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第03讲 平面向量基本定理及坐标表示-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第一册）
·模块一 平面向量基本定理
·模块二 平面向量的坐标表示
·模块三 课后作业
1．平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
，使．若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
（2）定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质．
【考点1 用基底表示向量】
（2023上·北京·高三校考阶段练习）
1．如图，在中，是的中点．若，则（ ）

A． B． C． D．
（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）
2．在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·山西朔州·高三校考开学考试）
3．如图，在中，设，，，，则（ ）

A． B．
C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
4．如图为正六边形ABCDEF，其中点O为正六边形ABCDEF的中心，设，，若，，则（ ）

A． B．
C． D．
【考点2 利用平面向量基本定理求参数】
（2023上·山东·高三校联考开学考试）
5．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）
6．在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）
7．在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
（2023上·河北沧州·高三校联考期中）
8．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【考点3 平面向量基本定理的应用】
（2023·四川成都·校联考一模）
9．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
（2022·高一课时练习）
10．已知，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
（2023下·浙江·高一校联考阶段练习）
11．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，则，则的最小值（ ）

A．1 B．3 C．5 D．8
（2023下·江苏南京·高一校联考阶段练习）
12．在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个是假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
1．平面向量的正交分解及坐标表示
（1）正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
（2）向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基
底．对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y．这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x，y)①．其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示．
显然，=(1，0)，=(0，1)，=(0，0)．
（3）点的坐标与向量的坐标的关系
区 别 表示形式不同 向量=(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号．
意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)．
联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同．当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．
2．平面向量线性运算的坐标表示
（1）两个向量和（差）的坐标表示
由于向量=(，)，=(，)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+，+)．同理可得-=(-，-)．
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
（2）向量数乘的坐标表示
由=(x，y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x，y)．
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
3．平面向量数量积的坐标表示
（1）平面向量数量积的坐标表示
由于向量=(，)，=(，)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++．又=1，=1，==0，所以=+．
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
（2）平面向量长度（模）的坐标表示
若=(x，y)，则或．
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根．
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(，)，(，)，那么=(-，-)，||=
．
4．平面向量位置关系的坐标表示
（1）共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设=(，)，=(，)，其中≠0．我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=．如果用
坐标表示，可写为(，)=(，)，即，消去，得-=0．这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0．
②三点共线的坐标表示
若A(，)，B(，)，C(，)三点共线，则有=，
从而(-，-)=(-，-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)．
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线．
（2）夹角的坐标表示
设，都是非零向量，=(，)，=(，)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==．
（3）垂直的坐标表示
设=(，)，=(，)，则+=0．
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0．
【考点1 平面向量线性运算的坐标表示】
（2022下·云南·高一统考期末）
13．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
14．已知向量，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河北·统考模拟预测）
15．在正六边形ABCDEF中，直线ED上的点M满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
（2023下·四川眉山·高一校考期中）
16．已知向量满足，，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【考点2 平面向量数量积的坐标表示】
（2023·四川成都·统考一模）
17．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
18．已知平面向量，满足，且，则（ ）
A．4 B．5 C． D．2
（2023·全国·模拟预测）
19．已知平面向量，，若实数m，n满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江苏南京·高三校联考期中）
20．在△ABC中，．P为△ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点3 向量共线、垂直的坐标表示】
（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）
21．已知向量，，，且，
(1)求x的值；
(2)若，求实数的值.
（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）
22．已知向量与向量共线，且，，
(1)求向量的坐标；
(2)求实数的值.
（2023上·江西·高三校联考阶段练习）
23．已知为平面向量，且.
(1)若，且与垂直，求实数的值；
(2)若，且，求向量的坐标.
（2023下·江苏南通·高一校考阶段练习）
24．已知向量，.
(1)当时，求的值；
(2)当，，求向量与的夹角.
【考点4 向量坐标运算与平面几何的交汇】
（2023下·云南曲靖·高一校考阶段练习）
25．已知点，，及.
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
（2023下·四川成都·高一成都七中校考期中）
26．已知，向量，.
(1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；
(2)若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标.
（2023下·安徽宿州·高一统考期中）
27．平面内给定三个向量，且.
(1)求实数关于的表达式；
(2)如图，在中，为中线的中点，过点的直线与边分别交于点（不与重合）.设向量，求的最小值.
（2023·全国·高一课堂例题）
28．如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点B的坐标为，作，垂足为点D．

(1)求，，；
(2)求；
(3)将绕点逆时针旋转到，求点的坐标；
(4)求；
(5)求．
（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）
29．若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校考期中）
30．设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
（2023上·西藏林芝·高三校考阶段练习）
31．已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河北保定·高三统考阶段练习）
32．如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（ ）

A． B．
C． D．
（2023下·河北石家庄·高一校考期中）
33．已知平行四边形中，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
（2023上·北京顺义·高三校考期中）
34．已知平面向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山东日照·高三校考阶段练习）
35．如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（ ）

A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
36．已知向量，，.若，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）
37．已知向量，，，若，（ ）
A． B． C． D．
（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）
38．如图，在中，点在线段上，且，是的中点，延长交于点，点为直线上一动点（不含点），且（）,若，且，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河南焦作·高三校考阶段练习）
39．如图，平行四边形的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且，直线DE与AB的延长线交于点F，记，．

(1)试用，表示、；
(2)试用，表示．
（2023下·新疆喀什·高一校考期末）
40．已知，，，分别求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
（2023下·江西·高一校联考期中）
41．如图，在中，为重心，，延长交于点，设，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）
42．已知，，设，
(1)若，求实数k的值；
(2)当时，求与的夹角的余弦值；
(3)是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由．
（2023·高一课时练习）
43．如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、．
(1)写出向量，的坐标；
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】,
所以，
故选：D
2．A
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
3．D
【分析】根据向量的线性运算法则求解.
【详解】由题意,
故选：D．
4．B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】由正六边形的性质可知，，
因为，，
所以，，
所以
．
故选：B

5．B
【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得,进而求得的值，进一步计算即可.
【详解】如图：

因为
,
所以
故选：
6．B
【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理计算可得.
【详解】因为，所以，
又是直线上的一点，所以，
又，
所以，所以.
故选：B
7．C
【分析】直线CD和直线BE交于点F，根据向量加，减法的法则，共线定理求出，再利用三点共线，设，根据系数对应相等可得的值.
【详解】由已知，
则
同理可得，
因为直线CD和直线BE交于点F，
所以设
即
解得.
故选：C.

8．C
【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解.
【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，
因为与的面积之比为2，则，
当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为；
当点与点重合时，可得，
此时，即，此时为最大值为，
所以的取值范围为.
故选：C.

9．C
【分析】设，设，，利用向量的基本定理可得，求得，从而问题可解.
【详解】
设，则，，
设，，
则，，
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
10．A
【分析】利用向量共线定理即可判断各选项.
【详解】对于A，，
又，所以，则与共线，
又与有公共点B，所以A、B、D三点共线，A正确；
对于B，令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即A，B，C三点不共线，B错误；
对于C，令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即B，C，D三点不共线，C错误；
对于D，，
令，即，所以，不存在，
所以与不共线，即A，C，D三点不共线，D错误.
故选：A．
11．D
【分析】利用平面向量共线定理与线性运算即可得，且，再结合基本不等式“1”的代换即可求得最值.
【详解】因为点是线段的中点，所以，
又是线段上的动点，则可设，且
所以
则，所以，则，且
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
12．D
【分析】首先由甲命题为真命题开始，由点是的中点，结合平面向量基本定理的推论，结合三点共线的向量表示，即可判断.
【详解】若甲为真命题，，则点为的中点，
由可得，，
因为三点共线，故可得，
即，
由三点共线，可得，
所以，得，即，
所以，故乙为真命题；故，可知命题丙为真命题；
由共线，故可设，
即,
因为三点共线，故可设，
所以，得，
即，故命题丁为假命题.
综上，甲乙丙为真命题，丁为假命题.
故选：D
13．D
【分析】根据平面向量的坐标运算可得.
【详解】因为，，所以.
故选：D
14．A
【分析】根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可得,
所以解得,
所以.
故选:A.
15．B
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法列关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】在正六边形ABCDEF中，以A为原点，
分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
不妨令，则，
,
由，可得，解之得
故选：B
16．B
【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，.
【详解】设，，又，，
所以，且，
解得，，即，.所以，则，解得，故.
故选：B.
17．C
【分析】利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
18．B
【分析】设，根据向量的模、向量垂直列方程，求得的坐标，进而求得.
【详解】设，因为，，
所以，即①．
又因为，所以，
即，即②．
联立①②可得或，
所以或，所以.
故选：B
19．B
【分析】先求出两向量的坐标，利用平面向量的坐标运算计算两向量的数量积，由两向量的数量积为0得结果.
【详解】因为，，所以，，
又，所以，
即，所以与的夹角为,
故选：B.
20．B
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，求得，再设，转化为三角函数的最值问题，即可求解.
【详解】在△ABC中，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，设，
因为，所以，又由，
所以，
设，，则，
其中，当时，取得最小值；
当时，取得最大值，所以的取值范围为.
故选：B.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，结合向量平行的坐标表示运算求解；
（2）根据题意可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
因为，则，解得.
（2）由题意可得：，
因为，则，解得.
22．(1)
(2)
【分析】（1）设，由数量积的坐标表示求得后得结论；
（2）由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】（1）共线， 可设，
，解得：， ，
（2）∵，∴，
即，解得：
23．(1)
(2)或
【分析】（1）利用向量运算的坐标表示，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求解作答.
（2）利用向量共线设出的坐标，利用坐标求模，列式计算作答.
【详解】（1）因为，
所以，
又因为与垂直，所以，
即，得，
所以.
（2）因为得，
又因为，所以，
即，所以，
故或.
24．(1)或
(2)
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解；
（2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）向量，，则，
由，可得，
即，即，解得或.
（2）由，，则，
由，可得，解得，
所以，，，
又，所以.
25．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由平面向量的坐标运算，求出，利用点P在第一象限，列不等式求得的取值范围；
（2）利用四边形是平行四边形时，只需要，列方程求出的值，即可判断四边形能否为平行四边形.
【详解】（1），
由题意得，解得：，即的取值范围为.
（2）若四边形是平行四边形，只需要，即，
由（1）知，，而，
，方程组无解，故四边形不能成为平行四边形.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解；
（2）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解.
【详解】（1）设点C的坐标为，
因为，，，可得，
则，
若四边形OACB为平行四边形，可得，
则，解得，
故点C的坐标为.
（2）设点P的坐标为，
由（1）可知：，则，
若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则，
则，解得，
故点P的坐标为.
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算分别表示出和，利用平行的坐标表示可得答案；
（2）利用向量运算得到，结合三点共线得到，再结合基本不等式可求答案.
【详解】（1）因为,
所以，即.
（2）由（1）可知，，由题意可知.
因为，
所以；
因为三点共线，所以..
所以，
当且仅当时，取等号，
即时，取最小值.
28．(1)，，
(2)
(3)的坐标为
(4)
(5)
【分析】（1）根据题意，求得，，所以，结合向量模的坐标运算，即可求解；
（2）结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）记，与轴正方向的夹角为，得到，结合点的坐标，即可求解；
（4）根据题意，结合投影的计算公式，即可求解；
（5）结合三角形的面积公式，向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得，，
所以，
可得，，．
（2）解：因为，
所以．
（3）解：记，与轴正方向的夹角为，则，
，
由于点的坐标为，那么，．
因此，即点的坐标为．
（4）解：将向量投影到上，得到投影向量，则，
而就是在方向上的投影的绝对值，
则．
（5）解：因为，
法1：．
法2：

29．A
【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.
【详解】设，故，而，
故，故，故，
故选：A.
30．C
【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可.
【详解】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，，
和共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.
故选：C.
31．C
【分析】直接利用平面向量的加法法则，直接计算可得答案.
【详解】向量，，则.
故选:C
32．A
【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】在平行四边形中，和相交于点，
所以，又是的中点，
所以，所以，
所以.
故选：A
33．D
【分析】利用给定的平行四边形，结合向量的线性运算及平面向量基本定理计算即得.
【详解】在中，，即是的中点，则，
又，即，
因此，
而，不共线，
所以，.
故选：D
34．B
【分析】先计算，然后根据向量共线的坐标表示求参数即可.
【详解】因为，，，
所以，
又，
所以，
解得，
故选：B.
35．D
【分析】根据向量加法的几何意义，结合已知，即可得出答案.
【详解】
根据向量加法的几何意义可知，
当时，由可知，点应落在区域1，不符合题意；
当时，由可知，点应落在区域2，不符合题意；
当时，由可知，点应落在区域3，不符合题意；
当时，由可知，点应落在区域4，符合题意.
又当时，根据向量加法的几何意义可知，此时点应落在阴影区域之外，所以.
故选：D.
36．C
【分析】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为，然后利用向量的模的坐标运算公式和向量共线的坐标关系得到方程组，求解即得的值，进而计算向量的模.
【详解】因为，，
由可得，，
即，整理得.
又因为，所以，
联立，解得或，
故，
故选C.
37．C
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可.
【详解】由题意可知，，
所以，
则.
故选：C
38．C
【分析】根据题意，得到，设，得到，根据三点共线，求得，得到，延长于点，使得，延长于点，使得，结合相似，得到，得出，进而求得的面积的最大值.
【详解】因为是的中点，可得，
设，所以，
又因为三点共线，可得，解得，所以，
因为点为直线上一动点，设，可得,
又因为，可得，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
如图所示，延长于点，使得，延长于点，使得，
即与均为等腰三角形，
则，且相似比为，所以，
所以，所以，可得，
所以，因为，所以，可得
所以为等腰三角形，且，
所以，因为，
所以，所以，
即的面积的最大值为.
故选：C.
39．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则求出，再利用向量减法法则求出作答.
（2）利用平行线的性质探求出，再利用向量减法法则求解作答.
【详解】（1）平行四边形的对角线AC和BD交于点M，
，
.
（2）点E在BC上，且，，则，
于是，即，，
所以.
40．(1)
(2)
(3)
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3），∴.
41．(1)；
(2).
【分析】（1）连接并延长交于，利用三角形重心定理，结合向量的线性运算及平面向量基本定理求解作答.
（2）由已知表示出向量，结合（1）中信息，利用平面向量基本定理列式计算作答.
【详解】（1）在中，连接并延长交于，因为是重心，则是的中点，
，由知，，
即，因此，
而不共线，且，于是，
所以.
（2）依题意，，，
而，且，因此存在，使得，
即，则，解得，
所以的值是.
42．(1)1
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由向量的坐标，可求向量的模和数量积，若，则，利用向量的模和数量积求实数k的值；
（2）由向量的夹角公式，利用向量的模和数量积求与的夹角的余弦值；
（3）由向量的平行条件，求实数k的值.
【详解】（1）由题意，向量 ， ，可得 ，
由，
得，
解得；
（2）时，，
，
．
∴，
∴与的夹角的余弦值为；
（3）由，则成立，得，
因为不共线，故，解得．
∴存在实数，使得．
43．(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解.
【详解】（1），
.
（2）设，所以
四边形ABCD是平行四边形，
所以，所以解得，
所以.
答案第1页，共2页
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