资源简介

第05讲 复数的概念-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第一册）
·模块一 数系的扩充和复数的概念
·模块二 复数的几何意义
·模块三 课后作业
1.数系的扩充与复数的相关概念
（1）复数的引入
为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
（2）复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
（3）复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
（4）复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2.复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
【考点1 复数的分类及辨析】
【例1.1】（2022·高一课时练习）
1．在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例1.2】（2023下·高一课前预习）
2．下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．是虚数 B．存在x使得是纯虚数
C．不是实数 D．实部和虚部均为1
【变式1.1】（2023上·四川遂宁·高二校考阶段练习）
3．如果复数是纯虚数,则实数= ( )
A． B． C． D．
【变式1.2】（2023·高一课时练习）
4．对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
【考点2 复数的相等】
【例2.1】（2023·内蒙古包头·一模）
5．设，其中a，b是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2022·高一课时练习）
6．若，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】（2023下·山西阳泉·高一统考期末）
7．已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2.2】（2022·全国·高一专题练习）
8．下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
1.复数的几何意义
（1）复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
（2）复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
（3）复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2.复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3.共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
（2）几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
（3）性质
①.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4.复数的模的几何意义
（1）复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
（2）复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
【考点1 复数的几何意义】
【例1.1】（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）
9．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例1.2】（2023上·宁夏银川·高三校考阶段练习）
10．复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数
【变式1.1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）
11．已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1.2】（2023上·江苏南通·高三校考阶段练习）
12．已知复数，（为虚数单位），在复平面上对应的点分别为A，B，C.若四边形为平行四边形（O为复平面的坐标原点），则复数为（ ）
A． B． C． D．
【考点2 共轭复数】
【例2.1】（2023上·云南红河·高二校考阶段练习）
13．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2022下·浙江宁波·高二校考学业考试）
14．已知（虚数单位）， 则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式2.1】（2023上·北京东城·高三校考期末）
15．复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2.2】（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）
16．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 B．z的虚部为
C．z的共轭复数 D．z的模为
【考点3 复数的模的计算】
【例3.1】（2023·全国·模拟预测）
17．若，z为纯虚数，且，则（ ）
A． B．5 C． D．3
【例3.2】（2023下·广东河源·高二校考期中）
18．已知复数为纯虚数（，是虚数单位），且，则（ ）
A．且 B．且 C．或 D．或
【变式3.1】（2022·陕西·统考二模）
19．设复数z满足，且z的实部小于虚部，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.2】（2023·江苏南通·统考一模）
20．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【考点4 复数的模的几何意义】
【例4.1】（2023·全国·高一课堂例题）
21．设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？
(1)；
(2)．
【例4.2】（2023下·高一课时练习）
22．已知复平面内的动点所对应的复数为，且满足，求点与复数所对应的点的距离的最大值．
【变式4.1】（2023上·上海奉贤·高二校考阶段练习）
23．已知复数满足.
（1）若是实数，求复数；
（2）求的取值范围.
【变式4.2】（2022·高一单元测试）
24．已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．
(1)确定点的集合构成图形的形状；
(2)求的最大值和最小值．
25．下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数，那么是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果，那么是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
（2023上·云南昆明·高二校考阶段练习）
26．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023上·北京·高三校考阶段练习）
27．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　）
A． B．
C． D．
（2023下·内蒙古兴安盟·高二校考期中）
28．若复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·云南·高二校联考期中）
29．已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
（2023下·浙江台州·高一校联考期中）
30．若a，，i是虚数单位，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023下·广东肇庆·高一统考期末）
31．设为复数，若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023上·安徽阜阳·高三校考期末）
32．已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）
33．若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
（2023·全国·高一随堂练习）
34．设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
（2023下·陕西宝鸡·高一统考期中）
35．当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
（2023下·河北·高一校联考期末）
36．已知复数，，其中是虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若，求的取值范围．
（2022下·山东青岛·高一统考期末）
37．已知复数，为虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面上表示复数的点位于第二象限，求的取值范围；
(3)若在复平面上表示复数的点位于直线上，求的值．
（2023下·高一课时练习）
38．（1）求复数的模的最小值；
（2）复数，若，，，求复数对应的点的集合形成的图形的面积．
（2023下·重庆·高二校联考期末）
39．已知复数满足，的实部与虚部的积为.
（1）求；
（2）设， ，求的值.
从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】根据复数的定义、复数的分类判断．
【详解】，是纯虚数，，0.618是实数，是虚数．故纯虚数的个数为2．
故选：C．
2．B
【详解】由复数，
当时，为实数，故A、C不正确；
当时，，故B正确；
由于的取值未知，故D错误；
故选：B
3．C
【分析】由纯虚数概念建立关系式求解即可.
【详解】由复数是纯虚数，
得，解得.
故选：C.
4．C
【分析】结合复数概念逐一判断即可.
【详解】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；
对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错.
故选：C
5．B
【分析】利用复数相等即可求出结果.
【详解】因为，即，
则，即，
故选：B.
6．B
【分析】利用复数相等的条件即可得解.
【详解】由，得，则，
根据复数相等的充要条件得，解得，
故．
故选：B．
7．B
【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围.
【详解】复数，且，
所以，则
因为，所以，当时，，当时，
所以的取值范围是.
故选：B.
8．B
【分析】通过反例可知①②错误；由且可构造方程组求得，知③正确.
【详解】对于①，若，，则，①错误；
对于②，若，，则，②错误；
对于③，由，得：，解得：，③正确.
故选：B.
9．D
【分析】写出复数的实部与虚部，再判断其正负，再结合复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，实部为，虚部为，
因为，所以，，
所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.
故选：D
10．D
【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.
【详解】由题意可设，
所以对应复数为，此复数为纯虚数，
故选：D.
11．A
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义得出对应点的坐标，即可求出实数的取值范围.
【详解】将整理化简可得，
所以复数在复平面内对应的点坐标为，
由点位于第四象限可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
12．A
【分析】根据四边形为平行四边形列方程，由此求得.
【详解】设，则，
依题意，
由于四边形是平行四边形，
所以，
所以.
故选：A

13．D
【分析】由复数的坐标表示及共轭复数概念可得答案.
【详解】由题，，故，
故选：D
14．C
【分析】根据共轭复数定义得，即可确定虚部.
【详解】由题设，故其虚部为3.
故选：C
15．D
【分析】根据复数的除法运算得到，再由共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解.
【详解】，
，
复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于第四象限，
故选：D.
16．D
【分析】根据复数的除法运算化简求出，即可依次判断每个选项.
【详解】，
的共轭复数为，故C错误，共轭复数对应的点在第一象限，故A错误；
的虚部为，故B错误；z的模为，故D正确.
故选：D.
17．A
【分析】根据复数相等及复数的模求解即可.
【详解】因为z为纯虚数，
所以设，
由得，
所以，解得，
所以，则，
故选：A．
18．D
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【详解】复数为纯虚数，则，即，故，
由，则或．
故选：D．
19．D
【分析】设，根据已知条件列方程，从而求得，也即求得.
【详解】设，
则，
所以.
故选：D
20．C
【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长.
【详解】对应的点为，其中关于的对称点为，
故，
故.
故选：C
21．(1)满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆
(2)以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界
【分析】（1）根据复数模长的几何意义求解即可.
（2）根据复数模长的几何意义求解即可.
【详解】（1）复数的模等于2，这表明，复数对应的向量之的长度等于2，
即点到原点的距离等于2，
因此满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．
（2）不等式可以化为不等式组
不等式的解集是圆和该圆内部所有的点构成的集合，
不等式的解集是圆和该圆外部所有的点构成的集合，
这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合．
所求的集合是以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.

22．
【分析】首先求出点的轨迹，再根据数形结合求距离的最大值.
【详解】∵满足的点Z的轨迹是以，对应的点B，C为端点的线段．
由平面几何知识知点与复数所对应的点的距离的最大值．

23．（1）复数或；（2）.
【分析】（1）利用实数概念及模长，即可得到复数；
（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.
【详解】（1）设i ，、，则，
又是实数，
∴，又，
∴或，
∴复数或；
（2）
表示复数对应的点与对应的点间的距离，
而复数在以原点为圆心，半径为5的圆上，
如图所示，
，
∴.

24．(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆
(2)最大值为7，最小值为3
【分析】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状.
（2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.
【详解】（1）设复数在复平面内的对应点为，
则，
故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，
，
则的最大值即的最大值是；
的最小值即的最小值是．
25．B
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于A中，若，那么，所以A错误；
对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；
对于C中，若且时，复数，所以C不正确；
对于D中，由虚数单位，可得D错误.
故选：B.
26．C
【分析】由复数为纯虚数求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由“”为纯虚数，得，解得，
故“”是复数“为纯虚数”的充要条件.
故选：C.
27．B
【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，
所以，因此，
故选：B
28．C
【分析】根据复数对应的点在各个象限的特征即可求解.
【详解】由在复平面内对应的点在第一象限,所以，
故选：C
29．A
【分析】根据复数相等求得，然后利用共轭复数的概念求虚部，即可求解．
【详解】由，可得，所以，所以的虚部是．
故选：A．
30．D
【分析】根据复数相等的充要条件列出方程，求解即可得出答案.
【详解】根据复数相等的充要条件可得，解得，
所以，.
故选：D.
31．D
【分析】结合复数的概念结合条件可得a，b范围，进而即可判断复数位于第几象限.
【详解】设z，则，
∴，，∴，，
∴，，即z位于第四象限，
故选：D.
32．A
【分析】设，根据模长公式列出方程，求出，得到答案.
【详解】设，则，解得：，
故的虚部为-1.
故选：A．
33．B
【分析】利用复数相等的条件，求出，由复数模的公式计算.
【详解】若，即，
得，解得，
所以．
故选：B
34．C
【分析】设，，依题意可得，即可得到复数在复平面内的点所在的区域，从而求出其面积.
【详解】设，，则，
因为，所以，则，
所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点），
所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积.
故选：C
35．(1)或
(2)且
(3)
【分析】（1）令复数虚部等于0，即可求得答案；
（2）令复数的虚部不等于0，即可求得答案；
（3）根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不为0，即可求得答案.
【详解】（1）由题意复数，
当，即或时，所给复数是实数.
（2）当，即且时，所给复数是虚数.
（3）当，即时，所给复数是纯虚数.
36．(1)
(2)
【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；
（2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围.
【详解】（1）由z1为纯虚数，
则，解得m＝－2.
（2）由，得
∴
∵，
∴当时，，当时，，
∴实数的取值范围是.
37．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据为纯虚数得出关于的方程组，从而得出答案.
（2）根据复数的点位于第二象限则，从而得出答案.
（3）将复数对应的点坐标代入直线方程，从而可得出答案.
【详解】（1）为纯虚数,则，解得
（2）复数的点位于第二象限则，解得
（3）复数的点位于直线上，则
解得或
38．（1）；（2）
【分析】（1）根据复数的模的定义求的解析式，再由二次函数性质和根式性质求其最小值即可；
（2）由条件确定复数对应的点的集合形成的图形，再求其面积.
【详解】（1）∵
所以，
当且仅当时，等号成立，
∴当时，取得最小值．
（2）复数在复平面上的对应点的坐标为，
因为，，，
所以，，，
所以复数对应的点的集合形成的图形如下图中的阴影部分（不包括轴上的点）：

所以复数对应的点形成的图形的面积.
39．（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）由已知，利用复数的模的计算公式和实部虚部的概念列出方程组，求得m,n的值，进而得解；
（2）根据各个条件，选择其中之一，或者根据复数相等的条件，或者根据复数为纯虚数的条件，或者根据复数的几何意义对应的点的坐标的意义，列出方程组求解即得.
【详解】（1）解：由，
，解得，
所以.
（2）
若选①，由，则，解得
若选②，由题意，解得
若选③，由题意，解得.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑