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1.1.2 空间向量的数量积运算【第二练】
1.1.2 空间向量的数量积运算【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.运用向量数量积的定义求数量积，培养数学运算和直观想象素养，如第1题、第3题、第4题；
2.运用数量积的几何意义求投影向量，发展直观想象和数学运算素养，如第6题、如第10题：
3.运用空间向量数量积的运算律及运算性质，锻炼逻辑推理和数学运算能力，如第1题、如第12题：
4.运用空间向向量数量积的性质解决距离、夹角、垂直问题，提升逻辑推理和数学运算素养，如第2题、第5题、第7题、第8题、第11题.
（2023·江西九江高二期中）
1．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建莆田五中高二期中）
2．空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·海南师大附中高二月考）
3．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）

A． B．
C． D．
（2023·四川绵阳高二期末）
4．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么（ ）
A． B．
C． D．与的大小不能比较
（2023·山东枣庄八中高二期末）
5．在平行六面体中，其中，，，则（ ）
A．100 B． C．56 D．10
（2023·河北保定高二期末）
6．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（ ）.

A． B． C． D．
（2023·山东泰安一中高二期末）
7．（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
（2023·辽宁省大连育明高级中学期中）
8．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A． B．向量与的夹角是60°
C．AC1⊥DB D．BD1与AC所成角的余弦值为
（2023·湖南岳阳高二期末）
9．如图，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则|PG|长为 ，异面直线PA与BC所成角的余弦值为 ．
（2023·广东佛山高二期末）
10．已知向量在向量上的投影向量的模为，向量在向量上的投影向量的模为，且，则 ．
（2023·河南南阳高二期末）
11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：平面PAC.
（2023·山西师大附中高二期末）
12．如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求的最小值．
【易错题目】第8题、第9题
【复盘要点】
两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是，所以要注意二者的区别与联系，应有．
典例
在四面体OABC中，各棱长都相等，E、F分别为AB、OC的中点，则异面直线OE与BF所夹角的余弦值为 ．
【错解】取＝，＝，＝，且，则．
又因为＝ ，＝，，．
所以.
所以，所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为．
【正解】取＝，＝，＝，且，则．
又因为＝ ，＝，，．
所以.
所以．
因为异面直线夹角范围，
所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为．
【点睛】错解的原因是对两向量的夹角理解不透彻，事实上，两向量夹角的取值范围是，异面直线所成的角的范围是，异面直线l1、l2所成的角为θ，方向向量为
，当时，，即；
当时，，即．
【复盘训练】
（2023·安徽铜陵高二期末）
13．在正四面体中，、分别为棱、中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏张家港高二期中）
14．（多选）在正方体中，若M是线段上的动点，则下列结论正确的有（ ）
A．异面直线所成的角为 B．异面直线所成的角可为
C．异面直线所成的角为 D．异面直线所成的角可为
（2023·福建三明一中高二期末）
15．平行六面体的各棱长均相等，，直线平面，则异面直线与所成角的余弦值为 .
（2023·广东佛山高二月考）
16．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．
(1)求的长；
(2)直线与所成角的余弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.
【详解】对于①，，①正确；
对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；
对于③，设、的夹角为，则，③错误；
对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.
故选：B.
【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.
2．D
【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值，
【详解】解：，
所以
所以，
故选：D．
3．A
【分析】根据向量的线性运算以及数量积的定义即可求解.
【详解】依题意，由
，，
故,
所以
．
故选:A．
4．C
【分析】利用空间向量加减运算的几何表示及数量积运算进行求解判断.
【详解】
因为，
，
所以．
故选：C．
5．D
【分析】由题意可得，结合已知条件及模长公式即可求解.
【详解】
，
所以
，
所以，
故选：D．
6．C
【分析】作出在上的投影向量，从而求得正确答案.
【详解】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D.
连接，，，则，在上的投影向量是.
设上底面的半径为r，则，.
故在上的投影向量是.
故选：C

7．ABD
【分析】逐项判断各选项中向量对应的直线是否垂直即可解答.
【详解】对于A，由于平面，平面，则，
又，平面，则有平面，
而平面，则有，即向量 一定垂直，则向量 的数量积一定为0，故A正确；
对于B，由于平面，平面，则，
又，平面，则有平面，
而平面，则有，即向量 一定垂直，则向量 的数量积一定为0，故B正确；
因为，所以直线与所成的角为，显然，
则与的数量积不为0，故C错误.
对于D，由于平面，平面，则，即向量 一定垂直，则向量 的数量积一定为0，故D正确；
故选：ABD.
8．AC
【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.
【详解】对于A选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项A正确；
对于B选项，，
所以，
，
则，
∴向量与的夹角是，所以选项B不正确；
对于C选项，，
又因为，
所以
，
∴，所以选项C正确；
对于D选项，设与所成角的平面角为，
因为，，
所以
，
，
，
∴，所以选项D不正确.
故选：AC.
9．
【分析】根据题意做出线段的中点，连接、，利用即可得解；利用即可得解.
【详解】由题意得，是正三角形，连接点和线段的中点，连接，如图：
得，则，
又 为的重心，，
；
,
，∴. 异面直线PA与BC所成角的余弦值为，
故答案为：，.
【点睛】本题考查了构造图形求线段的长以及空间向量的应用，属于中档题.
10．或
【分析】根据向量投影的定义求出、的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】设向量与向量的夹角为，由题意可得，可得.
当时，则，所以，；
当时，则，所以，.
故答案为：或.
【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；
（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；
（3）一些常见的等式应熟记：如，等.
11．见解析
【分析】以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量垂直与数量积得关系即可证明，，进而得到平面．
【详解】证明：如图所示，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2．
则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，．
，，．
，，
，，
所以，，
又，平面，平面，
平面．
12．(1)；(2).
【分析】(1)根据题意，连接，，利用空间向量的线性运算即可求解；(2)由三棱锥的各个面是边长为1的正三角形可得、，再利用余弦定理求出，由空间向量的运算法则可得||2＝||2，再结合空间向量的数量积公式和二次函数性质即可求解.
【详解】(1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，如下图：
由题意可得，，记，，，
∴()＝.
(2)根据题意，点D是棱AB的中点，三棱锥的各个面是边长为1，
易得，，
在中，由余弦定理可得，，
，
当时，取得最小值，
则的最小值为．
13．C
【分析】设，，，设异面直线与所成角为，设，利用、、表示向量、，利用空间向量的数量积可求得的值.
【详解】设，，，设异面直线与所成角为，设，
则
，，
由空间向量数量积的定义可得，
则，
，
，
故，
故选：C.
14．ABC
【分析】利用空间向量的数量积逐一判断即可.
【详解】
设正方体的棱长为1，且，
则，∴A正确；
∵，
∴，
∴异面直线所成角的余弦值为，
又有解，∴B正确；
，∴C正确；
∵，∴与所成的角等于与所成的角，
该角小于，∴D不正确．
故选：ABC．
【点睛】本题考查了空间向量的数量积的应用，利用空间向量的数量积求异面直线所成的角，考查了基本运算能力，属于基础题.
15．
【分析】设、、，若棱长为，由题设知△与△相似得相似比为即有，结合已知求， 应用向量加法的几何应用得即可求，在△中，结合余弦定理求异面直线与所成角的余弦值即可.
【详解】
设、、，若棱长为，则，
连接、，，连，则一定在上，又△与△相似，
∴，
∴，又，有，
∴，，又，
∴，则，
∴，又，
异面直线与所成角与与所成角相同，设为，则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据相似三角形的相似比确定相关线段的比例，结合向量加减法的几何应用求模长，求出、，最后应用余弦定理求异面直线夹角余弦值.
16．(1)
(2)
【分析】（1）用表示出，然后平方转化为数量积的运算；
（2）用空间向量法求异面直线所成的角．
【详解】（1）由题意，，
，
，
．
（2），，
，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.1.2 空间向量的数量积运算【第二课】
1.1.2 空间向量的数量积运算
题型一：利用空间向量数量积的计算问题
（2023·山西师大附中高二期中）
1．如图，三棱锥的各棱长都是，点 分别是 的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【方法总结】空间向量的数量积运算方法
1. 已知的模及的夹角，直接代入数量积的公式计算. 如果求的是关于的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用及数量积公式进行计算.
2. 在几何体中求空间向量的数量积的步骤：（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；（4）代入公式求解.
2．如图，在四面体中，，，，.则（ ）

A． B． C． D．
3．已知向量和的夹角为120°，且，则等于（ ）
A．12 B． C．4 D．13
题型二：利用向量数量积求夹角
4．如图，在正方体中，求向量与的夹角的大小．
【方法总结】利用向量数量积求夹角问题的思路
（1）求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求，再利用公式求，最后确定.
（2）我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：
①根据题设条件在所求的两条异面直线上分别取两个向量(即直线的方向向量)；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
④异面直线所成的角为锐角或直角，将求得的向量夹角的余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的余弦值和角的大小.
5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，P是C1D1的中点，则 ，与所成角的大小为 .
6．已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是 .
7．如图所示，在直三棱柱中，，，，求异面直线与所成角的余弦值.
题型三：利用向量数量积求距离
8．如图，在四面体中，，，.

(1)求的值；
(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.
【方法总结】 解决空间向量的共线问题的基本思路
求两点间的距离或线段长的方法
（1）将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.
（2）因为，所以，这是利用向量解决距离问题的基本公式. 另外，该公式还可以推广为.
（3）可用(为单位向量，θ为的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影向量的模.
（2023·内蒙古包头高二期末）
9．如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（ ）

A． B． C．2 D．
（2023·云南临沧高二期末）
10．已知向量两两夹角为，且，则 ．
题型四 利用向量数量积证垂直
11．如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)判断与是否垂直．
【方法总结】运用空间向量的数量积证垂直
用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可，其一般步骤：
（1）把几何问题转化为向量问题；
（2）用已知向量表示所证向量；
（3）结合数量积公式和运算律证明数量积；
（4）将向量问题回归到几何问题.
12．已知向量、是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
易错点1 对向量投影定义认识模糊
例1 已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量的模长为1.
（1）若与垂直，求的大小；
（2）若，求向量与夹角的余弦值.
错解：(1)由题意得即，
因为与垂直，所以，化简为，
即，则.
(2) 因，而，故，
，
，
设向量与的夹角为，
所以.
【错因分析】投影向量的模长确定后，投影向量有两个方向，因此必须分类讨论才能得到正确的结果.
正解：(1) 若投影向量与反向，则，即，
因为与垂直，所以，化简为，
即，则.
若投影向量与同向，则即，
因为与垂直，所以，化简为，
即，则.
(2) 若投影向量与反向，则，，
，
，
设向量与夹角为，
所以.
若投影向量与同向，则，
，
，
设向量与的夹角为，
所以.
易错警示 向量数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影数量与另一个向量的模的乘积，注意在方向上的投影向量为，其实质为投影数量与单位向量的数乘，在考查中我们常常搞混两者，解题是要注意谁在谁上的投影，而不能颠倒顺序.
14．如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

15．已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为 .
易错点2 对向量夹角定义理解不清
例2 【典例】在边长为1正三角形中，则的值为 .
【错解】=
.
【错因分析】向量的夹角通过向量平移后发现不是，而是，这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的.
【正解】=
.
易错警示 在平面向量中，在求解两个向量的夹角时，一定要明确两向量夹角的定义的前提是两向量的起点要重合.
16．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ）．
A．与
B．与
C．与
D．与
17．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据向量的数量积运算逐个分析判断即可
【详解】由题意，三棱锥为正四面体，
点 分别是 的中点，，且，
对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，.
等于.
故选：B.
2．C
【分析】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解.
【详解】
故选：C
3．D
【分析】利用数量积的运算律和定义可求的值.
【详解】,
故选：D.
4．
【分析】方法1：结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；
方法2：先求，再利用公式求，最后确定即可．
【详解】解：方法1：因为，所以的大小就等于
因为△为等边三角形，所以，所以与的夹角的大小为．
方法2．设正方体的棱长为1，
又因为，所以，
因为，所以与的夹角的大小为．
5． 1 60°##
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法计算出以及与所成角的大小.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
所以，
设与所成角为，
则，
由于，所以.
故答案为：；
6．
【分析】首先求出，再根据向量夹角公式计算可得.
【详解】,
，
，
，
∴，
又，∴.
故答案为：.
7．
【分析】由，用向量的数量积求向量夹角的余弦值．
【详解】因为，，
且，
所以
.
又，，
所以，
则异面直线与所成角的余弦值为.
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，再求解即可.
（2）根据，再平方求解即可.
【详解】（1）在四面体中，，，
.
（2）如图所示：

因为，则，
因为F是CD中点，则，
于是.
，
所以.
9．B
【分析】利用基底法求解即可.
【详解】由题知，
所以，
所以，即.
故选：B.
10．
【分析】利用空间向量数量积公式计算出，从而求出答案.
【详解】
，
故.
故答案为：
11．(1)
(2)垂直
【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可；
（2）计算与的数量积，根据结果可得答案.
【详解】（1）正方体中，，
故.
（2）由题意， ，
，
故与垂直.
12．B
【分析】根据充分条件，必要条件的概念，及线面垂直的判定定理及性质，以及两非零向量垂直的充要条件即可判断．
【详解】解：①由，得，；
、所在直线不一定相交，所在直线为，
得不到，
即且不是的充分条件；
②若，向量、所在直线在平面内，在直线上，
，，
且，
即且是的必要条件；
综上得且是的必要不充分条件．
故选：B．
13．证明见解析
【分析】取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.
【详解】在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
14． ； .
【分析】空（1），法一：应用向量投影的定义求投影向量；法二：根据投影向量的几何求法，结合正方体性质确定投影向量；空（2），连接AC，交BD于点O，应用线面垂直的判定证平面，再由投影向量的几何法确定投影向量.
【详解】空（1）法一：在正方体中，易知，，
向量与向量夹角为45°，，，
所以向量在向量上的投影向量是．
法二：设，如图，由正方体的性质得，，，
向量在向量上的投影向量是．
空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有，
由，平面，则平面，
所以在平面上的投影向量就是，易知．

故答案为：；
15．
【分析】根据条件作图可得为直角三角形，结合条件，并根据投影向量的概念求解即可.
【详解】由知为中点，又为外接圆圆心，，，，
，，，
∴在向量上的投影为：，
向量在向量上的投影向量为：．
故答案为：.
16．A
【分析】根据转化以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案.
【详解】对于A，因为，结合正方体的性质可得与的夹角为，
所以与的夹角为，故A正确；
对于B，由与方向相反，结合A可知与的夹角为，故B不正确；
对于C，因为，结合正方体的性质与垂直，
所以与的夹角为，故C不正确；
对于D，因为，而与方向相反，
所以与的夹角为，故D不正确.
故选：A
17．45°；135°；60°；120°；90°
【分析】由图形特征求向量夹角.
【详解】连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以，
，
，
，
.
答案第1页，共2页
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