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1.2 空间向量基本定理【第二练】
1.1.2 空间向量的数量积运算【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题．
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展．
【目标分析】
1．运用基底的概念判定三个向量组成的向量组能否作为基底，发展数学运算和逻辑推理能力，如第1题、第3题、第7题；
2．运用基底表示空间向量，锻炼直观想象和数学运算素养，如第2题、第6题、如第9题：
3．运用空间向量基本定理解决简单立体几何问题，提升逻辑推理和数学运算能力，如第5题、如第8题、如第11题、如第12题：
（2023·河北省张家口市月考）
1．若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是
A． B． C． D．
（2023·福建莆田五中高二期中）
2．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，，，，则与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江西九江高二期中）
3．在正方体中，，，分别是，，的中点，以为基底，，则，，的值是（ ）.
A． B．
C． D．
（2023·山东日照一中高二月考）
4．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1=1∶4，用 ， ， 表示向量的结果是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川南充高二期中）
5．在三棱柱中，平面ABC，，M是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽省合肥市第八中学期中）
6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
（2023·山东泰安一中高二期末）
7．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面
D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
（2023·天津北辰区高二期末）
8．在四面体中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则．
（2023·湖南岳阳高二期末）
9．如图所示，空间四边形中，G，H分别是，的重心，设＝，＝，＝，D为BC的中点，= (用，，表示)．

（2023·江西上饶高二期末）
10．在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点(包括表面)，若，且，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是 ．
（2023·河北邯郸高二期末）
11．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，求MN的长．
（2023·湖南郴州高二期末）
12．如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，E为棱PC的中点，，连接DF、DE，其中Q为DE的中点，，，．
(1)请用，，，表示向量；
(2)，，求的值．
【易错题目】第8题、第12题
【复盘要点】
13．如图，正方体的棱长为1，分别为的中点．
(1)求证：;
(2)求与所成角的余弦值
【复盘训练】
（2023·安徽霍邱县高二期末）
14．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与AC所成角的余弦值为
（2023·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）
15．如图，在平行六面体中，，，，．则与所成角的余弦值为 ．

（2023·四川南充高二期末）
16．如图，在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：平面BCD.
（2023·山西师大附中高二期中）
17．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．
（1）求证：；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可
【详解】向量，，是空间的一个基底，则，，不共面，
对于选项A：，故，，共面，故A错误，
对于选项B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B错误，
对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确，
对于选项D：由选项A得：2，故2，，共面，故D错误，
故选C．
【点睛】本题考查了空间向量基本定理、空间向量的基底，属简单题
2．A
【分析】根据空间向量线性运算的几何表示对选项一一验证即可.
【详解】连接与交于点，连接，，，
，，，
对于选项A：
，故A正确；
对于选项B：
，故B错误；
对于选项C：
，故C错误；
对于选项D：
，故D错误；
故选：A.
3．A
【分析】根据空间向量的加法法则可得，结合已知，根据空间向量相等可得结果.
【详解】，
对比，可得.
故选：A.
【点睛】本题考查了空间向量的加法法则，考查了空间向量相等可得结果.，属于基础题.
4．D
【分析】根据图形，利用向量线性运算，即可求解.
【详解】由题意可得，=-
=-(+).
∵，，
∴.
故选：D.
5．C
【分析】根据直三棱柱的几何性质，结合空间向量的基本定理，利用数量积的运算律，可得答案.
【详解】如图所示，

，
故，
在直三棱柱，易知，，
在中，由，则，
由，则，
则.
答案：C.
6．B
【分析】连接AE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，利用向量的加减运算得答案
【详解】连接AE并延长交CD于点F，
因为E为的重心，则F为CD的中点，且
.
故选：B．
7．ABCD
【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果．
【详解】对于选项：，，可以作为空间的一个基底，，，不共面，与共线，，，，不共面，故正确．
对于选项：向量，，与任何向量都共面，，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故正确．
对于选项：，，不能构成空间的一个基底，，，共面，，，，共面，故正确．
对于选项：，，是空间的一个基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空间的一个基底，故正确．
故选：．
8．ABC
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量运算逐项计算判断即得.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，由Q为的重心，得，
则，
于是，即，B正确；
对于C，若，，则
，C正确；
对于D，由四面体的各棱长都为2，得，
，
则，D错误．
故选：ABC
9．
【分析】利用三角形重心定理推导得，再用向量表示即得.
【详解】在空间四边形中，是的重心，且D为BC的中点，则，
又是的重心，则，
因此.
故答案为：
10．
【分析】根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理得到点P在三棱锥内，进而利用锥体体积公式求出答案.
【详解】根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理知，
满足的点P在三棱柱内，
满足的点P在三棱柱内，
故同时满足和的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，

即三棱锥内，其中，
故其体积是．
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.
（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.
【详解】（1）解：
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
即MN的长为.
12．(1)
(2)
【分析】(1)根据图象，结合空间向量的线性运算法则用，，表示向量；(2) 用，，表示向量，根据空间向量数量积的运算性质及定义运算即可.
【详解】（1）因为，，，所以由题知向量，，两两互相垂直，
因为，所以．
因为，所以，所以
又因为为PC的中点，为DE的中点，所以，
所以．
（2）
又因为，
所以．
13．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据向量的加减法证明即可；
（2）根据向量数量积的定义求即可.
【详解】（1）证明：令，
分别是的中点，
，
而，
所以有，且不过同一点，
所以，即.
（2）分别是的中点，
，
正方体的棱长为1，，
，，
，
，
，
设的夹角为，
则有 ，
即与所成角的余弦值为.
14．ACD
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】解：对于A，
，
所以，选项A错误；
对于B：
，
所以，即，选项B正确；
对于C：向量 与 的夹角是，所以向量 与的夹角也是，选项C错误；
对于D：，
得，
，
同理，可得
，
所以，所以选项D错误．
故选：ACD．
15．0
【分析】取空间向量的一个基底，并表示出与，再利用空间向量数量积求解即得.
【详解】在平行六面体中，设，
则，，
于是
，
因此，，
所以与所成角的余弦值为0．
故答案为：0
16．证明见解析.
【分析】根据给定条件，结合空间向量线性运算用表示向量，即可推理作答.
【详解】证明：在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，且点Q在线段AC上，AQ=3QC，
则
，
而，因此平行于平面，而平面，
所以平面.
17．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；
（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值
【详解】（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
则，，
所以，即，
所以.
（2）由（1）知，，，
则，
因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.2 空间向量基本定理【第二课】
1.1.2 空间向量的数量积运算
题型一 基底的判断
1．给出下列命题：
①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；
②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A，B，M，N是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；
④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底．其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．、、共线 B．、共线
C．、共线 D．O、A、B、C四点共面
3．若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 运用基底表示空间向量
4．如图，三棱锥中，M，N分别是，的中点，G为线段上一点，且，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在四面体中，点在上，且，为中点，则=（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在正方体中，和相交于点O，若，则 ．
7．在平行六面体中，为的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则 （用表示）．
题型三 运用空间向量基本定理解决立体几何问题
8．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点G在棱上，且.

(1)证明：；
(2)求与所成角的余弦值.
9．如图，在三棱柱中，D是棱的中点，，，，则 .

10．如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，正四面体的高的中点为，的中点为.

(1)求证：，，两两垂直；
(2)求.
易错点1 基底概念不清判断失误
12．已知向量是空间的一个基底，从，，中选哪一个向量，一定可以与向量，构成空间的另一个基底？
13．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　）
A． B．
C． D．
14．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．
易错点2 用基底表示空间向量运算不畅
15．如图，四棱锥的底面为矩形，平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点．设，，，试用，，表示，，，.

16．如图，空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且，，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
18．如图，在四面体中，，，，，．

(1)求证：、、、四点共面．
(2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据基底的定义和性质，结合向量的性质、共面定理及反证思想判断各项的正误即可.
【详解】①可作为空间的一个基底，与共线且，
则不共面，故也可作为空间的一个基底，对；
②向量，则与任何向量都共面，故不能构成空间的一个基底，对；
③，，不能构成空间的一个基底，即，，必共面，故A，B，M，N共面，对；
④若共面，则，使，
即，故也共面，与题设矛盾，
所以不共面，也是空间的一个基底，对.
综上，①②③④均为真命题．
故选：D
2．D
【解析】根据向量、、不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.
【详解】因为O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，
所以O、A、B、C四点共面，
故选：D
3．AC
【分析】根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理对选项一一判断即可得出答案.
【详解】不存在，使得，所以不共面，
是空间的另一个基底，A正确．
因为，所以共面，
不是空间的另一个基底，B错误．
不存在，使得，所以不共面，
是空间的另一个基底，C正确．
因为，所以共面，
不是空间的另一个基底，D错误．
故选：AC.
4．C
【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算求解作答.
【详解】因为M，N分别是，的中点，则，
又G为线段上一点，且，即，于是，
所以.
故选：C
5．B
【分析】由条件，结合空间向量的线性运算利用表示即可.
【详解】如图，因为点在上，且，所以，
因为为中点，所以，
所以
，
即.
故选：B.

6．##
【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件将用表示出来即可求出的值，从而可求得答案.
【详解】因为在正方体中，和相交于点O，
所以
,
因为，
所以，
所以，
故答案为：
7．
【分析】由题意设分别为的中点，容易证明四边形是平行四边形，即平面为符合题意的平面，进而分解向量即可求解.
【详解】如图所示：

由题意不妨设分别为的中点，容易证明四边形是平行四边形，
即平面为符合题意的平面，因此，
又因为，，，且，，
所以.
故答案为：.
8．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设，则构成空间的一个正交基底，分别表示出、，应用向量数量积的运算律求，即可证结论；
（2）由（1）基底表示出，应用数量积的运算律求得、，再由向量夹角公式求与所成角的余弦值.
【详解】（1）设，则构成空间的一个正交基底.
所以，，
所以，故.
（2）由，则，；
由，则，，
∴，
即与所成角的余弦值为.
9．
【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义用表示出，再由数量积的运算律求的模.
【详解】
，
所以，
所以.
故答案为：
10．AB
【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.
【详解】如图，
由题意得，，
，
，
，
对于选项A，
所以，即.
故选项A正确.
对于选项B，
故选项B正确.
对于选项C，
所以即
故选项C错误.
对于选项D，
故选项D错误.
故选：AB
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先以为基底表示向量，再表示向量，再利用数量积公式证明垂直关系；
（2）首先利用基底表示向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
【详解】（1）设，，，正四面体的棱长为1，
因为
，
，
，
，
所以
，所以，即.
同理，，，所以，，两两垂直.
（2），
所以，
又，
，
所以，
又，所以.
12．
【分析】易得，再根据是否与共面判断.
【详解】因为，，
所以，
所以与共面，与共面，
所以与不可以构成空间的一个基底，与不可以构成空间的一个基底，
而与不共面，
所以与可以构成空间的一个基底.
故答案为：.
13．ABD
【分析】根据已知条件，结合共面向量的充要条件即可求解．
【详解】由共面向量的充要条件可得：
对于A选项， ，所以三个向量共面；
对于B选项，，所以三个向量共面；
对于C选项，假设三个向量共面，
则存在，使得，
则，即三个向量共面，
这与已知构成空间的一个基底矛盾，故假设错误，
即三个向量不共面，故C不正确；
对于D选项，＝，所以三个向量共面；
故选：ABD．
14．D
【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值.
【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，故存在实数、使得，
即，
因为是空间的一个基底，则，解得.
故选：D.
15．答案见详解
【分析】结合已知通过图形寻找待求向量与，，的关系，然后利用向量运算求解即可.
【详解】如图，

连接BO，则，
，
，
.
16．BD
【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐项计算判断作答.
【详解】空间四边形OABC中，，，点G是线段MN的中点，
，
，D正确；
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误.
故选：BD
17．B
【分析】利用空间向量线性运算的几何表示及空间向量基本定理求出，利用对数的运算即可得出结论．
【详解】
由题意，，
又，不共面，
则，
所以.
故选：B.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出，即可证得结论成立；
（2）由（1）可得出，可得出，则，由此可得出，再结合空间向量的线性运算可得出关于、、、的表达式.
【详解】（1）证明：因为，
，
所以，则，因此、、、四点共面．
（2）解：当时，，即，可得，
因为，即，可得，
由（1）知，，，因此，
又因为、不在同一条直线上，所以，，
则，则，即，
所以，
.
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