资源简介

1．圆周运动
核心素养定位 物理观念 (1)认识圆周运动、匀速圆周运动的特点． (2)理解线速度的物理意义，知道匀速圆周运动中线速度的方向． (3)理解角速度的物理意义． (4)了解转速和周期的意义．
科学思维 (1)掌握线速度和角速度的关系． (2)能在具体的情境中确定线速度和角速度． (3)理解线速度、角速度、周期、转速等各量的相互关系．
科学态度与责任 会用描述匀速圆周运动的物理量分析有关问题；有主动将所学知识应用于日常生活的意识，既能在合作中坚持自己的观点，也能尊重他人．
一、线速度
1．定义：做圆周运动的物体在一段______的时间Δt内，通过的弧长Δs与这段时间Δt______叫作线速度．　 Δs是弧长，不是位移！
2．表达式：v＝________．
3．意义：线速度描述做圆周运动的物体沿圆周______的快慢．
　　线速度是瞬时速度，表示沿轨迹运动的快慢
4．方向：物体做圆周运动时该点的________方向．
　　　　　　　　　与半径垂直
5．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处________，这种运动叫作匀速圆周运动．准确的说法应是匀速率圆周运动
(2)性质：线速度的方向是时刻________的，所以是一种________运动．
二、角速度
1．定义：连接物体跟圆心的半径转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度．
2．表达式：ω＝．单位：弧度
3．单位：国际单位制中角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s或s－1.
4．物理意义：角速度是描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢．
　　　“转动”与“运动”是有区别的
三、周期
1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动________所用的________叫作周期，用T表示．周期也是常用的物理量，它的单位与时间的单位相同．
　　与角速度成正比
2．转速n：物体转动的________与所用时间之比．单位：____________或____________．
3．周期和转速的关系：T＝(n的单位为r/s时)．
4．匀速圆周运动是角速度________的圆周运动．
　　周期不变
四、线速度与角速度的关系
1．两者关系：在圆周运动中，线速度的大小________角速度大小与半径的乘积．
2．表达式：v＝________．
【情境思考】
如图是日常生活中常见到的圆周运动实例，请对以下结论作出判断．
(1)游乐场的摩天轮转动的线速度不变．(　　)
(2)吊扇正常工作时各扇叶的角速度相等．(　　)
(3)吊扇正常工作时扇叶上各点的线速度大小相等．(　　)
(4)吊扇正常工作时扇叶上各点的周期相等．(　　)
1　弧度的计算
用L表示弧长，r表示半径，则弧度θ＝.
例如，弧长为0.12 m，半径为0.1 m，
则圆心角θ＝ rad＝1.2 rad.
圆周角360°对应的弧长为2πr，
则圆心角为＝2π rad.
　圆周运动分类
(1)如图甲所示为匀速圆周运动．
(2)如图乙所示为变速圆周运动．
　角度、弧度的单位换算
度量角的大小的两种单位制
2　线速度与角速度的区别
如图是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，有如下关系．
(1)线速度关系：a、c两点在相等时间内转过的弧长相等，则线速度大小相等(va＝vc)，但方向不同；a、b两点的线速度方向相同，但大小不同(va>vb)．
(2)角速度关系：a、b、c三点在相等时间内半径转过的圆心角相等，三点角速度相同．
目标一　描述圆周运动的物理量及其关系
【导思】
打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技．篮球绕指尖所在的竖直轴旋转时：
(1)篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？
(2)线速度大小相同吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．描述圆周运动的物理量
线速度v＝＝
角速度ω＝＝
2．描述圆周运动的物理量之间的关系
(1)线速度与角速度的关系式：v＝ωr.
①当v一定时，ω与r成反比；
②当ω一定时，v与r成正比．
(2)线速度与周期、转速的关系式：v＝＝2πrn.
(3)角速度与周期、转速的关系式：ω＝＝2πn.
【典例】
例 1[2023·广东揭阳期中]如图所示为时钟面板，当时钟正常工作时，关于时针、分针和秒针的转动，下列判断正确的是(　　)
A．时针的角速度最大
B．秒针的角速度最大
C．时针尖端的线速度大于分针尖端的线速度
D．时针、分针、秒针的转动周期相等
例 2“南昌之星”摩天轮的转盘直径为153 m，转一圈的时间大约是30 min.乘客乘坐摩天轮观光时，其线速度大约为(　　)
A．5.0 m/s B．1.0 m/s
C．0.50 m/s D．0.25 m/s
例 3 水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明．如图为某水车模型，从槽口水平流出的水初速度大小为v0，垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，落点到轮轴间的距离为R.在水流不断冲击下，轮叶受冲击点的线速度大小接近冲击前瞬间水流速度大小，忽略空气阻力，重力加速度为g.有关水车及从槽口流出的水的以下说法正确的是(　　)
A．水流在空中运动时间为t＝
B．水流在空中运动时间为t＝
C．水车最大角速度接近ω＝
D．水车最大角速度接近ω＝
目标二　四种常见的传动装置
【导思】
(1)图甲、乙中A、B两点分别有什么物理量是相同的？
(2)图甲中B、C两点有什么物理量是相同的？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．共轴传动
做圆周运动的物体绕同一轴转动，各点的角速度ω相同，周期T和频率f也相同．如图甲所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，则当圆盘转动时，A点和B点的角速度、线速度、周期之间的关系为ωA＝ωB，＝，TA＝TB，并且转动方向相同．
2．皮带传动
如图乙所示，两个轮子用皮带连接，皮带不打滑，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点，则A、B两点线速度大小相同，vA＝vB，根据v＝ωr可知，＝，根据T＝＝可知，＝，两轮转动方向相同，即角速度的大小与半径成反比，周期与半径成正比．
3．齿轮传动
如图丙所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮啮合，则当齿轮转动时，A点和B点的线速度、角速度、周期之间的关系为vA＝vB，＝＝＝＝，式中N1、N2分别表示两齿轮的齿数，两点转动方向相反．
4．摩擦传动
如图丁、戊所示，两摩擦轮靠摩擦传动，A点和B点分别是两轮边缘上的点，传动时如果两摩擦轮在接触处没有相对滑动，则两轮在接触处的线速度大小相等，此时A点和B点的线速度、角速度、周期之间的关系为vA＝vB，＝＝.
【典例】
例 4 如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互啮合进行工作的，其简化原理图如图乙所示．A、B、C三点位于齿轮不同位置，已知2rC＝rA，rC＝rB.以下关于A、B、C三点的线速度大小v、角速度大小ω之间关系的说法正确的是(　　)
A．vAC．ωA>ωB，vB＝vC D．ωA<ωB，vB＝vC
例 5 如图所示，自行车后架上装有给车头灯供电的小发电机，小发电机的上端有一个摩擦小轮．行驶过程中，当需要小发电机向车头灯供电时，摩擦小轮压紧车轮，如图所示，此时摩擦小轮在自行车车轮摩擦力的作用下转动，发电机发电．已知此时摩擦小轮与自行车车轮之间不打滑，则下列说法正确的是(　　)
A．车轮转动角速度大于大齿轮转动角速度
B．车轮边缘的线速度等于小齿轮边缘的线速度
C．摩擦小轮转动角速度小于小齿轮转动角速度
D．摩擦小轮边缘的线速度小于大齿轮边缘的线速度
规律方法
解决传动问题的思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于共轴传动，则轮上各点的角速度相等．
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系．
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析；若角速度大小相等，则根据v∝r分析．
目标三　圆周运动的周期性造成的多解问题
【导思】
如图所示为飞镖游戏．
(1)对准A点就能在最高点直接射中A点吗？
(2)飞镖射中A点时，A点转动到哪个位置？
(3)飞镖射中A点时，A点一定转动半圈吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体．
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)．
(3)运动的关系：根据两物体运动的时间相等建立等式，求解待求物理量．
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点——时间相等．
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律．
(3)分析时注意两个运动是独立的，互不影响．
【典例】
例 6 (多选)如图所示，在水平匀速转动的圆盘圆心正上方一定高度处，若向同一方向以相同速度每秒均匀抛出N个小球，不计空气阻力，发现小球仅落在圆盘边缘，且共有6个均匀对称分布的落点，则圆盘转动的角速度可能是(　　)
A．πN rad/s B．πN rad/s
C．πN rad/s D．πN rad/s
例 7[2023·四川南充高一下期中]子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔(从A位置射入，B位置射出，如图所示)．OA、OB之间的夹角θ＝，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动(不考虑重力的作用)，则圆筒的转速可能是(　　)
A．20 r/s B．60 r/s
C．100 r/s D．140 r/s
1．[2023·泰安高一检测](多选)甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法正确的是(　　)
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
2．(多选)20世纪70年代我国农村常用辘轳浇灌农田，其模型图如图所示，细绳绕在半径为r的轮轴上悬挂一个水桶M，轮轴上均匀分布着6根手柄，柄端有6个质量均匀的小球m.小球离轴心的距离为R，轮轴、绳(极细)及手柄的质量以及摩擦均不计．当手柄匀速转动n周把水桶提上来时，下列说法正确的是(　　)
A.小球的角速度为2πn(rad/s)
B．轮轴转动的角速度等于小球转动的角速度
C．水桶的速度是小球转动线速度的
D．轮轴转动了nR周
3．[2023·河南平顶山高一期末]如图所示，车牌自动识别系统的闸杆可绕O在竖直面内转动．某汽车从自动识别线ab处运动到闸杆处的时间为4.5 s，自助识别系统的反应时间为0.5 s．如果汽车运动到闸杆位置时，闸杆刚好由水平位置转到竖直位置，则闸杆转动的平均角速度大小为(　　)
A． rad/s B． rad/s
C． rad/s D． rad/s
4．如图是一种新概念自行车，它没有链条，共有三个转轮，A、B、C转轮半径依次减小．轮C与轮A啮合在一起，骑行者踩踏板使轮C转动，轮C驱动轮A转动，从而使得整个自行车沿路面前行．对于这种自行车，下列说法正确的是(　　)
A．转轮A、B、C线速度大小vA、vB、vC之间的关系是vA>vB>vC
B．转轮A、B、C线速度大小vA、vB、vC之间的关系是vA＝vB>vC
C．转轮A、B、C角速度ωA、ωB、ωC之间的关系是ωC>ωB>ωA
D．转轮A、B、C角速度ωA、ωB、ωC之间的关系是ωA＝ωC>ωB
5．1849年，法国科学家斐索用如图所示的方法在地面上测出了光速．他采用的方法是让光束从高速旋转的齿轮的齿缝正中央穿过，经镜面反射回来，调节齿轮的转速，使反射光束恰好通过相邻的另一个齿缝的正中央，由此可测出光的传播速度．若测量出在时间t内齿轮转动了n周，齿轮的齿数为P，齿轮与镜子间距离为d，则光速表达式为(　　)
A． B．
C． D．
6．[2023·山东临沂高一下联考](多选)如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P点等高，且到P点距离为L.当飞镖以初速度v0垂直于盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动．忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则下列说法正确的是(　　)
A．飞镖击中P点所需的时间为
B．圆盘的半径为
C．圆盘转动角速度的最小值为
D．P点随圆盘转动的线速度可能为
1．圆周运动
导学　掌握必备知识
一、
1．很短　之比
2.
3．运动
4．切线
5．(1)相等　(2)变化　变速
三、
1．一周　时间
2．圈数　转每秒(r/s)　转每分(r/min)
4．不变
四、
1．等于
2．ωr
情境思考
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
共研　突破关键能力
目标一
　提示：(1)篮球上各点的角速度是相同的．
(2)由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度大小不同．
[例1]　解析：相同时间内秒针转过的角度最大，所以秒针的角速度最大，故A错误，B正确；因为相同时间内分针转过的角度大于时针转过的角度，所以分针的角速度大于时针的角速度，又因为分针的长度大于时针，根据v＝ωr可知分针尖端的线速度大于时针尖端的线速度，故C错误；时针、分针、秒针的转动周期不相等，故D错误．
答案：B
[例2]　解析：乘客做圆周运动的半径R＝ m，周期T＝30 min＝1 800 s，根据匀速圆周运动各物理量间的关系可得v＝ωR＝R，代入数据得v≈0.25 m/s，故D正确．
答案：D
[例3]　解析：水流垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，水平方向速度和竖直方向速度满足tan 30°＝，解得t＝，A、B错误；水流到水轮叶面上时的速度大小为v＝＝2v0，根据v＝ωR，解得ω＝，C正确，D错误．故选C.
答案：C
目标二
提示：(1)图甲中A、B两点在自行车的同一条链条上，这决定了A、B两点的线速度大小是相等的．同一条链条上的所有点的线速度大小都一样．图乙中的两个齿轮边缘相同时间内必定转过相同弧长，故图乙中A、B两点线速度大小相等．它们和图甲中的A、B两点是类似的，同理还有皮带传动、摩擦小轮，由于边缘始终没有相对滑动，相同时间内必定转过相同弧长，我们可以总结为“同线的线速度大小相等”．
(2)B、C的转轴相同，B转多少转，C一定同时转多少转，所以B、C的角速度是相等的．我们称为“同轴转动”．
[例4]　解析：A、C是同轴转动，有ωA＝ωC，vA＝ωArA，vC＝ωCrC，又因2rC＝rA，故vA＝2vC；A、B是同缘传动，有vA＝vB，又因vA＝2vC，所以vB＝2vC.A、C、D错误，B正确．故选B.
答案：B
[例5]　解析：小齿轮和车轮同轴转动，角速度大小相同，车轮半径大于小齿轮半径，由v＝ωr知车轮边缘的线速度大于小齿轮边缘的线速度，故B错误；大齿轮和小齿轮通过链条相连，边缘线速度大小相同，根据v＝ωr可知，小齿轮的角速度大于大齿轮的角速度，故车轮转动角速度大于大齿轮转动角速度，故A正确；摩擦小轮边缘线速度与车轮边缘线速度大小相同，由v＝ωr知摩擦小轮转动角速度大于车轮转动角速度，也就大于小齿轮转动角速度，故C错误；由于小齿轮边缘的线速度小于车轮边缘的线速度，大齿轮和小齿轮通过链条相连，边缘线速度大小相同，故摩擦小轮边缘的线速度大于大齿轮边缘的线速度，故D错误．
答案：A
目标三
　提示：(1)不能，飞镖要做平抛运动，在竖直方向会向下运动．
(2)A点做的是圆周运动，而飞镖在初速度所在竖直平面内做平抛运动，故射中A点时A点必定转到最低点的位置．
(3)不一定，飞镖射中A点时，A点可能转动半圈，也可能是一圈半、两圈半……总之是半圈的奇数倍．
[例6]　解析：小球在盘边缘共有6个均匀分布的落点，说明每转动2nπ＋π或2nπ＋π角度后就有一个小球落在圆盘的边缘，故Δθ＝(2n＋)π或Δθ＝(2n＋)π(n＝0，1，2，…)，Δt＝ s，故角速度ω＝＝N(2n＋)π rad/s或ω＝N(2n＋)π rad/s(n＝0，1，2，…)．当n＝0时，ω＝πN rad/s或ω＝πN rad/s；当n＝1时，ω＝πN rad/s或ω＝πN rad/s；当n＝2时，ω＝πN rad/s或ω＝πN rad/s.选项A、C正确，B、D错误．
答案：AC
[例7]　解析：OA、OB之间的夹角θ＝，所以A与B之间的距离等于R，在子弹飞行的时间内，圆筒转动的角度为(2n－)π(n＝1，2，3，…)，则时间t＝(n＝1，2，3，…)，所以子弹的速度v0＝＝＝＝ m/s(n＝1，2，3，…)，解得ω＝2(2n－)πv0(n＝1，2，3，…)，则转速N＝＝(2n－)v0(n＝1，2，3，…)．当n＝1时，N＝×60 r/s＝100 r/s；当n＝2时，N＝×60 r/s＝220 r/s.故选项C正确．
答案：C
精练　落实学科素养
1．解析：因为v＝ωr，所以r＝，则r甲∶r乙＝∶＝2∶9，选项A正确，B错误；因为T＝，所以T甲∶T乙＝∶＝1∶3，选项D正确，C错误．
答案：AD
2．解析：题中的n不是转速，根据题意无法求出小球的角速度，选项A错误；转轴和小球属于同轴转动，角速度相等，选项B正确；水桶的速度为v＝ωr，小球转动线速度为v′＝ωR，水桶的速度是小球转动线速度的，选项C正确；手柄和轮轴属于同轴转动，手柄匀速转动n周，轮轴转动了n周，选项D错误．故选B、C.
答案：BC
3．解析：由题知，汽车运动时间为4.5 s，自助识别系统的反应时间为0.5 s，则说明闸杆有4 s的转动时间，则闸杆转动的平均角速度大小为ω＝ rad/s＝ rad/s，B正确．
答案：B
4．解析：自行车运动过程中，前后轮A、B的线速度大小相等，由于A、C啮合在一起，A、C线速度大小也相等，因此vA＝vB＝vC，故A、B错误；由ω＝可知，在线速度大小相等的情况下，半径越小，角速度越大，故C正确，D错误．故选C.
答案：C
5．解析：根据在时间t内齿轮转动了n周，可求出齿轮的转动周期，为T＝，由于齿轮的齿数为P，则可求出每转动一齿的时间，为t0＝＝.根据题意可知，光从齿缝正中央穿过，经镜面反射回来，反射光束恰好通过相邻的另一个齿缝的正中央，可得2d＝ct0＝c·，解得c＝.故选A.
答案：A
6．解析：飞镖做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，则飞镖击中P点所需的时间为，选项A正确；当飞镖击中P点时，P点应该在圆盘的最低点，则圆盘的半径为R＝h＝＝，选项B错误；圆盘转动的角速度满足ωt＝2πn＋π(n＝0，1，2，…)，当n＝0时角速度最小，则最小值为，选项C错误；P点随圆盘转动的线速度为v＝ωR＝＝(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，v＝，选项D正确．
答案：AD2．向心力
核心素养定位 物理观念 (1)知道向心力的概念，知道向心力是根据力的作用效果命名的． (2)掌握向心力的表达式． (3)知道匀速圆周运动的向心力特点． (4)知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点．
科学思维 (1)会分析向心力的来源． (2)能够计算简单情境中的向心力． (3)能够处理匀速圆周运动的动力学问题．
科学探究 通过实验体会向心力的存在，会设计相关实验，探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用．
第1课时　实验：探究向心力大小的表达式
一、向心力是变力
1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向________，这个指向________的力叫作向心力．
2．作用：改变速度的________．
3．方向：始终沿着________指向________．
　时刻在变
　　不是物体实际受的力
4．向心力是根据力的________命名的，它是由______________________提供的．
二、探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一　感受向心力
1．实验原理
如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，另一端握在手中．将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时，沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的________．
2．实验步骤
(1)在小沙袋的质量和角速度不变的条件下，改变小沙袋做圆周运动的半径进行实验，比较向心力与________的关系．
(2)在小沙袋的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变小沙袋的角速度进行实验，比较向心力与________的关系．
(3)换用不同质量的小沙袋，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作，比较向心力与________的关系．
3．实验结论：半径越________，角速度越________，质量越________，向心力越大．
探究方案二　用向心力演示器定量探究
1．实验原理
向心力演示器如图所示．匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动．皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动．小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供．球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8.根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值．
2．实验步骤
(1)皮带套在塔轮2和3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系．
(2)皮带套在塔轮2和3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系．
(3)皮带套在塔轮2和3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系．
3．实验结论：在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成________．
在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成________．
在质量和半径一定的情况下，向心力大小与________________成正比．
目标一　对向心力的理解
【导思】
如图所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动．
(1)小球受哪些力作用？合力指向什么方向？
(2)除以上力外，小球还受不受向心力？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．向心力的作用效果是改变速度方向，不改变速度大小．
2．向心力不是作为具有某种性质的力来命名的，而是根据力的作用效果命名的，它可以由某个力或几个力的合力提供．
3．向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力为变力．
4．当物体受到的合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时，物体做匀速圆周运动．
【典例】
例 1 (多选)下列关于向心力的说法正确的是(　　)
A．做匀速圆周运动的物体所受的合力提供向心力
B．匀速圆周运动的向心力是恒力
C．匀速圆周运动的向心力的大小一直在变化
D．向心力只改变物体速度的方向
例 2 如图所示是游乐园转盘游戏，游客坐在匀速转动的水平转盘上，与转盘相对静止．关于他们的受力情况和运动趋势，下列说法中正确的是(　　)
A．游客在匀速转动过程中处于平衡状态
B．受到重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用
C．游客受到的静摩擦力方向沿半径方向指向圆心
D．游客相对于转盘的运动趋势与其运动方向相反
目标二　教材原型实验
　
【典例】
例 3 如图所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素．同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力．如图甲，在绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，如图乙，其余同学记录实验数据．
操作一：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小．
操作二：手握绳结B，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小．
操作三：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动两周，体会向心力的大小．
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小．
(1)操作二与操作一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关．
操作三与操作一相比较：质量、转动半径相同，向心力的大小与角速度大小有关．
操作四与操作一相比较：________________相同，向心力大小与________有关．
(2)物理学中此种实验方法叫________法．
(3)小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上的说法不一样．”你认为该同学的说法是否正确，为什么？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
例 4 某同学利用如图所示的向心力演示器，探究小球做匀速圆周运动向心力Fn的大小与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系．匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动．使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的弹力提供．球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8.根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值．
实验过程如下．
(1)把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的运动半径相同，调整塔轮上的皮带的位置，探究向心力的大小与________的关系，将实验数据记录在表格中．
(2)保持两个小球质量不变，调整塔轮上皮带的位置，使与皮带相连的左、右两轮半径r左________r右(选填“>”“＝”或“<”)，保证两轮转速相同．增大长槽上小球的运动半径，探究向心力的大小与运动半径的关系，将实验数据记录在表格中．
(3)使两小球的运动半径和转速相同，改变两个小球的质量，探究向心力的大小与质量的关系，将实验数据记录在表格中．
(4)根据表中数据，小球做匀速圆周运动的向心力Fn的大小与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系是________．
A．Fn∝mnr B．Fn∝mn2r
C．Fn∝m2n2r D．Fn∝mnr2
目标三　探索创新实验
【典例】
例 5 如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体的向心力、轨道半径及线速度大小关系的实验装置．圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动，力传感器测量向心力Fn，速度传感器测量圆柱体的线速度大小v.该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力Fn与线速度大小v的关系．
(1)该同学采用的实验方法为________．
A．等效替代法
B．控制变量法
C．理想化模型法
(2)改变线速度大小v，多次测量，该同学测出了五组Fn、v数据，如表所示．
v/(m·s－1) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Fn/N 0.88 2.00 3.50 5.50 7.90
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点．
①作出Fn v2图线；
②若圆柱体运动半径r＝0.2 m，由作出的图线可得圆柱体的质量m＝________ kg.(结果保留两位有效数字)
例 6 如图甲所示为探究向心力大小与质量、转动半径、角速度关系的实验装置．金属块放置在转台凹槽中，电动机带动转台做圆周运动，可通过改变电动机的电压来控制转台的角速度．数字计时器可以采集转台转动的时间信息．已知金属块被约束在转台的径向凹槽中，只能沿半径方向移动，且可以忽略与凹槽之间的摩擦力．
(1)某同学保持金属块质量和转动半径不变，仅改变转台的角速度，探究向心力大小与角速度的关系．不同角速度对应的向心力大小可由力传感器读出．若数字计时器记录转台每转50周的时间为T，则金属块转动的角速度ω＝________.
(2)上述实验中，该同学多次改变角速度后，记录了一组角速度的平方ω2与对应的向心力Fn大小的数据，见下表．请根据表中数据在图乙给出的坐标纸中作出Fn与ω2的关系图像．由图像可知，当金属块质量和转动半径一定时，Fn与ω2呈________(选填“线性”或“非线性”)关系．
次序 1 2 3 4 5
Fn/N 0.70 1.35 1.90 2.42 3.10
ω2/(102 rad·s－1)2 2.3 4.6 6.6 8.3 10.7
(3)为了探究向心力大小与转动半径、质量的关系，还需要用到的实验器材有______________、______________．
1．控制变量法是物理实验探究的基本方法之一．如图是用控制变量法探究向心力大小与质量m、角速度ω和半径r之间关系的实验情境图．
(1)探究向心力大小与质量m之间关系的是图________．
(2)探究向心力大小与角速度ω之间关系的是图________．
2．[2023·济南高一检测]如图甲为探究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和转动半径r之间关系的实验装置，图乙为示意图，图丙为俯视图．图乙中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，a、b两轮在皮带的带动下匀速转动．
(1)在该实验中应用了____________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“理想模型法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和转动半径r之间的关系．
(2)如图乙所示，如果两个钢球质量相等，且a、b轮半径相同，则是在验证向心力的大小Fn与________的关系．
A．质量m　　B．转动半径r　　C．角速度ω
(3)现有两个质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，a、b轮半径相同，它们到各自转轴的距离之比为2∶1.则钢球①、②的线速度之比为________．
3．随着航天技术的发展，许多实验可以搬到太空中进行．飞船绕地球做匀速圆周运动时，无法用天平称量物体的质量．假设某宇航员在这种环境下设计了如图所示装置(图中O为光滑的小孔)来间接测量物体的质量：给待测物体一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动．已知飞船中带有基本的测量工具．
(1)物体与桌面间的摩擦力可以忽略不计，原因是
________________________________________________________________________.
(2)实验时需要测量的物理量是弹簧测力计示数Fn、圆周运动的周期T和________________________________________________________________________．
(3)待测物体质量的表达式为m＝________________________________________________________________________.
4．如图所示是“DIS向心力实验器”．当质量为m的砝码随旋转臂一起在水平面内做半径为r的圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得．旋转臂另一端的挡光杆(挡光杆的挡光宽度为Δs，旋转半径为R)每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力Fn和角速度ω的数据．
(1)某次旋转过程中，挡光杆经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω＝________．
(2)以Fn为纵坐标，以________(选填“Δt”“”“(Δt)2”或“”)为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝______________．(用上述已知量的字母表示)
第1课时　实验：探究向心力大小的表达式
导学　掌握必备知识
一、
1．圆心　圆心
2．方向
3．半径　圆心
4．作用效果　某个力或者几个力的合力
二、
探究方案一
1．拉力
2．(1)半径　(2)角速度　(3)质量
3．大　大　大
探究方案二
3．正比　正比　角速度的平方
共研　突破关键能力
目标一
　提示：(1)小球受到重力、支持力和绳的拉力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心．
(2)小球不受向心力，向心力是按力的作用效果命名的，绳的拉力提供向心力．
[例1]　解析：做匀速圆周运动的物体所受的合力提供向心力，其方向不断变化，但大小不变．向心力总与速度方向垂直，故向心力的作用效果只改变速度的方向．选项A、D正确．
答案：AD
[例2]　解析：游客做匀速圆周运动，合力指向圆心，处于非平衡状态，A错误；游客所受重力G与支持力FN二力平衡，所受合力等于摩擦力Ff，则摩擦力提供向心力，所以游客受到的静摩擦力方向沿半径方向指向圆心，B错误，C正确；游客相对于转盘的运动趋势方向和其受到的静摩擦力方向相反，故应是背离圆心，D错误．
答案：C
目标二
[例3]　解析：(1)根据向心力公式Fn＝mω2r，由牛顿第二定律有FT＝mω2r；操作二与操作一相比较，质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与操作一相比较，质量、转动半径相同，向心力的大小与角速度大小有关；操作四与操作一相比较，角速度、转动半径相同，向心力大小与质量有关．(2)物理学中此种实验方法叫控制变量法．(3)该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯．细绳的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力，指向圆心；细绳对手的拉力与向心力大小相等，方向相反，背离圆心．
答案：(1)角速度、转动半径　质量　(2)控制变量　(3)说法不对．该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯．细绳的拉力提供纸杯做圆周运动的向心力，方向指向圆心；细绳对手的拉力与向心力大小相等，方向相反，背离圆心．
[例4]　解析：(1)把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的运动半径相同，即m、r一定，调整塔轮上的皮带的位置，根据控制变量法可知，探究的是向心力的大小与转速的关系．
(2)变速塔轮靠皮带传动，边缘的线速度大小相同，为保证两轮转速相同，根据v＝ωr、ω＝2πn可知，应使两轮半径相同．
(4)根据表中数据
第1次：＝1，＝＝1，＝＝＝＝.
结论1：做圆周运动的小球的转速、质量相等时，向心力Fn的大小与运动半径成正比，即Fn∝r.
第2次：＝1，＝＝1，＝＝＝＝.
结论2：做圆周运动的小球的转速、运动半径相等时，向心力Fn的大小与小球的质量成正比，即Fn∝m.
第3次：＝＝1，＝＝1，＝＝＝＝.
结论3：做圆周运动的小球的质量、运动半径相等时，向心力Fn的大小与转速的平方成正比，即Fn∝n2.
综上所述：小球做匀速圆周运动的向心力Fn大小与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系是Fn∝mn2r.
答案：(1)转速　(2)＝　(4)B
目标三
[例5]　解析：(1)实验中研究向心力和速度大小的关系，保持圆柱体质量和运动半径不变，采用的实验方法是控制变量法，所以选项B是正确的．
(2)①作出Fn v2图线，如图所示．
②根据Fn＝知，图线的斜率k＝，则有＝，代入数据计算得出m≈0.18 kg.
答案：(1)B　(2)①见解析图　②0.18
[例6]　解析：(1)由题意可知，转台转动的周期为T0＝，根据角速度和周期的关系可得角速度ω＝＝.
(2)根据描点法在坐标纸中作出Fn ω2的关系图像如图所示，由图像可知，Fn与ω2呈线性关系．
(3)为了探究向心力大小跟转动半径、质量的关系，还需要用刻度尺测金属块的转动半径，用天平测量金属块的质量m.
答案：(1)　(2)图见解析　线性　(3)刻度尺　天平
精练　落实学科素养
1．解析：(1)根据Fn＝mω2r可知，要研究小球受到的向心力大小与质量m的关系，需控制小球的角速度和转动半径不变，故丙图正确．
(2)根据Fn＝mω2r可知，要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和转动半径不变，故甲图正确．
答案：(1)丙　(2)甲
2．解析：(1)在该实验中应用了控制变量法来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和转动半径r之间的关系．(2)如题图乙所示，如果两个钢球质量相等，且a、b轮半径相同，两球转动的角速度相同，则是在验证向心力的大小Fn与转动半径r的关系．(3)钢球①、②的角速度相等，则根据v＝ωr可知，线速度之比为2∶1.
答案：(1)控制变量法　(2)B　(3)2∶1
3．解析：(1)太空中物体处于完全失重状态，则物体与接触面间几乎没有压力，摩擦力几乎为零．(2)实验时需要测量的物理量是弹簧测力计示数Fn、圆周运动的周期T和物体做圆周运动的半径R.(3)由向心力公式Fn＝mω2R＝mR，可得待测物体质量的表达式为m＝.
答案：(1)物体与接触面间几乎没有压力，摩擦力几乎为零
(2)圆周运动的半径R
(3)
4．解析：(1)挡光杆通过光电门时的线速度v＝，由ω＝，解得ω＝.(2)根据向心力公式有Fn＝mω2r，将ω＝代入上式解得Fn＝mr，可以看出，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝mr.
答案：(1)　(2)　mr第2课时　向心力的分析和向心力公式的应用
一、向心力的大小
向心力的大小可以表示为Fn＝________或Fn＝________．
二、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动合力的作用效果
变速圆周运动的合力产生两个方向的效果：
(1)跟圆周相切的分力Ft：与物体运动的方向平行，改变线速度的______．
　 　　　　　　同向加速，反向减速
(2)指向圆心的分力Fn：与物体运动的方向垂直，改变线速度的______．
　 　　　　　　　　　提供向心力
2．一般曲线运动
(1)曲线运动：运动轨迹既不是________也不是________的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示．
(2)处理方法：将曲线分割成为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作________的一部分．
【情境思考】
如图，一辆汽车正匀速通过一段弯道公路．判断以下问题．
(1)汽车受到的合力为零．(　　)
(2)汽车做圆周运动的向心力由汽车的牵引力提供．(　　)
(3)汽车做圆周运动的向心力既可以改变汽车速度的大小，也可以改变汽车速度的方向．(　　)
　
　
目标一　向心力的来源分析和计算
【导思】
如图所示，圆盘在水平面内匀速转动，角速度为4 rad/s，盘面上距离圆盘中心0.1 m的位置有一个质量为0.1 kg的小物体随圆盘一起转动．
(1)小物体做匀速圆周运动的向心力大小为多少？
(2)小物体所需向心力由什么力提供？大小是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．向心力的大小：Fn＝mω2r＝m＝mr.
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力；在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心的，合力的一个分力提供向心力．
【典例】
例 1 如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g.关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B．向心力由细线对小球的拉力提供
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D．向心力的大小等于
例 2[2023·台州市书生中学高二开学考试]如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在转筒内壁上随转筒一起转动而不滑落．下列说法正确的是(　　)
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共四个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
例 3 一个质量为0.1 kg的小球，用一长为0.45 m的细绳拴着，绳的另一端系在O点，让小球从如图所示位置由静止开始释放，运动到最低点时小球的速度为3 m/s.(小球视为质点，绳不可伸长，不计空气阻力，取g＝10 m/s2)
(1)分析小球运动到最低点时向心力的来源，画出小球受力示意图．
(2)求小球到达最低点时绳对小球的拉力的大小．
规律方法
匀速圆周运动中力学问题的解题步骤
(1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r.
(2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的．
(3)确定v、ω、T、n等物理量中哪个是已知的，选择合适的公式列式求解．
(4)根据F合＝F向列方程，求解．
目标二　变速圆周运动和一般的曲线运动
【导思】
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏．
(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，向心力公式Fn＝m＝mω2r还适用吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．变速圆周运动
(1)做变速圆周运动的物体所受的合力不指向圆心，产生两个方向的效果，如图所示．
(2)变速圆周运动中某一点的向心力仍可用Fn＝m＝mω2r等公式求解，只不过v、ω都是指物体运动到该点的瞬时值．
2．一般的曲线运动
曲线轨迹上的每一小段可看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理．
(1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大．
(2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小．
【典例】
例 4 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是(　　)
A．当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
例 5 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示，则其在轨迹最高点P处的曲率半径是(　　)
1.
如图所示，在倾斜的环形赛道上有若干辆小车正在行驶，假设最前面的小车做匀速圆周运动，则它所受的合外力(　　)
A．是一个恒力，方向沿OA方向
B．是一个恒力，方向沿OB方向
C．是一个变力，此时方向沿OA方向
D．是一个变力，此时方向沿OB方向
2.
如图所示，一杂技演员驾驶摩托车沿半径为R的圆周做线速度大小为v的匀速圆周运动．若杂技演员和摩托车的总质量为m，则其所受向心力大小为(　　)
A． B．
C． D．
3．如图，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮随圆盘一起转动(俯视为逆时针)．某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮仍相对圆盘静止．在这段时间内，关于橡皮所受摩擦力Ff的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是(　　)
4.
如图是山东舰在海上转弯时的照片．假设山东舰质量为m＝6×107 kg，整个过程中山东舰做匀速圆周运动的速度大小为20 m/s，圆周运动的半径为1 000 m，下列说法正确的是(　　)
A.转弯时水对舰的作用力指向圆心
B．转弯时水对舰的作用力大小约为6.0×108 N
C．转弯时水对舰的作用力大小约为2.4×106 N
D．转弯时水对舰的作用力大小为0
5.
如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端质量为m的小球拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放．小球运动到悬点正下方悬线碰到钉子时，下列说法正确的是(　　)
A．小球的线速度突然增大
B．小球的角速度突然减小
C．悬线的拉力突然减小
D．小球的向心力突然增大
6.
(多选)2022年2月12日，在速度滑冰男子500 m决赛上，高亭宇以34秒32的成绩刷新奥运纪录．国家速度滑冰队在训练弯道技术时采用人体高速弹射装置，在实际应用中装置在前方通过绳子拉着运动员，使运动员做匀加速直线运动，到达设定速度时，运动员松开绳子，进行高速入弯训练．已知弯道半径为25 m，人体弹射装置可以使运动员在4.5 s内由静止达到入弯速度18 m/s，入弯时冰刀与冰面的接触情况如图所示，运动员质量为50 kg，重力加速度g＝10 m/s2，忽略弯道内外高度差及绳子与冰面的夹角、冰刀与冰面间的摩擦．下列说法正确的是(　　)
A．运动员匀加速运动的距离为81 m
B．匀加速过程中，绳子的平均弹力为200 N
C．运动员入弯时的向心力为648 N
D．入弯时冰刀与水平冰面的夹角大于45°
第2课时　向心力的分析和向心力公式的应用
导学　掌握必备知识
一、
mω2r
二、
1．(1)大小　(2)方向
2．(1)直线　圆周　(2)圆周运动
情境思考
答案：(1)×　(2)×　(3)×
共研　突破关键能力
目标一
　提示：(1)小物体所需要的向心力为Fn＝mω2r，将ω＝4 rad/s，r＝0.1 m，m＝0.1 kg代入，解得Fn＝0.16 N.
(2)向心力由小物体所受圆盘的摩擦力提供，Ff＝Fn＝0.16 N．
[例1]　解析：
对小球进行受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力；也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，A、B错误，C正确；向心力的大小Fn＝mg tan θ，D错误．
答案：C
[例2]　解析：小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共三个力的作用，故选项A错误；水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，根据牛顿第二定律有FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误．
答案：D
[例3]　解析：
(1)由题意可知，当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力两个力的作用，绳的拉力和重力的合力提供向心力，小球受力示意图如图所示．
(2)由(1)可知，小球到达最低点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，FT－mg＝m，
则FT＝mg＋m＝3 N.
答案：(1)见解析　(2)3 N
目标二
提示：(1)小朋友做变速圆周运动．
(2)在最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点．向心力公式Fn＝m＝mω2r仍然适用．
[例4]　解析：转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误．
答案：A
[例5]　解析：物体做斜上抛运动，在最高点的速度即为斜上抛的水平速度，即vP＝v0cos α，在最高点重力提供向心力，即mg＝m，联立以上两式解得ρ＝＝，C正确．
答案：C
精练　落实学科素养
1．解析：做匀速圆周运动的物体所受的合外力大小不变，方向沿半径指向圆心，则最前面的小车所受的合外力是大小不变、方向不断变化的变力，此时方向沿OB方向，选项D正确．
答案：D
2．解析：根据向心力公式得F向＝m，故选B.
答案：B
3．解析：因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起进行加速圆周运动，此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该在轨道内侧且与速度成锐角，故选C.
答案：C
4．解析：
山东舰在运动过程中受到重力与水的作用力，合力的方向沿水平方向提供向心力，则有F＝m＝6×107× N＝2.4×107 N．因为合力的方向指向圆心，所以水的作用力的方向斜向上，受力分析如图所示，则水对舰的作用力大小为F水＝，代入数据可得F水≈6.0×108 N，选项B正确．
答案：B
5．解析：悬线碰到钉子时，小球的线速度大小不变，运动的半径减小，根据v＝ωr知，小球的角速度增大，故A、B错误；根据Fn＝m知，小球线速度的大小不变，运动半径减小，小球的向心力增大，根据牛顿第二定律，F－mg＝Fn，悬线的拉力增大，故C错误，D正确．
答案：D
6．解析：运动员匀加速运动的距离为x＝t＝×4.5 m＝40.5 m，A错误；匀加速过程中，加速度a＝＝ m/s2＝4 m/s2，由牛顿第二定律得，绳子的平均弹力F＝ma＝50×4 N＝200 N，B正确；运动员入弯时的向心力Fn＝m＝50× N＝648 N，C正确；设入弯时冰刀与水平冰面的夹角为θ，tan θ＝＝＝<1，得θ<45°，D错误．故选B、C.
答案：BC3．向心加速度
核心素养定位 物理观念 (1)知道向心加速度的概念． (2)知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式．
科学思维 (1)理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算． (2)能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式．
科学态度与责任 了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想．
一、匀速圆周运动的加速度方向
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向________，这个加速度叫作向心加速度．　没有特殊情况
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向__________，故向心加速度只改变速度的________，不改变速度的________．
　 　　描述线速度方向变化的快慢
3．物体做匀速圆周运动时，向心加速度始终指向________，方向在时刻________，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度公式：________或an＝ω2r.　　
2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
【情境思考】
如图所示，一辆汽车以恒定速率驶入环岛，请对以下结论作出判断．
(1)汽车在环岛中各点的向心加速度是相同的.(　　)
(2)汽车在环岛中运动的加速度指向环岛的圆心．(　　)
(3)汽车以恒定速率在环岛内运动四分之一圆弧时，其速度变化量与初速度的夹角为135°.(　　)
(4)汽车在相等时间内的速度变化量相同．(　　)
(5)由an＝可知，加速度an与半径r成反比．(　　)
(6)由an＝ω2r可知，加速度an与半径r成正比．(　　)
1　
因为做圆周运动的物体的速度方向时刻沿圆周的切线方向，即速度方向时刻在变化，所以不管其速度大小是否变化，一定存在加速度．
2　
向心加速度是匀速圆周运动的瞬时加速度，是指某时刻或某位置的加速度．公式an＝中的v是指该时刻或该位置的线速度．
　圆周运动中向心加速度的方向
如图所示的匀速圆周运动中，物体由A运动到B，在B点作vA和vB的矢量，从vA末端指向vB末端的矢量即为Δv.当物体由A运动到B的时间Δt→0时，Δv的方向沿半径指向圆心，加速度的方向与Δv方向一致，故物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心．
目标一　对向心加速度的理解
【导思】
(1)如图所示，月球绕地球做匀速圆周运动时，月球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？
(2)物体做匀速圆周运动时，合力有什么特点？
(3)根据牛顿第二定律，月球的加速度沿什么方向？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．对向心加速度及其方向的理解
(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变．
(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．圆周运动的性质
因为向心加速度方向时刻发生变化，所以圆周运动都是变加速曲线运动．
3．非匀速圆周运动的加速度
如图所示，做圆周运动的物体在某位置时的加速度a可以分解为相互垂直的两个分加速度an和at.
【典例】
例 1 (多选)关于向心加速度，以下说法正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
例 2 (多选)如图所示是花样滑冰双人滑中的一个经典动作——双人直立旋转，两人均单足直膝站立，围绕同一中心旋转．在不考虑阻力的情况下，两名运动员的运动可以分别看作匀速圆周运动．关于他们的向心力与向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心力的方向保持不变，始终指向圆心
B．向心加速度保持不变
C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
D．对于其中任意一人来说，所受的合力提供向心力，合力的方向始终指向圆心
目标二　向心加速度的公式和应用
【导思】
(1)如图甲所示，物块的加速度如何求？
(2)如图乙所示，小球做匀速圆周运动的向心力大小是多少？方向有什么特点？
(3)能用求图甲中物块加速度的方法求图乙中小球的加速度吗？小球的加速度的大小是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．向心加速度公式
(1)an＝＝ω2r.
(2)因为v＝ωr，所以向心加速度也可以写成an＝ωv.
(3)因为ω＝＝2πf，所以向心加速度也可以写成an＝r＝4π2f2r.
2．向心加速度与半径的关系(如图所示)
【典例】
例 3 某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度．该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后他伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆．若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为(　　)
A.0.65 m/s2 B．1.3 m/s2
C．2 m/s2 D．6.5 m/s2
例 4“旋转纽扣”是一种传统游戏．如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现，拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为(　　)
A．10 m/s2B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
例 5[2023·浙江金华十校高一下期末]如图甲是汽车发动机的结构图，其中正时带传动系统对发动机的正常运行起到至关重要的作用，图乙是其简化图．图中皮带轮的半径之比为R1∶R2＝1∶2，A、C是皮带轮边缘上的点，B为距轴心为R1的点．当系统匀速转动时，以下说法正确的是(　　)
A．A、B两点的线速度大小之比为1∶2
B．A、C两点的角速度大小之比为1∶2
C．B、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
D．A、C两点的周期之比为1∶2
规律方法
分析此类问题要“看”“找”“选”
1．[2023·河南驻马店高一下月考]如图所示为某学校学生以整齐的步伐跑操时的场景．对于恰好通过弯道的某一班级中的所有同学，下列说法正确的是(　　)
A．这些同学的线速度大小相等
B．这些同学的角速度大小相等
C．这些同学的向心加速度大小相等
D．这些同学的向心力大小相等
2．青州市牛角岭盘山公路风景亮丽、环境优美，吸引众多自驾游爱好者前来打卡游玩，被称为“鲁中川藏线”．在垭口有一个鲁中川藏线的观景台，如图是从观景台上拍摄的图片，一辆汽车以恒定的速率通过该盘山公路的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．汽车匀速运动
B．汽车的加速度始终为零
C．汽车的加速度不变
D．汽车的加速度变化
3．甲同学在周五离校时，看到乙同学的家长用某型号汽车接其回家，甲同学观察该汽车的后雨刮器．设雨刮器摆臂可视为绕O点旋转的折杆OAB，如图所示，OA长度为a、AB长度为3a，∠OAB＝120°，AB部分装有胶条，雨刮器工作时胶条紧贴后窗平面可视为匀速率转动．雨刮器工作时，下列说法正确的是(　　)
A．A、B两点线速度大小之比为1∶4
B．A、B两点角速度之比为1∶3
C．A、B两点加速度大小之比为1∶
D．B点加速度方向沿着AB指向A
4.
如图所示，一圆环以直径AB所在的直线为轴匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度的大小关系为aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向均不同
C．线速度大小关系为vP>vQ>vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度的方向均不同
5.
一个风力发电机叶片的转速为19～30转每分钟，转子叶片的轴心通过低速轴跟齿轮箱连接在一起，再通过齿轮箱把高速轴的转速提高到低速轴转速的50倍左右，最后由高速轴驱动发电机工作．即使风力发电机的叶片转得很慢也依然可以发电．如图所示为三级[一级增速轴(Ⅱ轴)、二级增速轴(Ⅲ轴)、输出轴(Ⅳ轴)]增速箱原理图．已知一级增速轴(Ⅱ轴)与输入轴(Ⅰ轴)的速比为3.90，二级增速轴(Ⅲ轴)与一级增速轴(Ⅱ轴)的速比为3.53，输出轴(Ⅳ轴)与二级增速轴(Ⅲ轴)的速比为3.23(速比＝)．若该风力发电机叶片的转速为20转每分钟，则下列说法正确的是(　　)
A．输出轴(Ⅳ轴)的转速为1 500转每分钟
B．一级增速轴(Ⅱ轴)与输入轴(Ⅰ轴)接触部分的半径之比为3.90∶1
C．一级增速轴(Ⅱ轴)与输入轴(Ⅰ轴)接触部分的线速度大小之比为1∶3.90
D．一级增速轴(Ⅱ轴)与输入轴(Ⅰ轴)接触部分的向心加速度大小之比为3.90∶1
3．向心加速度
导学　掌握必备知识
一、
1．圆心
2．垂直　方向　大小
3．圆心　变化
二、
1．an＝
情境思考
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×
共研　突破关键能力
目标一
　提示：(1)月球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化．运动状态发生变化的原因是受到向心力的作用．
(2)物体做匀速圆周运动时，物体所受的合力提供向心力，合力的方向总是指向圆心．
(3)月球受到的合力提供向心力，方向总是指向圆心．根据牛顿第二定律可知，月球做匀速圆周运动时的加速度也总是指向圆心．
[例1]　解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，A正确；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度的方向始终指向圆心，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，B、D正确；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度方向不是始终指向圆心的，C错误．
答案：ABD
[例2]　解析：向心力的方向时刻指向圆心，时刻改变，故A错误；匀速圆周运动的向心加速度时刻指向圆心，方向沿半径方向，与线速度方向垂直，方向时刻改变，故B错误，C正确；根据匀速圆周运动的定义可知，当合力提供向心力时，物体将做匀速圆周运动，合力方向始终指向圆心，故D正确．故选C、D.
答案：CD
目标二
提示：(1)物块所受的合力即为F，根据牛顿第二定律，可得
a＝.
(2)竖直方向有FTcos θ＝mg，水平方向有FTsin θ＝Fn.故Fn＝mg tan θ，方向时刻指向圆心O.
(3)能．an＝＝g tan θ.
[例3]　解析：根据题意，由图可知，手机转动的半径约为0.65 m，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an＝＝0.65 m/s2，故选A.
答案：A
[例4]　解析：圆周运动的向心加速度an＝ω2r＝(2πn)2r，由题干信息知n＝50 r/s，r＝0.01 m，代入数据可得an接近，故C正确．
答案：C
[例5]　解析：根据传动规律可知vA＝vC，ωB＝ωC，根据v＝ωR可得vC＝2vB，所以A、B两点的线速度大小之比为＝，A、C两点的角速度大小之比为＝＝，故A、B错误；根据a＝ω2R可知，B、C两点的向心加速度大小之比为＝＝，故C错误；根据T＝可知，A、C两点的周期之比为＝＝，故D正确．
答案：D
精练　落实学科素养
1．解析：同学们通过弯道的过程，相当于绕操场上某点同轴转动的过程，角速度相同．根据公式v＝ωr，可知不同跑道的同学做圆周运动的半径不同，线速度不同，A错误，B正确；根据向心加速度公式an＝ω2r，可知角速度相同，半径不同，则向心加速度不同，C错误；根据向心力的公式Fn＝man，可知每位同学质量不同，向心加速度不同，向心力也不一定相同，D错误．
答案：B
2．解析：汽车以恒定的速率通过该盘山公路的过程中，速度的方向在不断改变，不是匀速运动，A错误；可把通过盘山公路的过程分为很多小的圆周运动，汽车具有向心加速度，加速度不为零，汽车加速度的方向在不断变化，B、C错误，D正确．故选D.
答案：D
3．解析：因为A、B两点是同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，故B错误；A、B两点做圆周运动的圆心都是O点，半径分别是OA和OB，由余弦定理得OB＝a.A、B两点的角速度相等，由v＝ωr可知A、B两点的线速度大小之比等于半径之比，故A、B两点线速度大小之比为1∶，由向心加速度公式an＝ω2r，可得A、B两点向心加速度大小之比也等于半径之比，为1∶，故A错误，C正确；B的向心加速度的方向沿着OB指向圆心O，故D错误．故选C.
答案：C
4．解析：圆环上各点的角速度相等，由an＝ω2r知aP>aQ>aR，A错误；由v＝ωr知vP>vQ>vR，C正确；因为向心加速度总是指向圆心，所以任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向都垂直于AB且指向AB，即任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向均相同，B错误；圆周运动中线速度的方向与向心加速度的方向垂直，则任意时刻P、Q、R三点的线速度的方向均相同，D错误．
答案：C
5．解析：输出轴(Ⅳ轴)的转速为20×3.90×3.53×3.23 r/min＝889.3 r/min，选项A错误；一级增速轴(Ⅱ轴)与输入轴(Ⅰ轴)接触部分的线速度大小相等，则根据v＝2πrn可知，半径之比为1∶3.90，选项B、C错误；根据an＝可知，一级增速轴(Ⅱ轴)与输入轴(Ⅰ轴)接触部分的向心加速度大小之比为3.90∶1，选项D正确．故选D.
答案：D4．生活中的圆周运动
核心素养定位 物理观念 (1)了解生活中的各种圆周运动现象． (2)知道航天器中的失重现象． (3)知道离心运动产生的原因．
科学思维 (1)能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象． (2)会分析火车(汽车)转弯、汽车过凸形桥和凹形路面时的有关问题．
科学态度与责任 观察生活中的离心现象，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害；能体会物理学的技术应用对日常生活的影响．
一、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际是在做圆周运动（轨道平面在水平面内），因而具有________加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．　Fn＝
2．火车转弯时向心力的来源分析
(1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压________，火车的向心力由外轨对车轮轮缘的________提供(如图甲所示)，由于火车的质量很大，转弯所需的向心力很大，铁轨和车轮极易受损．
(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力由________和________的合力提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压(如图乙所示)．
　　　　　合力方向沿水平方向
二、汽车过拱形桥
项目 汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
受力
分析
续表
项目 汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
向心力 Fn＝________＝m Fn＝________＝m
对桥的压力 F′N＝________ F′N＝________
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力________ 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力________
三、航天器中的失重现象
1．向心力分析：当航天器在近地轨道做匀速圆周运动时，轨道半径近似等于地球半径R，所受地球引力近似等于重力mg.航天员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，即mg－FN＝m，所以FN＝________．
2．失重状态：当v＝________时，座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于________状态.　　mg－FN＝
四、离心运动
1．定义：做圆周运动的物体沿着________飞出或做逐渐远离圆心的运动．
　 　　　　　　　　　　　不是沿半径向外
2．原因：向心力突然________或合力不足以提供____________________．
3．离心运动的应用和防止
(1)应用：洗衣机的脱水筒；离心干燥器；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机．
(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过________________．
【情境思考】
　
如图所示，由上海飞往美国洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海平面的高度均不变，飞机上的乘客对座椅的压力等于其重力吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1　
教材思考与讨论
如图所示，高速公路转弯处和场地自行车赛道，路面往往有一定的倾斜度，车以较大速度行驶时，利用重力mg与支持力FN的合力提供向心力，减小车轮与路面间的径向摩擦力以防侧滑．
2　汽车过拱形桥
　
由F′N＝mg－m可知，汽车行驶的速率确定时，拱形桥的半径R越大，F′N越大，汽车安全性越高．
教材思考与讨论
如果将地球看成一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球的半径，会不会出现速度大到一定程度时，地面对车的支持力为零？这种情况若出现，则此时驾驶员对座椅的压力是多少？
假设会出现这种情况，此时驾驶员对座椅的压力为零，由mg＝m可得v0＝＝ m/s≈7.9×103 m/s＝7.9 km/s．
　离心运动的防止
如图所示，汽车在水平路面上转弯时，若最大静摩擦力不足以提供向心力，即Fmax目标一　火车转弯问题分析
【导思】
图甲为摩托车在水平道路上转弯，图乙为火车转弯，图丙为火车轮缘与铁轨．摩托车和火车转弯提供向心力的方式一样吗？铁路弯道处铁轨有什么特点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．转弯轨道特点
(1)火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内．
(2)转弯轨道外高内低，这样的设计使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以提供火车做圆周运动的向心力．
2．转弯轨道受力与火车速度的关系
(1)如图所示，火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mg tan θ＝，则v0＝，其中r为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈，h为内外轨高度差，L为内外轨间距)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．
(2)若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力．
(3)若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力．
【典例】
例 1 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m，g取10 m/s2.
(1)试计算铁轨受到的侧压力．
(2)如图所示，若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
例 2 (多选)如图为自行车运动员在水平道路上转弯的情景．转弯轨迹可看成一段半径为r的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内．转弯时，只有当地面对自行车(包括人)的作用力通过自行车(包括人)的重心时，自行车才不会倾倒．设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
A．自行车受到地面的支持力方向与自行车所在平面平行
B．转弯时自行车不发生侧滑的最大速度为
C.转弯时自行车与地面间的静摩擦力一定为μMg
D．转弯速度越大，自行车所在平面与地面的夹角越小
规律方法
车辆转弯问题的分析方法
求解车辆转弯问题的关键是对向心力的分析与求解．合理建立“车辆转弯”情景模型，要把握如下几点．
(1)火车或汽车以适当速度通过“外高内低”的弯道时，由重力与支持力的合力提供向心力，其合力沿水平方向指向圆心．
(2)火车在水平弯道上转弯时，铁轨对轮缘的弹力提供向心力．
(3)汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力．
目标二　汽车过拱形桥　航天器中的失重现象
【导思】
(选自鲁科版新教材“迷你实验室”)
(1)用两根铁丝弯成如图所示的凹凸桥．首先，把一个小球放在凹桥底部A处，调节两轨间的距离，使球刚好不掉下去，但稍加一点儿压力，球就会撑开两轨下落．然后，让球从斜轨滚下．当球经过凹桥底部A处时，你观察到了什么？说明了什么？
(2)把凹桥下面的搭钩扣上，并调整凸桥顶端B处两轨间的距离，使小球在B处放置时，刚好能在此处撑开两轨下落．然后，让小球从斜轨滚下．当球经过凸桥顶端B处时，你又观察到了什么？说明了什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．汽车过凸形桥时
在最高点满足mg－FN＝m，即FN＝mg－，处于失重状态．
(1)当0≤v＜时，0＜FN≤mg.
(2)当v＝时，FN＝0.
(3)当v＞时，汽车会脱离桥面，做平抛运动，发生危险．
2．汽车过凹形路面时
在最低点满足FN－mg＝，即FN＝mg＋，处于超重状态．车速v越大，压力越大．
3．航天器中的失重现象
(1)在近地圆形轨道上，航天器(包括卫星、飞船、空间站)的重力提供向心力，满足关系Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员，受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝.
当v＝时，FN＝0，航天员处于完全失重状态．
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态．
【典例】
例 3 乡间公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常修成凹形路面，也叫“过水路面”．现有一“过水路面”的圆弧半径为50 m，一辆质量为800 kg的小汽车驶过“过水路面”．如图所示，当小汽车通过“过水路面”的最低点时速度为5 m/s，g取10 m/s2，则此时汽车对路面的压力为多大？
例 4[2023·北京师大附中高一期末]有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥，如图所示．取g＝10 m/s2，求：
(1)若汽车到达桥顶时速度为5 m/s，桥对汽车的支持力的大小．
(2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，汽车此时的速度大小．
(3)已知地球半径R＝6 400 km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也不考虑地球自转，那它开到多快时就可以“飞”起来．此时驾驶员对座椅的压力是多大？驾驶员处于什么状态？
目标三　对离心运动的理解
【导思】
链球比赛中，运动员放手后，原本高速旋转的链球会飞出；雨天，当你旋转雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出．
(1)链球飞出后受几个力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
1．离心运动的实质
物体逐渐远离圆心的运动，本质是物体惯性的体现，从受力情况看是向心力不足．
2．四种运动情况的判断
如图所示，根据物体所受合外力与所需向心力的关系，可进行如下判断．
【典例】
例 5 如图所示，摩托车比赛中，骑手为了快速通过水平弯道，经常将车身压向内侧，俗称压弯．将摩托车过弯道看成圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．摩托车过弯道时所需的向心力由地面的支持力提供
B．摩托车过弯道时受到的重力和支持力的合力提供向心力
C．摩托车过弯道的速度越大，所需的向心力越小
D．摩托车过弯道时速度过大，摩托车会冲向赛道外侧
例 6[2023·江苏高一联考]一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N．当汽车经过半径为80 m的水平弯道时，下列判断正确的是(　　)
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
教你解决问题
题干要点 信息提取
“水平公路上行驶” 重力与支持力等大反向
“最大静摩擦力为1.4×104 N” 摩擦力提供向心力， 最大值为1.4×104 N
“汽车经过半径为80 m的弯道时” 圆周运动的半径为80 m
[试解]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．[2023·河北邯郸高一检测]下列措施不属于防止离心现象造成危害的是(　　)
2.
(多选)如图所示，航天员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中处于完全失重状态，下列说法正确的是(　　)
A．航天员仍受重力的作用
B．航天员受力平衡
C．航天员所受重力等于所需的向心力
D．航天员不受重力的作用
3．(多选)火车在铁轨上转弯可以视为做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是(　　)
A．减小弯道半径
B．增大弯道半径
C.适当减小内外轨道的高度差
D．适当增加内外轨道的高度差
4．如图所示为高速公路某弯道处，该段公路宽度为16 m，内外侧的高度差为2 m，某车道设计安全时速为108 km/h(无侧滑趋势)．已知角度较小时，角的正切值近似等于正弦值，g取10 m/s2.该车道的转弯半径为(　　)
A．500 m B．720 m
C．700 m D．520 m
5.
[2023·广东清远高一联考](多选)如图所示，汽车过拱形桥时的运动可以视为匀速圆周运动，质量为1 t的汽车以20 m/s的速度过桥，桥面的圆弧半径为100 m，g取.当汽车经过桥顶时，下列说法正确的是(　　)
A．汽车的向心加速度是4 m/s2
B．汽车受到的合力是8×103 N
C．汽车受到的支持力是6×103 N，方向竖直向上
D．汽车对桥面的压力是6×103 N，方向竖直向下
4．生活中的圆周运动
导学　掌握必备知识
一、
1．向心
2．(1)外轨　弹力　(2)重力G　支持力FN
二、
mg－FN　FN－mg　mg－　mg＋　越小　越大
三、
1．mg－m
2.　完全失重
四、
1．切线方向
2．消失　所需的向心力
3．(2)规定的速度
情境思考
提示：由于人与飞机一同做匀速圆周运动，重力和座椅对人的支持力的合力提供人做匀速圆周运动所需的向心力，即mg－FN＝m，可知mg>FN，由牛顿第三定律知，飞机上的乘客对座椅的压力小于其重力．
共研　突破关键能力
目标一
　提示：提供向心力的方式不一样，摩托车转弯时由摩擦力提供向心力，火车转弯时由支持力在水平方向上的分力提供向心力．
火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设置特别的轨道，使外轨高于内轨，使火车受到的重力与支持力的合力提供向心力．
[例1]　解析：(1)72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有FN＝m＝ N＝105 N，由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N.
(2)火车过弯道时，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，则mg tan θ＝m，由此可得tan θ＝＝0.1.
答案：(1)105 N　(2)0.1
[例2]　解析：
自行车(包括人)受地面支持力FN的方向竖直向上，A项错误；由μMg＝M得转弯时自行车不发生侧滑的最大速度v＝，B项正确；转弯时自行车(包括人)与地面间的静摩擦力一定小于或等于最大静摩擦力μMg，C项错误；转弯速度越大，向心力越大，则自行车所在平面与地面的夹角α越小，D项正确．
答案：BD
目标二
提示：(1)小球经过凹桥底部时从两轨间掉了下去，说明运动的小球对凹桥底部的压力大于静止时的压力．
(2)小球运动到凸桥顶端时没有落下，说明运动的小球对凸桥顶端的压力小于静止时的压力．
[例3]　解析：
汽车在“过水路面”的最低点时受力如图所示，由牛顿第二定律得FN－mg＝，解得FN＝mg＋m＝(800×10＋800×) N＝8 400 N．根据牛顿第三定律得，汽车对路面的压力大小F′N＝FN＝8 400 N.
答案：8 400 N
[例4]　解析：(1)以汽车为研究对象，由牛顿第二定律得
mg－FN＝，代入数据解得FN＝7 600 N.
(2)当FN＝0时，有mg＝，
解得v2＝＝10 m/s.
(3)当v3＝时汽车就会“飞”起来，将R＝6.4×106 m代入得v3＝8 000 m/s.
选驾驶员为研究对象，由m′g－F′N＝得F′N＝0.
根据牛顿第三定律知驾驶员对座椅的压力为0，驾驶员处于完全失重状态．
答案：(1)7 600 N　(2)10 m/s　(3)8 000 m/s　0　完全失重状态
目标三
提示：(1)重力和空气阻力．
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的合力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出．
(3)向心力突然消失或物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力．
[例5]　解析：摩托车通过的是水平弯道，竖直方向上重力和支持力平衡，不提供向心力，向心力由地面对摩托车的摩擦力提供，A、B错误；根据向心力公式有F向＝m，所以速度越大，所需的向心力越大，C错误；当摩托车过弯道的速度过大时，摩擦力不足以提供此时所需的向心力，摩托车做离心运动，D正确．故选D.
答案：D
[例6]　解析：汽车转弯时受到重力、地面的支持力以及地面给的摩擦力，其中摩擦力充当向心力，故A错误；当汽车转弯的速度为20 m/s时，根据牛顿第二定律可得，所需的向心力Fn＝m＝ N＝1×104 N，小于最大静摩擦力1.4×104 N，汽车不会发生侧滑，故B、C错误；汽车能安全转弯的向心加速度为an＝＝ m/s2＝，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过，故D正确．
答案：D
精练　落实学科素养
1．解析：公路上的减速带是为了防止汽车超速而产生危险，不属于防止离心现象造成危害；砂轮外侧加防护罩是为了避免砂轮转速过大发生离心现象而分裂飞出；链球运动场地安装防护网是为了防止链球离心飞出而造成危害；弯道限速是为了防止汽车车速过大发生离心现象，造成翻车或侧滑．故选A.
答案：A
2．解析：做匀速圆周运动的空间站中的航天员，所受重力全部提供其做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，并非航天员不受重力作用，A、C正确，B、D错误．
答案：AC
3．解析：
火车转弯时，若速度合适，内外轨道均不受挤压，此时，重力和支持力的合力提供向心力，如图所示．根据mg tan θ＝m，解得v＝.火车速度提高时，为了使外轨不受损，应适当增大弯道半径或适当增加内外轨道的高度差，故A、C错误，B、D正确．
答案：BD
4．解析：设路面的倾角为θ，由题意可知tan θ≈sin θ＝＝.汽车以安全时速转弯时，刚好由汽车的重力和路面对汽车的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有mg tan θ＝m，解得r＝720 m，故B正确．
答案：B
5．解析：汽车经过桥顶时，由匀速圆周运动的知识可得an＝＝ m/s2＝4 m/s2，F合＝man＝×4 N＝4×103 N，故A正确，B错误；根据牛顿第二定律得mg－FN＝F合，解得FN＝6×103 N，即汽车受到的支持力大小为6×103 N，方向竖直向上，根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力大小为6×103 N，方向竖直向下，故C、D正确．
答案：ACD第六章素养综合评价
(时间：75分钟　满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分，每小题只有一个选项符合题意．)
1．下列情形中，关于向心力的来源判断正确的是(　　)
A．图甲中，动车转弯时，铁轨的支持力提供向心力
B．图乙中，飞机在水平面内转弯时，重力与升力的合力提供向心力
C．图丙中，汽车在水平路面上转弯时，轨迹切线方向上的摩擦力提供向心力
D．图丁中，小孩乘坐旋转木马运动时，木马的重力提供向心力
2.
如图所示，餐桌上的水平玻璃转盘匀速转动时，其上的物品相对于转盘静止，则以下说法正确的是(　　)
A．越靠近圆心的物品线速度越大
B．越靠近圆心的物品加速度越小
C．越靠近圆心的物品角速度越小
D．越靠近圆心的物品所受摩擦力越小
3.
在2022年3月23日的“天宫课堂”上，航天员王亚平摇晃装有水和油的小瓶，静置后水和油混合在一起没有分层．图甲为航天员叶光富启动“人工离心机”，即用绳子一端系住装有水油混合的瓶子，以绳子的另一端O为圆心做如图乙所示的圆周运动，一段时间后水和油成功分层(水的密度大于油的密度).以空间站为参考系，此时(　　)
A．水和油的线速度大小相等B．水的向心加速度比油的小
C．油对水有指向圆外的作用力D．水对油的作用力大于油对水的作用力
4.
2022年2月7日，任子威为中国队夺得短道速滑男子1000m的冬奥会历史首金．某中学生特意发布了一篇推文，来介绍其比赛中过弯道的情景(如图所示).下列说法正确的是(　　)
A．此时运动员处于平衡状态
B．此时运动员受到重力、支持力和向心力的作用
C．若转弯半径相同，速率越大，运动员越容易发生侧滑
D．若速率相同，转弯半径越大，运动员越容易发生侧滑
5.
在2022年3月23日天宫课堂中，航天员老师利用手摇离心机将水油分离．天宫课堂中宇航员的手摇离心机可简化为如图在空间站中手摇小瓶的模型．假设小瓶(包括小瓶中的油和水)的质量为m，P为小瓶的质心，细线的长度(从图中O到P之间的长度)为L，小瓶在t时间内转动了n圈．当小瓶转动到竖直平面内最高点时，细线中的拉力为(　　)
A．B．C．D．
6.
2022年2月18日，北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中，中国选手谷爱凌夺冠，摘得中国代表团本届冬奥会第八金．如图所示，当运动员在决赛中经过U型场地最低点时，下列说法正确的是(　　)
A．地面对滑板的支持力大于滑板对地面的压力
B．运动员对滑板的压力大于地面对滑板的支持力
C．运动员对滑板的压力等于运动员所受的重力
D．运动员对滑板的压力大于运动员所受的重力
7.
铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为r.若质量为m的火车转弯时速度等于，则下列说法正确的是(　　)
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于D．这时铁轨对火车的支持力大于
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．)
8.
[2023·浙江精诚联盟联考]如图所示是起吊重物的吊车．某次操作过程中，液压杆收缩，吊臂绕固定转轴O逆时针转动，吊臂上的A、B两点做圆周运动，此时A点的角速度为ω，液压杆的长度为d，OB＝2OA＝2l.下列说法正确的是(　　)
A．A点的速度方向垂直于液压杆B．B点的角速度为ω
C．A、B两点的线速度大小关系为vB＝2vAD．A点的线速度大小为ωl
9.
如图所示，乘坐游乐园的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动．下列说法正确的是(　　)
A．人在最低点时对座位的压力大于mg
B．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
C．人在最高点时对座位仍可能产生压力，且压力不一定小于mg
D．车在最高点时人处于倒坐状态，若没有保险带，人一定会掉下去
10.
如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力Ffmax＝6.0N，绳的一端系该木块，通过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端系一个质量m＝1.0kg的物体N.当转台以角速度ω＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止．则木块到O点的距离可以是(g取10m/s2，木块、物体可看成质点)(　　)
A．0.04mB．0.08mC．0.16mD．0.32m
三、非选择题(本题共5小题，共54分．按题目要求作答，计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位．)
11．(8分)如图是一个研究向心力与哪些因素有关的实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的物体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周的轨道半径为r，力电传感器测定的是向心力F，光电传感器测定的是物体的线速度．实验中测得的数据如下表．
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
甲、乙、丙三图是根据上述实验数据作出的F v、F v2、F v3三个图像．
(1)研究向心力与线速度的关系时，保持物体质量和运动半径一定，为方便研究，应画的图像是________．
A．甲图像，即F v图像　　　　B．乙图像，即F v2图像　　　　C．丙图像，即F v3图像
(2)为研究F与r的关系，实验时除保持物体的质量不变外，还应保持不变的物理量是______________．
(3)已知表中数据是r＝0.1m时所得的数据，根据所学知识和上述信息，求得物体的质量为________kg(保留两位小数).
12.
(8分)某同学设计了如图所示装置探究向心力与质量、半径关系的实验．水平杆光滑，竖直杆与水平杆铰合在一起，互相垂直，绕过定滑轮的细线两端分别与物块和力传感器连接．
(1)探究向心力与质量关系时，让物块1、2的质量不同，测出物块1、2的质量分别为m1、m2，保持____________________相同，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1 F2图像．如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与质量成正比．
(2)探究向心力与半径关系时，让物块1、2的________相同，测出物块1和物块2到转轴的距离分别为r1、r2，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，测出多组F1、F2，作出F1 F2图像．如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于________，则表明在此实验过程中向心力与半径成正比．
13.
(10分)2022年2月19日，北京冬奥会花样滑冰双人滑比赛中，中国选手夺得中国队第九金．图甲中，男运动员以自己为轴拉着女运动员做圆锥摆运动，可简化为如图乙所示的模型．物块的重力为mg，物块到悬挂点的摆线长为L，测得物块在时间t内完成了n次完整的圆锥摆运动．
(1)求悬线与竖直方向的夹角(可用三角函数表示)；
(2)求悬线对物块的拉力．
14.
(12分)如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，另一小球P从距圆周最高点为h处开始自由下落，重力加速度为g.要使两球在圆周最高点相碰，求：
(1)Q球转动的角速度ω；
(2)Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值．
15.
(16分)激光高速特技车(以下简称小车)依靠强磁电机提供动力，能以很大的速度在空心圆体中运动，如图甲所示．某同学将鱼缸固定在示数已调零的台秤上，打开小车开关，使小车在半径为r＝0.064m的竖直面内沿鱼缸表面做匀速圆周运动．已知鱼缸的质量M＝0.90kg，小车的质量m＝0.01kg，不考虑空气阻力等影响，运动模型如图乙所示．
(1)求小车恰能过最高点A时速度大小v1；
(2)若小车在最高点A时，台秤的示数为F1＝5.5N，求此时小车速度大小v2；
(3)在(2)的前提下，求小车在最低点B时台秤的示数F2.
第六章素养综合评价
1．解析：图甲中，动车转弯时，铁轨的支持力和重力(或支持力、重力和铁轨的挤压力)的合力提供向心力，A错误；图乙中，飞机在水平面内转弯时，升力和重力的合力提供向心力，B正确；图丙中，汽车在水平路面转弯时，径向上的摩擦力提供向心力，C错误；小孩乘坐旋转木马运动时，木马对小孩的作用力和小孩的重力的合力提供向心力，D错误．故选B.
答案：B
2．解析：玻璃转盘上物体的运动相当于同轴转动，即角速度相等，由关系式v＝ωR可知，当角速度相同时，线速度与半径成正比，故A、C错误；由关系式a＝ω2R可知，当角速度相同时，加速度与半径成正比，故B正确；由牛顿第二定律可知f＝mω2R，当角速度相同时，物体所受摩擦力的大小与物品的质量以及半径有关，故D错误．故选B.
答案：B
3．解析：由于水的密度大于油的密度，因此水在底层，油在上层．水和油的角速度相等，但运动半径不同，因此线速度不相等，A错误；根据a＝ω2r，由于水的半径大，因此水的向心加速度比油的大，B错误；油做圆周运动的向心力是由水提供的，根据牛顿第三定律，油对水有指向圆外的作用力，且与水对油的作用力大小相等，C正确，D错误．
答案：C
4．解析：运动员过弯道时在水平面内做圆周运动，有向心加速度，不是平衡状态，A错误；对运动员受力分析，受重力、支持力和摩擦力，向心力是效果力，不能与性质力同时分析，B错误；根据F＝m知，弯道半径相同，速率越大，向心力越大，越容易发生侧滑，C正确；根据F＝m知，速率相同，弯道半径越小，向心力越大，越容易冲出跑道，弯道半径越大，向心力越小，越不容易发生侧滑，D错误．故选C.
答案：C
5．解析：小瓶在t时间内转动了n圈，则周期为T＝.在空间站中手摇小瓶在竖直平面内做匀速圆周运动，仅有线的拉力提供向心力，有FT＝mL＝，故选C.
答案：C
6．解析：地面对滑板的支持力和滑板对地面的压力，是一对相互作用力，大小相等，故A错误；滑板做圆周运动，受到地面对它向上的支持力、重力及运动员对它向下的压力，合力提供向心力，因此运动员对滑板的压力小于地面对滑板的支持力，故B错误；运动员受到滑板的支持力和重力，合力提供向心力，因此支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知，运动员对滑板的压力等于滑板对运动员的支持力，故C错误，D正确．
答案：D
7．解析：
对火车进行受力分析如图，由图中几何关系得FNcosθ＝mg，则FN＝，火车的速度为时，火车的重力和轨道对火车的支持力的合力恰好等于所需的向心力，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确，A、B、D错误．
答案：C
8．解析：吊臂绕固定转轴O旋转，A点为吊臂上一点，故A点的速度方向垂直于吊臂，A错误；A、B两点都在吊臂上共同绕固定转轴O旋转，故B点的角速度等于A点的角速度，B正确；根据v＝ωr可知，A点的线速度大小为ωl，vB＝2vA，故C、D正确．
答案：BCD
9．解析：人在最低点时支持力与重力的合力提供向心力，即满足F1－mg＝m，支持力大于重力，由牛顿第三定律可得，人对座位的压力大于mg，A正确；人在最高点和最低点时的速度大小不同，向心加速度a＝，故向心加速度大小不相等，B错误；人在最高点时满足F2＋mg＝m，可知座位对人仍可能产生压力，且压力不一定小于mg，与经过最高点的速度v2大小有关，由牛顿第三定律知，人在最高点时对座位仍可能产生压力，且压力不一定小于mg，C正确；车在最高点时人处于倒坐状态，只要速度达到一定值，即使没有保险带，人也不会掉下去，D错误．故选AC.
答案：AC
10．解析：木块做匀速圆周运动，转台对木块的静摩擦力和绳子的拉力的合力提供向心力，其中物体N处于平衡状态，则绳子的拉力等于物体的重力，根据向心力公式得Fn＝mg＋Ff＝Mω2r，解得r＝.当Ff＝Ffmax＝6.0N时，r最大，rmax＝m＝0.32m，当Ff＝－6.0N时，r最小，则rmin＝m＝0.08m，故木块到O点的距离为0.08～0.32m，B、C、D正确．
答案：BCD
11．解析：(1)向心力与线速度的关系为F＝m，物体质量和运动半径一定时，向心力和线速度的平方成正比，因此为方便研究，应画的图像是F v2图像．故选B.
(2)根据F＝m和F＝mω2r可知，为研究F与r的关系，实验时除保持物体的质量不变外，还应保持不变的物理量是线速度v(或角速度ω)的大小．
(3)利用表中数据可得F＝0.88v2，
又F＝m＝v2，则的值为0.88kg·m－1，
当r＝0.1m时，解得m≈0.09kg.
答案：(1)B　(2)线速度v(或角速度ω)的大小　(3)0.09
12．解析：(1)探究向心力与质量关系时，让物块1、2的质量不同，保持物块到竖直轴的距离相同，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，作出F1 F2图像，由F＝mω2r可知，＝.如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于，则表明在此实验过程中向心力与质量成正比．
(2)探究向心力与半径关系时，让物块1、2的质量相同，测出物块1和物块2到转轴的距离分别为r1、r2，转动竖直杆，测出不同角速度下两力传感器的示数F1、F2，作出F1 F2图像．由F＝mω2r可知，＝，如果作出的图像是过原点的直线，且图像的斜率等于，则表明在此实验过程中向心力与半径成正比．
答案：(1)物块到竖直轴距离　　(2)质量　
13．解析：(1)由题意知物块做圆周运动的周期T＝，
对物块受力分析可得mgtanθ＝mLsinθ，
解得cosθ＝.
(2)由受力分析可得悬线对物块的拉力F＝，
代入数据可得F＝.
答案：(1)cosθ＝　(2)
14．解析：(1)小球P做自由落体运动，有h＝gt2，
解得t＝，
Q球运动到最高点的时间为
t′＝＋nT(n＝0，1，2，3，…)，
由于T＝，t＝t′，
解得ω＝2π(＋n) (n＝0，1，2，3，…).
(2)根据公式T＝，
解得T＝(n＝0，1，2，3，…)
当n取0时，周期最大，最大值为Tmax＝4.
答案：(1)2π(＋n) (n＝0，1，2，3，…)
(2)(n＝0，1，2，3，…)　4
15．解析：(1)小车恰好能过最高点，小车在最高点A刚好由重力提供做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m，
解得v1＝＝0.8m/s.
(2)小车在最高点A时，以小车为对象，设鱼缸对小车的弹力大小为FA，根据牛顿第二定律可得FA＋mg＝m，
以鱼缸为对象，根据受力平衡可得F′1＋F′A＝Mg，
由牛顿第三定律可知FA＝F′A，F′1＝F1，
联立解得v2＝4.8m/s.
(3)小车在最低点B时，以小车为对象，设鱼缸对小车的弹力大小为FB，根据牛顿第二定律可得FB－mg＝m，
以鱼缸为对象，根据受力平衡可得F′2＝Mg＋F′B，
由牛顿第三定律可知FB＝F′B，F′2＝F2，
联立解得F2＝12.7N.
答案：(1)0.8m/s　(2)4.8m/s　(3)12.7N拓 展 课5　竖直面内的圆周运动和圆周运动的临界问题
素养·目标要求
1．掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法．
2．知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件．
3．掌握圆周运动临界问题的分析方法．
拓展一　竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
【导思】
如图所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动．小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”．
(1)小球在竖直平面内的运动是匀速圆周运动吗？
(2)小球运动到最高点时，由什么力来提供向心力？绳上拉力或轨道的弹力与速度有何关系？
(3)试分析小球通过最高点的最小速度．
(4)分析小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
模型特点
项目 特点
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零
受力
示意图
力学方程 mg＋FT(FN)＝m
临界特征 FT(FN)＝0，即mg＝m，得v＝
v＝的意义 物体能否过最高点的临界速度
【典例】
例 1 如图所示，水流星是中国传统杂技的保留项目，是中华文化的重要传承．结实的绳子系着装有水的水桶，使水桶在竖直平面内做圆周运动，为了研究问题方便，可以把水桶当作质点．桶内水的质量为0.5 kg，水桶做圆周运动的半径R＝0.4 m，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)若在最高点时水不流出，求此时水桶的最小速率．
(2)若在最高点时水桶的速率为4 m/s，求此时水对桶底的压力．
(3)若在最低点时桶底承受的压力为桶内水重力的6倍，求此时水桶的速率．
例 2 如图所示，游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高空倒悬时吓得魂飞魄散．轨道最高处离地面32 m，最低处几乎贴地，圆环直径15 m，过山车经过圆环最高点时的速度约为18 m/s.在这样的情况下能否保证乘客的安全呢？(g取m/s2)
拓展二　竖直面内圆周运动的轻杆模型
【导思】
如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”．
(1)试分析小球通过最高点的最小速度．
(2)分析小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【归纳】
模型特点
项目 特点
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程 mg±FN＝m
临界特征 v＝0，即Fn＝0，此时FN＝mg
v＝的意义 FN表现为拉力还是支持力的临界速度
【典例】
例 3 如图所示，长度为0.5 m的轻质细杆OA，A端固定一质量为3 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动．若小球通过最高点时的速度为2 m/s，取g＝10 m/s2，则此时轻杆OA受到小球的作用力为(　　)
A．6 N的拉力 B．6 N的压力
C．54 N的拉力 D．54 N的压力
例 4[2023·山西长治高一下期中](多选)竖直平面内的圆周运动是高中物理的经典模型之一．某同学通过如下实验来探究其相关规律，如图所示，质量为m的小球固定在力传感器测量的一侧，传感器另一侧与轻杆连接．现给小球一初速度让其绕杆上的水平轴O点做圆周运动，小球到O点的距离为L，已知当力传感器受到小球对它的压力时读数为负，受到拉力时读数为正，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
A．只有当小球通过圆周最高点的速度大于时才能做完整的圆周运动
B．若小球通过圆周最高点时的速度为 ，则力传感器读数为－mg
C．小球在与圆心等高的B点下方运动的过程中，力传感器读数总是正值
D．若小球通过圆周最低点时的速度为，则力传感器读数为mg
例 5 (多选)如图所示，有一个半径为r的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动．关于小球在最高点时的速度v，下列叙述中正确的是(　　)
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
C．当v由逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大
D.当v由逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大
规律方法
竖直面内圆周运动的求解思路
拓展三　水平面内的圆周运动的临界问题
【归纳】
1．常见三种情况
(1)不滑动的临界问题
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图所示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffm＝，解得vm＝.
(2)与支持面或杆的弹力有关的临界问题
此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)等．
(3)绳子被拉断的临界问题
质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动．当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝，解得vm＝.这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度．
2．解题方法
(1)对物体进行受力分析．
(2)找到其中变化的力以及它的临界值．
(3)求出向心力(合力或沿半径方向的合力)的临界值．
(4)用向心力公式求出运动学量(线速度、角速度、周期、半径等)的临界值．
【典例】
例 6 如图所示，AB为竖直转轴，在细绳AC和BC的结点C处系一质量为m的小球，两绳能承担的最大拉力均为2mg.当AC和BC均拉直时，∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1 m.ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动．当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断．
(1)哪根绳最先被拉断？
(2)求另一根绳被拉断时小球的线速度v的大小．(已知g取 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
例 7 (多选)如图所示，水平转台上放置两个质量均为10 kg的滑块A、B，用一根不可伸长的轻质细绳连接(细绳绷紧但无张力)．二者距离转轴的距离均为0.1 m，其中A与转台间的动摩擦因数为0.75，B与转台间的动摩擦因数为0.25.现缓慢增大转台的转速，已知绳子能承受的最大拉力为25 N，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为10 m/s2.下列说法正确的是(　　)
A．转台的角速度超过5 rad/s时，细绳将断裂
B．细绳拉断后A、B两滑块同时发生滑动
C．细绳拉断后滑块A受到的摩擦力大小为50 N
D．若细绳可承受无限大拉力，则A、B永远不会发生相对滑动
例 8 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°.当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取 m/s2，结果可用根式表示)
(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为α＝60°，则小球的角速度ω′为多大？
拓展课5　竖直面内的圆周运动和圆周运动的临界问题
拓展一
　提示：(1)因为速度的方向与力的方向不总是相互垂直，所以小球在竖直平面内的运动不是匀速圆周运动．
(2)对于图甲，向心力由小球的重力和绳的拉力的合力提供；对于图乙，向心力由小球的重力和轨道的弹力的合力提供．一般来说，速度越大，绳的拉力或轨道的弹力越大．
(3)由于绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F＋mg＝m可知，当F＝0时，v最小，最小速度为v＝.
(4)①v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零．
②v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点．
③v>时，mg[例1]　解析：(1)水跟着水桶一起做圆周运动，要让水不流出水桶，则在最高点处有mg≤m，
解得v≥＝2 m/s，则水桶的最小速率为2 m/s.
(2)设在最高点时桶底对水的压力为FN1，由牛顿第二定律有mg＋FN1＝，解得FN1＝15 N．由牛顿第三定律知水对桶底的压力为15 N，方向竖直向上．
(3)在最低点时桶底承受的压力为桶内水重力的6倍，则桶底对水的支持力为桶内水的重力的6倍，桶底对水的支持力为FN2，由牛顿第二定律有FN2－mg＝，解得v2＝2 m/s.
答案：(1)2 m/s　(2)15 N，方向竖直向上　(3)2 m/s
[例2]　解析：要保证乘客安全，过山车能通过圆环最高点时的最小速度为临界速度，
此时圆形轨道对过山车的作用力为零，重力提供向心力，则有mg＝，解得v＝＝5 m/s，
由5 m/s<18 m/s可知，这种情况下过山车和人一定能安全通过顶点．
答案：能保证安全
拓展二
　提示：(1)由于杆(或管道)在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
(2)①v＝时，mg＝m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力．
②v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝m，即F＝mg－m，v越大，F越小．
③v>时，mg[例3]　解析：小球运动到最高点时受到重力与轻杆的弹力，假设轻杆对小球的弹力方向向上，大小为FN，此时小球受到的合力提供向心力，有mg－FN＝，解得FN＝mg－＝6 N，说明轻杆对小球提供向上的支持力，根据牛顿第三定律可知，轻杆OA受到小球向下的压力，大小为6 N．故选项B正确．
答案：B
[例4]　解析：轻杆模型中，小球通过最高点的速度大于等于零时，就能做完整的圆周运动，A错误；在最高点，对小球受力分析有mg＋F＝m，将速度 代入，解得F＝－mg，传感器受到向下的压力，B正确；在与圆心等高的B点下方运动的过程中，小球需要的向心力由传感器对小球的拉力减去重力沿杆向外的分力提供，小球一直受到拉力，力传感器读数总是正值，C正确；在最低点，对小球受力分析有F′－mg＝m，将速度代入，解得F′＝3mg，D错误．
答案：BC
[例5]　解析：小球在最高点，管道对小球的作用力可以向上，也可以向下，所以v的最小值为零，故A错误．在最高点，当v＝时，根据牛顿第二定律得mg－FN＝，可得管道对小球的作用力FN＝0；当v<时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，当v由逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大；当v>时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN＝m，当v由逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大．故C、D正确，B错误．
答案：CD
拓展三
[例6]　解析：(1)当小球的线速度增大时，竖直方向合力为0，则细绳AC的拉力不变，即FTA不变，则FTB增大，所以BC绳先断．
(2)当BC绳断开后，小球线速度继续增大，当FTAC＝2mg时，AC绳被拉断．设此时AC绳与竖直方向夹角为α，对小球受力分析如图所示，则有
FTACcos α＝mg，
FTACsin α＝，
r＝LACsin α，
且FTAC＝2mg，
解得α＝60°，v＝5 m/s.
答案：(1)BC绳先断　(2)5 m/s
[例7]　解析：设转台的角速度为ω时，细绳恰好拉断，此时细绳拉力为FT＝25 N，此时对B根据牛顿第二定律可得FT＋μ2mg＝mω2r，解得ω＝5 rad/s，故A错误；细绳拉断瞬间，A需要的向心力FA＝mω2r＝50 N，A与转盘间的最大静摩擦力FfA＝μ1mg＝75 N，则静摩擦力足以提供向心力，A不发生滑动，同理B与转盘间的最大静摩擦力FfB＝μ2mg＝25 N，不足以提供向心力，B发生滑动，故B错误；细绳拉断后，A受到的摩擦力提供向心力，大小为FA＝mω2r＝50 N，故C正确；若细绳可承受无限大拉力，而两者需要的向心力大小相同，拉力与摩擦力的合力总是足以提供向心力，A、B永远不会发生相对滑动，故D正确．故选C、D.
答案：CD
[例8]　解析：(1)
若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平．在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mg tan θ＝l sin θ，
解得ω0＝ ＝ rad/s.
(2)当细线与竖直方向夹角为α＝60°时，由牛顿第二定律及向心力公式得
mg tan α＝mω′2l sin α，
解得ω′＝ ＝2 rad/s.
答案：(1) rad/s　(2)2 rad/s第六章综合提升
知识网络构建
核心素养提升
情境1　山东舰测试——科学思维
例 1[2023·浙江湖州高一下期末]山东舰是我国首艘自主建造的国产航母，如图为山东舰进行180°回转测试．山东舰以较为稳定的航行姿态，最终在海面上画了一个直径约为1 000米的浪圈．将山东舰的运动近似看作匀速圆周运动，浪圈近似看作其运动轨迹，忽略山东舰的大小和形状，设其航速约为20节(1节＝1.852 km/h)．根据上述信息，下列关于山东舰回转测试的物理量中，不能近似求得的是(　　)
A．运动周期T
B．运动角速度ω的大小
C．向心加速度an的大小
D．向心力Fn的大小
情境2　短道速滑——科学思维
例 2 2022年2月7日在首都体育馆举行的北京冬奥会短道速滑项目男子1 000 m决赛中，中国选手任子威夺得冠军，其比赛场地如图所示．场地周长为111.12 m，其中直道长度为28.85 m，弯道半径为8 m.若一名质量为50 kg的运动员以大小为12 m/s的速度进入弯道，紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，运动员可看作质点，重力加速度g取，则运动员在弯道上受到冰面最大作用力的大小最接近(　　)
A．500 N B．900 N
C．1 030 N D．2 400 N
情境3　气嘴灯——科学思维
例 3[2023·浙江杭州期中]如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，LED灯就会发光．下列说法正确的是(　　)
A．安装时A端比B端更远离圆心
B．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
C．高速旋转时，重物由于受到离心力的作用，拉伸弹簧从而使触点接触
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
情境4　单杠——模型建构
例 4 (多选)如图所示是单杠运动员在单臂旋转过程中的动作．已知运动员的质量为m，重心到手支撑点的距离为L，运动员在竖直面内做圆周运动且刚好能通过最高点，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
A．运动员在最高点时速度为
B．运动员在最高点时向心力为0
C．若运动员在最低点速度变大，则他对单杠的作用力可能减小
D．若运动员在最高点速度变大，则他对单杠的作用力可能增大，也可能减小
情境5　餐桌——模型建构
例 5[2023·山东德州第一中学模拟]一种餐桌的构造如图甲所示．已知圆形玻璃转盘的半径r＝0.6 m，圆形桌面的半径R＝1 m，不计转盘的厚度，桌面到地面的高度h＝1 m．轻绳一端固定在转盘边缘，另一端连接着质量m＝2 kg的小物块，小物块被轻绳带动沿桌面边缘一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同，俯视图如图乙所示．某时刻轻绳突然断裂，小物块沿桌面边缘飞出后的落地点到桌面和转盘共同圆心O的距离s＝ m，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小物块飞出桌面边缘的速度大小v0.
(2)求小物块与桌面之间的动摩擦因数μ.
情境6　盘山公路——科学思维
例 6 如图中给出了一段S形单行盘山公路的示意图．弯道1、弯道2可看作同一水平面上的圆弧，圆心分别为O1、O2，弯道中心线半径分别为r1＝10 m，r2＝20 m，有一直道与弯道1、弯道2两弯道圆弧相切．质量m＝1 200 kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑．(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)若汽车以一恒定的速率沿弯道中心、直道中心线(图中虚线所示)行驶，求通过盘山公路的最大速率v(可用根式表示)．
(2)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道．设路宽d＝10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点，结果保留两位有效数字)．
第六章综合提升
核心素养提升
[例1]　解析：由题意可知山东舰做匀速圆周运动的直径d≈1 000 m，线速度v＝ m/s≈10 m/s，根据T＝＝，可得周期T≈314 s，根据ω＝＝，可得角速度大小ω≈0.02 rad/s，根据an＝＝，可得向心加速度大小an≈0.2 m/s2，但是由于不知道山东舰的质量，所以无法求山东舰所需向心力Fn的大小，故选D.
答案：D
[例2]　解析：运动员在水平面内做匀速圆周运动需要的向心力为Fn＝m＝900 N，竖直方向受力平衡，则FN＝mg＝500 N，所以运动员受到冰面的作用力F＝≈1 030 N，故选C.
答案：C
[例3]　解析：要使重物做离心运动从而使M、N接触，则A端应靠近圆心，因此安装时A端比B端更远离气嘴，A错误；灯在最低点时，根据牛顿第二定律得F弹－mg＝mω2r，解得ω＝ ，因此增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光，B正确；转速越大，所需向心力越大，弹簧拉伸得越长，M、N接触时灯就会发光，不能说重物受到离心力作用，C错误；灯在最低点时有F1－mg＝，灯在最高点时有F2＋mg＝，匀速行驶时，在最低点时弹簧对重物的弹力大于在最高点时弹簧对重物的弹力，因此匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时不一定能发光，D错误．
答案：B
[例4]　解析：运动员在竖直面内做圆周运动且刚好能通过最高点，此时运动员的重力和单杠对他的支持力平衡，则在最高点时速度为0，向心力为0，故A错误，B正确；运动员在最低点时，向心力Fn＝F－mg＝m，解得单杠对他的作用力F＝mg＋m，可知，当运动员在最低点速度变大时，单杠对他的作用力增大，根据牛顿第三定律可知，他对单杠的作用力增大，故C错误；运动员在最高点时，恰好由重力提供向心力，即mg＝m，解得此时运动员的速度v＝，当v<时，有mg－F＝m，速度v增大，F减小，当v>时，有mg＋F＝m，速度v增大，F增大，故D正确．故选B、D.
答案：BD
[例5]　解析：(1)小物块沿桌面边缘飞出后做平抛运动，设运动时间为t，则竖直位移为h＝gt2，水平位移为x＝v0t，
由几何关系可知s＝，
联立解得v0＝ m/s.
(2)设轻绳对小物块的拉力大小为FT，方向与小物块和圆心O连线的夹角为θ，则
sin θ＝，
小物块沿桌面边缘旋转时的向心力由轻绳的拉力FT和小物块与桌面间的摩擦力Ff共同提供，故
FTcos θ＝，FTsin θ＝Ff，Ff＝μmg，
联立解得μ＝.
答案：(1) m/s　(2)
[例6]　解析：(1)当汽车所受的静摩擦力达到最大时，汽车的速度最大，汽车在弯道1上转弯时，由牛顿第二定律得kmg＝，解得v1＝＝5 m/s，
汽车在弯道2上转弯时，由牛顿第二定律得，kmg＝，解得v2＝＝5 m/s，
比较v1、v2大小，通过盘山公路的最大速率v＝5 m/s.
(2)用时最短路线应为过A、B两点且与路内侧边相切的圆弧，如图所示，
则有R2＝＋[R－(r1－)]2，解得R＝12.5 m，
由kmg＝，可得vm＝＝12.5 m/s，
sin θ＝＝，解得θ＝53°，
线路长度为s＝·2πR＝23.1 m，解得t＝＝1.8 s.
答案：(1)5 m/s　(2)1.8 s

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