资源简介

2015 年高考全国 1 卷数学试卷分析
一．整体解读
试卷紧扣考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，宽角度、多视点、有层次地考查了学
生的数学理性思维能力、对数学本质的理解能力及数学素养和潜能的区分度，达到了“考基
础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围
内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1、回归教材，注重基础
2015 年新课标卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识
点，选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二 项式定理（理科）、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的 类型。同时，在立体几何、导数等题目上进行了一些微创新，与我国古代《九章算术》中的 著名题目相联系，这些题目的设计回归教材和中学教学实际。
2、适当设置题目难度与区分度
与往年新课标卷相对比，今年的选填难度仍然设置在选择题和填空题的最后两道。尤其
以选择题第 12 题和填空题第 16 道为代表。有的同学平时此类型的题目见的较少，需要在考
场紧张的状态下独自解决，这考查了同学在压力状态下分析问题，解决问题的能力。对此，
我们之前给出的建议是，不要在这类型的题目花费过多的时间，从而压缩了后面解答题部分
的答题时间，同时也影响考试情绪。
3、布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察
在解答题部分，文、理两科试卷均对高中数学中的重点内容时行了考查。包括数列、立
体几何、概率统计、解析几何、导数五大版块和三选一问题。以知识为载体，立意于能力，
让数方法和数学思统方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
4、命题考察的沿续性
2015 年新课标卷，在力求创新基础上，也有一些不变的东西。例如 2015 年新课标 1 卷
理科选择题第 7 题与 2014 年新课标 1 卷文科第 6 题的命题方式基本完全一致。
1
二．考点分布
1.理科
集合
0
复数
5
函数
5
向量
5
简易逻辑
5
程序框图
5
线性规划
5
二项式定理
5
解三角形
10
几何证明选讲
10
坐标系与参数方程
10
不等式选讲
10
数列
12
概率与统计
17
导数
17
立体几何
22
解析几何
22
2.文科
集合
5
复数
5
线性规划
5
向量
5
简易逻辑
5
程序框图
5
2
函数
10
数列
10
几何证明选讲
10
坐标系与参数方程
10
不等式选讲
10
解三角形
17
概率与统计
17
导数
17
立体几何
22
解析几何
22
2015文科试卷分析
25
20
15
分值
10
5
0
复数
线性规划
向量
简易逻辑
程序框图
函数数列几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲解三角形
概率与统计导数
解析几何
集合
立体几何
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设复数z满足＝i，则|z|＝
(A)1 (B) (C) (D)2
(2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝
(A) (B) (C) (D)
(3)设命题P：nN，>，则P为
(A)nN， > (B) nN， ≤
(C)nN， ≤ (D) nN， ＝
(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知M(x0，y0)是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是
(A)(－，) (B)(－，)
(C)(，) (D)(，)
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
(7)设D为ABC所在平面内一点，则
(A) (B)
(C) (D)
(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为
(A)()，k (b)()，k
(C)()，k (D)()，k
(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

的展开式中，的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60
圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，
该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的
表面积为16 ＋ 20，则r＝
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的
整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )
A.[，1) B. [) C. [) D. [，1)
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝
(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .
(15)若x，y满足约束条件，则的最大值为 .
(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，
(Ⅰ)求{an}的通项公式：
(Ⅱ)设 ，求数列}的前n项和
(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，
E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，
DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi ＝， ， ＝
(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
(20)(本小题满分12分)
在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线l:y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，
(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
(Ⅱ)用 表示m，n中的最小值，设函数 ，讨论h(x)零点的个数
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E

若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线；
若OA＝CE，求∠ACB的大小.?
(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中.直线:x＝－2，圆：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
求，的极坐标方程；
若直线的极坐标方程为，设与的交点为， ，求△C2MN的面积
(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
A卷选择题答案
选择题
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B
（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D
A、B卷非选择题答案
二、填空题
（13）1 （14） （15）3 （16）
解答题
（17）解：
（I）由，可知
可得 即
由于可得
又，解得
所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为
（II）由
设数列的前n项和为，则
（18）解：
（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.
在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，
可得AG=GC=.由 BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.
又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，
可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，
可得FE=.从而
又因为
所以平面
如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，
为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I）可得所以
故
所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为.
（19）解：
（I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 ……2分
（II）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于

。
所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为。 ……6分
（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值
年利润z的预报值
。 ……9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
所以当，即x=46.24时，取得最大值
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 ……12分
（20）解：
（I）有题设可得又
处的导数值为，C在点出的切线方程为
，即.
股所求切线方程为
存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为
故
从而
当b=-a时，有
（21）解：
（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点
因此，当
（II）当
是的零点
综上，当
（22）解：
（I）链接AE，由已知得，
在中，由已知得，DE=DC故
链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°
故，DE是得切线
（II）设CE=1，AE=X，由已知得，
由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以即
可得，所以

（23）解：
（I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。 ……5分
（II）将代入，得，解得，。故，即。
由于的半径为1，所以的面积为。 ……10分
（24）解：
（I）当时，化为，
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得。
所以的解集为。 ……5分
（II）由题设可得，
所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为。
由题设得，故。
所以a的取值范围为 ……10分
B卷选择题
选择题
（1）D （2）A （3）C （4）A (5) D (6) B
(7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
一、选择题：每小题5分,共60分
1、已知集合，则集合中的元素个数为
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
2、已知点，向量，则向量
（A） （B） （C） （D）
3、已知复数满足，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则
（A） （B） （C） （D）
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛
7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
（A） （B） （C）7 （D）8
10、已知函数 ，
且，则
（A）
（B）
（C）
（D）
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )
（A）
（B）
（C）
（D）
12、设函数的图像与的图像关于直线对称，且
，则( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分
13、数列中为的前n项和，若，则 .
14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .
15. 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 ．
16.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ．
三、解答题
17. （本小题满分12分）已知分别是内角的对边，.
（I）若，求
（II）若，且 求的面积.
18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，
（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.
19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.
（I）求k的取值范围；
（II）若，其中O为坐标原点，求.
21. （本小题满分12分）设函数.
（I）讨论的导函数的零点的个数；
（II）证明：当时.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.
（I）若D为AC中点，证明：DE是O切线；
（II）若 ，求的大小.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求的极坐标方程.
（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（I）当 时求不等式 的解集；
（II）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
答案
选择题
（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C
填空题
（13）6 （14）1 （15）4 （16）
解答题
17、解：
（I）由题设及正弦定理可得=2ac.
又a=b，可得cosB== ……6分
（II）由（I）知=2ac.
因为B=，由勾股定理得.
故，的c=a=.
所以△ABC的面积为1. ……12分
18、解：
（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分
（II）设AB=，在菱形ABCD中，又∠ABC= ，可得
AG=GC=，GB=GD=.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积=×AC·GD·BE=.
故=2 ……9分
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. ……12分
19、解：
（I）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程式类型.
（II）令，先建立y关于w的线性回归方程式.由于
,
，
所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于的回归方程为
（Ⅲ）（i）由（II）知，当=49时，年销售量y的预报值
，
年利润z的预报值
……9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
.
所以当，即=46.24时，取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分
20、解：
（I）由题设，可知直线的方程为.
因为与C交于两点，所以.
解得 .
所以k的取值范围为. ……5分
（II）设.
将代入方程，整理得
.
所以.

.
由题设可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.
故圆心C在上，所以. ……12分
21、解：
（I）的定义域为.
当≤0时，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，
当b满足0＜b＜且b＜时，，故当＜0时存在唯一零点.
……6分
（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，＜0；
当时，＞0.
故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为.
由于，所以.
故当时，. ……12分
22、解：
（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连结OE，则∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=，故∠OED=，DE是O的切线.
……5分

（II）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，，
所以，即.可得，所以∠ACB=.
……10分
23、解：
（I）因为，所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为. ……5分
（II）将代入，得，解得
.故，即
由于的半径为1，所以的面积为. ……10分
24、解：
（I）当时，化为.
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.
所以的解集为. ……5分
（II）由题设可得，
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为
,△ABC的面积为.
由题设得＞6，故＞2.
所以的取值范围为. ……10分

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