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第06讲 复数的四则运算-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第一册）
模块一 复数的四则运算
模块二 复数范围内方程的根
模块三 课后作业
1．复数的加法运算及其几何意义
（1）复数的加法法则
设=a+bi，=c+di（a，b，c，dR）是任意两个复数，那么+=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i.
（2）复数的加法满足的运算律
对任意，，∈C，有
①交换律：+=+；
②结合律：（+）+=+（+）.
（3）复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di（a，b，c，d∈R）对应的向量分别为，，则=（a，b），=（c，d）.以，对应的线段为邻边作平行四边形 （如图所示），则由平面向量的坐标运算，可得=+=（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d），即z=（a+c）+（b+d）i，即对角线OZ对应的向量就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
（1）复数的减法法则类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi的复数
x+yi（x，y∈R）叫做复数a+bi（a，b∈R）减去复数c+di（c，d∈R）的差，记作（a+bi）-（c+di）.根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=（a-c）+（b-d）i，即（a+bi） -（c+di）=（a-c）+（b-d）i.这就是复数的减法法则.
（2）复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差-对应的向量是-，即向量.如果作=，那么点Z对应的复数就是-（如图所示）.这说明两个向量与的差就是与复数（a-c）+（b-d）i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3．复数的乘法运算
（1）复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=ac+bci+adi+=（ac-bd）+（ad+bc）i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
（2）复数乘法的运算律
对于任意，，∈C，有
①交换律：=；
②结合律：（）=（）；
③分配律：（+）=+.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，，和正整数m，n，有=，
=，=.
4．复数的除法
（1）定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足（c+di）（x+yi）=a+bi（c+di≠0）的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作（a+bi）÷（c+di）或（a，b，c，d∈R，且c+di≠0）.
（1）复数的除法法则
（a+bi）÷（c+di）====+i（a，b，c，d∈R，且c+di≠0）.由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
5．复数运算的常用技巧
（1）复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
（2）常用公式
；
；
.
【考点1 复数的加、减运算】
【例1.1】（2023下·黑龙江绥化·高一校考期末）
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．0
【例1.2】（2023下·陕西商洛·高一统考期末）
2．若复数，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】（2023下·四川凉山·高一校联考期末）
3．复数z在复平面内对应的点为，则复数（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】（2022下·高一课时练习）
4．若（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【考点2 复数加、减法的几何意义的应用】
【例2.1】（2023·贵州六盘水·一模）
5．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【例2.2】（2023·高一课时练习）
6．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ）
A． B．5 C．2 D．10
【变式2.1】（2023下·江苏常州·高一统考期末）
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】（2023·高一课时练习）
8．如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【考点3 复数的乘除运算】
【例3.1】（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）
9．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【例3.2】（2023·青海·校联考模拟预测）
10．设复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.1】（2023上·湖南邵阳·高二校考阶段练习）
11．若，则（ ）
A．-2-4i B．-2+4i C．6-2i D．6+2i
【变式3.2】（2023上·全国·高三校联考阶段练习）
12．已知复数满足，则（ ）
A． B． C．3 D．2
【考点4 根据复数的四则运算结果求参数】
【例4.1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）
13．设复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【例4.2】（2022·河南·宝丰县校联考模拟预测）
14．已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】（2022·全国·校联考模拟预测）
15．已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4.2】（2023上·河南驻马店·高三统考期末）
16．已知a，b为实数，复数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点5 根据复数的四则运算结果求复数特征】
【例5.1】（2023下·四川眉山·高一校考期中）
17．复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例5.2】（2023下·湖北黄冈·高二校联考期末）
18．复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
【变式5.1】（2023下·江苏无锡·高二统考期末）
19．已知复数，在复平面内对应点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5.2】（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）
20．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程+bx+c=0（a≠0，且a，b，c∈R），则当>0时，方程有两个不相等的实根，=当=0时，方程有两个相等的实根==-；当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复数.
【考点1 复数范围内分解因式】
【例1.1】（2022·高一课时练习）
21．在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
【例1.2】（2022·高一课时练习）
22．利用公式，把下列各式分解为一次因式的乘积：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1.1】（2023·高一课时练习）
23．在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)；
(3).
【变式1.2】（2023·高一课时练习）
24．在复数范围内分解因式：
(1)；
(2).
【考点2 复数范围内方程的根】
【例2.1】（2023·全国·高一课堂例题）
25．在复数集C内解下列方程：
(1)；
(2)．
【例2.2】（2023下·宁夏银川·高二校考期中）
26．已知复数，.
(1)求；
(2)已知是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【变式2.1】（2023上·江西新余·高二校考开学考试）
27．已知关于的方程，其中a，b为实数．
(1)设（是虚数单位）是方程的根，求a，b的值；
(2)证明：当，且时，该方程无实数根．
【变式2.2】（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）
28．已知关于的实系数一元二次方程
(1)若，求方程的两个根；
(2)若方程有两虚根，，求的值；
(3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围.
（2023下·西藏林芝·高二校考期末）
29．若复数，则 （ ）
A． B． C． D．
（2023下·河南郑州·高一校考阶段练习）
30．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A． B． C． D．
（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）
31．实数时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023上·江西·高三校联考阶段练习）
32．已知复数z满足，则（ ）
A． B．
C． D．
（2022下·福建福州·高一统考期中）
33．多项式在复数集中因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陕西·校联考模拟预测）
34．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）
35．已知、为实数，是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
（2022下·河南商丘·高二校联考期中）
36．若复数（，为虚数单位）的实部和虚部相等，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河北石家庄·高三校考开学考试）
37．已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）
38．在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023下·陕西西安·高一期中）
39．计算下列各题:
(1)；
(2).
（2023下·安徽芜湖·高一校考期中）
40．已知复数，，i为虚数单位．
(1)若，求z的共轭复数；
(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）
41．已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
（2022上·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）
42．已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为 .
(1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；
(2)若，求实数a的值.
（2023·高一课时练习）
43．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.
（1）求对应的复数；
（2）求对应的复数；
（3）求△APB的面积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据复数的减法计算即可.
【详解】由题意，时，.
故选：C
2．A
【分析】根据复数的减法运算，即可得答案.
【详解】因为 ，，所以，
故选：A
3．D
【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数的运算法则计算可得.
【详解】复数在复平面内对应的点为，则，所以.
故选：D．
4．B
【分析】移项化简可得．
【详解】，，
故选：B
5．C
【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，
又因为，
所以由复数加法的几何意义可得，
.
故选：C.
6．B
【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
故选：B．
7．B
【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解.
【详解】在复平面中，设分别与向量对应，
由题意可得，，
因为，
即，解得，即.
故选：B.
8．D
【分析】由向量，结合向量减法运算得，再由复数的几何意义即可求解.
【详解】由题图可知，，，
∴z1＋z2－z3＝0.
故选：D
【点睛】本题考查复数与复平面的对应关系，向量的线性运算，属于中档题
9．B
【分析】先利用复数的乘方和乘法运算化简，再利用共轭复数的定义求解.
【详解】解：因为，
所以.
故选：B
10．B
【分析】根据复数的除法运算求解出，然后可得共轭复数.
【详解】因为，
所以，
故选：B.
11．C
【分析】根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解.
【详解】由复数，可得，所以.
故选：C.
12．B
【分析】根据复数的除法运算化简，即可利用模长公式求解.
【详解】．
故选：B．
13．D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.
【详解】，
由已知得，解得，
故选：D
14．B
【分析】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案.
【详解】，所以，
解得，
故选：B.
15．B
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后根据实部和虚部的定义求解即可.
【详解】由复数的乘法运算可知，，
因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，.
故选：B.
16．A
【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出即可得答案.
【详解】因为，所以，
则，即，
从而，即，解得，故
故选：A.
17．B
【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
18．D
【分析】化简复数，即可得到答案.
【详解】，故复数的虚部是.
故选：D.
19．C
【分析】由复数的乘法运算，即可求出复数所对应的点坐标.
【详解】，
所以在复平面内对应点的坐标为.
故选：C．
20．A
【分析】根据题意求得，得到，化简，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】因为复数（其中）为“等部复数，可得，
即，可得，
则在复平面内对应的点为位于第一象限.
故选：A.
21．(1)
(2)
【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案.
【详解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据所给等式，直接可得答案；
（2）利用平方差公式结合所给等式，可得答案；
（3）先用完全平公式化简，再利用已知等式，可得答案；
（4）先配方变为平方和形式,再利用已知等式分解可得答案.
【详解】（1）;
（2）,
（3）
（4）
23．(1)
(2)
(3)
【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.
【详解】（1）
（2）
（3）∵
∴
∴
24．(1)
(2)
【分析】（1）由利用平方差公式可得答案；
（2）由利用平方差公式可得答案.
【详解】（1）；
（2）.
25．(1)或．
(2)或．
【分析】（1）移项开根号即可得到答案；
（2）配方即可计算得到答案.
【详解】（1），则，则.
（2）配方，得．
或，
所以或．
26．(1)
(2)，
【分析】（1）由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的模长公式求解即可得出答案；
（2）将代入化简，再利用复数相等的条件可求得实数，的值.
【详解】（1），
.
（2），
因为是关于的方程的一个根，
所以，
所以，即
.
27．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据一元二次方程复数根的性质即可求解；
（2）根据一元二次方程的判别式即可判断.
【详解】（1）∵是方程的根，∴也是方程的根，
由一元二次方程根与系数的关系得，
得，解得，；
（2）∵，∴，∴，即，
∴，∴原方程无实数根．
28．(1)、
(2)
(3)
【分析】（1）利用求根公式计算可得；
（2）由求出的取值范围，依题意可得、互为共轭复数，则，即可求出的值；
（3）分和两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可.
【详解】（1）当时方程为，则，
所以方程的根为、
（2）因为方程有两虚根，所以，
解得，
此时方程有两个共轭复根、，故，又，所以，
所以，解得或（舍去）.
（3）若，即或时，
此时，，
则，，，
显然，
所以，
则
，
即，解得或，
所以或；
若，即时，
设，（），
则，，，
所以，，
所以，即，又，，
所以，解得或，所以；
综上可得的取值范围为.
29．A
【分析】根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由复数，则.
故选：A.
30．D
【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案.
【详解】复数与分别表示向量与，
因为，所以表示向量的复数为.
故选：D.
31．A
【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.
【详解】
又，故
故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：
32．B
【分析】利用复数的四则运算，求出复数z，可求.
【详解】由题意得，所以，所以，
故，所以.
故选：B.
33．A
【分析】首先求出方程的复数根，即可得解；
【详解】解：对于方程，因为，
所以有两个虚根，即，，
所以；
故选：A
34．D
【分析】根据复数的乘法运算求得z，然后根据复数与对应点的关系，可得结果.
【详解】因为，
所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
35．B
【分析】分析可知关于的方程的两个虚根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，即可得解.
【详解】因为、为实数，是关于的方程的一个根，
所以，关于的方程的两个虚根分别为、，
由韦达定理可得，可得，
，解得，故.
故选：B.
36．C
【分析】根据的周期性及复数的除法运算法则，结合复数实部与虚部相等即可求解.
【详解】由题意可知，，
因为复数的实部和虚部相等，
所以，解得，
所以．
故选：C．
37．A
【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对，应用韦达定理，求得的值
【详解】因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根.
根据根与系数的关系可得
即得,
所以
故选:A.
38．A
【分析】由已知得出，然后根据复数的除法运算化简得出，根据复数的几何意义，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
则，
所以，复数对应的点为，该点位于第一象限.
故选：A.
39．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可；
（2）利用复数的四则运算求解即可.
【详解】（1）
.
；
（2）
.
.
40．(1)；
(2)．
【分析】（1）由复数除法运算求得，再由共轭复数定义得结论；
（2）求出，再根据第四象限点的特征列不等式组求解．
【详解】（1），所以；
（2），对应点坐标为，
由题意，解得．
41．(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值；
（2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可.
【详解】（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
带入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
42．(1)，
(2)或
【分析】（1）若该方程没有实根，则，解之即可，由，可得，即可在复数范围内对进行因式分解；
（2）分和两种情况讨论，结合韦达定理从而可得出答案.
【详解】（1）解：若该方程没有实根，
则，解得，
由，得，
所以，即，
所以在复数范围内对；
（2）解：当，即时，
则都是实数，
由韦达定理可知，
故都是非负数，
所以，所以；
当，即时，方程有两个共轭虚根，设为，
则，
故，解得或（舍去），
综上所述，或.
43．（1）－2＋2i；（2）5；（3）.
【分析】(1)平行四边形ABCD中，有且与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，即对应的复数为－2＋2i
(2)同(1)，由于，而与对应的复数分别是3＋2i与－2＋2i，即对应的复数为5
(3) 平行四边形ABCD中，根据向量的关系得到、，由向量数量积的坐标公式和几何意义有，解得cos∠APB＝进而得到sin∠APB＝，再由三角形面积公式求得面积为5
【详解】由题意，画出平行四边形如下图示

（1）在平行四边形ABCD中，有
∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i
即对应的复数是－2＋2i
（2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5
即对应的复数是5
（3）∵
∴，而，
即
∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝
故
即的面积为
【点睛】本题考查了复数加减运算并结合向量在几何中的应用，向量数量积的几何意义和坐标公式，三角形的面积公式；综合运用复数和向量的关系及在几何中的应用，应用向量的数量积及三角形面积公式求值
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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