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1.1 .1空间向量及其线性运算【第二练】
1.1.1 空间向量及其线性运算【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.对空间向量及其相关概念的判断，培养逻辑推理能力，如第1题、第5题；
2.运用空间向量的线性运算，发展直观想象和数学运算素养，如第2题、如第4题、第6题、第9题、第11题：
3.运用空间向量判断三点共线，锻炼逻辑推理和数学运算能力，如第8题、如第10题：
4.运用空间向量判断四点共面，培养逻辑推理和数学抽象能力，如第3题、如第7题、如第12题：
（2023·海南师大附中高二月考）
1．在平行六面体中，向量是（ ）
A．有相同起点的向量 B．等长的向量
C．共面向量 D．不共面向量
（2023·福建三明一中期末）
2．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）

A． B．
C． D．
（2023·湖南邵阳高二月考）
3．已知，，，是空间中的四个点，则“”是“，，，四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·广东省茂名市期中）
4．如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)中,E为BC延长线上一点,,则=

A． B．
C． D．
（2023·江西九江一中期中）
5．下列说法正确的是（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
B．已知空间任意两向量，，则向量，共面；
C．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得；
D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有.
（2023·全国高二专题练）
6．（多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023·湖南益阳高二期末）
7．下列条件中，使点与三点一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·内蒙古赤峰高二期末）
8．如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　）
A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上
（2023·广东佛山高二期末）
9．如图所示，在平行六面体中，，若，则 .
（2023·江苏苏州高二期末）
10．设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数 ．．
（2023·河北邯郸高二期末）
11．如图，棱柱的底面是平行四边形，M分所成的比为2∶1，N分所成的比为1∶2，设，试将表示成的关系式．

（2023·湖南师大附中高二期末）
12．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面．
(2)若，求．
【易错题目】第3题、第7题 、第12题
【复盘要点】
1.共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
典例
13．已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面：
(1)；
(2)．
【复盘训练】
（2023·江苏常州高二期中）
14．对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．与点位置有关
（2023·四川南充高二期末）
15．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则
（2023·江西南昌高二期中）
16．已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，＝k，＝k．求证：四点E，F，G，H共面.
（2023·湖南衡阳高二月考）
17．已知、、是空间中不共线的三点，是空间中任意一点，求证：在平面内的充要条件是：存在满足的实数、、，使得.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】根据空间向量的概念和共面定理判断.
【详解】如图所示：
向量显然不是有相同起点的向量，A不正确；
由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量，B不正确.
又因为，所以共面，C正确，D不正确.
故选：C
2．A
【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：，
故选：A.
3．A
【解析】根据向量共线的定义即可判断.
【详解】根据向量共线的定义可知：或者四点共线，
即，，，四点共面；
当，，，四点共面时，
根据向量共线的定义可知：
与不一定共线，
则“”是“，，，四点共面”的充分不必要条件.
故选：A.
4．B
【分析】如图所示,取的中点,连接,，再求出，即得解.
【详解】如图所示,取的中点,连接,
则且,
四边形是平行四边形,
且，
又，
，
故答案为B

【点睛】本题主要考查平行六面体的性质、空间向量的运算法则，意在考查空间想象能力以及利用所学知识解决问题的能力.
5．BD
【分析】由共线向量的定义可知，向量，所在的直线可以重合，可判断A；空间中任意两个向量都是共面的，可判断B；若空间中的三个向量，，共面，并不存在实数，，，使得，所以C并不成立；根据向量运算法则可判断D.
【详解】对于A，若向量，共线，则向量，所在的直线可以重合，并不一定平行，所以A错误；
对于B，根据共面向量的定义可知，空间中的任意两个向量都是共面的，所以B正确；
对于C，只有当空间的三个向量，，不共面时，对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得成立；若空间中的三个向量共面，此说法并不成立，所以C错误；
对于D，根据向量的加法法则即可判断D正确.
6．BCD
【分析】由空间向量的加法运算法则对选项一一判断即可得出答案.
【详解】易知四边形EFGH为平行四边形，所以
，故A不成立；
，故B成立；
，故C成立；
，故D成立.
故选：BCD.

7．AB
【解析】根据四点共面的充要条件，若A，B，C，P四点共面，对选项逐一分析，即可得到答案.
【详解】对于A：∵，
∴，
∴，
故，故、、共线，故、、、共面；
或由得：，，为共面向量，故、、、共面；
对于B：，故、、、共面；
对于C：由，，所以点与、、三点不共面.
对于D：由，得，而，所以点与、、三点不共面.
故选：AB．
【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A，B，C，P共面的充要条件，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.
8．BCD
【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解
【详解】当时，，所以，
则，即P在棱上，故A错误；
同理当时，则，故P在棱上，故B正确；
当时，，所以，即，
故点P在线段上，故C正确；
当时，，故点在线段上，故D正确．
故选：BCD．
9．2
【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，
,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.
【详解】解：因为
，
又，
所以，，
则.
故答案为：2.
【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解.
10．
【分析】利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果.
【详解】，，
，
三点共线，存在实数，使得，即，
，解得：．
故答案为：.
11．
【分析】利用空间向量的加法、减法、数乘运算的几何意义求解即可.
【详解】连接，则，
由已知得四边形为平行四边形，
故，又，
，
所以.

12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在上取一点，使得，连接、，根据平行六面体的性质、，即可得到，即可得证；
（2）结合图形，根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】（1）证明：在上取一点，使得，连接、，
在平行六面体中，，，，
且，且，
所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
所以，且，
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，
、、、四点共面．
（2）解：因为
，
即，，，
．
13．(1)共面，理由见解析；
(2)共面，理由见解析.
【分析】（1）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断；
（2）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
可得，所以，
所以点与点，，共面.
（2）由可得，
所以，
所以，所以，
所以点与点，，共面.
14．B
【分析】根据空间共面向量的定义进行判断即可.
【详解】由
，
所以A，B，C，P四点共面，
故选：B
15．
【分析】由向量的线性关系可得，结合空间向量共面定理的推论求参数即可.
【详解】由
所以，又、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，
所以，解得.
故答案为：
16．证明见解析.
【分析】根据便可得到，从而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，这便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面；
【详解】证明：如图，
∵；∴；
EF∥AB，且EF＝|k|AB；
同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；
∴EF∥HG，且EF＝HG；
∴四边形EFGH为平行四边形；
∴四点E，F，G，H共面.
【点睛】本题考查点线面的位置关系，属于基础题.证明平行四边形是证明四点共面的常用方法.
17．证明见解析
【分析】利用共面向量的基本定理结合充分条件、必要条件的定义进行证明即可.
【详解】证明：若在平面内，则存在实数、，使得，
对于空间中的任意一点，则，
可得，
因为，则，
所以，在平面内存在满足的实数、、，使得；
若存在满足的实数、、，使得，
则，即，
所以，，即、、共面，故在平面内，
即在平面内存在满足的实数、、，使得.
因此，在平面内的充要条件是：存在满足的实数、、，使得.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.1.1 空间向量及其线性运算【第二课】
1.1.1 空间向量及其线性运算
题型一 空间向量的有关概念
例1
1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
【方法总结】理解空间向量相关概念的要点
(1)单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向. 需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等.
(2)和平面向量一样，若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同.
(3)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 因此，关于两个向量的比较，我们仅研究二者是否相等.
【变式训练1-1】
2．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量满足，则；
③在正方体中，必有 ；
④若空间向量 满足，，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二 空间向量的线性运算
例2
3．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（ ）

A． B． C． D．
【方法总结】 解决空间向量线性运算问题的方法及技巧
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和. 运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
【变式训练2-1】（2023·陕西榆林高二期中）
4．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式训练2-2】
5．如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 空间向量的共线问题
例4
6．如图，四边形ABCD ABEF都是平行四边形且不共面，M N分别是AC BF的中点，判断与是否共线？
【提醒】两个集合相等，其元素完全相同，顺序可以不同，解题过程中要注意，，．
【方法总结】 解决空间向量的共线问题的基本思路
1.要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线.
2. 证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，(t∈R)；
(3)对空间任一点O，(x＋y＝1).
【变式训练4-1】
7．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　)
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】
8．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-3】
9．在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ．
题型四 空间向量的共面问题
例5（2023·全国·高二专题练习）
10．下列命题中是真命题的为（ ）
A．若与共面，则存在实数，使
B．若存在实数，使向量，则与共面
C．若点四点共面，则存在实数，使
D．若存在实数，使，则点四点共面
【方法总结】 空间向量的共面问题
1. 解决向量共面的策略：(1)若已知点P在平面ABC内，则有或(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
2. 证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1)；
(2)对空间任一点O，；
(3)对空间任一点O，(x＋y＋z＝1)；
(4)(或或).
【变式训练4-1】
11．下列条件能使点与点一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】
12．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】
13．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．，共线 B．，共线
C．，，共面 D．，，不共面
易错点1 向量与直线关系混淆而致错
例1
14．下列命题是真命题的是 . (填序号)
①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量；
③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上.
易错警示 注意辨析平行直线与平行向量：平行向量所在的直线既可以平行也可以重合；平行直线一定不重合. 因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线.
针对训练1-1
15．下列命题中假命题为（　　）
A．若，，则与所在直线平行
B．若非零向量和是共线向量，则、、、四点共线
C．向量，，共面就是它们所在的直线共面
D．的充要条件是A与C重合，B与D重合
易错点2 平面向量的共线与空间的共面的判定的混淆而致错
例2
16．已知非零向量，不共线，如果，，，那么下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线
B．A，B，C，D四点共面
C．A，B，C，D四点不共面
D．无法确定
针对训练2-1
17．若向量与不共线且，，，则（ ）
A．，，共线 B．与共线
C．与共线 D．，，共面
针对训练2-2
18．已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；
单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；
相等向量其方向必相同，故D正确；
故选：D.
2．C
【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可.
【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题；
对于②，向量相等即模相等和方向相同，故②为假命题；
对于③，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，，故③为真命题；
对于④，根据向量相等的定义，明显成立，故④为真命题.
对于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故⑤为假命题
故选：C
3．D
【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到．
【详解】如图，连接，

是的中点，，
，，
．
故选：．
4．ABD
【分析】根据空间向量加减法则及其几何意义判断各项的正误.
【详解】A：，对；
B：，对；
C：，错；
D：，对.
故选：ABD
5．BD
【分析】利用空间向量基本定理可得答案.
【详解】由向量的平行四边形法则，得，故A错误；
由向量的平行四边形法则和三角形法则，
得
，故B正确；
因为点P在线段AN上，且，所以，
所以，故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
6．共线.
【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断.
【详解】因为M N分别是AC BF的中点，而四边形ABCD ABEF都是平行四边形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即与共线.
7．C
【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误；
若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误；
，则A、B、C三点共线，选项C正确；
，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，三点共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．C
【分析】根据A，C，D三点共线，可得，则存在唯一实数，使得，再根据空间向量共线定理即可得解.
【详解】由，，
得，
因为A，C，D三点共线，所以，
则存在唯一实数，使得，
则，解得.
故选：C.
9．##
【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得.
【详解】因为正方体中，，
设，又，
所以，即，
因为A、E、F三点共线，所以，解得，即.
故答案为：.
10．BD
【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立.
【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.
若与不共线，则不能表示，故A项错误；
对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确；
对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误；
对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确.
故选：BD.
11．D
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
【详解】设，若，则点共面．
对于A，，由于，故A错误；
对于B，，由于，故B错误；
对于C, ，由于，故C错误；
对于D，，由于，得共面，故D正确.
故选：D.
12．B
【分析】根据向量共面定理求解．
【详解】由题意， ，，
∵，，共面，
∴存在实数唯一实数对，使得，
，
∴，解得．
故选：B．
【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．是不共面的向量，，则共面．
13．C
【分析】根据共面向量定理可作出判断
【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，，
由共线向量定理知，A，B，C三点共线，
由共面向量定理知，，，共面.
故选：C
14．①④
【分析】向量为自由向量，共线向量所在的直线不一定重合，也可能平行.
【详解】①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量的方向相同或相反，因此与是共线向量；
②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否为共线向量；
③为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；
④为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线.
故答案为：①④
15．ABCD
【分析】根据相等向量，相反向量，共线向量的概念，以及空间向量基本定理逐项判定，即可求解.
【详解】A项，若，，当时与所在直线可以不平行，A错误；
B项，若非零向量和是共线向量，则和平行或者重合，故、、、四点不一定在同一条直线上，B错误；
C项，向量，，共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线，C错误；
D项，由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，D错误.
故选：ABCD
16．B
【分析】根据向量共面和共线的结论判断即可.
【详解】由，
则共面. 从而A，B，C，D四点共面.
故选：B.
17．D
【分析】利用空间向量共线定理和共面定理判断.
【详解】因为，即，即，
又与不共线，所以共面，故D正确A错误；
因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误；
故选：D
18．D
【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；
对于B，，，，
又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；
对于C、D，若，，，四点共面，
则有，
，即，故，
故，，，四点共面，C错误，D正确.
故选：D.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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