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6.2.3　向量的数乘运算
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义．
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
阅读课本内容，自主完成下列内容。
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向与具有怎样的关系？
【答案】
，记作。即.
的方向与的方向相同，。
类似地，，其方向与的方向相反，.
知识点一　向量的数乘运算及运算律
1．向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．
(1)|λa|＝|λ||a|．特别地，当λ＝0时，λa＝0．
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
从两个角度理解向量数乘
(1)代数角度
实数与向量的乘积λa仍然是一个向量；λa＝0 λ＝0或a＝0.
(2)几何角度
|λ|>1
λ>1 在原方向上伸长到原来的λ倍
λ<－1 在反方向上伸长到原来的－λ倍
0<|λ|<1
0<λ<1 在原方向上缩短到原来的λ倍
－1<λ<0 在反方向上缩短到原来的－λ倍
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，a，b为向量，则满足如下运算律：
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb；
(4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差．
(2)λ＝0或a＝0 λa＝0.
化简(2a＋8b)－(4a－2b)等于(　　)
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3a D．3a－2b
【答案】B
探究2：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
【答案】当的方向相同；当的方向相反，即实数与向量的积与原向量平行。
知识点二　共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
思考：为什么要是非零向量？可以是非零向量吗？
【答案】向量共线定理中规定向量a≠0，因为如果a＝0，
当b＝0时，0＝λ0，λ可以是任意实数；
当b≠0时，b＝λ0，λ值不存在．
（1）判断两个向量是否共线的关键是看两个向量是否满足向量共线定理，即向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.因此，在考虑问题时，不要忽略零向量．
（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s，则必有t＝s＝0.
判断下列各小题的向量与是否共线。
。
【答案】（1）共线 （2）共线 （3） 不共线
考点一 向量数乘运算的定义
例1 （2023上·高二课时训练）已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同； (2)|－2a|＝|3a|；
(3)a是单位向量； (4)a＋b与－a－b是一对相反向量．
【解析】　(1)真命题．∵2>0，
∴2a的方向与a的方向相同．
(2)假命题．|－2a|＝|a|＝2|a|＝|3a|.
(3)真命题．＝＝＝1.
(4)真命题．∵a＋b与－a－b是一对相反向量，且－(a＋b)＝－a－b，
∴a＋b与－a－b是一对相反向量．
【对点演练】已知λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有(　　)
①当λ＞0时，λa与a的方向一定相同；
②当λ＜0时，λa与a的方向一定相反；
③当λa与a的方向相同时，λ＞0；
④当λa与a的方向相反时，λ＜0.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D　
【解析】由λ与向量a的乘积λa的方向规定，易知①②③④正确．
考点二 向量的线性运算
例2．（2023上·北京·高二北京市第一六一中学校考阶段练习）设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：C
(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
【对点演练1】（2024高二课时练习）已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量混合运算即可.
【详解】，
故选：C.
【对点演练2】若，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合，利用向量的线性运算即可求解.
【详解】
，
故选：A.
【对点演练3】已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________．(用a，b表示)．
【答案】3a＋2b　4a＋3b
【解析】由已知得
①×3＋②×2得x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
考点三 用已知向量表示未知向量
例3．（2023下·福建泉州·高二校考期中）如图所示，向量，在一条直线上，且则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由得 ，即可得答案．
【详解】由得
．
即， 则．
故选：B．
用已知向量表示相关向量的基本思路:用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解。
【对点演练1】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，是的中点，是的中点，与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知：为的重心，结合向量的线性运算结合重心的性质分析求解.
【详解】设，
由题意可知：为的重心，且为的中点，
可知四点共线，且，
所以.
故选：A.
【对点演练2】（2023·湖北·高二统考学业考试）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（ ）

A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】先将分别用表示，再结合题意即可得解.
【详解】，
，
所以，
又因为，
所以.
故选：B.
【对点演练3】(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA。记=m,=n,则=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
【答案】B
【解析】因为=+=+3,又因为=+,所以=-2+3=-2m+3n。故选B。
考点四 向量共线定理及应用
例4．（1）（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量不共线，，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为不共线，，，，
易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；
又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；
而，所以A，B，D三点共线，故C正确.
故选：C.
（2）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，.
因为A，C，D三点共线，所以共线，
则，使得，
即，
整理可得.
因为，不共线，
所以有，解得.
故选：D.
利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不仅要证明b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点．　
【对点演练1】(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求证：x＋y＝1.
[证明]　(1)∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2.
又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴＝2，∴∥.
∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．
(2)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使 ＝λ，
即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
【对点演练2】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．
【答案】－
【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数μ，使b＝μa成立．
即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，
所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，
又因为e1与e2不共线．
所以解得λ＝－.
【对点演练3】已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
【答案】B
【解析】因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即－2＝，所以与共线．故选B.
例5（2023上·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】先设，于是得到点O是的重心，则，再结合三角形面积公式即可求出的面积与的面积，进而得到答案.
【详解】不妨设，如图所示，

根据题意则，即点O是的重心，
取的中点，连接，则三点共线，且，
所以边上的高是边上的高的倍，
，即，
同理可得：，，
所以有，
又因为，
那么，
故的面积与的面积的比值为.
故选：A.
【对点演练】点P在△ABC所在平面上,且满足++=2,则=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】　因为++=2=2(-),所以3=-=,所以,共线,且3||=||,所以=
考点五 三角形重心、内心的向量表示
例6（1）（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【详解】
由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，∴动点的轨迹一定通过的重心，如图，故选A．

（2）（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A B C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.
【对点演练1】（2023上·江苏南通·高三统考期末）设为的重心，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】因为为重心，
所以，
所以，
故选：B.
【对点演练2】（2022下·陕西宝鸡·高一统考期末）已知为三角形所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目考察三角形四心的问题，易得：为三角形的重心，位于中线的三等分点处，从而求出三角形面积的比例关系
【详解】
如图所示，由得：为三角形的重心，是中线的交点，
且，所以，，底边为，
所以，
故选：B
一、单选题
1．（2023下·北京·高二统考学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
【答案】D
【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可.
【详解】因为两个非零向量，满足，
所以为共线反向向量，且模不相等，
所以ABC错误，D正确.
故选：D
2．（2022下·浙江台州·高一统考期末）的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量的线性运算方法即可求得答案.
【详解】由题意，.
故选：B.
3．（2023·新疆·高三学业考试）已知，与的方向相反，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定方向和大小关系即可得答案.
【详解】由，得，
又与的方向相反，所以.
故选：C.
4．（2024·高二课时练习）设，为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则求出，即可判断.
【详解】解：因为，，，
所以，
则关系式中正确的是，
故选：B．
5．（2022上·广西玉林·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.
【详解】向量，不共线，且，，，
，则有，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；
，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.
故选：A
6．（2023上·高二课时练习）已知，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数乘向量的模的意义即可得解.
【详解】由数乘向量的模的意义可知，故AB错误，C正确，
当或时，，故D错误.
故选：C.
7．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）已知D，E分别为的边BC，AC的中点，且，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，结合中线的性质运算求解即可.
【详解】因为，，
且，，
可得，，
所以，整理得．
故选：C．
8．（2023上·陕西铜川·高三校考期末）在中，若，则点（ ）
A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心
【答案】A
【分析】根据向量的减法法则将已知条件化简，再利用向量共线定理可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以和共线，
因为和有公共端点，
所以三点共线，
所以点在直线上，
故选：A
多选题
9.（2023下·陕西西安·高一期中）下列命题正确的的有（ ）
A．
B．
C．若，则共线
D．，则共线
【答案】ABC
【分析】根据向量的数乘运算判断A，B；由共线向量的定义判断C，D.
【详解】解：对于A，，故正确；
对于B，，故正确；
对于C，因为，所以，所以共线，故正确；
对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误.
故选：ABC.
10．（2023上·河南·高三西平县高级中学校联考阶段练习）是边长为2的等边三角形，为的中点．下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据向量的运算逐个判定即可
【详解】对于A：，A正确；
对于B：，B错误；
对于C：由平行四边形法则可知，所以，C正确；
对于D：，D错误，
故选：AC
11．（2023上·重庆江北·高二校考开学考试）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M是BC的中点
B．若，则点M是的重心
C．若，则点M，B，C三点共线
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得，
若，可得M为BC的中点，所以A正确；

对于B中，若M为的重心，则满足，
即，所以B不正确；
对于C中，由，可得，即，
所以M，B，C三点共线，所以C正确；
对于D中，如图所示，由，

可得，所以D正确．
故选：ACD
12．（2023上·福建福州·高三校联考期中）在中，，为中点，交于点，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积是面积的
D．和的面积相等
【答案】AB
【分析】根据向量的运算法则，可判定A正确；设，求得，结合三点共线，求得，可判定B正确；设的面积为，根据三角形的面积公式，求得四边形的面积为，可判定C不正确；根据题意，得到，可判定D错误.
【详解】对于A，因为，即为（靠近点）的三等分点，
所以，所以A正确；
对于B，设，
由点为的中点，可得，
可得，
因为三点共线，可得，
所以，可得且，
解得，即，所以B正确；
对于C，设的面积为，因为，可得，
又因为为中点，且，可得，
所以四边形的面积为，所以C错误；
对于D，由，可得，所以，
所以和的面积不相等，所以D错误.
故选：AB
填空题
13．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，则 ．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
故答案为：.
14.（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知是的边上的中线，若，则 .（用表示）
【答案】
【分析】根据向量加法的几何意义，结合向量对应线段的位置关系用表示出.
【详解】由题意知：.

故答案为：
15.（2023下·辽宁·高二统考学业考试）在中，点为边的中点，若，则实数的值为 .
【答案】2
【分析】利用向量的加减运算化简即可求解.
【详解】因为，，
所以，所以，即.
故答案为：2
16．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）已知为内一点，且，若三点共线，则的值为
【答案】
【分析】把用表示，然后根据三点共线定理求解．
【详解】取中点，连接，则，又，∴，
∴，
又三点共线，∴，．
解答题
17.如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
【解析】因为＝＋＝a，＝＋＝b，
所以
解得＝a－b，＝b－a.
18.设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λ a＋μ b与向量c共线？
解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke2－9ke2.由
得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．6.2.3　向量的数乘运算
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义．
2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
阅读课本内容，自主完成下列内容。
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向与具有怎样的关系？
知识点一　向量的数乘运算及运算律
1．向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ．
(1)|λa|＝ ．特别地，当λ＝0时，λa＝ ．
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
从两个角度理解向量数乘
(1)代数角度
实数与向量的乘积λa仍然是一个向量；λa＝0 λ＝0或a＝0.
(2)几何角度
|λ|>1
λ>1 在原方向上伸长到原来的λ倍
λ<－1 在反方向上伸长到原来的－λ倍
0<|λ|<1
0<λ<1 在原方向上缩短到原来的λ倍
－1<λ<0 在反方向上缩短到原来的－λ倍
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，a，b为向量，则满足如下运算律：
(1)λ(μa)＝ ；
(2)(λ＋μ)a＝ ；
(3)λ(a＋b)＝ ；
(4)(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝ .
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ ．
向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差．
(2)λ＝0或a＝0 λa＝0.
化简(2a＋8b)－(4a－2b)等于(　　)
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3a D．3a－2b
探究2：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
知识点二　共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
思考：为什么要是非零向量？可以是非零向量吗？
（1）判断两个向量是否共线的关键是看两个向量是否满足向量共线定理，即向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.因此，在考虑问题时，不要忽略零向量．
（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s，则必有t＝s＝0.
判断下列各小题的向量与是否共线。
。
考点一 向量数乘运算的定义
例1 （2023上·高二课时训练）已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同； (2)|－2a|＝|3a|；
(3)a是单位向量； (4)a＋b与－a－b是一对相反向量．
【对点演练】已知λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有(　　)
①当λ＞0时，λa与a的方向一定相同；
②当λ＜0时，λa与a的方向一定相反；
③当λa与a的方向相同时，λ＞0；
④当λa与a的方向相反时，λ＜0.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二 向量的线性运算
例2．（2023上·北京·高二北京市第一六一中学校考阶段练习）设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【对点演练1】（2024高二课时练习）已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【对点演练2】若，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【对点演练3】已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________．(用a，b表示)．
考点三 用已知向量表示未知向量
例3．（2023下·福建泉州·高二校考期中）如图所示，向量，在一条直线上，且则（ ）

A． B．
C． D．
【对点演练1】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，是的中点，是的中点，与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【对点演练2】（2023·湖北·高二统考学业考试）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（ ）

A． B．2 C． D．3
【对点演练3】(2022·新高考全国Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA。记=m,=n,则=( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
考点四 向量共线定理及应用
例4．（1）（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量不共线，，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线
（2）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
【对点演练1】(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求证：x＋y＝1.
【对点演练2】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．
【对点演练3】已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
例5（2023上·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【对点演练】点P在△ABC所在平面上,且满足++=2,则=( )
A. B. C. D.
考点五 三角形重心、内心的向量表示
例6（1）（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

（2）（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A B C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【对点演练1】（2023上·江苏南通·高三统考期末）设为的重心，则（ ）
A．0 B． C． D．
【对点演练2】（2022下·陕西宝鸡·高一统考期末）已知为三角形所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023下·北京·高二统考学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
2．（2022下·浙江台州·高一统考期末）的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·新疆·高三学业考试）已知，与的方向相反，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高二课时练习）设，为不共线向量，，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·广西玉林·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
6．（2023上·高二课时练习）已知，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023上·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）已知D，E分别为的边BC，AC的中点，且，，则为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·陕西铜川·高三校考期末）在中，若，则点（ ）
A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心
多选题
9.（2023下·陕西西安·高一期中）下列命题正确的的有（ ）
A．
B．
C．若，则共线
D．，则共线
10．（2023上·河南·高三西平县高级中学校联考阶段练习）是边长为2的等边三角形，为的中点．下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023上·重庆江北·高二校考开学考试）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M是BC的中点
B．若，则点M是的重心
C．若，则点M，B，C三点共线
D．若，则
12．（2023上·福建福州·高三校联考期中）在中，，为中点，交于点，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积是面积的
D．和的面积相等
填空题
13．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，则 ．
14.（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知是的边上的中线，若，则 .（用表示）
15.（2023下·辽宁·高二统考学业考试）在中，点为边的中点，若，则实数的值为 .
16．（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）已知为内一点，且，若三点共线，则的值为
解答题
17.如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
18.设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λ a＋μ b与向量c共线？

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