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第02讲 平面向量的运算-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第一册）
·模块一 平面向量的线性运算
·模块二 向量的数量积
·模块三 课后作业
1．向量的加法运算
（1）向量加法的定义及两个重要法则
定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
向量加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，，在平面内任取一点Ａ．
作法 作，连接ＡＣ．
结论 向量叫做与的和，记作，即．
图形
向量加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，，在平面内任取一点Ｏ．
作法 作，以ＯＡ，ＯＢ为邻边作四边形ＯＡＣＢ．
结论 以Ｏ为起点的向量就是向量与的和，即．
图形
规定 对于零向量与任一向量，我们规定．

（2）多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示．
2．向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：．
3．向量的减法运算
（1）相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作．零向量的相反向量仍是零向量．
（2）向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即－＝＋（－）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
（3）向量减法的三角形法则
如图，已知向量，，在平面内任取一点Ｏ，作＝，＝，则＝－＝－．即－可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义．　
4．向量的数乘运算
（1）向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
①；
②当＞0时，的方向与的方向相同；当＜0时，的方向与的方向相反．
（2）向量的数乘的运算律
设，为实数，那么①（）＝（）；②（＋）＝＋；③　（＋）＝＋．特别地，我们有（－）＝－（）＝（－），（－）＝－．
（3）向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有（）＝．
5．向量共线定理
（1）向量共线定理
向量（≠0）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使＝．
（2）向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量，共线求参问题，可用两个不共线向量（如，）表示向量，，设＝（≠0），化成关于，的方程（）＝－（），由于，不共线，则解方程组即可．
【考点1　　向量的加减运算】
（2023下·广西钦州·高一统考期末）
1．已知四边形是平行四边形，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·广西南宁·高二校考开学考试）
2．下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习）
3．在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
（2022下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）
4．如图所示，在中，，则（ ）

A． B．
C． D．
【考点2　　平面向量的混合运算】
（2023上·北京·高二校考阶段练习）
5．设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ）
A． B． C． D．
（2022·高一课时练习）
6．在中，已知是边上一点，若，则（ ）
A．2 B．１
C．-2 D．－1
（2023·全国·高一专题练习）
7．若，则化简等于（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）
8．在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【考点3　　向量共线定理的应用】
（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）
9．已知向量不共线，，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线
（2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中）
10．已知为内一点，且，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中学校联考期中）
11．在中，，，与交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
（2023·高一课时练习）
12．设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（ ）
A．与反向平行 B．与同向平行
C．与反向平行 D．与不共线
【考点4　　向量线性运算的几何应用】
（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）
13．已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河北石家庄·高一校考期中）
14．已知是的重心，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
（2023上·北京·高三校考期中）
15．在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·湖北恩施·高二校联考期中）
16．已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
1．向量的数量积
（1）向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功Ｗ＝｜｜｜｜，其中是与的夹角．
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量（数量）．这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量．
（2）向量的夹角
已知两个非零向量，，如图所示，Ｏ是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝　（0≤≤π）叫做向量与的夹角，也常用表示．
（3）两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量｜｜｜｜叫做向量与的数量积（或内积），记作，即＝｜｜｜｜．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0＝0．
（4）向量的投影
如图，设，是两个非零向量，＝，＝，我们考虑如下的变换：过的起点Ａ和终点Ｂ，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．　
2．向量数量积的性质和运算律
（1）向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①＝＝．
②＝0．
③当与同向时，＝；当与反向时，＝－．
特别地，＝＝或＝．
④｜ａ｜，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立．
⑤＝．　
（2）向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：＝；
②数乘结合律：（）＝　（）＝（）；
③分配律：（＋）＝＋．
3．向量数量积的常用结论
（1）＝；
（2）；
（3）　；
（4）　；
（5），当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立．
以上结论可作为公式使用．
【考点1　　向量数量积的计算】
（2023上·山西·高二统考学业考试）
17．已知等边三角形的边长为1，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）
18．已知单位向量满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）
19．已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）
20．在平行四边形中，是线段的中点，则（ ）
A．1 B．4 C．6 D．7
【考点2　　向量夹角（夹角的余弦值）的计算】
（2023下·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）
21．若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·校联考模拟预测）
22．已知非零向量与满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
23．已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
（2022下·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）
24．已知为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【考点3已知数量积求模】
（2023上·湖北·高二校联考阶段练习）
25．已知，，，的夹角为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
（2023上·陕西榆林·高三校联考阶段练习）
26．已知非零向量，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
（2023上·江苏泰州·高三统考期中）
27．如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（ ）

A． B．3 C．9 D．13
（2023·浙江·模拟预测）
28．已知平面向量的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【考点4　　向量数量积的最值问题】
（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）
29．中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
（2023下·北京海淀·高一清华附中校考期末）
30．已知，，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
（2023下·湖北恩施·高一校联考期末）
31．如图所示， 边长为 1的正 ， 以 的中点 为圆心， 为直径在点 的另一侧作半圆弧 ， 点 在圆弧上运动， 则 的取值范围（ ）

A． B． C． D．
（2023上·湖北·高二校联考阶段练习）
32．八卦文化是中华文化的精髓，襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图1），其轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）是圆半径的中点，且关于点对称,若，圆的半径为，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最小值为（ ）

A． B．
C． D．
（2023下·天津红桥·高一统考期末）
33．化简：（ ）
A． B． C． D．
（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）
34．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）
35．在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）
36．对于任意的平面向量，，，下列说法正确的是　　
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
（2024·四川自贡·统考一模）
37．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽·校联考一模）
38．在三角形中，，，，则（ ）
A．10 B．12 C． D．
（2023上·青海西宁·高三统考期中）
39．已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川甘孜·统考一模）
40．已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A． B．4 C．2 D．0
（2023上·福建厦门·高二校考期中）
41．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
（2023上·福建莆田·高三校考期中）
42．如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　 ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高一假期作业）
43．化简
(1)；
(2)．
（2023·全国·高一随堂练习）
44．求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）
45．已知，，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
（2023下·河北石家庄·高一校考期中）
46．如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.

(1)求的值；
(2)当时，求的值.
（2022·高一课时练习）
47．用向量运算刻画三角形的重心．
(1)已知，求一点G满足．
(2)求证：满足条件的点G是的重心．
（提示：说明点G同时在的三条中线上．）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用平面向量加法法则可化简.
【详解】.
故选：D.
2．B
【分析】根据向量的加法、减法运算化简即可得解.
【详解】因为，故A错误；
因为，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D错误.
故选：B
3．B
【分析】根据平面向量的基本定理和线性运算即可求解.
【详解】点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，如图所示，
所以.
故选：B.
4．A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
5．C
【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：C
6．C
【分析】由可得为线段的三等分点中靠近的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得，即可求得.
【详解】解：如图所示：
因为，
所以为线段的三等分点中靠近的点，
所以=,
所以，
所以.
故选：C.
7．C
【分析】先化简，再将代入进一步化简即可.
【详解】因为，
所以
，
故选：C.
8．A
【分析】通过向量的线性运算化简向量即可求解.
【详解】，所以，，
所以.
故选：A.
9．C
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为不共线，，，，
易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；
又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；
而，所以A，B，D三点共线，故C正确.
故选：C.
10．C
【分析】把用表示，然后根据三点共线定理求解．
【详解】取中点，连接，则，又，∴，
∴，
又三点共线，∴，．
故选：C．

11．B
【分析】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得和，运算求解即可.
【详解】因为，则为的中点，可得，
注意到三点共线，可得，
又因为三点共线，则∥，
则存在实数，使得，即，
则，可得，
综上所述：，解得，可得.
故选：B.
12．A
【分析】将、、用和表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
，
，
，
所以，
所以与反向平行，故A正确，B错误；
，
所以与同向平行，故CD错误.
故选：A
13．B
【分析】根据向量的运算法则可得结果.
【详解】,
故选：B.
14．B
【分析】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解.
【详解】连接并延长交于，如图，

因为是的重心，则是的中点，
所以
，
又，所以，，
所以.
故选：B.
15．B
【分析】利用平面向量的线性运算求解.
【详解】
因为在等腰梯形ABCD中，，所以,
因为M为BC的中点，所以
,
故选:B.
16．A
【分析】令是的中点，连接，易得，根据三点共线的推论有，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且，
由题设，又共线，
所以，即，注意，

由
，当且仅当，即时等号成立，
故目标式最小值为1.
故选：A
17．C
【分析】直接利用向量的数量积公式计算得到答案.
【详解】因为，且向量与的夹角为，所以，
故选：C．
18．C
【分析】利用向量的数量积与模长关系计算即可.
【详解】易知，．
故选：C
19．C
【分析】直接利用平面向量的数量积公式，即可求得本题答案.
【详解】，
故选：C
20．A
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
21．B
【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，
所以，
故，
，
，
故 ，
由于 ，故.
故选：B.
22．B
【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知及数量积定义求夹角余弦值.
【详解】因为，所以，
所以，而，所以，
所以.
故选：B
23．C
【详解】根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，列出方程，即可得到结果.
【分析】由题意，得，
所以，
．
而，
所以．
整理，得，解得或（舍去）．
故选：C．
24．B
【分析】根据与的夹角为锐角，由且与不共线求解.
【详解】解：因为，
所以，
因为与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
解得，
当时，则，
即，解得，
当时，与共线且同向，
所以的取值范围为，
故选：B
25．C
【分析】首先由数量积公式求得，又，代入求解即可.
【详解】因为，，，的夹角为，
所以，
解得，
，
故选：C.
26．B
【分析】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可.
【详解】因为，
所以，当且仅当时，等号成立.
故选：B
27．C
【分析】利用平面向量数量积的几何意义及三角形相似计算即可.
【详解】
由题意易知，则，
过作于，
所以，
，
所以，不妨设，则
，故.
故选：C
28．A
【分析】由，利用向量数量积运算可得，即求，又，代入条件运算可得解.
【详解】，
，即，
，
.
故选：A.
29．B
【分析】因为，，，可以选定为基向量，因为点C是线段上的动点，所以,让后将其都转化为为基向量的运算，即可求出的最小值.
【详解】因为点C是线段上的动点，
所以,
所以
因为点D是的中点,所以,
所以,
又，，，即
所以，
，
又，
所以当时，的最小值.
故选：B.
30．B
【分析】根据数量积的运算律得到，则，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，即，
即，即，
所以，
所以
，
因为，
所以当时取最大值，最大值为.
故选：B
31．A
【分析】根据给定条件，可得，求出的夹角范围，再利用向量数量积的定义、运算律求解作答.
【详解】过点作交半圆弧于点，连接，如图，
而是正三角形，则，令夹角为，
当点P在弧上时，，当点P在弧上时，，于是，
显然，，
所以
.
故选：A
32．C
【分析】根据题意，利用向量的线性运算，化简得到，结合，进而求得取得最小值，得到答案.
【详解】由题意，点是圆半径的中点，且关于点对称，设的位置，如图所示，
在八卦图中，知,
又由，
则由
，
当八卦图转动（即圆面及其内部点绕转动）时，，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：C.

33．C
【分析】由向量加法的三角形法则可知.
【详解】.
故选：C.
34．C
【分析】根据向量混合运算即可.
【详解】，
故选：C.
35．B
【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.
【详解】，不符合题意.
，符合题意.
，不符合题意.
，不符合题意.
故选：B

36．B
【分析】平面向量共线的传递性可得错误，由向量乘法的分配律可得正确，由向量垂直的运算可得，错误，得解．
【详解】解：且，当为零向量时，则与不一定共线，即错误，
由向量数量积的分配律可得：，即正确，
因为，则，又，，即与在方向上的投影相等，即错误，
取为非零向量，且与垂直，与不垂直，则，，即错误，
故选：．
37．B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：B
38．A
【分析】根据向量的数量积公式求得结果.
【详解】记，则，，
，
．
故选：A.
39．D
【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.
【详解】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故选：D
40．C
【分析】平方展开后，利用向量的数量积定义进行运算即可.
【详解】因为
，
所以，
故选：C.
41．D
【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，.
因为A，C，D三点共线，所以共线，
则，使得，
即，
整理可得.
因为，不共线，
所以有，解得.
故选：D.
42．C
【分析】利用转化法，将转化为,进而求得的最小值即可.
【详解】连接,
则
,
当时，最小，可求得，
结合，得的最小值为，
故选：
43．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量减法运算法则计算即可；
（2）根据向量加法运算法则计算即可.
【详解】（1） .
（2） .
44．(1)
(2)
(3)
【分析】根据向量数乘运算求解.
【详解】（1）由得，
所以.
（2）由得，
所以.
（3）由得，
所以.
45．(1)
(2)
【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出；
（2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值.
【详解】（1）已知，，
，
，
；
（2）设向量与的夹角的夹角为，
则，
向量与的夹角的余弦值为.
46．(1)
(2)
【分析】（1）根据三点共线的知识求得.
（2）根据向量数量积的运算求得.
【详解】（1）依题意，
由于三点共线，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
47．(1)详解见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)如图，根据向量加法的平行四边形法则和重心的定义可得，进而得出；
(2)如图，根据向量加法的平行四边形法则和可得，结合平行四边形的性质可得G在中线CD上且CG=2GD，同理可证G也在其它两边的中线上，即可证明G为的重心.
【详解】（1）设点D、F分别是AB、BC的中点，连接CD、AF交于点G，则G为的重心，
延长CD到点E，使得DE=GD，连接AE、BE、BG，如图，
由向量加法的平行四边形法则，得，
因为G为的重心，所以，
故，所以，
所以的重心G满足题意；
（2）因为，所以，
以GA、GB为邻边作，连接GE，由向量加法的平行四边形法则，
，所以，
设AB与GE交于点D，由平行四边形的性质可知点D为AB和GE的中点，
所以，即G在中线CD上，且CG=2GD，
同理可证G也在其它两边的中线上，即G是三角形三条中线的交点，
所以G为的重心.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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