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第二章 有理数及其运算
有理数 用正负数表示具有相反意义的量
正数和负数的概念
有理数及其分类
数轴 数轴
数轴上的点与有理数的关系
比较有理数的大小
绝对值 相反数
绝对值的概念
两个负数比较大小
有理数的加法 有理数的加法法则
有理数加法的运算律
有理数的减法 有理数的减法法则
有理数的加减混合运算 有理数的加减法统一
有理数的加减混合运算步骤
利用有理数的加减运算解决实际问题
有理数的乘法 有理数的乘法法则
倒数
有理数乘法法则的推广
有理数乘法的运算律
有理数的除法 有理数的除法法则
有理数的乘方 有理数的乘方
有理数乘方的运算
科学记数法 科学记数法的概念及其表示
有理数的混合运算 有理数混合运算顺序
有理数
用正负数表示具有相反意义的量
（1）“加分与扣分”“收入与支出”“零上温度与零下温度”等都是具有相反意义的量，为了表示具有相反意义的量。我们可以把其中一个量规定为正的，用正数来表示；而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数表示
正数和负数的概念
（1）正数的定义：大于0的数叫做正数
（2）负数的定义：在正数前面加上“-”号的数叫做负数
（3）0既不是正数也不是负数
（4）0是正数和负数的分界，0是自然数，0不仅仅可以表示“没有”，而且可以表示特定的意义，如0℃是一个确定的温度
带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数，如+（-2），-（-2）
有理数及其分类
（1）有理数的概念：整数和分数统称为有理数
（2）有理数的分类
（3）有限小数与无限循环小数也是分数；
无限不循环小数不能化为分数，故不是有理数；兀是无理数。
知识点 核心内容
相反意义的量 ①意义相反的同一类量 ②都是有数量，数量可以不同
正数和负数 正数是比0大的数，负数是比0小的数
有理数的分类
【模块二】数轴
数轴
数轴三要素：原点、正方向、单位长度，数轴是一条可以向两个方向无限延伸的直线
（2）数轴画法：
①画直线定原点，原点表示0
②规定从原点向右的方向为正方向
③选择适当的长度为单位长度
数轴上的点与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数，不可能出现同一个点，表示两个不同的有理数的情况
比较有理数的大小
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大
知识点 核心内容
数轴的概念 规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴
数轴的画法 （1）画直线（2）取原点（3）选中方向，通常取向右的方向为正方向，并选取适当的长度为单位长度（4）标数在数轴上依次标复-2，-1，0，1，2等
有理数的大小比较 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大，正数大于0，负数小于0，正数大于负数
绝对值
相反数
（1）相反数的定义：
①代数意义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的，
相反数也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0
②几何意义：在数轴上位于原点两侧，与原点距离相等的两个点所表示的
数互为相反数
（3）相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0
（4）求相反数的方法：求一个数的相反数只需在这个数前面添上“-”号
绝对值的概念
（1）绝对值的几何意义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，如：+2的绝对值等于2，记作l+2l=2 -3的绝对值等于3，记作|-3l=3
（2）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
（3）任何一个数的绝对值总是非负数
（4）在数轴上表示某数的点距离原点越远，该数的绝对值越大，距离原点越近，该数的绝对值越小
两个负数比大小
（1）两个负数在数轴上对应的点都位于原点左侧，因而绝对值越大，说明这个数所对应的点位置越靠左，因为在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而小
（2）比较两个负数大小的方法：
［1］借助数轴标注出数对应的点进行比较
［2］利用法则比较：
①分别求出两个负数的绝对值
②比较两个绝对值的大小
③根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”做出判断
知识点 核心内容
相反数 如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数之间互为相反数
绝对值 概念 在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离
求绝对值 a（a>0） |a|= a（a=0） a（a<0）
性质 绝对值具有非负性，即|a|≥0
互为相反数的两个数的绝对值相等
两个负数比较大小 ①两个负数比较大小，绝对值大的反而小 ②在数轴上表示两个负数，距离原点远的点表示的数小
有理数的加法
有理数加法法则
（1）同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加
（2）异号两数相加，绝对值相等于时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
（3）一个数同零相加仍得这个数
（4）两个数的和不一定大于其中的每一个加数
有理数加法的运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
（3）在运用运算律计算时，移项时要连同符号一起移动，即带着符号“搬家”
知识点 核心内容
有理数的加法法则 （1）同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加 （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 （3）一个数同0相加，仍得这个数
有理数加法的简便运算 借助加法交换律和加法结合律进行简便运算，原则如下： （1）优先相加互为相反数的两个数 （2）几个小数相加可得整数时，优先相加 （3）同分母分数优先相加 （4）符号相同的数优先相加 （5）易于通分的数优先相加 （6）存在带分数的运算中，先将带分数拆成整数和分数两部分，再将整数部分和分数部分分别相加
有理数的减法
有理数的减法法则
（1）有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数
（2）用字母表示有理数的减法法则为a-b=a+（-b），字母ab可以表示任意有理数
（3）任何数减去0，仍得这个数；0减去一个数，结果还是这个数的相反数
（4）在有理数中，符号“-”有三种含义：①减号②负号③表示一个数的，相反数
（5）被减数与减数的位置不能互换，因为减法没有交换律
知识点 核心内容
有理数的减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数
运算步骤：①根据有理数的减法法则，把减号变为加号，把减数变为它的相反数②利用有理数的加法法则进行运算
有理数的加减混合运算
有理数的加减法的统一
（1）有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数的减法法则转化成加法，这样原来的加减混合运算就被统一成加法运算
（2）在合式里，通常把各个加数前面的“+”号和“（）”省略不写，写成省略括号和加号的和的形式，如（-2）+（+3）+（-5）可以写成-2+3-5的形式
（3）在交换加数的位置时，要连同加数前面的符号一起交换；
在运用加法结合律时，有时把减号看作负号
有理数的加减混合运算步骤
（1）有理数的加减混合运算的步骤：
①把加减混合运算统一成加法运算
②写成省略括号和加号的和的形式
③利用加法法则进行计算
（2）有理数的加减混合运算的注意事项：在用结合律简化运算时，一般将互为相反数或易凑整，易通分的数结合或将正、负数分别结合
（3）交换加数的位置时，要连同它前面的符号一起交换
利用有理数的加减运算解决实际问题
（1）“水位变化”问题是典型的有理数的加减混合运算的实际问题，首先要理解水位变化的含义，即正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，参考对象是前一天的水位，同样地，此类问题还适用于“股票变化”“产量变化”等实际问题
知识点 核心内容
把加减混合算式写成省略括号和加号的和的形式 简化符号的规律，同号得正，异号得负，即+（+a）=a，-（-a）=a，+（-a）=-a，-（+a）=-a
两种不同的读法：例如-4-9+2，可读成“负4、负9、正2的合”或“负4减9加2”
有理数的加减混合运算 （1）根据简化符号的规律，把加减混合算式写成省略括号和加号的“和”的形式 （2）运用加法交换律和结合律算“和”
有理数的乘法
有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
（2）任何数与0相乘，积仍为0
（3）有理数乘法运算的一般步骤：
①确定积的符号
②计算各数的绝对值
③计算绝对值的积
（4）任何一个数的绝对值都是非负数
（5）一个数同-1相乘，就得到这个数的相反数
（6）当因数中有负数时，必须用括号括起来，如-3和-4的积，应列式为（-3）×（-4），第一个因数有括号时，括号可以省略
（7）有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”是针对两个非零的有理数相乘，若两个因数中有一个因数为0，积就为0
倒数
（1）如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数
（2）求分数的倒数，把分数的分子、分母颠倒即可
（3）求小数的倒数，先将小数转化为分数，再求倒数，求一个带分数的倒数，先将带分数转化为假分数，再求倒数
（4）根据乘法法则“同号得正”，可知互为倒数的两个数符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数
（5）0没有倒数，倒数等于本身的数，只有1和-1
有理数乘法法则推广
（1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数“奇负偶正”的原则确定积的符号，然后再把各个因数的绝对值相乘
（2）几个有理数相乘，如果有一个因数为0，那么积为0；反之，如果几个有理数的积为0，那么至少有一个因数为0
有理数乘法的运算律
（1）乘法的交换律：ab=ba
（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）
（3）乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+ac
（4）分配律的逆用：ab+ac=a（b+c）
（5）利用分配律计算一定要注意括号内的各因数的符号
（6）运用乘法的运算律可进行简便计算，通常遵循以下原则：①互为倒数的两数相结合；②积为整数的数相结合；③便于约分的分数相结合
知识点 核心内容
有理数乘法法则 两数相乘同号得正异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相0，积仍为0
倒数 如果两个有理数的乘积为一，那么乘其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数，互为倒数
有理数乘法法则的推广 几个不等于零的有理数相乘积的符号？由负因数的个数决定，积的绝对值等于各个因数的绝对值的积几个有理数相乘，有一个因数为0时，积就为0
有理数乘法运算律 （1）乘法的交换律：ab=ba （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc） （3）乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+ac
有理数的除法
有理数的除法法则
（1）法则一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何非0的数都得0
法则二：除以一个数等于乘这个数的倒数
在计算时，根据具体情况灵活运用，一般在能整除的情况下应用法则一，不能整除的情况下应用法则二
（2）若两个数的商为0，则这两个数相等；若两个数的商为-1，则这两个数互为相反数
知识点 核心内容
有理数的 除法法则 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0，0不能做除数
除一个数等于乘这个数的倒数
有理数的乘方
有理数的乘方
（1）一般地，n个相同的因数a相乘记作a ，即a×a×…×a=a ，这种求n个相同因数a的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，a 读作“a的n次方”或“a的n次幂”
（2）幂的指数与底数不能随意交换，即不能把2 写成3
（3）一个数可以看作它本身的一次方指数一，通常省略不写
（4）底数a可以是任何有理数，如负数、0、分数等
（5）当底数是分数或负数时，一定要用括号把整个底数括起来，例如（-2） 不能写成-2
有理数乘方的运算
（1）由乘方的意义，可以得出幂的符号法则：
①正数的任何次幂都是正数
②负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
③0的任何次幂都是0
（2）互为相反数的两个数的奇数次幂仍然互为相反数；互为相反数的两个数的偶数次幂相等
知识点 核心内容
乘方 求n个相同，因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂
乘方的符号法则 正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，0的任何次幂都是0
乘方运算 根据乘方的符号法则，确定符号，再将其转化为乘法运算
科学记数法
科学计数法的概念及其表示
（1）一般地，一个大于10的数，可以表示成a×10 的形式，其中1≤a<10，阴虚众数，这种计数方法叫做科学计数法
（2）记数对象：大于10的数
一般形式：a×10 ，其中1≤a<10，n是正整数
a与n的确定：a是整数位数只有一位的数，n等于原数的整数位数减1
（3）对于含有数字单位的数，应先将原数进行单位换算，再用科学记数法表示
（4）用科学记数法表示7642.53
7642.53=7.64253×10
知识点 核心内容
科学记数法 把一个大于10的数记成a×10 的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种技术方法叫做科学记数法
科学记数法还原 （1）10的指数n是几，就把小数点向右移动几位 （2）把用科学记数法表示的数a×10 中10的指数n加上1，就得到原来整数的位数
有理数混合运算
有理数混合运算顺序
（1）有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号先算括号里面的，有理数混合运算顺序遵循从高级到低级的原则，若是同级运算，则需要按照从左到右的顺序进行近似数
（1）近似数是与实际很接近的数，如我国约有13亿人口等，四舍五入法是求近似数的常用方法
（2）判断一个数是不是近似数，其关键在于判断这个数在实际问题中是否可以准确得到
（3）求近似数的方法：“四舍五入法”“去尾法”“进一法”
（4）按预定要求取近似值时，不要遗漏小数点后面的0，对较大数取近似值最好用科学计数法表示
（5）求带计数单位或用科学计数法形式表示的近似数的精确度时，要看原数的最后一位数字，在整个数中所在的位置
（6）近似数最末尾的0不能随意去掉，去掉末尾的0，意味着改变了精确度
知识点 核心内容
有理数的混合运算 运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号先算括号里的
运算律：灵活运用运算律可简化计算

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