资源简介

1．曲线运动
核心素养定位 物理观念 (1)知道什么是曲线运动． (2)知道曲线运动的瞬时速度方向． (3)知道物体做曲线运动的条件．
科学思维 (1)能用极限思想理解曲线运动的瞬时速度方向，并会在轨迹图上画出某点的速度方向． (2)理解曲线运动是变速运动． (3)会运用牛顿运动定律分析讨论物体做曲线运动的条件．
科学态度与责任 认识生活、生产中的曲线运动的实例，体会物理学研究的很多问题就在身边．
一、曲线运动的速度方向
1．切线：如图所示，当B点非常非常________A点时，这条________就叫作曲线在A点的切线．
2．速度方向：质点在某一点的速度方向，沿________在这一点的________方向．
时刻改变
3．运动性质：曲线运动是________运动．
　加速度一定不为零
二、物体做曲线运动的条件
1．动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向________________时，物体做曲线运动．
　　无力不拐弯，拐弯必有力
2．运动学角度：物体的加速度方向与它的________不在同一直线上时，物体做曲线运动．加速度可变可不变
【情境思考】
F1大奖赛是目前世界上速度最快、费用最昂贵、技术最高的比赛，也是方程式汽车赛中最高级别的比赛．如图为在弯道上高速行驶的F1赛车，请对以下结论作出判断．
(1)赛车做曲线运动时，速度时刻发生变化．(　　)
(2)赛车做曲线运动时，合力的方向和速度的方向可能在同一条直线上．(　　)
(3)赛车做曲线运动时，合力一定不为零．(　　)
(4)赛车做曲线运动时，加速度一定不为零．(　　)
1　旋转雨伞抛出的水滴和砂轮打磨下来的炽热微粒
　　　　
抛出的水滴、炽热的微粒皆沿边缘某点的切线方向飞出．
2　飞机投放物资，为什么物资做曲线运动？
分析：物资离开飞机后，由于惯性，具有与飞机相同的初速度．物资只受重力，初速度方向与重力方向成90°角，所以物资做曲线运动．
　物体做曲线运动时，关于受力(加速度)的“一定”与“不一定”
(1)“一定”：物体所受合力(具有的加速度)一定不为零，物体所受合力(具有的加速度)的方向与其速度方向一定不在同一条直线上．
(2)“不一定”：物体所受合力(具有的加速度)不一定变化，即物体所受合力(具有的加速度)可以是恒定的，也可以是变化的．
目标一　曲线运动及其速度方向
【导思】
下面两幅图片分别为抛出的篮球和过山车的运动情况．请思考：
(1)如何确定它们运动过程中在某一位置的速度方向？
(2)它们运动过程中的速度恒定吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．曲线运动的速度
(1)质点在某一时刻(某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处的切线方向一致，故其速度的方向时刻改变．
(2)物体做曲线运动时，运动方向不断变化，即速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化．
2．曲线运动的性质及分类
(1)性质：速度是矢量，因为速度方向时刻发生变化，所以曲线运动一定是变速运动．
(2)分类
曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动．
【典例】
例 1 下列说法正确的是(　　)
A．做曲线运动的物体速度方向一定发生变化
B．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动
C．速度变化的运动一定是曲线运动
D．加速度变化的运动一定是曲线运动
例 2 如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图，乙图是其示意图．比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先后经过A、P、B、C、D五点．运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是(　　)
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
目标二　物体做曲线运动的条件
【导思】
(1)图甲为抛出的石子在空中运动的部分轨迹，图乙是水平面上一小钢球在磁体作用下的部分运动轨迹．请在图中画出物体在A、B、C、D四点的受力方向和速度方向．(不计空气阻力与摩擦阻力)
(2)物体做曲线运动的条件是什么？
(3)上面两种情况下，轨迹、速度方向与合力方向三者有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．物体做曲线运动的条件
合力方向与速度方向不在同一条直线上．这包含三个层次的内容：初速度不为零；合力(加速度)不为零；合力方向与速度方向不在同一条直线上．
2．曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹的关系
3．合外力与速率变化的关系
假设合外力方向与速度方向的夹角为α，则存在三种情况：
(1)α为锐角时，速率增大，如图甲；
(2)α为直角时，速率不变，如图乙；
(3)α为钝角时，速率减小，如图丙．
【典例】
例 3[2023·吕梁市高一期中]曲线运动是自然界中普遍存在的运动形式，下面关于曲线运动的说法，正确的是(　　)
A．物体只要受到变力的作用，就会做曲线运动
B．物体在恒定的合力作用下一定会做直线运动
C．物体做曲线运动时，合力方向可能发生变化，也可能不变
D．若物体在大小不变的合力作用下做曲线运动，则一定是匀变速曲线运动
例 4 如图所示为汽车在水平地面转弯的示意图．关于转弯时汽车速度及汽车所受合外力F的方向，下列图示可能正确的是(　　)
1．(多选)如图所示，小明同学沿圆形跑道以恒定速率晨练．下列说法正确的是(　　)
A．小明做匀速运动，其加速度为零
B．小明做变速运动，其加速度不为零
C．小明所受合力为零，处于平衡状态
D．小明的速度大小不变，但方向时刻变化
2．2022年3月，在F1锦标赛巴林站比赛中，中国车手周冠宇获得第10名，取得生涯首个积分．假如某赛车在弯道上高速行驶时突然后轮脱离赛车，关于脱离赛车后的车轮的运动情况，以下说法正确的是(　　)
A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动
B．沿着与弯道垂直的方向飞出
C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D．上述情况都有可能
3．如图所示情况中，下列说法正确的是(　　)
A．离开砂轮的炽热微粒处于平衡状态
B．链球在手的牵引下做曲线运动，链球可能处于平衡状态
C．飞出去的链球受到一个向前的力
D．不计空气阻力，飞出去的链球做匀变速曲线运动
4．[2023·合肥高一检测]如图所示，一小球在光滑的水平面上以初速度v0向右运动，运动过程中要穿过一段水平向北的风带ab，经过风带时风会给小球一个向北的水平恒力，其余区域无风力．则小球经过风带时及过风带后的轨迹正确的是(　　)
　　　　
　　　　
5．一个小球在水平桌面上运动，当小球运动至P点时，开始受到恒定外力的作用，运动轨迹如图所示，AP为直线，PB为曲线．对于小球受到的外力的方向，下列说法正确的是(　　)
A．该外力可能沿x轴正方向
B．该外力可能沿x轴负方向
C．该外力可能沿y轴正方向
D．该外力可能沿y轴负方向
1．曲线运动
导学　掌握必备知识
一、
1．接近　割线
2．曲线　切线
3．变速
二、
1．不在同一直线上
2．速度方向
情境思考
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
共研　突破关键能力
目标一
　提示：(1)物体在某一位置的速度方向为这一位置轨迹的切线方向．
(2)它们做曲线运动时速度方向时刻发生改变，故其速度不恒定．
[例1]　解析：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，故A正确；速度方向发生变化的运动不一定是曲线运动，如物体做往复直线运动，故B错误；速度是矢量，速度的变化包括大小和方向的变化，如匀变速直线运动，物体速度大小发生变化，但不是做曲线运动，故C错误；做直线运动的物体加速度也可以变化，如变加速直线运动，故D错误．
答案：A
[例2]　解析：曲线运动某点的速度方向沿着该点的切线方向．由图可知，运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是A点，A正确．
答案：A
目标二
提示：(1)各点受力方向和速度方向如图所示．
(2)物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上．
(3)轨迹、速度方向、合力方向三者不共线，合力指向轨迹的凹侧，轨迹夹在速度方向与合力方向之间．
[例3]　解析：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，A、B错误；物体做曲线运动时，其所受合力的方向与速度方向不在同一直线上，合力的方向可能发生变化，也可能不变，C正确；做匀变速曲线运动的物体所受的合力恒定不变，而不只是合力大小不变，D错误．
答案：C
[例4]　解析：汽车转弯时做曲线运动，则速度方向沿轨迹的切线方向，所受的合外力指向轨迹的凹侧，则正确的图可能为D.
答案：D
精练　落实学科素养
1．解析：小明做曲线运动，其速度方向时刻变化，做变速运动，一定存在加速度，所受合力一定不为零，故选项B、D正确，A、C错误．
答案：BD
2．解析：赛车沿弯道行驶，任一时刻车轮的速度方向都是运动轨迹上对应点的切线方向．脱离赛车的后轮的速度方向就是运动轨迹上脱离点的切线方向．所以C项正确．
答案：C
3．解析：离开砂轮的微粒受到外力作用，不处于平衡状态，故选项A错误；链球在手的牵引下做曲线运动，链球所受合力不为零，链球不可能处于平衡状态，故选项B错误；飞出去的链球由于惯性向前运动，并没有受到向前的力，故选项C错误；不计空气阻力，飞出去的链球只受重力，加速度不变，故链球做匀变速曲线运动，选项D正确．
答案：D
4．解析：小球在光滑的水平面上以初速度v0向右运动，给小球一个向北的水平恒力，根据曲线运动条件，合外力指向物体做曲线运动轨迹的凹侧，且速度的方向沿着物体做曲线运动轨迹的切线方向．故D正确，A、B、C错误．
答案：D
5．解析：小球做曲线运动时，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故C正确．
答案：C2．运动的合成与分解
核心素养定位 物理观念 (1)理解合运动与分运动的概念． (2)知道运动的合成与分解，理解运动的合成与分解遵循平行四边形定则．
科学思维 (1)会根据研究问题的需要建立合适的平面直角坐标系，并用函数描述直线运动． (2)掌握运动的合成与分解的方法．会用作图和计算的方法，求解位移和速度的合成与分解问题． (3)能对简单平面运动进行合成与分解．
科学态度与责任 通过运动的合成与分解，初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想，并能用这个思想方法解决类似的简单问题．
一、一个平面运动的实例
1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时．在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：x＝________，y＝________．
建立平面直角坐标系
　　
2．蜡块运动的速度：大小v＝____________，方向满足tan θ＝________．
3．蜡块运动的轨迹：y＝x，是一条____________．
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动等效替代关系
如果物体________参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是________，参与的几个运动就是________．
2．运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的________；由合运动求分运动的过程，叫作运动的________．
　　同一时间，同一物体
3．运动的合成与分解所遵循的法则矢量运算
位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时遵循____________定则．
【情境思考】
如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运动．在与乒乓球运动路线垂直的方向上横放一个纸筒(纸筒开口略大于乒乓球直径)．人趴在桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球经过筒口正前方时，对着乒乓球向筒口吹气．关于乒乓球的运动，请作出判断．
(1)保持原运动方向继续前进．(　　)
(2)一定能沿吹气方向进入纸筒．(　　)
(3)偏离原运动方向滚向纸筒左侧．(　　)
(4)偏离原运动方向滚向纸筒右侧．(　　)
1　
蜡的密度略小于水的密度．在蜡块上升的初期，它做加速运动，之后由于受力平衡而做匀速运动．
　蜡块运动实例中，若玻璃管的水平速度增大，蜡块上升到顶端的时间会变短吗？
分析：通过演示实验，发现时间不变．原因是蜡块的水平速度和竖直速度彼此是独立的，水平速度增大时，竖直速度不变．
　合运动与分运动的关系
2　
(1)如果两个分运动在同一条直线上，求合速度时直接进行代数运算．
(2)如果两个分运动方向不在同一条直线上，而是成一定夹角，需根据平行四边形定则求合速度的大小、方向．
目标一　运动的合成与分解
【导思】
　(1)如果玻璃管沿水平方向匀速运动，蜡块实际的运动会怎么样？
(2)如果玻璃管沿水平方向做加速运动，蜡块的运动又会怎么样？
(3)玻璃管水平方向的运动变化会不会影响蜡块在竖直方向的运动？这体现了分运动之间的什么特性？
(4)怎么求蜡块经过一段时间后的位移和速度？
【归纳】
1．合运动与分运动的四个特性
等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性 各分运动与合运动对应同一物体
独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
2.合运动与分运动的判定方法
在一个具体运动中物体实际发生的运动是合运动．这个运动一般就是相对于地面发生的运动，或者说是相对于静止参考系的运动．
【典例】
例 1 跳伞是人们普遍喜欢的观赏性体育项目．当运动员在某高度从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响．下列说法中正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
例 2 如图所示为某次演习中，演习直升机空投物资(直升机空投物资时，可以停留在空中不动)．设投出的物资离开飞机后，由于降落伞的作用，在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s.若飞机停留在离地面100 m高处空投物资，由于水平风的作用，降落伞和物资获得1 m/s的水平向东的速度．求：(结果可保留根式)
(1)物资在空中运动的时间．
(2)物资落地时速度的大小．
(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离．
教你解决问题
例 3 质量m＝2 kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图像如图所示．求：
(1)物体受到的合力和初速度；
(2)t＝8 s时物体的速度大小；
(3)t＝4 s时物体的位移大小；
(4)物体的运动轨迹方程．
运动的合成与分解问题的解题思路
(1)确定合运动方向(实际运动方向)．
(2)分析合运动的运动效果．
(3)依据合运动的实际效果确定分运动的方向．
(4)利用平行四边形定则、三角形定则或正交分解法作图，将合运动的速度、位移、加速度分别分解到分运动的方向上．
目标二　合运动性质和轨迹的判断
【导思】
如图所示，一艘炮舰正在沿河岸自西向东航行，在炮舰上射击北岸的敌方目标．
(1)要想击中目标，射击方向应直接对准目标，还是应该偏东或是偏西一些？
(2)炮弹相对地面做什么性质的运动？
【归纳】
分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v0和合力F(合加速度a)，然后进行判断．
【典例】
例 4 公交车是人们出行的重要交通工具．如图所示是某公交车内部座位示意图，其中座位A和座位B的连线与公交车的前进方向垂直．公交车在某一站台由静止开始启动，做匀加速直线运动的同时，一名乘客从A座位沿AB连线相对公交车以2 m/s的速度匀速运动到B座位．下列关于该乘客的运动描述正确的是(　　)
A．该乘客的运动轨迹为直线
B．该乘客的运动轨迹为曲线
C．因为该乘客在公交车上做匀速直线运动，所以乘客处于平衡状态
D．当公交车的速度为5 m/s时，该乘客对地的速度为7 m/s
合运动性质的判断程序
例 5 如图所示，一玻璃管中注满清水，水中放一软木做成的小圆柱体，其直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，它在水中能匀速上浮．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，如图甲．现将玻璃管倒置，如图乙．在小圆柱体上升的同时，使玻璃管水平向右匀加速移动，经过一段时间，玻璃管移至图丙中虚线所示位置，且小圆柱体恰好运动到玻璃管的顶端．在下面四个图中，能正确反映小圆柱体运动轨迹的是(　　)
1.
如图所示，飞机起飞时以300 km/h的速度斜向上飞，飞行方向与水平面的夹角为37°.则飞机竖直方向的分速度为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
A．180 km/h B．240 km/h
C．300 km/h D．600 km/h
2．如图所示为路灯维修车，车上带有竖直自动升降梯．若一段时间内，车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于这段时间内站在梯子上的工人的描述不正确的是(　　)
A．工人运动轨迹可能是曲线
B．工人运动轨迹可能是直线
C．工人一定做变加速运动
D．工人一定做匀变速运动
3．(多选)民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射向固定目标．如图所示，骑射运动中，运动员骑马沿直线AB运动，C处有一标靶，AB垂直于BC，运动员在B处沿垂直AB方向放箭，没有击中标靶．要击中标靶，下列调整可行的是(　　)
A．在B点左侧垂直AB方向放箭
B．在B点右侧垂直AB方向放箭
C．在B点朝标靶左侧放箭
D．在B点朝标靶右侧放箭
4．如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x t图像如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　)
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D．猴子在0～2 s内的加速度大小为4 m/s2
5．物体A放在光滑水平桌面上，在多个恒力的作用下做匀速运动，其速度v0的方向与直线OO′成30°角．假设物体所受恒力的方向都与水平桌面平行，图中仅画出了与直线OO′垂直的恒力F1，其他力没有画出．已知v0＝10 m/s，F1＝5 N，物体A的质量m＝2 kg，F1、v0、OO′在同一平面内．若某时刻撤掉F1，求：
(1)物体A速度的最小值；
(2)物体A速度达到最小值需要的时间．
2．运动的合成与分解
导学　掌握必备知识
一、
1．vxt　vyt
2.　
3．过原点的直线
二、
1．同时　合运动　分运动
2．合成　分解
3．平行四边形
情境思考
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
共研　突破关键能力
目标一
　提示：(1)蜡块参与了两个运动，分别是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动．蜡块实际上做匀速直线运动，运动轨迹如题图乙中的斜线所示．
(2)玻璃管沿水平方向做加速运动，蜡块也被迫在水平方向做加速运动，这样，蜡块运动到玻璃管顶部的轨迹不再是直线而是曲线．
(3)改变玻璃管在水平方向的运动速度，蜡块在竖直方向的运动时间不变化，水平方向玻璃管的运动不影响蜡块在竖直方向的运动，体现了分运动的独立性．
(4)可以建立平面直角坐标系，分别求蜡块经过一段时间后在两个方向的位移和速度，再根据平行四边形定则求合位移、合速度即可．
[例1]　解析：运动员从直升机上跳下后，同时参与了两个分运动，竖直方向下落的运动和水平方向随风飘的运动．这两个分运动同时发生，相互独立．所以水平风力越大，运动员着地速度越大，但下落时间由下落的高度决定，与风力无关．故B正确．
答案：B
[例2]　解析：
如图所示，物资的实际运动可以看作竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动．
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等．
所以t＝＝ s＝20 s.
(2)物资落地时vy＝5 m/s，
vx＝1 m/s，
由平行四边形定则得
v＝＝ m/s＝ m/s.
(3)物资水平方向的位移大小为x＝vxt＝1×20 m＝20 m.
答案：(1)20 s　(2) m/s　(3)20 m
[例3]　解析：(1)物体在x轴方向的加速度ax＝0，在y轴方向的加速度ay＝ m/s2.
由牛顿第二定律可得，物体所受合外力为F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向；
由题图可知v0x＝3 m/s，v0y＝0，则初速度v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向．
(2)当t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝ayt＝4 m/s，
则合速度v＝＝5 m/s.
(3)当t＝4 s时，物体在x轴方向上的位移为x＝v0xt＝12 m，物体在y轴方向上的位移为y＝ayt2＝4 m，
物体的合位移l＝＝4 m.
(4)由题图可知，物体在x轴方向上的位移为x＝v0xt＝3t，在y轴方向上的位移为y＝ayt2＝t2，
联立消去t得轨迹方程y＝.
答案：(1)1 N，方向沿y轴正方向　3 m/s，方向沿x轴正方向　(2)5 m/s　(3)4 m　(4)y＝
目标二
提示：(1)应该偏西一些，使其合速度方向正对目标．
(2)炮弹仅受重力，做曲线运动，故炮弹做匀变速曲线运动．
[例4]　解析：乘客所受合力沿车前行方向，与其速度方向不在一条直线上，故A、C错误，B正确；当公交车的速度为5 m/s时，该乘客对地的速度为v＝
答案：B
［例5］　解析：合初速度的方向竖直向上，合加速度的方向水平向右，两者不在同一条直线上，物体必然做曲线运动．根据轨迹每点的切线方向表示速度的方向，轨迹弯曲的方向大致与所受合力的方向一致，C正确，A、B、D错误．
答案：C
答案：A
在一条直线上就做直线运动，不在一条直线上就做曲线运动．车和梯子的初速度未知，加速度未知，工人相对地面的运动轨迹可能是曲线，也可能是直线；由于车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则加速度恒定，合外力恒定．故选C.
答案：C
侧放箭，故A正确，B错误；由于惯性，箭射出后有向右运动的速度，在B点放箭要击中标靶，就要在B点朝标靶左侧放箭，故C正确，D错误．故选A、C.
答案：AC
4．解析：猴子在竖直方向做初速度大小为8 m/s，加速度大小为4 m/s2的匀减速直线运动，水平方向做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，其合运动为曲线运动．故猴子在0～2 s内做匀变速曲线运动，加速度大小为4 m/s2，选项A、D错误，B正确；t＝0时，猴子的速度大小为v0＝＝ m/s＝4 m/s，选项C错误．
答案：B
5．解析：(1)撤去F1后物体速度的最小值等于速度沿OO′方向的分量，即为vx＝v0cos 30°＝10× m/s＝5 m/s.
(2)将速度沿着坐标轴方向分解，未撤去F1时，沿着F1方向分速度大小为
vy＝v0sin 30°＝10× m/s＝5 m/s.
撤去F1后，其余的力的合力与F1等大反向，则物体加速度大小为
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，
设经过时间t物体速度最小，此时沿y轴方向的分速度等于零，则t＝＝ s＝2 s.
答案：(1)5 m/s　(2)2 s3．实验：探究平抛运动的特点
素养·目标要求
1．知道什么样的运动是抛体运动．
2．知道平抛运动的特点，会用运动分解的方法分析两个分运动．设计实验探究平抛运动两个分运动的特点，会描绘平抛运动的轨迹．
一、抛体运动和平抛运动
1．抛体运动：以一定的速度（有一定的初速度）将物体抛出，在空气阻力可以忽略（重力远大于空气阻力）的情况下，物体________的作用，这时的运动叫作抛体运动．理想模型
2．平抛运动
(1)概念：如果初速度是沿________的，这样的抛体运动叫作平抛运动．
(2)条件：物体具有________的初速度且运动过程中只受重力的作用．
　　　　加速度恒定，a＝g，与初速度方向垂直
二、探究平抛运动的特点
1．实验思路
平抛运动是曲线运动，我们可以尝试将它分解为________方向的分运动和________方向的分运动．只要知道这两个方向的运动特点，平抛运动的特点就清楚了．
　将复杂的曲线运动转化为简单的直线运动
2．进行实验
方案一：频闪照相(或录制视频)的方法
(1)通过频闪照相(或录制视频)，获得小球做平抛运动时的频闪照片(如右栏图甲所示)；
(2)选频闪照片中的第一个小球球心为原点建立平面直角坐标系，测量出每个小球(或每3个取1个球)的球心相对应的x轴坐标和y轴坐标(如右栏图乙所示)．
(3)根据频闪照相的特点，若频闪周期为T，每相邻两球的时间间隔相等，都是T，则图中OA、AB、BC的时间间隔就是3T.
将所测的数据填入表格，分析小球水平方向分运动和竖直方向分运动的特点．
O A B C
x轴坐标 0 x1 x2 x3
y轴坐标 0 y1 y2 y3
方案二：分别研究水平和竖直方向分运动规律
第1步：探究平抛运动竖直分运动的特点
(1)如图所示的实验装置，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做________，同时B球被释放，自由下落，做________运动，比较两球落地时间的先后．
(2)分别改变小球距地面的________和小锤击打的力度，从而改变小球下落________和A球平抛的初速度，比较两球落地时间的先后．
(3)结论：两球总是________落地，说明平抛运动在竖直方向的分运动是____________．
第2步：探究平抛运动水平分运动的特点
[实验步骤]
(1)如图，钢球在斜槽M中从某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动(实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上)．
(2)钢球飞出后，落到挡板N上，在白纸上记录钢球此时的________．
(3)上下调节挡板N，通过多次实验，在白纸上________钢球所经过的多个位置．
(4)用平滑的曲线把这些________连接起来，得到钢球做平抛运动的________．
[数据处理与分析]
(1)如图所示，选取纵坐标分别为h，4h，9h的三个点A、B、C.
(2)在平抛运动的轨迹上找出水平分运动在相邻相等的________里所到达的位置，就找出了水平分运动在相邻相等时间间隔内的________．
(3)相等时间内水平方向的________在实验误差允许的范围内________，进而确定水平分运动是匀速直线运动．
　抛体运动分类
(如下图所示)
(1)初速度竖直向上的是竖直上抛运动．
(2)初速度竖直向下的是竖直下抛运动．
(3)初速度水平的是平抛运动．
(4)初速度斜向上的是斜上抛运动．
(5)初速度斜向下的是斜下抛运动．
　
(1)用小锤水平击打弹性金属片的中央位置，确保A球能够沿水平方向飞出．
(2)选择体积小、密度大的两个小球．
(3)A、B两球运动前高度相同，且落到同一水平面上．
　
(1)斜槽调整
实验中必须调整斜槽末端的切线水平，将小球放在斜槽末端水平部分，若没有明显的运动倾向，斜槽末端的切线就水平了．
(2)平板固定
平板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查平板是否竖直．
(3)小球释放
①小球每次必须从斜槽上同一位置自由滚下．
②小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球平抛运动的轨迹由白纸的左上角一直到达右下角为宜．
(4)坐标原点
坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时小球球心在平板上的投影点．
目标一　教材原型实验
【典例】
例 1[2023·北京海淀区高一下联考]某同学为了探究平抛运动的特点，进行了如下实验．
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
(1)
在如图甲所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球自由下落，做自由落体运动．重复实验数次，无论打击力大或小，仪器距离地面高或低，A、B两球总是同时落地，该实验表明________．
A．平抛运动水平方向的分运动是匀速直线运动
B．平抛运动水平方向的分运动是匀加速直线运动
C.平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动
D．平抛运动竖直方向的分运动是匀速直线运动
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
(2)如图乙所示，在探究平抛运动水平分运动的特点时，除木板、小球、斜槽、铅笔、刻度尺、图钉之外，下列器材中还需要的有________(多选)．
A．铅垂线 B．秒表
C．弹簧测力计 D．天平
E．白纸和复写纸
(3)实验中，下列说法正确的是________(多选)．
A．斜槽轨道必须光滑
B．斜槽轨道末端要保持水平
C．挡板的高度需要等间距变化
D．每次应该从斜槽上相同的位置无初速度释放小球
E．要使描绘出的轨迹更好地反映真实运动，记录点应适当多一些
(4)用平滑的曲线把小球在白纸上留下的印迹连接起来，得到小球做平抛运动的轨迹，建立直角坐标系，坐标原点选________．
A．斜槽末端端点
B．小球在斜槽末端时的球心在白纸上的投影点
C．小球在斜槽末端时的球的上端在白纸上的投影点
D．小球在斜槽末端时的球的下端在白纸上的投影点
(5)根据步骤1所得结论，在轨迹上选取竖直位移之比为1∶4∶9∶16∶…的点，各点之间的时间间隔相等，测量这些点之间的水平位移，即可确定平抛运动水平方向分运动的特点．当轨迹上相邻各点竖直位移之比为1∶4∶9∶16∶…时，为什么它们之间的时间间隔是相等的．请写出依据：___________________________________________________
________________________________________________________________________
例 2 用如图所示装置研究平抛运动．将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上．钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上．由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点．移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点．
(1)下列实验条件必须满足的有________(多选)．
A．斜槽轨道光滑
B．斜槽轨道末端水平
C．挡板高度等间距变化
D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究，建立以水平方向为x轴，竖直方向为y轴的坐标系．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的________(选填“最上端”“最下端”或“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时________(选填“需要”或“不需要”)y轴与重垂线平行．
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是________(多选)．
A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹
B．用频闪照相在同一底片上记录平抛小球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹
C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
目标二　探索创新实验
【典例】
例 3 频闪照相是研究变速运动常用的实验手段．在暗室中，频闪仪的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置．某物理小组利用图甲所示的装置探究平抛运动的特点．他们分别在该装置正上方和右侧正前方安装了频闪仪A、B并进行了拍摄，得到的频闪照片如图乙所示，O为抛出点，P为运动轨迹上某点．根据实验分析下列问题．
(1)图乙中，频闪仪B所拍摄的频闪照片为________________________________________________________________________
[选填“(a)”或“(b)”].
(2)图乙中频闪照片(b)可以说明________________________________________．
例 4[2023·沈阳高一检测]某同学设计了一个研究平抛运动的实验．实验装置如图甲所示，A是一块水平放置的木板，在其上等间隔地凿出一组平行的插槽(图甲中P0P′0、P1P′1……)，槽间距离均为d.把覆盖复写纸的方格纸铺贴在硬板B上．实验时依次将B板插入A板的各插槽中，每次让小球从斜槽的同一位置由静止释放．每打完一点后，把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d.实验得到小球在方格纸上打下的若干痕迹点，如图乙．
(1)实验中每次让小球从斜槽的同一位置由静止释放，是为了________________．
(2)每次将B板向纸面内侧平移距离d，是为了________________________．
(3)设小方格的边长为L，小球在实验中记录的几个位置如图乙中的a、b、c、d所示，则小球平抛初速度的计算式v0＝________(用L、g表示)．
1．如图，用小锤轻击弹性金属片，A球向水平方向飞出，同时B球被松开，竖直向下运动．
(1)(多选)用不同的力打击弹性金属片，可以观察到(　　)
A．A球运动路线不同，B球的运动路线相同
B．A、B两球运动路线相同
C．A、B两球同时落地
D．力越大，A、B两球落地时间间隔越大
(2)改变此装置距地面的高度，重复上述实验，仍然可以看到相同的实验现象，根据此现象分析可知(　　)
A．小球A在水平方向做匀速运动
B．小球A在水平方向做匀加速运动
C．小球B在竖直方向做匀加速运动
D．小球A与B在竖直方向运动规律相同
2．(1)在做“研究平抛物体的运动”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉，下列器材中还需要的是________(多选)．
A．游标卡尺　　　　B．秒表
C．弹簧测力计 D．天平
E．坐标纸 F．重垂线
(2)实验中，下列说法正确的是________(多选)．
A．应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下
B．要使描出的轨迹更好地反映小球的真实运动，记录的点应适当多一些
C．斜槽轨道末端可以不水平
D．斜槽轨道必须光滑
E．为了比较准确地找出小球运动的轨迹，应该用一条曲线把所有的点连接起来．
(3)甲、乙、丙、丁四位同学在做这个实验时，建立的坐标系分别如图A、B、C、D所示，这四位同学中坐标原点选择正确的是________(填图序号)．
3．[2023·潍坊高一检测](多选)如图所示，将题中木板竖起，钢球撞到带有白纸和复写纸的竖直长木板上，并在白纸上留下痕迹A，重复实验，将木板依次后退相同的水平距离x，钢球撞到木板上留下痕迹B、C，测量A、B、C点到O点的距离分别为y1、y2、y3.其中O点与钢球抛出时圆心位置等高，重力加速度为g.
关于此实验，以下说法正确的是(　　)
A．桌面不需要保证光滑与严格水平
B．重复实验时，必须将弹簧压缩到同一位置再释放钢球
C．最终测得的数据y1∶y2∶y3近似为1∶4∶9
D．由以上数据可以得到钢球被水平抛出时的速度v0＝x
4．在“研究平抛运动”的实验中，采用图甲所示的实验装置，其简图如图乙所示．水平抛出的小球落入接球槽中，通过复写纸在白纸上留下点迹．
(1)下列说法正确的是________(多选)．
A．小球运动时可以与竖直板相接触
B．固定斜槽时，必须保证斜槽末端切线水平
C.在研究一条运动轨迹时，小球每次都要从同一位置由静止释放
D．为了准确地描出小球运动的轨迹，必须把所有的点连接起来
(2)实验中小球碰到接球槽会在复写纸下面的白纸上留下相近的两个点(如图丙所示)，应该取________(选填“左边”或“右边”)的点进行测量．
(3)图丁是实验中小球从斜槽上不同位置下落获得的两条轨迹，图线①所对应的平抛运动的初速度________(选填“较小”或“较大”)，图线②所对应的小球在斜槽上释放的位置________(选填“较低”或“较高”)．
5.
小球A由斜槽滚下，从桌边水平抛出，当它恰好离开桌边缘时，小球B从同样高度处自由下落，频闪照相仪拍到了B球下落过程的四个位置和A球的第1、2、4三个位置，如图所示．已知背景的方格纸每小格的边长为2.4 cm，频闪照相仪的闪光频率为10 Hz.
(1)请在图中标出A球的第3个位置．
(2)利用这张照片可求出当地的重力加速度大小为________ m/s2.
(3)A球离开桌边时的速度大小为______ m/s.
3．实验：探究平抛运动的特点
导学　掌握必备知识
一、
1．只受重力
2．(1)水平方向　(2)水平方向
二、
1．水平　竖直
2．第1步：(1)平抛运动　自由落体　(2)高度　时间
(3)同时　自由落体运动
第2步：[实验步骤](2)位置　(3)记录　(4)印迹　轨迹
[数据处理与分析](2)时间间隔　位移　(3)位移　相等
共研　突破关键能力
目标一
[例1]　解析：(1)A、B两球总是同时落地，表明平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，C正确．
(2)需要铅垂线，确保木板在竖直平面内，也可方便确定坐标轴，还需要白纸和复写纸记录小球平抛过程的位置，便于作出小球的运动轨迹，A、E正确．
(3)斜槽轨道不必光滑，只要小球每次从同一位置由静止释放即可，A错误，D正确；斜槽轨道末端要保持水平，以确保小球水平抛出，B正确；挡板的高度不需要等间距变化，C错误；要使描绘出的轨迹更好地反映真实运动，记录点应适当多一些，E正确．
(4)直角坐标系，坐标原点应选小球在斜槽末端时的球心在白纸上的投影点，B正确．
(5)竖直方向小球做自由落体运动，由位移公式h＝gt2可知，如果h1∶h2∶h3∶…＝1∶4∶9∶…，可得t1∶t2∶t3∶…＝1∶2∶3∶…，所以相邻各点的时间间隔相等．
答案：(1)C　(2)AE　(3)BDE　(4)B　(5)见解析
[例2]　解析：(1)实验中没必要要求斜槽轨道光滑，因为本实验研究的是平抛运动，只需要每次实验都能保证小球做相同的平抛运动，即每次实验都要保证小球初速度水平且相同，也就是从斜槽上相同的位置由静止释放即可，选项A错误，选项B、D正确；挡板高度可以不等间距变化，选项C错误．
(2)因为钢球侧面在白纸上挤压出的痕迹点与球心等高，所以将钢球静置于Q点，钢球的球心对应白纸上的位置即为坐标原点(平抛运动的起始点)；在确定y轴时需要y轴与重垂线平行．
(3)将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，因为铅笔笔尖与笔尾受力不同，铅笔将不能保持始终垂直于竖直的白纸板运动，会发生倾斜，所以不会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹．故选A、B.
答案：(1)BD　(2)球心　需要　(3)AB
目标二
[例3]　
解析：(1)频闪仪B记录的是小球竖直方向的运动情况，而小球在竖直方向做自由落体运动，所以频闪仪B所拍摄的频闪照片为(a)．
(2)根据上面的分析可知，频闪照片(b)是频闪仪A所拍摄的，照片中每个频闪时间间隔内小球的位移大小相同，可以说明小球在水平方向上的分运动为匀速直线运动．
答案：(1)(a)　
(2)小球在水平方向上的分运动为匀速直线运动
[例4]　解析：(1)实验中每次让小球从斜槽的同一位置由静止释放，是为了保证小球到达斜槽末端做平抛运动的初速度相同．(2)每次将B板向纸面内侧平移距离d，是为了等效替代小球做平抛运动时的水平距离d.(3)根据题意，结合图乙可知，小球从a点水平抛出，设初速度为v0，小球落地时水平距离为x＝6L＝v0t①，小球落地高度为H＝9L＝②，由①②两式可得，小球平抛初速度为v0＝＝＝.
答案：(1)使每次水平抛出的初速度相同　(2)等效替代小球平抛的水平距离d　(3)
精练　落实学科素养
1．解析：(1)打击力度不同，A球平抛初速度不同，运动路线不同，但B球始终做自由落体运动，所以B球路线相同，A正确，B错误；因为A、B两球竖直方向均为自由落体运动，所以运动时间相同，C正确，D错误．(2)改变高度，仍看到相同现象，说明小球A与B在竖直方向运动规律相同，选项D正确．
答案：(1)AC　(2)D
2．解析：(1)在做“研究平抛物体的运动”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉，还需要重垂线，确保木板竖直放置；另外还需坐标纸，用于记录小球的位置，故E、F正确，A、B、C、D错误．(2)让小球总是从同一位置自由释放，这样才能找到同一运动轨迹上的几个点，然后将这几个点平滑连接起来，误差较大的点应舍去，而不是把所有的点连接起来，故A正确，E错误；要使描出的轨迹更好地反映小球的真实运动，记录的点应适当多一些，故B正确；为了能画出小球平抛运动的轨迹，要保证小球做的是平抛运动，斜槽轨道不一定要光滑，但末端必须是水平的，故C、D错误．(3)建立坐标系时，应将小球在斜槽末端时球心在竖直面上的投影作为坐标原点，故C正确，A、B、D错误．
答案：(1)EF　(2)AB　(3)C
3．解析：桌面不需要保证光滑但需要保证严格水平，A错误；为了保证钢球抛出时的速度相同，必须将弹簧压缩到同一位置再释放钢球，B正确；钢球撞到木板上A点时，与抛出点的水平距离不知，不能保证OA段的时间和AB、BC段的时间相同，故不能得到y1∶y2∶y3的比值，C错误；因为平抛运动水平方向为匀速直线运动，所以钢球在AB、BC段运动用的时间相同，竖直方向由自由落体运动规律可得(y3－y2)－(y2－y1)＝gT2，又由v0T＝x，得v0＝x，D正确．
答案：BD
4．解析：(1)若小球运动中与竖直挡板接触，会增加摩擦力，从而导致小球所做运动不是平抛运动，故A错误；为了使小球离开斜槽末端时速度水平，必须保证斜槽末端切线水平，故B正确；为了描绘同一个平抛运动的轨迹，必须使小球多次从斜槽末端飞出的初速度大小相同，则要从同一位置由静止开始释放小球，故C正确；准确地描出小球运动的轨迹时要用平滑的曲线把大多数点连接起来，舍去误差大的点，故D错误．(2)接球槽上的两个点迹，左边是平抛的落点，右边的点是小球反弹后留下的点，故应该取左侧的点测量更准确．(3)两条平抛的轨迹，取相同的竖直高度，则平抛的时间相同，由x＝v0t可知，图线①的水平位移大，其初速度较大，需要小球从较高的位置滚下获得较大初速度，则图线②所对应的小球在斜槽上释放的位置较低．
答案：(1)BC　(2)左边　(3)较大　较低
5．解析：(1)平抛运动在竖直方向上为自由落体运动，所以相同时刻A球与B球等高；水平方向上相等时间内的位移相等，所以2、3两个位置的水平位移和3、4两个位置的水平位移相等．如图所示．
(2)根据Δy＝4L＝gT2，得g＝＝ m/s2＝9.6 m/s2.
(3)小球离开桌边时的速度大小v0＝＝ m/s＝0.72 m/s.
答案：(1)图见解析　(2)9.6　(3)0.724．抛体运动的规律
核心素养定位 物理观念 (1)知道抛体运动的受力特点． (2)理解平抛运动的规律，知道平抛运动的轨迹是抛物线．
科学思维 (1)会用运动的合成与分解的方法对平抛运动进行理论分析． (2)会计算平抛运动的速度及位移，会解决与平抛运动相关的实际问题． (3)认识平抛运动研究中等效替代的思想和“化繁为简”的思想，并能够用来研究一般的抛体运动．
科学态度与责任 通过用平抛运动的知识解释自然、生活和生产中的现象，认识到平抛运动的普遍性，有学习物理的内在动力，体会物理学的应用价值．
一、平抛运动的速度
将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用，t时刻的速度为
“一分为二、化曲为直”
3．合速度
实际速度
二、平抛运动的位移与轨迹
将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为
1．水平方向：x＝________．
2．竖直方向：y＝________．
3．合位移
4．轨迹：由水平方向x＝v0t解出t＝，代入y＝__________得y＝x2，平抛运动的轨迹是一条________．二次函数
三、一般的抛体运动
物体抛出时的速度v0斜向上方或斜向下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示．受力与平抛相同
1．水平方向：物体做________运动，初速度v0x＝________．
2．竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v0y＝________．
　　加速度等于g
【情境思考】
　许多的极限运动项目由滑板项目延伸而来．如图所示，某滑板运动员以某一初速度从某一高处水平飞出，落在水平地面上(忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点)．由以上叙述判断下列问题．
(1)初速度越大，运动员在空中运动时间越长．(　　)
(2)初速度越大，运动员落地瞬间速度越大．(　　)
(3)运动员落地瞬间速度与高度无关．(　　)
(4)运动员落地位置与初速度大小无关．(　　)
　求解平抛运动飞行时间的四种方法
(1)已知物体抛出点的高度h，根据h＝gt2，得t＝.
(2)已知水平位移x和初速度v0，得t＝.
(3)已知物体在空中某时刻的速度方向与竖直方向的夹角θ以及初速度v0，根据tan θ＝可求t.
(4)已知平抛运动的位移方向与初速度方向的夹角α以及初速度v0，根据tan α＝＝可求t.
　平抛运动规律的实际应用
如图所示，动物管理员在森林里找到一只丢失的猴子，立即用麻醉枪水平射击，设子弹从枪口水平射出的瞬间，精明的猴子便从静止开始自由下落．猴子能跑掉吗？为什么？
不能，因为猴子做自由落体运动，子弹做平抛运动，在竖直方向上二者都做自由落体运动，则二者在竖直方向上的速度和位移每个时刻都相等．
　斜上抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，上升时间等于下降时间．
(2)速度对称：关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点，速度大小相等．
(3)轨迹对称：相对于过轨迹最高点的竖直线，两侧轨迹对称．
目标一　对平抛运动的理解
【导思】
如图所示，一人正练习投掷飞镖，不计空气阻力．
(1)飞镖投出后做什么运动？加速度的大小和方向如何？
(2)飞镖的运动实质是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动．
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计．
(2)运动特点
①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动．
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动．
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线．
(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示．
【典例】
例 1 关于平抛运动，下面的几种说法正确的是(　　)
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
例 2 在空中某一高度水平匀速飞行的飞机上，每隔1 s由飞机上自由落下一个物体，先后释放四个物体，最后落到水平地面上．若不计空气阻力，这四个物体在空中排列的位置是(　　)
目标二　平抛运动规律的应用
【导思】
如图所示，球场上，运动员多次从同一高度以不同的水平速度击出网球．(忽略空气阻力的影响)
若网球均落在同一水平面上，每次网球在空中运动的时间相同吗？落地速度相同吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间t＝，只由高度决定，与初速度无关．
(2)水平位移(射程)x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定．
(3)落地速度v＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定．
【典例】
例 3 (多选)学校喷水池中的喷水口向两旁水平喷水，如图所示．若忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．喷水速度一定，喷水口越高，水喷得越远
B．喷水速度一定，喷水口越高，水喷得越近
C．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远
D．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
例 4 如图所示，a、b和c三个小球从同一竖直线上的A、B两点水平抛出，落到同一水平面上，其中b和c是从同一点抛出的．设a、b和c三个小球的初速度分别为va、vb、vc，运动时间分别为ta、tb、tc，下列说法正确的是(　　)
A．va>vb＝vc，ta>tb>tc
B．va>vb>vc，taC．vatc
D．va>vb>vc，ta>tb＝tc
例 5 如图所示，一架装载救援物资的飞机，在距水平地面h＝500 m的高处以v＝100 m/s的水平速度飞行．地面上A、B两点间的距离l＝100 m，飞机到与A点的水平距离为x0＝950 m时投放救援物资，不计空气阻力，g取10 m/s2.
(1)求救援物资从离开飞机到落至地面所经历的时间．
(2)通过计算说明，救援物资能否落在AB区域内．
目标三　对斜抛运动的理解
【导思】
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作斜上抛运动．
以抛出的铅球为例，回答下列问题．
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明)
如图所示，斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动．
(1)速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ，
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt.
(2)位移公式：x＝v0cos θ·t，
y＝v0sin θ·t－gt2.
(3)当vy＝0时，v＝v0x＝v0cos θ，物体到达最高点，hmax＝＝.
分析技巧
(1)斜上(下)抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上(下)抛运动．
(2)对斜上抛运动
①运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由初速度和抛射角决定．
②由抛出点到最高点的过程可看作逆向平抛运动来分析．
【典例】
例 6如图所示，从水平地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N两点，两球运动的最大高度相同，空气阻力不计．下列说法正确的是(　　)
A．B的加速度比A的加速度大
B．B的飞行时间比A的飞行时间长
C．B落地时的速度比A落地时的速度大
D．B在最高点的速度与A在最高点的速度相等
例 7 平抛运动规律常与生活及体育运动中的某些骑射、球类运动相联系.2023年5月15日，辽宁男篮夺得CBA总冠军．比赛中一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中篮板上A点．
探究：若该运动员后撤到C点投篮，还要求垂直击中篮板上A点，应如何操作？
教你解决问题
1．信息破译：
①以速度v0斜向上抛出篮球做斜抛运动．
②恰好垂直击中篮板上A点篮球末速度水平．
2．模型建构：
可以采用“逆向思维”，又称“反向思维”，把斜抛运动的逆运动看作平抛运动．
[试解]　
1.若以抛出点为起点，取初速度方向为水平位移的正方向，在下列各图中，能正确描述做平抛运动的物体的水平位移x的图像是(　　)
2．一个人水平抛出一小球，球离手时的初速度为v0，落地时的速度是vt，空气阻力忽略不计．下列哪个图像正确表示了速度矢量变化的过程(　　)
3．[2022·广东卷]如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是(　　)
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
4．(多选)在警匪片中经常出现追缉镜头．如图所示为警察追逃犯时准备从一个屋顶水平跳出并落在另一栋建筑物的屋顶上的情景．如果在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s，下列关于他能否安全跳过去的说法中，正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．他能安全跳过去
B．他不可能安全跳过去
C．只有水平跳跃速度大于6.2 m/s才能安全跳过去
D．只要水平跳跃速度保持4.5 m/s就能安全跳过去
5．2022年2月3日晚，中国女足在女足亚洲杯半决赛中对阵日本女足，最终点球大战6比5战胜日本队，晋级决赛．如图所示是比赛中点球射门的场景．假设球员踢球后，足球从地面上的A点斜向上以速度v飞出，方向与水平方向成θ角，恰好从横梁下边缘B点水平进入球门，已知B点离地面的高度为h，不计足球在空中受到的阻力．下列不能表示足球从A点到B点的运动时间的是(　　)
A．t＝ B．t＝
C．t＝ D．t＝
6．[2023·江苏苏州高一期末]棒球运动是一项集智慧与勇敢、趣味与协作于一体的集体运动项目．如图所示，投手在A点将球抛向捕手，捕手预备在B点接球，击球员预备在C点用棒击球．已知A点离地面1.8 m，C点离地面1.0 m，A、B两点的水平距离为20 m．某次投手将球水平抛出，经0.5 s球到达B点(击球员未击中球)．棒球可看作质点，空气作用力不计，g取10 m/s2.求：
(1)棒球被抛出时的速度大小；
(2)棒球抛出后经过C点时的速度大小．
4．抛体运动的规律
导学　掌握必备知识
一、
1．v0　2.gt　3.
二、
1．v0t　2.gt2　3.　4.gt2　抛物线
三、
1．匀速直线　v0cos θ　2.v0sin θ
情境思考
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
共研　突破关键能力
目标一
　提示：(1)飞镖只受到重力作用，做平抛运动，加速度大小等于重力加速度大小，方向竖直向下．
(2)因飞镖的加速度为重力加速度，故飞镖的运动实质是匀变速曲线运动．
[例1]　解析：做平抛运动的物体除了受自身重力外，不受其他外力，A错误；平抛运动轨迹是抛物线，它的速度方向不断改变，物体的加速度是重力加速度，故平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，C正确；平抛运动的运动情况与物体的质量无关，在高度相同的情况下，初速度越大，落点就越远，D错误．
答案：C
[例2]　解析：从飞机上释放的四个物体，均做平抛运动，水平方向分速度与飞机速度相同，在空中始终位于飞机的正下方．竖直方向做自由落体运动，相邻两物体的高度差不相等．故A、C、D错误，B正确．
答案：B
目标二
提示：网球在空中运动的时间相同，但落地速度不同．
[例3]　解析：喷水的水平距离x＝v0t＝v0，v0一定，h越大，水喷得越远，选项A正确，B错误；h一定，v0越大，水喷得越远，选项C正确，D错误．
答案：AC
[例4]　解析：根据平抛运动规律可知，在竖直方向有
h＝gt2，解得t＝ .
由haxc，所以初速度va>vb>vc.
答案：B
[例5]　解析：(1)由h＝gt2得，所求时间
t＝ ＝10 s.
(2)救援物资落地时的水平位移
x＝vt＝1 000 m，
因为x－x0＝1 000 m－950 m＝50 m<100 m，
所以救援物资能落在AB区域内．
答案：(1)10 s　(2)见解析
目标三
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，初速度方向斜向上．
(2)不是．因为铅球在水平方向做匀速直线运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度．
[例6]　解析：不计空气阻力，A和B的加速度均等于重力加速度，故A错误；两球都做斜抛运动，竖直方向的分运动都是竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，两球上升和下落所用的时间相等，而下落过程，由t＝ 知，下落时间相等，则两球飞行的时间相等，故B错误；两球的飞行时间相等，A的水平位移小于B的水平位移，则A的水平速度小，小球在最高点时只有水平速度，故在最高点时A的速度比B的速度小，故D错误；落地时，由vy＝知，A和B的竖直分速度一样大，B的水平分速度比A的水平分速度大，根据v＝可知，B落地时的速度比A落地时的速度大，故C正确．
答案：C
[例7]　解析：篮球垂直击中A点的逆过程是平抛运动．竖直方向篮球做自由落体运动，高度不变，则运动时间不变，竖直方向的末速度也不变．当平抛运动的水平速度越大时，水平位移越大，抛出后落地速度越大，则与水平面的夹角越小．同理，若水平速度减小，则落地速度变小，但与水平面的夹角变大．因此只有增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ(初速度与水平方向夹角)，才能仍垂直打到篮板上．
答案：见解析
精练　落实学科素养
1．解析：做平抛运动的物体的水平位移为x＝v0t，则水平位移x的图像为一次函数．故选C.
答案：C
2．解析：小球水平抛出后，只受到重力作用，所以水平方向上速度不变，将保持匀速直线运动；竖直方向上在重力作用下速度逐渐增大，做匀加速直线运动．所以任意两个时刻的水平分速度之差为零，竖直分速度之差为Δv＝gΔt，方向沿着竖直方向向下．故选B.
答案：B
3．解析：因为子弹水平射出后做平抛运动，小积木做自由落体运动，二者竖直方向运动状态相同，所以子弹将击中P点．子弹水平方向做匀速直线运动，由L＝vt可得t＝，B项正确．
答案：B
4．解析：警察离开屋顶做平抛运动，在竖直方向，由h＝gt2可得t＝1 s，水平位移x＝v0t＝4.5 m<6.2 m，他不能安全跳过去，A错误，B正确；两栋建筑物的水平间距为6.2 m，如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应大于＝＝6.2 m/s，C正确，D错误．
答案：BC
5．解析：足球从A点以速度v飞出，足球的水平初速度为vx＝v cos θ，竖直初速度vy＝v sin θ，恰好从横梁下边缘B点水平进入球门，由逆向思维可得，足球相当于从B点以速度v cos θ水平抛出，到达A点时，下落高度为h，竖直方向速度为v sin θ，竖直方向上做自由落体运动，根据y＝t可得，运动时间为t＝＝，故A正确，不符合题意，B错误，符合题意；竖直方向有vy＝gt，可得飞行时间为t＝＝，故C正确，不符合题意；竖直方向有y＝gt2，可得飞行时间为t＝ ＝ ，故D正确，不符合题意．故选B.
答案：B
6．解析：(1)棒球做平抛运动，从A点到B点，水平方向做匀速直线运动，则xAB＝v0tAB，
解得v0＝40 m/s.
(2)依题意，棒球从A点到C点的竖直高度差为hAC＝1.8 m－1.0 m＝0.8 m，
则棒球在C点的竖直分速度大小为vy＝＝4 m/s，
所以棒球抛出后经过C点时的速度大小v＝＝4 m/s.
答案：(1)40 m/s　(2)4 m/s第五章素养综合评价
(时间：75分钟　满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分，每小题只有一个选项符合题意．)
1．[2023·广东东莞高一检测]如图，某同学春节期间去滨江湿地公园玩，向河中抛出一石块．下列有关说法正确的是(　　)
A.石块速度的大小不变，速度方向时刻发生变化
B．石块加速度的方向时刻改变，且加速度方向一定沿曲线每一点的切线方向
C．石块速度方向和加速度方向，始终在曲线每一点的切线方向上
D．石块的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线上
2.
导弹轨迹十分复杂，如图是分析导弹工作时的轨迹示意图，其中弹头的速度v与所受合外力F关系正确的是(　　)
A．图中A点
B．图中B点
C．图中C点
D．图中D点
3．如图所示，下雨天，地面观察者看到雨滴竖直下落时，坐在匀速行驶的火车的车厢里的乘客看到的雨滴(　　)
A．向前运动B．向后运动
C．倾斜落向前方D．倾斜落向后方
4．某射箭运动员在练习射箭时，箭水平射出的位置到靶的水平距离为18m，到靶心的竖直高度为0.45m．忽略空气阻力，将箭看作质点，重力加速度为10m/s2.如果箭射中靶心，则箭射出的速度大小为(　　)
A.30m/s
B．40m/s
C．50m/s
D．60m/s
5.
如图所示，滑块a、b用绳跨过定滑轮相连，a套在水平杆上．现使a以速度v从P位置匀速运动到Q位置，则滑块b(　　)
A．做匀速运动，速度大于v
B．做减速运动，速度小于v
C．做加速运动，速度小于v
D．做加速运动，速度大于v
6.
如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．a和b的初速度大小之比为∶1
B．a和b在空中运动的时间之比为2∶1
C．a和c在空中运动的时间之比为∶1
D．a和c的初速度大小之比为2∶1
7．如图所示，美洲狮是一种凶猛的食肉猛兽，在跳跃方面有着惊人的“天赋”．某次捕猎中，它“厉害地一跃”：水平移动距离为13.2m，竖直高度达到了3.3m．不计空气阻力，将美洲狮视为质点，则美洲狮(　　)
A．在空中的时间约为0.8s
B．落地时速度与地面成30°角
C．落地时速度与地面成45°角
D．全程速度偏转角的正切值为1
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)
8．如图所示，一条小船过河，河宽d＝120m，河水流速v1＝3m/s，船在静水中速度v2＝4m/s.关于小船的运动，以下说法正确的是(　　)
A．小船合运动的速度大小一定是5m/s
B．小船渡河的最短时间为30s
C．小船若以最短时间渡河，则其实际运动轨迹与河岸垂直
D．小船实际运动的最短位移是120m
9．将一小球以水平速度v0＝10m/s从O点向右抛出，经s小球恰好垂直落到斜面上的A点，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示．不计空气阻力，g取10m/s2.以下判断正确的是(　　)
A．斜面的倾角是30°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度是15m
C．若将小球以水平速度v′0＝5m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v′0＝5m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处
10．[2023·安徽高一期中]2022年北京冬奥会跳台滑雪项目在张家口的国家跳台滑雪中心举行．国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”．滑雪轨道由斜面与水平面连接而成，运动员从O点以一定的初速度水平滑出，过一段时间后运动员落在倾斜轨道上的A点．若运动员改变水平滑出的初速度，就会落在倾斜轨道上的B点．已知OA＝AB，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．运动员到达A、B两点时速度方向不同
B．运动员从O点出发分别到达A、B两点过程中速率增加量之比为1∶
C．运动员从O点出发分别到达A、B两点所用的时间之比为1∶
D．运动员从O点出发分别到达A、B两点过程中速度增加量之比为1∶2
三、非选择题(本题共5小题，共54分．按题目要求作答，计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位．)
11．(7分)某同学用如图甲、乙所示装置研究平抛运动的特点．
(1)如图甲所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，P球沿水平方向抛出，做平抛运动，同时O球被释放，做自由落体运动．分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复实验．发现两个小球总是同时落地，该现象说明________________________________________________________________________．
(2)在图乙所示的实验装置中，钢球从斜槽M上释放，飞出后做平抛运动．在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板N，钢球飞出后落在挡板上．实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上．钢球落到挡板上后，就会挤压复写纸，在白纸上留下印迹．上下调节挡板，多次实验，就会在白纸上记录钢球运动轨迹上的多个位置．最后用平滑曲线将这些印迹连接起来，就可得到钢球做平抛运动的轨迹．图丙所示为得到的一条轨迹，取抛出点为坐标原点O建立直角坐标系，在轨迹上取A、B、C三个点，相邻两点间的水平和竖直距离分别为x1、y1，x2、y2，x3、y3.
①本实验在操作过程中应注意的事项有________________________________________________________________________．(至少写出两条)
②根据图甲实验的结论，取A、B、C三个点时在竖直方向上应满足________________________________________________________________________，
若水平方向上满足________________，说明________________________________________________________________________．
12.
(9分)[2023·江苏苏州实验中学高一开学考试]如图为研究平抛运动的实验装置，在实验过程中A球在斜槽末端水平抛出时撞开轻质接触式开关(未画出)，被电磁铁吸住的B球同时在等高位置自由下落，借助频闪相机记录两个小球下落过程中的位置．
(1)频闪相机记录A、B两球在下落过程中不同时刻的位置，关于该实验的原理或现象，下列说法正确的是________．(填标号)
A．该实验用比较的方法来探究A球在竖直方向上的分运动规律
B．该实验用测量的方法来探究A球在竖直方向上的分运动规律
C．从实验现象中可以得出A球在竖直方向上的分运动是自由落体运动
D．从实验现象中可以得出A球在竖直方向上的分运动是匀速直线运动
(2)根据两球各自的运动特点，判断两球在到达水平槽之前是否发生了碰撞？________(填“是”或“否”).
(3)利用频闪相片研究A球的平抛运动，将坐标原点设在球所在的球心位置A0，建立以水平向右为x轴，竖直向下为y轴的坐标系，测量并记录A1的坐标为(x1，y1)，A2的坐标为(x2，y2).若小球A在水平方向上做匀速直线运动，则x1和x2的数值关系应为____________．利用得到的数据可以计算出频闪周期T＝________________．(已知当地重力加速度为g，结果用x1、y1、y2表示)
13．(10分)一个质量为2kg的物体在多个水平面内的恒定外力F1、F2、F3……作用下以v0＝20m/s的速度在光滑水平地面上做匀速直线运动，v0与x轴正方向成30°角，其中F1的大小等于10N，方向与y轴正方向相同，如图所示(图中只标出了F1，其他力未标出).某时刻撤去F1，求：
(1)撤去F1多长时间后物体速度最小？
(2)撤去F1后物体速度的最小值是多少？
14．(12分)如图所示为直升机运送救灾物资的情形，直升机下面用绳子悬吊着质量为m的箱子(箱子可以视为质点).直升机在水平方向上做直线运动，绳子与竖直方向的夹角始终为30°，箱子离地面的高度为h，直升机的质量为M，重力加速度为g，不计空气对箱子的作用力．(结果用根式表示)
(1)求直升机的加速度大小；
(2)当直升机的速度大小为v时，绳子断开，直升机仍以原加速度沿水平方向做加速直线运动．求箱子落地时，箱子与直升机间的水平距离．
15．(16分)“智勇大冲关”最后一关有如图所示的滑道，冲关者坐上坐垫从A点静止开始沿倾斜直轨道AB滑下，斜道倾角θ＝37°，离B点很近处衔接一长L＝2m的水平传送带，B与C两点可认为平滑衔接(速度大小不变)，A点距传送带的垂直距离为h＝2.4m，冲关者经C点到D点后被水平抛出，落在水面上一点E.已知传送带末端距水面高度H＝0.8m，坐垫与AB倾斜直轨道间的动摩擦因数为μ1＝0.5，坐垫与传送带间的动摩擦因数为μ2＝0.2.(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2)求：
(1)冲关者到达B点时的速度大小；
(2)如果传送带不动，求冲关者冲过D点后的平抛水平射程；
(3)如果传送带沿顺时针方向转动，并且速度有3m/s、6m/s两个挡位可调，分别求出两个挡位下的平抛水平射程．
第五章素养综合评价
1．答案：D
2．答案：D
3．解析：坐在车厢中的乘客看到雨滴不仅仅在下落，还在向后退，即既有向下的速度，又有向后的速度，根据平行四边形法则进行合成，合速度的方向向后方倾斜，所以乘客看到雨滴倾斜落向后方，故选D.
答案：D
4．解析：箭射出后做平抛运动，在竖直方向有t＝＝0.3s，在水平方向有x＝v0t，代入数据可得v0＝60m/s，故选D.
答案：D
5．解析：对a的速度进行分解，如图所示．由沿绳的方向速度相等可得，滑块b的速度大小vb＝v1＝vsinθ，a以速度v从P位置匀速运动到Q位置过程中，θ增大，则vb增大，滑块b做加速运动，但是由于sinθ<1，所以vb答案：C
6．解析：根据t＝可知，a和b在空中运动的时间之比为∶1，再根据v＝可知，a和b的初速度大小之比为1∶，A、B错误；根据t＝可知，a和c在空中运动的时间之比为∶1，再根据v＝可知a和c的初速度大小之比为∶1，C正确，D错误．
答案：C
7．解析：如图所示，由斜上抛的对称性可知，美洲狮上升与下降的时间相同，
由h＝gt2可得，美洲狮下降时间为t＝＝s≈0.8s，故美洲狮在空中的时间约为1.6s，故A错误；从起点A到最高点B可看作平抛运动的逆过程，如图所示，美洲狮初速度方向与水平方向夹角的正切值tanα＝2tanβ＝2×＝1，故由斜上抛的对称性可知，落地时速度与地面成45°角，全程速度偏转角为90°，故B、D错误，C正确．故选C.
答案：C
8．解析：船在河中的实际速度与船头的指向有关，符合平行四边形定则，故运动速度有多种可能，故选项A错误；要使船渡河时间最短，船头应正对河岸前进，故渡河最短时间为t＝＝s＝30s，故选项B正确；若以最短时间渡河，即船头垂直河岸，则其实际运动轨迹与河岸不垂直，故选项C错误；因船速大于水速，则当船的合速度正对河岸时，船垂直河岸过河，此时最短位移是120m，故选项D正确．
答案：BD
9．解析：设斜面倾角为θ，对小球在A点的速度进行分解，有tanθ＝，解得θ＝30°，A项正确；小球到过A点水平面的距离为h＝gt2＝15m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15m，B项错误；若小球的初速度为v′0＝5m/s，过A点作水平面，小球落到该水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10m/s，抛出时落到该水平面的水平位移的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P、A之间，C项正确，D项错误．
答案：AC
10．解析：运动员到达A、B两点时，位移方向与水平方向夹角均为θ，根据平抛运动规律有tanα＝2tanθ，可知速度偏转角α相同，故运动员到达A、B两点时速度方向相同，A错误；运动员从O点出发分别到达A、B两点过程中竖直位移yA∶yB＝1∶2，根据y＝gt2可知，运动员从O点出发分别到达A、B两点过程中所用时间之比为tA∶tB＝1∶，故C正确；运动员从O点到达A、B两点时速度增加量为Δv＝gt，则ΔvA∶ΔvB＝1∶，故D错误；运动员到达A点时，竖直方向速度vyA＝gtA，则水平方向速度vxA＝，合速度大小vA＝，则从O点到达A点过程中速率增加量Δv′A＝vA－vxA＝gtA，同理可得从O点到达B点过程中速率增加量Δv′B＝gtB(－)，结合C项分析可知，Δv′A∶Δv′B＝1∶，故B正确．
答案：BC
11．解析：(1)沿水平方向弹出的小球和自由下落的小球同时落地，可知平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动．
(2)①为了能画出钢球做平抛运动的轨迹，首先要保证钢球做的是平抛运动，所以斜槽轨道不一定要光滑，但末端必须是水平的，同时要让钢球每次都从同一位置由静止释放，这样才能找到同一运动轨迹上的几个点．
②根据图甲的结论可知，平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，根据连续相等时间内，位移之比为1∶3∶5∶…，可知取A、B、C三个点时，在竖直方向上应满足y1∶y2∶y3＝1∶3∶5，若水平方向上满足x1＝x2＝x3，则说明平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动．
答案：(1)平抛运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动
(2)①斜槽轨道末端水平、钢球从同一位置由静止释放　
②y1∶y2∶y3＝1∶3∶5　x1＝x2＝x3　平抛运动在水平方向上的分运动为匀速直线运动
12．解析：(1)A球做平抛运动，B球做自由落体运动．将球A的运动沿水平方向和竖直方向正交分解，在下落过程中发现A、B两个小球下落的高度总是相等的，即A球的竖直分运动与B球的完全相同，说明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动．故选A、C.
(2)B球做自由落体运动，根据相机记录的图像可知，B球在到达B3位置时偏离了原来的竖直方向，说明在该时刻前两小球已发生碰撞，故两小球在到达水平槽之前已发生了碰撞．
(3)因为频闪时间相同，小球A在水平方向做的是匀速直线运动，则相等的时间内位移相等，则x1和x2的数值关系应为x2＝2x1，在竖直方向上Δy＝gT2＝(y2－y1)－y1，则有T＝.
答案：(1)AC　(2)是　(3)x2＝2x1　
13．解析：(1)将速度沿着坐标轴方向分解，未撤去F1时，沿着y轴方向分速度vy＝v0sin30°＝20×m/s＝10m/s
撤去F1后加速度大小a＝＝m/s2＝5m/s2
设经过时间t物体速度最小，此时沿着y轴方向分速度等于零，则t＝＝s＝2s.
(2)撤去F1后物体速度的最小值等于速度沿x轴方向的分量，即vx＝v0cos30°＝20×m/s＝10m/s.
答案：(1)2s　(2)10m/s
14．解析：(1)箱子与直升机的加速度相同，设为a，对箱子进行研究，由牛顿第二定律有mgtan30°＝ma
解得a＝g.
(2)绳子断开后箱子做平抛运动，有h＝gt2
从绳子断开到箱子落地，直升机运动的水平距离
x1＝vt＋at2
箱子在水平方向运动的距离x2＝vt
箱子落地时与直升机间的水平距离x＝x1－x2
解得x＝h.
答案：(1)g　(2)h
15．解析：(1)在倾斜直轨道AB上运动时，对人与坐垫进行分析，由牛顿第二定律有mgsin37°－μ1mgcos37°＝ma1，解得a1＝2m/s2
又由v＝2a1xAB，xAB＝＝4m，
解得vB＝＝4m/s
(2)若传送带不动，则从C到D有a2＝μ2g＝2m/s2，vB＝vC
由02－v＝2(－a2)x，可得x＝4m>L，
所以从C到D的过程中，冲关者一直减速，
由v－v＝2(－a2)L，解得vD＝2m/s
过D点后做平抛运动，t＝＝0.4s，
则水平射程x′＝vDt＝m
(3)当传送带速度为v1＝3m/s时，从C到D过程先减速到3m/s后匀速，即v′D＝3m/s
则水平射程x1＝v′Dt＝1.2m.
当传送带速度为v2＝6m/s时，
从C到D过程一直加速，
由v″－v＝2a2L，
得v″D＝2m/s，则水平射程x2＝v″Dt＝m.
答案：(1)4m/s　(2)m　(3)1.2m　m拓 展 课1　运动的合成与分解的两个模型
素养·目标要求
1．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题．
2．会分析小船渡河问题的两个分运动，会求最短时间和最短位移问题．
3．建立小船渡河模型的一般思路和解法．
4．能利用运动的合成与分解的知识，分析关联速度问题．
5．建立常见的绳关联模型和杆关联模型．
拓展一　小船渡河模型
【导思】
如图所示为一条宽为d的河，小明驾着小船从码头A出发，欲将一批货物运送到对岸的码头B.已知河水流速为v水，小船在静水中的航速为v船．
(1)渡河过程中，小船参与了哪两个分运动？
(2)怎么求解小船渡河过程所用的时间？小船如何渡河时间最短？最短时间为多少？此时渡河位移为多大？
(3)小船如何渡河才能使渡河位移最小？最小位移为多大？
(4)小船渡河时间的长短与水流速度是否有关？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．模型条件
(1)小船同时参与两个匀速直线运动．
(2)一个分运动(水的运动)速度大小和方向保持不变，另一个分运动(船在静水中的运动)速度大小不变，方向可在一定范围内变化．
2．三个速度
(1)分速度v水：水流的速度．
(2)分速度v船：船在静水中的速度．
(3)合速度v：表示船的实际航行的速度．
3．两类问题、三种情景
类型 矢量图解 过河方法
渡河 时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头朝向上游与河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船【典例】
例 1 小船在200 m宽的河中航行，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s.已知cos 53°＝.若小船在河中垂直于河岸航行，小船将在何时、何处到达对岸？
迁移拓展1　要使小船航程最短，应如何航行？历时多久？
迁移拓展2　小船怎样过河用时最短？过河的最短时间为多少？
迁移拓展3　若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样过河才能使船沿河岸方向航行的距离最小？该最小距离是多少？
小船渡河问题的分析思路
拓展二　关联速度模型
【导思】
如图所示，岸上的小车A以速度v匀速向左运动，绳跨过光滑轻质定滑轮和小船B相连．
(1)在相等的时间内，小车A和小船B运动的位移相等吗？
(2)小车A和小船B某一时刻的速度大小相等吗？如果不相等，哪个速度大？
(3)从运动的合成和分解的角度看，小船上P点的速度可以分解为哪两个分速度？
(4)若某时刻连接船的绳与水平方向的夹角为α，则船的速度是多大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．“关联”速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动．一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度．
2．“关联”速度分解的步骤
(1)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向．
(2)确定合运动的两个效果．
(3)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系．
【典例】
例 2 (多选)如图所示，一条细绳跨过光滑轻定滑轮连接物体A、B，物体A悬挂起来，物体B穿在一根水平杆上．若物体B在水平外力作用下沿杆匀速向左运动，速度大小为v，当绳与水平杆间的夹角为θ时，下列判断正确的是(　　)
A．物体A的速度大小为
B．物体A的速度大小为v cos θ
C．细绳的张力等于物体A的重力
D．细绳的张力大于物体A的重力
例 3 (多选)如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和小球B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L.由于微小的扰动，A球沿竖直滑槽向下运动，B球沿水平滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时(图中未标出)，关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是(　　)
A．若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
B．若θ＝45°，则A、B两球的速度大小相等
C．vA＝vB tan θ
D．vA＝vB sin θ
拓展课1　运动的合成与分解的两个模型
拓展一
　提示：(1)①船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同．
②船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．
(2)水流速度始终沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，可用河的宽度除以垂直于河岸方向的速度得出过河时间．因此，若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
(3)情况一：v水最短的位移为河宽d，此时合速度垂直于河岸．船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图所示．渡河所用时间t＝.
情况二：v水>v船
如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
(4)无关．
[例1]　解析：小船的实际运动是小船在静水中的运动与船随水漂流运动的合运动，分运动与合运动具有等时性．因此，小船渡河时间等于垂直于河岸方向运动的时间，即
t＝＝ s＝50 s.
小船沿水流方向的位移s＝v水t＝2×50 m＝100 m.
故小船将在50 s后到达河对岸下游100 m处．
答案：50 s后　河对岸下游100 m处
迁移拓展1　解析：
要使小船到达正对岸，船的合速度v应垂直于河岸，如图所示．
则cos θ＝＝＝，
故θ＝60°，
即船的航向与河岸成60°角，偏向河流上游．
过河时间t1＝＝ s＝ s.
答案：船的航向与河岸成60°角，偏向河流上游　 s
迁移拓展2　解析：
考虑一般情况，设船头与河岸成任意角θ′，如图所示．船的过河时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥，v⊥＝v船sin θ′，故小船过河时间为t2＝＝ s．当θ′＝90°时，t2最小，即船头与河岸垂直时，过河时间最短，最短时间为＝50 s.
答案：船头与河岸垂直　50 s
迁移拓展3　解析：
因为v′船cos β＝＝，船头与河岸的夹角β＝53°.又＝＝，代入数据解得x′＝267 m．即船头与河岸成53°角，偏向上游时，沿河岸方向航行的距离最小，最小距离为267 m.
答案：船头与河岸成53°角，偏向上游　267 m
拓展二
　提示：(1)不相等．船的位移x船大于车的位移x车＝l1－l2.
(2)不相等，船的速度大于车的速度．
(3)P点速度可以分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度．
(4)由v＝v船cos α得v船＝.
[例2]　解析：将物体B的速度按图示两个方向分解，如图所示．
物体A的速度等于沿绳方向的速度，则有vA＝v cos θ，故A错误，B正确；物体B向左匀速运动，则θ减小，cos θ增大，故vA增大，即A向上做加速运动，细绳的张力大于物体A的重力，故C错误，D正确．故选B、D.
答案：BD
[例3]　解析：当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知(如图所示)，沿杆方向两分速度相等，vA cos θ＝vB sin θ，即vA＝vB tan θ.当θ＝45°时，vA＝vB.
答案：BC拓 展 课2　平抛运动的两个重要推论
素养·目标要求
1．进一步熟练运用平抛运动规律解决相关问题．
2．会应用平抛运动的重要推论解决相关问题．
拓展　平抛运动两个推论的应用
【导思】
(1)如图，以初速度v0水平抛出的物体，经时间t后速度方向和位移方向相同吗？分别求出两者与水平方向夹角的正切值并比较有什么关系．
(2)结合以上结论观察速度反向延长线与x轴的交点，你有什么发现？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．推论一：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与水平方向的夹角分别为θ、α，都有tan θ＝2tan α.
2．推论二：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
【典例】
例 1[2023·河北张家口期末](多选)2022年2月15日，在北京冬奥会自由式滑雪女子坡面障碍技巧赛中，中国运动员谷爱凌摘得银牌．如图所示，运动员从跳台a处以初速度v0沿水平方向飞出，落在斜坡上某点b处．将斜坡等效成一个与水平面的夹角为30°的斜面，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.运动员在空中运动时间与初速度v0成正比
B．a、b两点间的水平距离与初速度v0的大小成正比
C.a、b两点间的竖直距离与初速度v0的二次方成正比
D．运动员落在斜坡上的速度方向与水平方向的夹角与v0的大小无关
例 2 如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R.一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，下列判断正确的是(　　)
A．v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长
B．即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向的夹角也相同
C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环
例 3 一学生用两个颜色不同的篮球做斜抛运动游戏，如图所示．第一次出手，红色篮球的初速度与竖直方向的夹角为α＝60°；第二次出手，橙色篮球的初速度与竖直方向的夹角为β＝30°.两次出手的位置在同一竖直线上，结果两篮球正好到达相同的最高点C，则红色篮球、橙色篮球运动的高度之比为(　　)
A．B．C．D．
拓展课2　平抛运动的两个重要推论
　提示：(1)不相同．
由题图知，tan θ＝＝，
tan α＝＝＝，
所以tan θ＝2tan α.
(2)xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，vx＝v0，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
[例1]　解析：设运动员落到斜坡上的时间为t，位移与水平方向夹角为30°，则tan 30°＝＝，解得t＝，故A正确；a、b两点间的水平距离为x＝v0t＝，故B错误；a、b两点间的竖直距离为h＝gt2＝，故C正确；运动员落在斜坡上的速度方向与水平方向的夹角θ的正切值等于位移与水平方向夹角α的正切值的2倍，即tan θ＝2tan α，则运动员落在斜坡上的速度方向与水平方向的夹角与v0的大小无关，故D正确．
答案：ACD
[例2]　解析：小球落在环上的最低点C时，所用时间最长，所以选项A错误；由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球落到环上时的位移方向与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向的夹角不相同，选项B错误；小球撞击半圆环时，速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，故不可能过圆心，则无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环，故选项D正确，C错误．
答案：D
[例3]　解析：两个不同颜色的篮球做斜抛运动，经过相同的最高点，可将其逆运动看成水平向左的平抛运动，运动轨迹如图所示．两平抛运动的水平位移相同，设为x，速度的反向延长线均过水平位移的中点，相交于同一点．
设两球下落的高度分别为h1、h2，则
tan α＝，tan β＝，
解得＝＝，B选项正确．
答案：B拓 展 课3　与斜面、曲面相结合的平抛运动
素养·目标要求
1．进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点．
2．熟练运用平抛运动规律解决相关问题．
拓展一　与斜面有关的平抛运动
【归纳】
模型的特点及分析方法
【典例】
例 1 如图所示，同样高度的两个斜面，倾角分别为37°和53°，在顶点有两个小球A、B以同样大小的初速度v0分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球运动时间之比为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
A．1∶1 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16
例 2 抛石机是古代远程攻击的一种重型武器，某同学制作了一个简易模型，如图所示．支架固定在地面上，O为转轴，轻质硬杆A端的凹槽内放置一石块，B端固定重物．为增大射程，在重物B上施加一向下的瞬时作用力后，硬杆绕O点在竖直平面内转动．硬杆转动到竖直位置时，石块立即被水平抛出，水平抛出的速度为9，石块直接击中前方倾角为15°的斜坡，且击中斜坡时的速度方向与斜坡成60°角，重力加速度为g，忽略空气阻力影响．求：
(1)石块击中斜坡时的速度大小；
(2)石块抛出后在空中运动的水平距离．
平抛运动问题的解题技巧
拓展二　与曲面有关的平抛运动
【归纳】
1．曲面对平抛运动约束的常见情境
(1)给出末速度方向
(2)给出位移方向
2．基本求解思路
(1)给出末速度方向
①画速度分解图，确定速度与水平方向的夹角θ；
②根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy；
③根据tan θ＝列方程求解．
(2)给出位移方向
①画位移分解图，确定位移与水平方向的夹角α；
②根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y；
③根据tan α＝列方程求解．
【典例】
例 3 (多选)如图所示，地面上固定有一半径为R的半圆形凹槽，O为圆心，AB为水平直径．现将小球(可视为质点)从A处以初速度v1水平抛出后恰好落到D点．将该小球从A处以初速度v2水平抛出后恰好落到C点，C、D两点等高，OC与水平方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　)
A．小球从开始运动到落到凹槽上，前后两次的时间之比为1∶2
B．v1∶v2＝1∶3
C．小球从开始运动到落到凹槽上，前后两次速度的变化量相同
D．小球从开始运动到落到凹槽上，前后两次的平均速度大小之比为1∶2
例 4 (多选)如图所示，在水平放置的半径为R的圆柱体竖直轴线正上方的P点，将一个小球以水平速度v0垂直于圆柱体竖直轴线抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体表面上的Q点沿切线飞过，测得O、Q连线与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，那么小球完成这段飞行的时间是(　　)
A．B．
C．D．
拓展课3　与斜面、曲面相结合的平抛运动
拓展一
[例1]　解析：结合平抛运动知识，A球满足tan 37°＝，B球满足tan 53°＝，则t1∶t2＝9∶16.故D选项正确．
答案：D
[例2]　
解析：(1)设石块击中斜坡时的速度为v′，将v′分解如图所示．
根据几何知识得cos 45°＝，解得v′＝9.
(2)根据几何知识得tan 45°＝，
根据运动学公式得vy＝gt，x＝v0t，
联立解得x＝81L.
答案：(1)9　(2)81L
拓展二
[例3]　解析：平抛运动的竖直方向是自由落体运动，两次落到同一高度，因此运动时间相同，A错误；由几何关系可知，OD与水平方向夹角也为60°，第一次水平位移x1＝R(1－cos 60°)＝R，第二次水平位移x2＝R(1＋cos 60°)＝R，由于运动时间相同，因此＝＝，B正确；由于两次运动的加速度相同，运动时间相同，因此速度变化量相同，C正确；第一次位移s1＝R，第二次位移s2＝R，平均速度等于位移与时间之比，由于运动时间相同，因此平均速度之比为1∶，D错误．
答案：BC
[例4]　解析：
小球做平抛运动，设小球到达Q点时的速度为v，竖直方向上的分速度为vy，如图所示，则小球从P点到Q点在水平方向上的位移为x＝R sin θ，速度v的方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，根据运动规律得vy＝gt，x＝v0t，联立以上各式解得t＝或t＝，故选项B、C正确．
答案：BC拓 展 课4　平抛运动的临界问题、类平抛运动
素养·目标要求
1．熟练运用平抛运动规律分析解决平抛运动的临界问题．
2．掌握类平抛运动的特点，能用平抛运动的分析方法分析类平抛运动．
拓展一　平抛运动中的临界或极值问题
【归纳】
1．常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点；
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点；
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在极值点，这个极值点往往是临界点．
2．分析平抛运动中临界或极值问题思路
(1)确定运动性质；
(2)分析临界条件；
(3)确定临界状态，并画出轨迹示意图；
(4)灵活运用数学知识分析求解有关临界或极值问题．
【典例】
例 1 (多选)如图所示，一艘小船正沿垂直于河岸的直线靠岸，岸上的人若找准时机，水平抛出一个小球，就能将球抛入小船内．假设小球和小船在同一平面内运动．已知抛球点与小船甲板面竖直高度差h＝5 m，小船的长度为1 m．当小船运动至距离河岸L＝22 m处时，小船的速度v0＝10 m/s，其将以大小为a＝2 m/s2的加速度向河岸做匀减速运动，同时河岸上的人将手上的小球水平抛出，结果小球落入小船中．重力加速度g取10 m/s2，小球大小和空气阻力可忽略不计，则小球抛出时的初速度大小可能为(　　)
A．12 m/s B．13.5 m/s
C．13.8 m/s D．15 m/s
例 2 如图所示，排球比赛中，某队员在距网水平距离为4.8 m、距地面3.2 m高处(O点正上方)将排球沿垂直于网的方向以16 m/s的速度水平击出．已知网高2.24 m，排球场地长18 m，重力加速度g取10 m/s2，可将排球视为质点．下列判断正确的是(　　)
A．球不能过网
B．球落在对方场地内
C．球落在对方场地底线上
D．球落在对方场地底线之外
拓展二　类平抛运动
【归纳】
1．类平抛运动
有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直于匀速直线运动的方向上做初速度为零的匀加速直线运动．对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动．
2．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向垂直．
3．研究方法：运动的分解
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿合外力方向的初速度为零的匀变速直线运动．
4．运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2.
5．类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别在于
(1)运动平面不同：类平抛运动→任意平面；平抛运动→竖直面．
(2)初速度方向不同：类平抛运动→任意方向；平抛运动→水平方向．
(3)加速度不同：类平抛运动→a＝，与初速度方向垂直；平抛运动→重力加速度g，竖直向下．
【典例】
例 3 (多选)一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面．下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为g sin θ
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0
拓展课4　平抛运动的临界问题、类平抛运动
拓展一
[例1]　解析：由题意可得，小球从抛出到落入小船所用时间为t＝ ＝1 s．设小球抛出时的初速度为v，则小球的水平位移为x1＝vt，小船向左运动的位移为x2＝v0t－at2＝9 m，当小球恰好落入小船左端时，满足x1＋x2＝L，解得v1＝13 m/s；当小球恰好落入小船右端时，满足x1＋x2＝L＋l船，解得v2＝14 m/s.所以小球抛出时的初速度大小范围为13 m/s≤v≤14 m/s.故选B、C.
答案：BC
[例2]　解析：由题意可得，排球刚好到达网正上方的时间为t＝＝ s＝0.3 s，此时间内排球下降的高度为h＝gt2＝0.45 m，因为Δh＝3.2 m－0.45 m＝2.75 m>2.24 m，所以排球能越过网．排球落到地面的时间为t′＝ ＝ s＝0.8 s，则排球落地时的水平位移大小为x′＝vt′＝16×0.8 m＝12.8 m．因为击球点到对方底线的水平距离为x″＝4.8 m＋9 m＝13.8 m>12.8 m，所以排球落在对方场地内．
答案：B
拓展二
[例3]　解析：小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，A正确；根据牛顿第二定律知，小球的加速度a＝＝g sin θ，B正确；小球在沿加速度方向上的位移为y0＝，根据y0＝at2解得运动时间t＝，C正确；小球在沿初速度方向上的位移为x＝v0t＝，小球在沿加速度方向上的位移的水平分位移为y＝y0cos θ＝，则小球在水平方向的总位移s＝>>v0，D错误．
答案：ABC第五章综合提升
知识网络构建
核心素养提升
情境1　风鼓车——科学思维
例 1[2023·四川成都七中高一下期中]图(a)是我国传统农具——风鼓车，图(b)是其工作原理示意图．转动摇柄，联动风箱内的风叶，向车斗内送风，入料仓漏口H漏出的谷物经过车斗．质量大于2.0×10－5kg的谷粒为饱粒，落入第一出料口A1B；质量为1.2×10－5～2.0×10－5kg的谷粒为瘪粒，落入第二出料口A2B；质量小于1.2×10－5kg的草屑被吹出出风口．已知A1、B、A2三点在同一水平线上，A1B的宽度为0.12 m；A1在H正下方，A1H的高度为0.4 m；质量为2.0×10－5kg的谷粒从H漏出，恰好经B点落入第二出料口．设谷物从H漏出时速度方向竖直向下，大小为1 m/s，谷粒在车斗内所受水平风力恒定，只考虑其所受重力和水平风力作用，取重力加速度g为10 m/s2.
(1)求谷粒从H落到出料口所经历的时间；
(2)求谷粒所受水平风力的大小；
(3)若瘪粒恰好能全部落入A2B，求A2B的宽度．
情境2　轰炸机——科学推理、模型建构
例 2 某地爆发危机，一架轰炸机前往执行轰炸任务．已知战机水平飞行并将无动力炸弹水平抛出，把炸弹的运动简化为平抛运动．已知防空雷达依次测得炸弹的三个坐标如图所示，其中第一个参数为炸弹距雷达站的水平距离，第二个参数为炸弹到地面的高度．若炸弹前进方向的目标区域依次有发电厂、空地和军火库，发电厂中心距雷达站1 000米，各目标范围为200 m．g取10 m/s2.
(1)求飞机速度大小．
(2)坐标C被测定后，雷达站立即向被轰炸目标发送预警信息，忽略发送信息及传播的时间．请问轰炸机的轰炸目标是哪个？他们还有多少时间撤离？
情境3　排球比赛——科学思维
例 3 排球场总长18 m，网高2.25 m，如图所示．在东京奥运会中国队对阵美国队的比赛中，从对面飞来的一球，刚好在3 m线正上方被朱婷击回．假设排球被击回的初速度方向是水平的，可认为排球被击回时做平抛运动．(g取10 m/s2)
(1)若击球的高度h＝2.5 m，球被击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不能出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根式表示)
(2)若运动员仍从3 m线处起跳，击球高度h满足一定条件时，无论球的水平速度多大，都会触网或越界，试求h满足的条件．
情境4　跳台滑雪——模型建构
例 4[2023·合肥高一检测]第24届冬奥会于2022年由北京和张家口两个城市联合举办，跳台滑雪是其中具有观赏性的项目之一，其空中翻转动作优美，深受观众喜爱．某滑道示意图由助滑道、直滑道、斜坡滑道、圆弧滑道组成，某运动员从助滑道某位置由静止开始下滑，到达起跳点O时借助设备和技巧，沿与水平方向成α＝37°角的方向起跳恰从B点沿切线进入圆弧滑道，实现完美一跃．已知O、B两点高度差为35 m，圆弧滑道圆心角β＝53°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，运动员在空中运动过程中可视为质点，忽略运动过程中空气的作用．求：
(1)O、B间的水平距离L的大小；
(2)运动员落到B点时速度的大小．
第五章综合提升
核心素养提升
[例1]　解析：(1)谷粒从H落到出料口的过程中，竖直方向做初速度为1 m/s的匀加速直线运动，有h＝v0t＋gt2，
将h＝0.4 m代入可得t＝0.2 s.
(2)质量为2.0×10－5 kg的谷粒，从H漏出恰好经B点落入第二出料口，
水平方向有x1＝at2，
设风力大小为F，由牛顿第二定律得F＝ma，
将x1＝0.12 m、t＝0.2 s、m＝2.0×10－5 kg代入，
联立解得F＝1.2×10－4 N.
(3)质量等于1.2×10－5 kg的瘪粒，恰好落到A2点，
设A2B宽度为x2，则有x1＋x2＝a′t2，F＝m′a′，联立解得x2＝0.08 m.
答案：(1)0.2 s　(2)1.2×10－4 N　(3)0.08 m
[例2]　解析：(1)设飞机初速度为v0，炸弹运动至A点时，竖直方向速度为vy0，炸弹由A到B的运动时间为2t.
A、B间水平距离x1＝200 m，B、C间水平距离x2＝100 m，
则炸弹由B到C的运动时间为t，
A到B的竖直高度为h1＝，
A到C的竖直高度h2＝vy0·3t＋g(3t)2，
联立解得t＝1 s，vy0＝10 m/s.
飞机速度等于平抛运动的水平速度，即v0＝＝100 m/s.
(2)从A点到地面的高度为H＝，解得t1＝19 s.
A点到炸弹落地点的水平距离为x＝v0t1，解得x＝1 900 m.
又A点到雷达站的水平距离为2 900 m，即炸弹落地点到雷达站1 000 m，炸弹将落至发电厂．
设还有的撤离时间为t2，
则t2＝t1－3t＝16 s.
答案：(1)100 m/s　(2)发电厂　16 s
[例3]　解析：(1)设球以水平速度v1被击回，球正好落在底线上，则h＝，x＝v1t1，
将x＝12 m，h＝2.5 m代入，解得v1＝12 m/s，
设球以水平速度v2被击回，球正好触网，h′＝，x′＝v2t2，
将h′＝(2.5－2.25) m＝0.25 m，x′＝3 m代入，解得
v2＝6 m/s，
故球被击回的水平速度范围是6 m/s(2)若h较小，击球速度大，会越界，击球速度小，会触网．临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则有＝，h′＝h－2.25 m，解得h＝2.4 m．故当h≤2.4 m时，无论击球的速度多大，球都会触网或越界．
答案：(1)6 m/s[例4]　解析：(1)设运动员的起跳速度为v，
沿水平方向的分速度vOx＝v cos 37°，
沿竖直方向的分速度vOy＝v sin 37°，
运动员在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀变速直线运动，设到达B点时速度沿水平方向的分速度大小为vBx，沿竖直方向的分速度大小为vBy，则水平方向有
vBx＝vOx，L＝vOxt，
竖直方向有vBy＝－vOy＋gt，
h＝－vOyt＋gt2，
又由tan β＝，
联立解得L＝120 m，
vBx＝vOx＝24 m/s.
(2)设运动员落到B点时速度的大小为vB，
根据题意有vBx＝vB cos β，
解得vB＝40 m/s.
答案：(1)120 m　(2)40 m/s

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