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第01讲 平面向量的基本概念-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第一册）
模块一 向量的概念
模块二 相等向量与共线向量
模块三 课后作业
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
【考点1 向量概念的理解】
（2023·全国·高一专题练习）
1．下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
（2022·全国·高一专题练习）
2．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
（2023下·新疆·高一校考期末）
3．下列说法正确的是（ ）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
D．有向线段和有向线段的长度相等
（2023下·山西阳泉·高一校考期中）
4．下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点2 向量的几何表示与向量的模】
（2023·高一课时练习）
5．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
（2023下·高一课时练习）
6．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
（2023·高一课时练习）
7．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
（2023下·安徽淮北·高一校考阶段练习）
8．在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
1．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
【考点1 向量相等或共线的判断】
（2022·高一课前预习）
9．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．与相等 D．与相等
（2023下·北京·高一东直门中学校考期中）
10．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
（2023·高一课时练习）
11．设是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量，，，是相等的向量
B．向量，，，是平行的向量
C．向量，，，是模不全相等的向量
D．，
（2023下·天津和平·高一校考阶段练习）
12．如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B．与共线
C．与共线 D．
【考点2 用向量关系研究几何图形的性质】
（2023·高一课时练习）
13．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2022·高一课时练习）
14．已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．
（2022·全国·高一专题练习）
15．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：．
（2023下·安徽芜湖·高一校考阶段练习）
16．在矩形中，，，于，，为中点.
(1)求；
(2)验证：、、是否三点共线.
（2023下·高一课时练习）
17．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
（2023下·江苏南京·高一校考期中）
18．下列命题中正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若和是都是单位向量，则
C．若，则与的夹角为0°
D．零向量与任何向量共线
（2022·全国·高一假期作业）
19．下列说法正确的个数为（ ）
①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④非零向量的单位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
（2022·高一课时练习）
20．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么（　　 ）
A． B．
C． D．与不能比大小
（2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）
21．下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
（2023上·福建厦门·高三校考开学考试）
22．下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
（2023下·高一课时练习）
23．如图是的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有
A．12个 B．18个 C．24个 D．36个
（2022·高一课前预习）
24．在四边形ABCD中，若，且||=||，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）
25．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
（2023·高二课时练习）
26．若向量等式成立，则，应满足（ ）
A．、都是零向量
B．、是平行向量
C．、中有一个零向量或、是平行向量
D．或是零向量或、是反向向量且满足
（2023·全国·高一随堂练习）
27．画图表示小船的下列位移（用的比例尺）：
(1)由A地向东北方向航行15km到达B地；
(2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地；
(3)由C地向正南方向航行20km到达D地．
（2023·高一课时练习）
28．如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，

(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
（2023下·四川凉山·高一校考阶段练习）
29．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
（2023下·高一课时练习）
30．如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：.
（2023·高一课时练习）
31．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，
对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
2．D
【分析】根据向量的定义即可判断.
【详解】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；
速度、位移既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
3．D
【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.
【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；
B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；
C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；
D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对.
故选：D
4．A
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
5．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
6．（1）作图见解析；（2）400（海里）．
【分析】（1）根据题设以为正东方向，过A垂直于向上为正北方向，结合题设画出向量即可.
（2）由题设知，易知为平行四边形，即可求.
【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
7．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量；
（2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量；
（3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量．
【详解】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．
【点睛】本题考查方位角和向量的几何表示，关键在于明确方位角的含义和向量的模，得出向量在横向和纵向的小方格的个数，属于基础题.
8．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)3
【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量，
（2）根据向量的大小和方向，作向量，
（3）根据向量的模的定义求.
【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：

（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：

（3）
.
9．B
【分析】根据向量共线概念即可求解结果．
【详解】因为与不平行，所以与不共线，A错
因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确；
因为与不平行，所以与不相等，C错；
因为，则D错．
故选：B
10．D
【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．
对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确；
故选：D．
11．D
【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.
【详解】
对于A项，，不共线，故A项错误；
对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误；
对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误；
对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同.
又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.
故选：D.
12．C
【分析】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可.
【详解】四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，
，即三点共线，
，，
即，，与共线，ABD正确；
对于C：若与共线，则必有，即，该条件不一定成立，
如时，，故与共线不一定成立，
故选：C.
13．答案见解析
【分析】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明.
【详解】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．
所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
所以四边形ABCD是平行四边形．
即证.
14．证明见解析
【分析】连接AC，易得，分别为和的中位线，进而可得，且，又向量与方向相同，从而得证.
【详解】证明：如图，连接AC，

因为，分别是，的中点，所以为的中位线，
所以，且，
同理，因为，分别是，的中点，所以，且，
所以，且，
因为向量与方向相同，所以.
15．(1),
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意直接写出与向量共线的向量即可；
（2）证明四边形是平行四边形即可证明.
【详解】（1）据题意，与向量共线的向量为：, ；
（2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点，
，且，
四边形是平行四边形，
，且，
．
16．(1)
(2)向量法可证： 、、三点共线
【分析】（1）利用已知条件，结合三角函数和勾股定理，可求；
（2）利用向量共线，证明三点共线.
【详解】（1）矩形中，，，则，
和中，，，，
，，
（2），
，则有，有公共点，所以、、三点共线.
17．A
【分析】根据向量的概念，即可得出答案.
【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.
故选：A.
18．D
【分析】根据平面向量的概念依次判断即可得出.
【详解】对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，故A错误；
对B，若和是都是单位向量，则，方向不一定相同，故B错误；
对C，若，则与的夹角为或，故C错误；
对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，故D正确.
故选：D.
19．A
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】①错误，只有速度，位移是向量．
②错误，零向量有方向，它的方向是任意的．
③错误，
④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．
故选：A.
20．A
【分析】直接利用向量的摸和路程的定义的应用即可求解.
【详解】如果一架飞机向东飞行，再向南飞行，
记飞机飞行的路程为,
，所以.
故选: A.
21．C
【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断；
C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；
【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
故选：C.
22．A
【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.
【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
23．C
【解析】利用共线向量、模的计算公式、正方形的对角线即可得出.
【详解】由题意知，每个小正方形的对角线与平行且模为的所在的向量，的格点图中包含12个小正方形，
所以有12条对角线，与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.
故选：C.
【点睛】本题考查了共线向量、模的计算公式、正方形的对角线，考查了理解能力，属于基础题．
24．B
【分析】由向量相等的定义得出四边形边的关系，再由向量的模相等得四边形对角线相等，从而可得四边形形状．
【详解】若，则AB=DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为||=||，即AC=BD，所以四边形ABCD为矩形.
故选：B．
25．D
【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
故选：D.
26．D
【分析】将向量等式两边平方,变为且可得.
【详解】由知,
将两边平方得且,
所以且,
因为,,
所以且,
所以且,
所以且,
所以或或且,
所以或或且,
所以或或,是反向向量且满足,
故选.
【点睛】本题考查了向量的有关概念,零向量,反向向量,向量数量积,属于中档题.
27．(1)答案见详解
(2)答案见详解
(3)答案见详解
【分析】先画出以点A为顶点，北偏东45°的角，并取出相应的长度确定B点； 接下来再以点A为顶点画出北偏西30°的角，并取出相应的长度确定C点，再以点C为顶点正南方向，并取出相应的长度确定D点即可.
【详解】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下，

（2）根据的比例尺，即图上，作图如下，

（3）根据的比例尺，即图上，作图如下，

28．(1)有9个
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，
所以，
所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.
（2）与相等的向量有、.
（3）与共线的向量有，，，，，，.
（4）因为为平行四边形，所以且，
所以与相等的向量为.
29．（1）5；（2）2.
【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
30．证明见解析
【解析】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出.
【详解】证明：由可知且，
所以四边形为平行四边形，
从而.
又M，N分别是，的中点，于是.
所以且.
所以四边形是平行四边形.
从而.
【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了平行四边形的判定定理和性质定理的应用，考查了推理论证能力.
31．答案见解析.
【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，

为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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