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第07讲 空间几何体初步-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第一册）
·模块一 空间几何体的结构特征
·模块二 简单几何体的表面积与体积
·模块三 课后作业
1．空间几何体的有关概念
（1）空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
（2）定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.
（3）旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
相关概念 （1）底面(底)：两个互相平行的面；（2）侧面：其余各面； （3）侧棱：相邻侧面的公共边； （4）顶点：侧面与底面的公共顶点. （1）底面(底)：多边形面；（2）侧面：有公共顶点的各个三角形面； （3）侧棱：相邻侧面的公共边； （4）顶点：各侧面的公共顶点. （1）上底面：原棱锥的截面；（2）下底面：原棱锥的 底面 . （3）侧面：其余各面. （4）侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点.
图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D'
结构特征 （1）底面互相平行且全等；（2）侧面都是平行四边形； （3）侧棱都相等，且互相平行. （1）底面是多边形；（2）侧面都是三角形； （3）侧面有一个公共顶点. （1）上、下底面互相平行，且是相似图形；（2）各侧棱的延长线交于一点； （3）各侧面为梯形.
分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
圆柱 圆锥 圆台 球
定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
相关概念 （1）轴：旋转轴.（2）底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. （3）侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. （4）母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. （1）轴：旋转轴.（2）底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. （3）侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. （4）母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. （1）上底面：原圆锥的截面.（2）下底面：原圆锥的底面. （3）轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. （4）侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. （1）球心：半圆的圆心.（2）半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. （3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.
图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O
结 构 特 征 （1）圆柱两个底面是圆面而不是圆.（2）圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. （3）平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. （1）底面是圆面.（2）有无数条母线，长度相等且交于顶点. （3）平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. （1）上、下底面是互相平行且不相等的圆面.（2）有无数条母线，等长且延长线交于一点. （3）平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. （1）球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合. （2）球的截面都是圆面.
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
4．简单组合体的结构特征
（1）简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
（2）简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图（1）所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图（2）所示.
（3）常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图（1）中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图（2）中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图（3）中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
5．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.
（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行.
（3）截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形.
（4）截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.对应截面图形如图中各图形所示
【考点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】
【例1.1】（2023·全国·高一随堂练习）
1．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
【例1.2】（2023上·四川成都·高二校联考阶段练习）
2．下列说法正确的是（ ）
A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．多面体至少有5个面
D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形
【变式1.1】（2023下·山西朔州·高一校联考阶段练习）
3．下列几何体中，棱数最多的是（ ）
A．五棱锥 B．三棱台
C．三棱柱 D．四棱锥
【变式1.2】（2023下·辽宁铁岭·高一校考期末）
4．所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（ ）
A． B． C． D．
【考点2 旋转体的结构特征】
【例2.1】（2023上·上海奉贤·高二校联考期中）
5．下列命题正确的是（ ）
A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
【例2.2】（2023下·河北张家口·高一校考阶段练习）
6．下列说法中正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．圆锥的顶点 圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
【变式2.1】（2023上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）
7．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【变式2.2】（2022下·高一课时练习）
8．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点3 简单组合体的结构特征】
【例3.1】（2023·高一课时练习）
9．如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
【例3.2】（2022上·北京·高二校考阶段练习）
10．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）
【变式3.1】（2023上·四川·高二校联考期中）
11．如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为，A，B，C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则（ ）

A． B． C．2 D．
【变式3.2】（2023下·河南商丘·高一校联考阶段练习）
12．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）

A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有12个面
C．该几何体恰有24条棱
D．该几何体恰有12个顶点
【考点4 平面图形旋转形成的几何体】
【例4.1】（2022·高一课时练习）
13．下列叙述中，正确的个数是（ ）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例4.2】（2022下·广东珠海·高一校考阶段练习）
14．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
　　
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【变式4.1】（2023下·湖北孝感·高一校联考阶段练习）
15．如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4.2】（2023·高一课时练习）
16．如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是　(　　)

A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
1．多面体的侧面积、表面积和体积
多面体 图形 侧面积与表面积 体积
棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形，S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高)
棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧=Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高)
棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧=(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高)
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
旋转体 图形 侧面积与表面积 体积
圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l，表面积 体积(S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高)
球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积
3．空间几何体表面积与体积的常见求法
（1）常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
（2）求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
4．球的截面
（1）球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
（2）球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径
为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.
5．几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
【考点1 多面体的表面积与体积】
【例1.1】（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）
17．分别为正四棱台的上、下底面的中心，且，则正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·全国·模拟预测）
18．已知体积为的球与正四面体的四个面均相切，且与正四面体的六条棱均相切，则正四面体的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式1.1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）
19．已知正三棱柱的六个顶点均在同一个半径为1的球面上，则正三棱柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．
【变式1.2】（2023上·上海黄浦·高二格致中学校考期中）
20．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（ ）

A． B． C． D．
【考点2 旋转体的表面积与体积】
【例2.1】（2023下·陕西西安·高一期中）
21．两个球表面积的比为，则体积的比为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【例2.2】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）
22．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】（2023上·辽宁·高三校联考期中）
23．如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.2】（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）
24．某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点3 球的截面问题】
【例3.1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）
25．用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（ ）
A．13π B．52π
C．20π D．36π
【例3.2】（2023上·上海闵行·高二校考期末）
26．如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【变式3.1】（2023上·高二课时练习）
27．已知三棱锥满足底面，在中，，，，是线段上一点，且，球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为（ ）
A．72π B．86π C．112π D．128π
【变式3.2】（2023·河南·校联考模拟预测）
28．一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则表面积（包括底面）之比（ ）
A． B． C． D．
【考点4 几何体与球的切、接问题】
【例4.1】（2023下·山东德州·高一统考期末）
29．如图：三棱台的六个顶点都在球的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，，和分别是边长为和的正三角形．

(1)求三棱台的表面积；
(2)计算球的体积．
【例4.2】（2022上·四川·高二校考阶段练习）
30．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.
【变式4.1】（2023上·上海浦东新·高二校考期中）
31．如图，已知球的表面积为，是该球的内接长方体（即该长方体的八个顶点均在球面上）
(1)若， ，求球心到平面的距离：
(2)若是正四棱柱，当该正四棱柱的侧面积最大时，求其体积.
【变式4.2】（2022下·广东东莞·高一校联考期中）
32．如图，在长方体中，
(1)若该长方体被过顶点A，，的平面截去一个三棱锥，求剩余部分的体积；
(2)若该长方体的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积和表面积.
（2023上·新疆·高二八一中学校考阶段练习）
33．下列几何体中为圆柱的是（　　）
A． B． C． D．
（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）
34．下列关于空间几何体的叙述，正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台
（2023下·高一课时练习）
35．能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）
36．已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
（2023下·广东深圳·高一校考期中）
37．如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个校台构成
（2023下·辽宁·高一校联考期末）
38．若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台
B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体
C．该几何体为圆柱
D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体
（2023上·湖南衡阳·高三校联考阶段练习）
39．如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）
40．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1和图2中溶液体积分别为，则（ ）
A． B． C．1 D．
（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）
41．三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面的射影是线段的中点，，则平面被球O截得的截面面积为（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·山东青岛·高三校考期中）
42．如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一课时练习）
43．如图，将平面图形ABCDEFG绕AG边所在的直线旋转一周，作出由此形成的空间图形，并指出该空间图形是由哪些简单空间图形构成的.
（2023·江苏·高一专题练习）
44．如图所示，长方体.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
（2023下·高一课时练习）
45．已知过球面上三点，，的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，求球的表面积与球的体积．
（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）
46．已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆．
(1)求其母线长；
(2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积．
（2023上·上海黄浦·高二格致中学校考期中）
47．如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O．
(1)若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积；
(2)若，求几何体的表面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据常见几何体的基本特征判断各选项即可.
【详解】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；
对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误；
对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确；
对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误.
故选：C.
2．D
【分析】根据多面体、棱柱和棱台的定义判断即可.
【详解】A选项：各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故A错；
B选项：有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故B错；
C选项：多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体，故C错；
D选项：根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确.
故选：D.
3．A
【分析】根据棱锥和棱柱的特征逐个求解其棱数进行判断
【详解】因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，
所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥，
故选：A
4．A
【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可.
【详解】
如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台，
该棱台的高等于大正三棱锥的高的.
设大正三棱锥的高为DH，则：
因为大正三棱锥的高为:，
所以该棱台的高为.
故选：A
5．A
【分析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可.
【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确；
对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误；
对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误；
对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.
故选：A.
6．B
【分析】由几何体的结构特征逐项判断即可.
【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；
因为圆锥的顶点与底面圆心连线垂直底面，所以圆锥的顶点 圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，故B正确；
用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故错误；
当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误.
故选：B.
7．A
【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.
【详解】由题意可得，几何体如下图所示：
取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且，
设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得，
即原圆锥的母线长为.
故选：A.
8．A
【分析】将锥体侧面展开为扇形，先求出所得扇形圆心角，再根据两点间线段距离最短，求最短路径.
【详解】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90，
所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝2，
所以小虫爬行的最短距离为2.
故选：A
9．B
【分析】直接观察,即可出答案.
【详解】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.
故选：B.
10．D
【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.
【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；
当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状；
故选：D
11．C
【分析】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，根据题意，结合勾股定理和三角形相似，求解即可.
【详解】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，如图所示，
由题意可得，
因为正四棱锥的底面边长为6，所以，，
的长度为正四棱柱底面正方形对角线的长度，即，，
因为，所以，，
因为，所以，.
故选：C
12．B
【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可.
【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确．
故选：B
13．B
【分析】根据旋转体的知识逐一判断即可.
【详解】①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故①错；
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故②错；
③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球，故④正确．
故选：B.
14．B
【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项.
【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，
而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，
故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，
故选：B.
15．B
【分析】根据旋转体的形成过程即可得出选项.
【详解】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，
而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，
分析四个选项，A项，旋转后圆台；
C项，旋转后圆台；D项，球体中挖去一个小球；
故选：B
【点睛】本题考查了旋转体的形成过程，掌握旋转体的结构特征是解题的关键，属于基础题.
16．A
【详解】将该几何体绕轴l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥和球，半球
组成的，由此A选项错误
故选A
17．C
【分析】分别算出上下底面面积，结合高以及棱台体积公式运算即可.
【详解】由题意可知上、下底面的面积、高分别为，
所以正四棱台的体积为.
故选：C.
18．D
【分析】设球的半径为，根据球的体积为，求得半径R，设正四面体的棱长为，易得正四面体的高，利用等体积法求得棱长，将正四面体放到正方体中，得到正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切的球，由球的半径，得到正方体的棱长为6，从而正四面体的棱长为求解.
【详解】解：设球的半径为，因为球的体积为，所以，解得．
设正四面体的棱长为，则该正四面体的高，
所以该正四面体的体积，
又，
所以，得，即正四面体的棱长为．
如图所示，
易知正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切的球,
因为球的半径，所以正方体的棱长为6，则正四面体的棱长为，
所以，
故选：D．
19．B
【分析】利用正三棱柱外接球的性质得到的关系式，从而利用二次函数的性质或基本不等式即可得解.
【详解】解法一：
设正三棱柱底面边长为a，高为h，底面外接圆的半径为，
则，故，所以，即，
又三棱柱的侧面积，
所以，
当时，等号成立，则三棱柱的侧面积最大值为．
解法二：
设正三棱柱底面边长为a，高为h，底面外接圆的半径为，
则，故，所以，
因为，所以，
当且仅当，时，等号成立，则三棱柱的侧面积最大值为.
故选：B.
20．B
【分析】利用四棱锥体积公式，可得正八面体的体积，再根据正三角形面积公式可得正八面体的表面积.
【详解】
如图所示，连接，，
则四边形为正方形，且平面，
由正八面体可知，
，
则，，
所以，
表面积，
所以，
故选：B.
21．C
【分析】由表面积的比得到半径之比，再得到体积之比.
【详解】设两球的半径分别为，，
表面积之比，，
体积之比.
故选：C.
22．D
【分析】利用圆台的表面积公式求得母线长，进而求得圆台的高，从而利用圆台的体积公式即可得解.
【详解】设圆台的母线长为．高为．
所以，解得，
所以．
所以该圆台的体积．
故选：D．
23．D
【分析】根据体积之比可得半径之比，即可根据圆锥和圆台的侧面积的公式即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆半径分别为，它们的母线长分别为.
因为，所以.从而，
即，.所以·
故选：D
24．C
【分析】由题意作图，根据圆锥与圆柱的几何性质，可得到答案.
【详解】由题意作图如下：
由题设可知该圆锥的高．设在该圆锥中内接一个高为的圆柱，
该圆柱的底面半径为，由，则，即，所以，
故该圆柱的侧面积，
当时，侧面积取得最大值．
故选：C.
25．B
【分析】根据球中截面圆的性质，结合锥体体积公式即可求解半径，进而由球表面积公式求解.
【详解】设平面截得截面圆的半径为，球半径为,
所以，
所以外接球的表面积为，
故选：B
26．D
【分析】根据条件求出球的半径即可.
【详解】依题意得：截面圆半径，设球的半径为，则球心到截面圆的距离.
如图，由勾股定理得：，解得，所以球的体积为.
故选：D.

27．D
【分析】先找到外接球球心，过的中点作，则平面，取，则为外接球球心，过点作球的截面，最大的截面过球心，最小的截面是过且与垂直的截面，由此可用表示出两截面圆半径．
【详解】如图，是边中点，是边中点，∵，∴是的外心，

作，∵平面，∴平面，平面，
∴，取，易得，
∴是三棱锥的外接球的球心.
是中点，则，，∴，
∵，∴，∴，
设，则，，又，
∴，
过且与垂直的截面圆半径为，则，
这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径，
∴，，
，.
故选：D.
28．B
【分析】由球的性质可求出截面圆的半径，从而求出表面积，可解此题.
【详解】∵，，∴，，
∴．
故选：B
29．(1)
(2).
【分析】（1）点分别是正和的中心，球的半径为，且三点共线，正三棱台的高为，在梯形中，由的长度求出的长度，即可求出侧面积从而求出表面积；
（2）在中，，在中，，解出半径，根据球的体积公式即可求解.
【详解】（1）如图

设点分别是正和的中心，球的半径为，且三点共线，正三棱台的高为，
在等边中，由，得，
同理，得，
如下图，过点作，则在中，，，
所以正三棱台的高为3，在直角梯形中，
，
所以，所以正三棱台的斜高为，

正三棱台侧面积为，
又因为正三棱台上下两底的面积之和为
,
所以正三棱台表面积为.
（2）在中，，
即，在中，，
即，两式联立解得：，
所以球的体积为：．
30．(1)
(2)外接球的表面积为，内切球的体积为
【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到三角形ABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）结合第一问得到内切球半径，求出内切球体积，再根据将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为，，，
由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，
所以

设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积
所以剩下的几何体的体积
（2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为，
则内切球球的体积
直三棱柱可补形为棱长分别为的长方体，
它的外接球的球半径满足，即
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.
31．(1);
(2).
【分析】（1）由球的表面积可得半径，又球为长方体的外接球，则直径等于体对角线，进而可侧棱长，即可求解；
（2）根据外接球得，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由球的表面积为，则，
即，则，
因为球位长方体的外接球，则球心即为长方体的中心；
则球心到平面的距离为.
（2）是正四棱柱,设底面边长为，侧棱长为，
则，则，
，
当且仅当，且，
即，时，侧面积最大，
则.
32．(1)
(2)球O的体积：，球O的表面积：
【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式即可求解；
（2）根据长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线长度，即可求出外接圆半径，再结合球的表面积和体积公式即可求解.
【详解】（1）因为长方体的体积为，
三棱锥的体积为，
所以剩余部分的体积为
（2）由题可知球O为长方体的外接球，则球O的半径，
故球O的体积为，
球O的表面积：.
33．B
【分析】结合几何体的特征逐个判断即可.
【详解】易得A为圆锥，B为圆柱，C为棱台，D为球．
故选：B．
34．B
【分析】根据圆柱，棱柱，棱台，棱锥的定义进行判断.
【详解】对于A，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱，而以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；
对于B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；
对于C，如图所示，若，，满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故C错误；
对于D，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台.若截面与底面不平行，则不是梭台，故D错误.
故选：B.
35．A
【分析】将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意.
【详解】此几何体自上向下是由一个圆锥和一个圆台构成，是由A中的平面图形旋转形成的.
故选：A.
36．C
【分析】利用圆锥与其内切球的轴截面，由已知数据计算出圆锥底面半径和母线长，可求圆锥的表面积.
【详解】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，
由已知，可知，所以圆锥的轴截面为正三角形，
因为，所以圆锥底面圆半径，母线，
则圆锥的表面积为．
故选：C．
37．B
【分析】根据组合体基本构成即可得答案.
【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.
故选：B.
38．B
【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可.
【详解】由题意可知形成如图的几何体，

该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体.
故选：B
39．D
【分析】根据圆锥的侧面展开图，即可根据弧长公式可得，进而根据等面积法即可求解.
【详解】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.
则从点A到点B的最短路径为线段，，所以.
过S作，则公路距山顶的最近距离为，
因为，所以，
故选:D.
40．D
【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出.
【详解】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为4，在图2中，中间液面四边形的边长为5，
则，
所以.
故选：D.
41．C
【分析】分别找出和的外接圆圆心和，通过过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为三棱锥外接球球心，再通过几何关系求出外接圆半径，即可求其被球截得的圆的面积．
【详解】
设中点为，点在平面的射影是线段的中点，
平面，，，
又，是等边三角形．
取中点为，连接交于，则是外心．
连接，在上取，使得，则为外心．
过作平面的垂线，过作平面的垂线，
两垂线的交点即为三棱锥外接球球心，
则四边形是矩形，．
连接，，设外接圆半径，设球半径为．
球的表面积为，．
在中，，
平面被球截得的截面面积．
故选：C
42．B
【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.
【详解】因为为等腰直角三角形，，
所以的外接圆的圆心为的中点，且，
设的中点为，连接，则，则平面，
设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上，
设，，外接球的半径为，
因为，所以，
即，又，则，
因为，所以
所以三棱锥外接球表面积的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：
（1）棱长为的正方体的外接球半径为；
（2）长方体的长，宽，高分别为，则其外接球的半径为；
（3）直棱柱的高为，底面多边形的外接圆半径为，则其外接球的半径为.
43．详见解析.
【分析】结合条件及旋转体的概念即得.
【详解】形成的空间图形如图所示，该空间图形自上而下依次由圆柱、圆台、圆柱、圆台构成.
44．(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由见解析；
(2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱.
【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可；
（2）根据棱柱的定义以及棱柱的表示方法求解即可.
【详解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱；
（2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面.
截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱，
其中四边形和是底面.
45．球的表面积，球的体积．
【分析】设球的半径为，根据与球体截面半径，球心、截面的距离间的几何关系求，进而求球体的表面积、体积.
【详解】如图，设球的半径为，球心为，截面圆心为，则．
在△中，由，即，
∴是的中点，即，又，
∴，可得．
∴球的表面积，
球的体积．
46．(1)6
(2)
【分析】（1）由圆锥的侧面展开图扇形的弧长即底面圆的周长，得，从而高为，由轴截面面积可建立的方程求解即可.
（2）由轴截面图形中的对应比例关系求解正四棱柱的高，由此可求其体积，再由间接法可得所求几何体体积.
【详解】（1）设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l， 高为h，
由题意知，侧面展开图的弧长，
∴圆锥高，
由其轴截面的面积为.
解得，则.
即其母线长为.

（2）
设正四棱柱的高为，
所以圆锥体积为.
由，则正四棱柱的底面对角线的长为2，一半长为，
由图可得，所以，
故正四棱柱的体积为=
所以该几何体的体积为=.
47．(1)
(2)
【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求；
（2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解.
【详解】（1）如图可知，过P、、的截面为五边形，其中四边形为矩形，三角形为等腰三角形，
在直角中，，，则
故圆锥的底面半径为，高为，其体积为
圆柱的底面半径为，高为，其体积为
所以几何体的体积为
（2）若，设，则，故，
在直角中，，，则
故圆锥的底面半径为，高为，其母线长为，
圆锥的侧面积为
圆柱的底面半径为，高为，其侧面积为
所以几何体的表面积为
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