拨】
求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：直接法、代入法、定义法等.
①“轨迹”与“轨迹方程”有区别，“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方
程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.
②求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由
条件判断轨迹图形，再由图形求方程.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2021·全国·高二课时练习）已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022·江苏·高二课时练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2022·江苏·高二课时练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 与圆有关的对称问题】
【方法点拨】
(1)圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(2)圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【例5】（2021·全国·高二课时练习）圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2021·全国·高二课时练习）圆关于点对称的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2021·广东·高二阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 与圆有关的最值问题】
【方法点拨】
与圆有关的最值问题主要有两类：①与圆的代数结构有关的最值问题；②与圆的几何性质有关的最值问题；
解题时，根据具体题目分析是哪类最值问题，再进行求解即可.
【例6】（2022·山西·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2022·河南·高二阶段练习）若x，y满足，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．无法确定
【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．

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