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一　集合与常用逻辑用语
必记结论
1.集合
(1)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
(2)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所述：
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
x∈M，p(x) x∈M， p(x)
3.充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p q，且qD /p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
易错剖析
易错点1　忽视集合中元素的互异性
【突破点】　求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验．
易错点2　未弄清集合的代表元素
【突破点】　集合的特性由元素体现，在解决集合的关系及运算时，要弄清集合的代表元素是什么．
易错点3　遗忘空集
【突破点】　空集是一个特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思维定式的原因，在解题中常遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．
易错点4　忽视不等式解集的端点值
【突破点】　进行集合运算时，可以借助数轴，要注意集合中的“端点元素”在运算时的“取”与“舍”．
易错点5　对含有量词的命题的否定不当
【突破点】　由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在进行命题否定时易只否定全称量词命题的判断词，而不否定被省略的全称量词．
易错快攻
易错快攻一　忽视不等式解集的端点值
1[2022·北京卷]已知全集U＝{x|－3A．(－2，1]　　B. (－3，－2)
C．[－2，1) D. (－3，－2]
易错快攻二　对含有量词的命题的否定不当
2设命题p： x<0，x2≥1，则 p为(　　)
A． x≥0，x2<1
B． x<0，x2<1
C． x≥0，x2<1
D． x<0，x2<1
一　集合与常用逻辑用语
[典例1]　解析：因为U＝{x|－3答案：D
[典例2]　解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以应先将存在量词改成全称量词，然后否定结论即可，所以命题p： x<0，x2≥1的否定是 x<0，x2<1，故选B.
答案：B五　数列
必记结论
1.等差数列
设Sn为等差数列{an}的前n项和，则
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.
(2)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列．
(3)＝n＋是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列．
(4)Sn＝＝＝＝….
(5)若等差数列{an}的项数为偶数)，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1为中间两项)，S偶－S奇＝md，＝.
(6)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1(m∈N*)，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am(am为中间项)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
(7)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n).
2．等比数列
(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．
(3){an}，{bn}成等比数列，则{λan}，，{anbn}，成等比数列(λ≠0，n∈N*)．
(4)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.
(5)通项公式an＝a1qn－1＝·qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点．
(6)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．
(7)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为，x，xq；四个数成等比数列，通常设这四个数分别为，xq，xq3.
3．求数列通项公式的常用方法
(1)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：
an＝
(2)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝
(3)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．
(4)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．
(5)构造等比数列法：若已知数列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝＋λ)，其中λ＝，则数列就是以a1＋为首项，p为公比的等比数列，先求出数列的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可．
4．数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.
(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．
(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．
(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有
①＝；
②＝；
③<＝，
＝<<
＝；
④
＝ [].
易错剖析
易错点1　不清楚an与Sn的关系
【突破点】　已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，利用an＝Sn－Sn－1，需注意分n＝1和n≥2两种情况讨论．
易错点2　不清楚裂项和拆项的规律，导致多项或少项
【突破点】　“裂项法”的特点：①分式的每个分子相同，分母都是两个(或三个)代数式相乘，若不具备就需要转化；②剩余项一般是前后对称．常见形式有：.
易错点3　忽视对等比数列中公比的分类讨论
【突破点】　在解决等比数列{an}的前n项和时，通常只想到Sn＝，把q＝1的情况不自觉地排除在外，这是对前n项和公式理解不透所致．解等比数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论．
易错快攻
易错快攻一　忽视对n＝1的检验失分
1[2022·新高考Ⅰ卷]记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：＋…＋<2.
易错快攻二　忽视公比q的取值
2已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
五　数列
[典例1]　(1)解析：∵a1＝1，∴S1＝a1，∴＝1，
又∵{}是公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，
∴当n≥2时，Sn－1＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝，
整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，
即＝，
∴an＝a1××…×
＝1××…×＝，
显然对于n＝1也成立，
∴{an}的通项公式an＝.
(2)
[典例2]　解析：当A＝－B时，Sn＝Aqn－A，则an＝Aqn－1(q－1)，
当q＝1或A＝0时，an＝0，此时数列{an}不是等比数列．
若数列{an}是等比数列，当q＝1时，Sn＝na1，此时不具备Sn＝Aqn＋B(q≠0)的形式，故q≠1，
则Sn＝＝·qn，
此时A＝－，B＝，A＝－B.
综上，“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的必要不充分条件．故选B.
答案：B四　三角函数与平面向量
必记结论
1.诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα
正切 tanα tanα －tanα －tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
2.三种三角函数的性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
单调性 在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减　　　　 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增
对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) 对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：(k∈Z)
3.三角函数图象的变换
由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin (α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos (α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ.
tan (α±β)＝.
sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．
cos(α＋β)cos (α－β)＝cos2α－sin2β.
5．二倍角、辅助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα.
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝.
①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2.
②1－sin2α＝(sinα－cosα)2.
(2)辅助角公式
y＝asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin (x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝(a≠0)确定．
(3)半角公式
sin＝±，
cos＝±，
tan＝±＝＝.
6．正、余弦定理及其变形
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
变形 (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(5)＝＝2R cosA＝；cosB＝；cosC＝
7.平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2
夹角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立
易错剖析
易错点1　不清楚向量夹角范围
【突破点】　数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意隐含的情况．
易错点2　忽视正、余弦函数的有界性
【突破点】　许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．
易错点3　忽视三角函数值对角的范围的限制
【突破点】　在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围．
易错点4　图象变换方向或变换量把握不准确
【突破点】　图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．
易错快攻
易错快攻一　忽视向量的夹角范围致误
1已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)
A．　　B．C．　　D．
易错快攻二　函数图象平移的方向把握不准
2将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)
A．　　B．C．0　　　D．
四　三角函数与平面向量
[典例1]　解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
所以
所以即
设a，b的夹角为α，则cosα＝＝，
因为α∈[0，π]，
所以α＝，即a，b的夹角为，故选C.
答案：C
[典例2]　解析：将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin.
因为所得函数为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
即φ＝kπ＋(k∈Z)，则φ的一个可能取值为，故选B.
答案：B三　函数、导数
必记结论
1.函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为[，＋∞)，当a<0时，值域为(－∞，].
③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
3．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．
4．指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0，1)点；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1，0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；
当05．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
6．利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域；
②求导函数f′(x)；
③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．
7．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f′(x)＝0；
③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化；
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
易错剖析
易错点1　函数的单调区间理解不准确
【突破点】　对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．
易错点2　判断函数的奇偶性时忽略定义域
【突破点】　一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．
易错点3　不清楚导数与极值的关系
【突破点】　(1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号．
(2)已知极值点求参数要进行检验．
易错点4　混淆“切点”致误
【突破点】　注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．
易错点5　导数与单调性的关系理解不准确
【突破点】　(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件．
(2)对可导函数f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)内的任何子区间上都不恒为零．若求单调区间，可用充分条件．若由单调性求参数，可用充要条件．即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则容易漏解．
易错快攻
易错快攻一　混淆“切点”致误
1 (1)[2023·全国甲卷]曲线y＝在点(1，)处的切线方程为(　　)
A．y＝xB．y＝x
C．y＝x＋D．y＝x＋
(2)[2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
易错快攻二　混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”
2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－alnx在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
三　函数、导数
[典例1]　(1)解析：由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C.
(2)解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因为y0＝，切线过原点，所以f′(x0)＝，即＝.整理，得＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.
答案：C　(2)(－∞，－4)
[典例2]　(1)解析：因为f(x)＝x2－2x－alnx在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝2x－2－≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤2x2－2x在(0，＋∞)上恒成立，
而y＝2x2－2x＝2－≥－，当且仅当x＝时，等号成立，
所以a≤－，
所以实数a的取值范围为.
(2)解析：f(x)＝lnx－ax2－2x的定义域为(0，＋∞)，
由题意得f′(x)＝－ax－2<0在(0，＋∞)上有解，
即其中y＝＝－1≥－1，
故a>－1，故实数a的取值范围是(－1，＋∞)．七　解析几何
必记结论
1.直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2 k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2 k1·k2＝－1.
3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离
|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．
6．椭圆的标准方程及几何性质
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图形
几何性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 焦距与长轴长的比值：e＝＝∈(0，1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
7.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b＞0) ＝1(a>0，b＞0)
图形
几何性质 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 焦距与实轴长的比值：e＝＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 a2＝c2－b2
8.抛物线的标准方程及几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
几何性质 对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0，0)
焦点 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
离心率 e＝1
9.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为＝0，即y＝±x.
(2)若渐近线的方程为y＝±x(a>0，b>0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为＝λ(λ≠0)．
(3)若所求双曲线与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．
10．抛物线焦点弦的相关结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(3)＝.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
易错剖析
易错点1　遗漏方程表示圆的充要条件
【突破点】　二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解．
易错点2　解决截距问题忽略“0”的情形
【突破点】　解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：
(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．
易错点3　忽视斜率不存在的情况
【突破点】　(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2 k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2 k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．
易错点4　忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
【突破点】　凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，一定不能忘记对判别式的讨论．
易错点5　忽视双曲线定义中的条件
【突破点】　双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
易错点6　忽视圆锥曲线定义中的焦点位置
【突破点】　椭圆的焦点位置由分母的大小确定，双曲线则是根据二次项系数的符号来确定的．解决此类问题时，一定要将方程化为曲线的标准形式．
易错快攻
易错快攻一　忽视直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
1[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　)
A．B．
C．－D．－
易错快攻二　遗漏直线的斜率不存在的情况
2[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．
七　解析几何
[典例1]　解析：由题意，F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C.
答案：C
[典例2]　(1)解析：设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得，解得.
所以双曲线C的方程为＝1.
(2)解析：方法一　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4.
联立得，得(4m2－1)y2－32my＋48＝0.
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0.
由根与系数的关系得，所以y1＋y2＝y1y2.
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
所以＝，得＝＝＝.
因为＝
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
解析：方法二　由题意得A1(－2，0)，A2(2，0)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则＝1，即＝16.
如图，连接MA2，
＝·＝＝＝4　①.
由＝1，得4x2－y2＝－y2＝16，
4(x－2)2＋16(x－2)＋16－y2＝16，4(x－2)2＋16(x－2)－y2＝0.
由x＝my－4，得x－2＝my－6，my－(x－2)＝6，[my－(x－2)]＝1.
4(x－2)2＋16(x－2)·[my－(x－2)]－y2＝0，4(x－2)2＋(x－2)my－(x－2)2－y2＝0，
两边同时除以(x－2)2，得·＝0，
即－·＝0.
＝＝，
由根与系数的关系得＝－　②.
由①②可得＝.
：y＝(x＋2)＝：y＝(x－2)．
由，解得x＝－1.
所以点P在定直线x＝－1上．六　立体几何
必记结论
1.空间几何体的表面积和体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧＝2πrl S表＝2πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h
圆锥 S侧＝πrl S表＝πr(r＋l) V＝S底h＝πr2h
圆台 S侧＝π(r＋r′)l S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l) V＝(S上＋S下＋)h＝π(r2＋r′2＋rr′)h
直棱柱 S侧＝Ch(C为底面周长) S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0) V＝S底h
正棱锥 S侧＝Ch′(C为底面周长，h′为斜高) V＝S底h
正棱台 S侧＝(C＋C′)h′(C，C′分别为上、下底面周长，h′为斜高) V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
2.球的组合体
(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a(正四面体高a的)，外接球的半径为a(正四面体高a的)．
3．空间线面位置关系的证明方法
(1)线线平行： a∥b， a∥b，
a∥b， c∥b.
(2)线面平行： a∥α， a∥α，
a∥α.
(3)面面平行： α∥β， α∥β， α∥γ.
(4)线线垂直： a⊥b.
(5)线面垂直： l⊥α， a⊥β， a⊥β， b⊥α.
(6)面面垂直： α⊥β， α⊥β.
4．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行
l∥α a⊥μ a·μ＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α a∥μ a＝kμ a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β μ∥υ μ＝λυ a2＝λa3，b2＝λb3，
c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β μ⊥υ μ·υ＝0 a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
5．用向量求空间角
(1)直线l1，l2的夹角θ有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)直线l与平面α的夹角θ有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α，β的夹角θ有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
易错剖析
易错点1　不清楚空间点、线、面的位置关系
【突破点】　解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．
易错点2　表面积的计算不准确
【突破点】　在求表面积时还要注意空间物体是不是中空的，表面积与侧面积要认真区分．
易错点3　对折叠与展开问题认识不清致误
【突破点】　注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化．
易错点4　建立空间直角坐标系不当致误
【突破点】　利用空间向量坐标法求解空间角或距离时，应首先考虑建立空间直角坐标系，但一定要找到两两垂直关系，该证明的需要证明．
易错快攻
易错快攻一　忽视平面图形翻折前后的显性关系
1如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起，使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E，F.
(1)求证：EF⊥DA；
(2)在棱DN上(不含端点)是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．
易错快攻二　建立空间直角坐标系忽视垂直关系的证明
2[2023·新课标Ⅱ卷]如图，三棱锥A BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足＝，求二面角D AB F的正弦值．
六　立体几何
[典例1]　(1)解析：证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，
∴BM∥CN，
在四棱锥D ABCN中，CN 平面CDN，
BM 平面CDN，∴BM∥平面CDN，
又平面BMEF∩平面CDN＝EF，
∴BM∥EF，
∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，
∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，
又DA 平面ADN，∴EF⊥DA.
(2)解析：存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
∵DA＝DN，AM＝MN＝1，
连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，
∴DM⊥平面ABCN.
如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，)，B(0，1，0)，M(0，0，0)，N(－1，0，0)，
＝(0，1，－)，＝(0，－1，0)，＝(1，0，)，
设＝λ，(0<λ<1)，则E(λ－1，0，λ)，＝(λ－1，0，λ)，
设平面BMEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
不妨令x＝λ，则z＝1－λ，n＝(λ，0，1－λ)，
设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有
sinα＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
解得λ＝或λ＝－(舍)．
＝，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
[典例2]　(1)解析：证明：如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC.
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC.
因为DE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA.
(2)解析：由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC.
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2.
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝.
因为AE⊥BC，所以AE＝＝.
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED.
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)，＝(－，0，)，＝(0，－)．
设F(xF，yF，zF)，因为＝，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．
所以＝(，0，0)．
设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则，即，取x1＝1，则y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)．
设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则，即，得x2＝0，取y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
记二面角D AB F的大小为θ，则sinθ＝＝＝，
故二面角D AB F的正弦值为.二　不等式
必记结论
1.一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．
2．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是
3．分式不等式
>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
≥0(≤0)
4．利用基本不等式求最值
(1)对于正数x，y，若积xy是定值P，则当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)对于正数x，y，若和x＋y是定值S，则当x＝y时，积xy有最大值S2.
(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，则有＝(ax＋by)·()＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝()2.
(4)已知a，b，x，y∈R＋，若＝1，则有x＋y＝(x＋y)·()＝a＋b＋≥a＋b＋2＝()2.
易错剖析
易错点1　不能正确应用不等式性质
【突破点】　在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．
易错点2　忽视基本不等式应用的条件
【突破点】　(1)利用基本不等式a＋b≥2以及变式ab≤()2等求函数的最值时，务必注意a，b为正数(或a，b非负)，特别要注意等号成立的条件．
(2)对形如y＝ax＋(a，b>0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，同号．
易错点3　解含参数的不等式时分类讨论不当
【突破点】　解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．
易错点4　不等式恒成立问题处理不当
【突破点】　应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，则为恒成立问题，可化为f(x)max≤g(x)min，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．
易错快攻
易错快攻一　忽视基本不等式的应用条件
1函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则的最小值为(　　)
A．3B.2
C．D．
易错快攻二　解含参数的不等式时分类不当致误
2已知函数f(x)＝ax2－x＋a.
(1)若 x>0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)已知实数a∈R，解关于x的不等式f(x)≥0.
二　不等式
[典例1]　解析：易知函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)．
因为点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即＋n＝1，
所以＝＝＋2＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C.
答案：C
[典例2]　(1)解析：若 x>0，ax2－x＋a≥0即a≥恒成立，
则只需满足a≥，x>0.
令h(x)＝(x>0)，则h(x)＝＝，当且仅当x＝1时等号成立，
故实数a的取值范围是.
(2)解析：不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，
①当a＝0时，f(x)≥0即－x≥0，此时f(x)≥0的解集为(－∞，0].
②当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x＋a的图象的对称轴为直线x＝，令ax2－x＋a＝0，则Δ＝，
(ⅰ)当a<－时，Δ<0，此时f(x)≥0的解集为 ；
(ⅱ)当a＝－时，Δ＝0，此时f(x)≥0的解集为，即{－1}；
(ⅲ)当－0，函数f(x)的零点为x0＝，此时f(x)≥0的解集为[]；
(ⅳ)当00，函数f(x)的零点为x0＝，此时f(x)≥0的解集为(－∞，；
(ⅴ)当a≥时，Δ≤0，此时f(x)≥0的解集为R.
综上，当a<－时，f(x)≥0的解集为 ；当a＝－时，f(x)≥0的解集为{－1}；当－必记结论
1.统计中四个数字特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即＝(x1＋x2＋…＋xn)；
(4)方差与标准差
方差：
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
标准差：
s＝.
2．排列数、组合数公式及其相关性质
(1)排列数公式
＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝＝n！＝n(n－1)(n－2)·…·2·1(n∈N*)．
(2)组合数公式
＝＝(m≤n，n，m∈N*).
3．二项式定理
(a＋b)n＝bn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝an－kbk(其中)．
4．概率的计算公式
(1)古典概型的概率公式
P(A)＝；
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式
P()＝1－P(A)；
(4)相互独立事件的概率：
P(AB)＝P(A)P(B)；
(5)条件概率：P(B|A)＝＝；
5．二项分布：
Pn(k)＝pk(1－p)n－k；E(X)＝np；D(X)＝np(1－p).
6．超几何分布：
P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
E(X)＝.
7．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
②曲线在x＝μ处达到峰值.
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
易错剖析
易错点1　对统计图表中的概念理解不清，识图不准确
【突破点】　求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．
易错点2　对等可能事件认识不清致误
【突破点】　解与等可能事件相关的题目时，由于对等可能性事件的基本事件构成理解不清，往往计算基本事件或多或少或所划分事件根本不等可能性，从而导致失误．
易错点3　对抽样概念把握不准
【突破点】　解决随机抽样问题时，造成失分原因是分层中不明确有几层，计算比例时找不准比例关系．在学习时应熟练掌握各种抽样方法的步骤，注意系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列，公差即每段的个体数．
易错快攻
易错快攻　用频率分布直方图解题时误把纵轴当作频率
[2022·新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．
八　概率与统计
[典例]　(1)解析：平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．
(2)解析：设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，所以
P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)解析：设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，
则由条件概率公式可得
P(C|B)＝＝＝＝0.0014375≈0.0014.

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