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第09讲 空间的平行关系-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第二册）
·模块一 空间中的平行关系
·模块二 平行关系的相互转化及综合应用
·模块三 课后作业
1.直线与直线平行
（1）基本事实4
①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：a，b，c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
③作用：判断或证明空间中两条直线平行.
（2）空间等角定理
①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.
2.直线与平面平行
（1）判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
（2）性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
（3）性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
3.平面与平面平行
（1）判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
.
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
（2）判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
（3）性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
（4）两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
【考点1 证明线线平行】
【例1.1】（2023下·全国·高一专题练习）
1．下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）
2．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
【变式1.1】（2023·全国·高一专题练习）
3．已知，，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式1.2】（2023·上海·高二专题练习）
4．若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（ ）
A．且方向相同 B．，方向可能不同
C．OB与不平行 D．OB与不一定平行
【考点2 直线与平面平行的判定】
【例2.1】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）
5．如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2.2】（2023下·重庆沙坪坝·高一校考期末）
6．过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
【变式2.1】（2023下·广东广州·高一统考期末）
7．在四棱锥中，，，则下列结论中不成立的是（ ）
A．平面内任意一条直线都不与平行
B．平面内存在无数条直线与平面平行
C．平面和平面的交线不与底面平行
D．平面和平面的交线不与底面平行
【变式2.2】（2023下·浙江温州·高一统考期末）
8．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点3 平面与平面平行的判定】
【例3.1】（2023下·河南信阳·高二校考阶段练习）
9．设直线，平面，则下列条件能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【例3.2】（2023下·江西·高一校考期末）
10．在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）.
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）
11．下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3.2】（2023下·全国·高一专题练习）
12．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有（　　）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③
1.平行关系的相互转化及综合应用
（1）证明线线平行的常用方法
①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
④利用平行线分线段成比例定理.
⑤利用线面平行的性质定理.
⑥利用面面平行的性质定理.
⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.
（2）证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外
一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.
③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.
④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.
（3）平面与平面平行的判定方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行
于另一个平面，则这两个平面平行.
③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，
则这两个平面平行.
④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.
⑤利用反证法.
（4）平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.
【考点1 线面平行性质定理的应用】
【例1.1】（2023·全国·高一专题练习）
13．已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）
14．若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式1.1】（2023·全国·高一专题练习）
15．如图，空间四边形ABCD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，下列条件不能证明EHFG的是（　　）
A．E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点
B．，
C．BD平面EFGH
D．，
【变式1.2】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）
16．如图所示，棱柱的侧面是矩形，D是上的动点，若平面，则的值为（ ）

A． B． C． D．1
【考点2 面面平行性质定理的应用】
【例2.1】（2023下·安徽·高一校联考阶段练习）
17．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2.2】（2023上·北京·高二校考阶段练习）
18．已知为所在平面外一点，平面平面，且交线段，，于点，若，则（ ）
A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25
【变式2.1】（2023下·高一课时练习）
19．如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（ ）

A． B． C． D．
【变式2.2】（2023下·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习）
20．如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，、分别是，的中点，为上一点，且，为正方形内一点（包含边界）.若平面，则的运动轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．
【考点3 平行问题的综合应用】
【例3.1】（2023下·浙江金华·高一校考期中）
21．在正方体中，分别是和的中点，求证

(1)
(2)平面．
(3)平面平面．
【例3.2】（2023·全国·高一专题练习）
22．如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求证：．
【变式3.1】（2023下·山西运城·高一统考期中）
23．如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．

(1)证明：∥平面；
(2)在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
【变式3.2】（2023·江苏·高一专题练习）
24．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．

(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求线段的最小值．
（2023·全国·高一专题练习）
25．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
（2023·高一课前预习）
26．给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（2023下·青海西宁·高一校考期中）
27．已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
（2023上·江苏南京·高三校考阶段练习）
28．在空间中，直线平面的一个充要条件是（ ）
A．内有一条直线与平行 B．内有无数条直线与平行
C．任意一条与垂直的直线都垂直于 D．存在一个与平行的平面经过
（2023下·全国·高一专题练习）
29．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ）

A．1 B．2 C． D．
（2023上·上海虹口·高三校考期中）
30．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是异面直线，，则
D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则.
（2023·全国·高一专题练习）
31．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
32．在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，则点满足什么条件时，有平面∥平面．（ ）
A．Q为的三等分点 B．Q为的中点
C．Q为的四等分点 D．Q与C重合
（2023·全国·模拟预测）
33．已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论：
①直线平面； ②直线平面；
③直线平面； ④直线平面CDE.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·江西赣州·统考模拟预测）
34．在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
（2023·高一课时练习）
35．如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
（2023·全国·高三专题练习）
36．如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.
（2023上·江西南昌·高二校考期中）
37．已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
（2023上·四川南充·高二校考阶段练习）
38．如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD．
（2023·全国·高一专题练习）
39．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.
【详解】①错误，两条直线可以异面；
②正确，平行的传递性；
③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；
④正确，平行的传递性.
故选：B.
2．B
【分析】由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.
【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
3．B
【解析】根据等角定理，即可得到结论.
【详解】的两边与的两边分别平行，
根据等角定理易知或.
故选：B.
【点睛】本题考查等角定理，属基础题.
4．D
【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可得出结论．
【详解】解：如图，
当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，
OB与O1B1是不一定平行．
故选：D．
5．D
【分析】利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可．
【详解】对于A，如图，连接，则，

因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面；
对于B，如图连接，

因为，分别为，的中点，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，所以平面；
对于C，如图，连接，则，

因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
对于D，如图取底面中心，连接，

由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
因为与平面相交，所以与平面相交，
故选：D．
6．C
【分析】根据线面平行的判定定理分析求解.
【详解】如图，设为相应棱的中点，
则//，且平面，平面，所以//平面，
同理可得：与平面平行，
由图可知：其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在平面内，
所以与平面平行的直线有6条.
故选：C.

7．D
【分析】利用反证法证明A、C，只需在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，即可判断B，根据线面平行的判定定理与性质定理判断D.
【详解】因为，，所以四边形为梯形，且、不平行，
对于A：若平面内存在直线与平行，又平面，
所以平面，又平面平面，平面，
所以，与、不平行矛盾，
所以平面内任意一条直线都不与平行，故A正确；
对于B：因为平面和平面的一个交点为，故二者存在过点的一条交线，
在平面内，与平面和平面的交线平行的所有直线（交线除外）均与平面平行，故B正确；
对于C：若平面和平面的交线与底面平行，
设平面和平面的交线为，则平面，
因为平面平面，平面，所以，同理可得，
所以，与、不平行矛盾，
所以平面和平面的交线不与底面平行，故C正确；
对于D：因为，平面，平面，所以平面
设平面和平面的交线为，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，
故平面和平面的交线与底面平行，故D错误；

故选：D
8．C
【分析】由与平面MNP相交，判断A；由，结合不在平面判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D.
【详解】对于A：连接，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误；

对于B：如图所示，分别是所在棱的中点，连接
则平面MNP和平面为同一平面，因为，
因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误；

对于C：连接，交与点，连接，因为，分别为中点，
所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确；

对于D：分别是所在棱的中点，连接，，
平面与平面为同一平面，
取的中点为，连接，由中位线定理可知，，
因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误；

故选：C
9．B
【分析】根据空间中点线面的位置关系即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A. ，且，由于无法得知是否相交，所以不能得到，
对于B. ，且，则，故B正确，
对于C. ，且，此时可能相交，
对于D. ，且，则可能相交，
故选：B
10．B
【分析】根据面面平行的判定并结合图形判断各选项.
【详解】如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4.
对于A，与相交，截面与相交，故A错误；
对于B，截面与平行.
证明：因为
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，，，
所以平面平面.故B正确；
对于C，截面与相交于D点，故C错误；
对于D，与相交，截面与相交，故D错误；
故选：B.
11．B
【分析】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项.
【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面，
由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件；
对于B选项，如下图所示，连接，
因为、分别为、的中点，则，
在正方体中，且，
故四边形为平行四边形，所以，，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件；
对于C选项，如下图所示：
在正方体中，若平面平面，且平面平面，
则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾，
因此，平面与平面不平行，C不满足条件；
对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：
因为且，则四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，，所以，平面平面，
若平面平面，则平面平面，
这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.
故选：B.
12．C
【分析】把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理逐一判断即可.
【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，
对于①，因为，分别是，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
又因为，，平面，
所以平面平面，故①正确；
对于②，因为，平面，平面，
所以平面，故②正确；
对于③，因为，平面，平面，
所以平面，故③正确；
对于④，平面平面，故④错误;
所以正确的有①②③.
故选：C.
13．B
【分析】过作交于，利用线面平行的性质可得，进而可得四边形为平行四边形，，即得.
【详解】过作交于，连接，
因为，∴，故共面,
因为 平面 ，平面平面 ，平面，
所以，又,
∴四边形为平行四边形，
又，
∴，
所以.
故选：B．
14．B
【分析】根据线面平行可得线线平行，从而可求.
【详解】∵，平面，平面，
∴，∴，即，∴.
故选：B.
15．D
【分析】在每个选项中的条件下，利用平行线分线段定理，结合线面平行判定和性质定理，即可得出答案．
【详解】对于A：若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，
则EHBD，EHBD且FGBD，FGBD，
所以EHFG，故A正确；
对于B：因为，所以EHBD，
因为，所以FGBD，所以EHFG，故B正确；
对于C：若BD平面EFGH，
因为BD 平面ABD，且平面ABD∩平面EFGH＝EH，所以BDEH，
因为BD 平面CBD，且平面CBD∩平面EFGH＝FG，所以BDFG，
所以EHFG，故C正确；
对于D：若，，则EFAC，HGAC，
所以EFHG，但EF不一定等于HG，所以四边形EFGH不一定是平行四边形，
所以EH不一定平行于FG，故D错误．
故选：D．
16．B
【分析】根据线面平行的性质将平面转化为线线平行，然后集合位置关系求解即可；
【详解】
连接交于，连接，
因为平面，平面平面,
所以,又因为是的中点，
所以D是上的中点，即
故选：B.
17．B
【分析】由面面平行的性质及平面基本性质判断线线、面面关系，进而确定条件间的充分、必要关系.
【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立；
由，，若，则或相交，充分性不成立.
相交情况如下：

故选：B
18．D
【分析】根据面面平行的性质定理可得，，且，，进而根据等角定理可得，，，即可得出答案.
【详解】由已知可得，平面平面，平面，平面平面，
根据面面平行的性质定理可得，，且.
同理可得，，.
根据等角定理可得，，，，
所以，.
所以，.
故选：D.
19．B
【分析】连接，FG，利用面面平行、线面平行的性质证明线线平行，再结合平行线分线段成比例定理求解作答.
【详解】在四棱柱中，连接，FG，如图，

因为平面平面，平面平面，
平面平面，则，于是，
平面平面，而平面，则平面，
在平面内存在与不重合的直线，又平面平面，平面，
则平面AEF，在平面AEF内存在与不重合直线，从而，平面AEF，
平面AEF，则平面AEF，又平面，平面平面，
因此，BG，AF可确定平面，因为平面平面，
平面平面，平面平面，于是，即有，
所以.
故选：B
20．C
【分析】分别取、的中点、，证明出平面平面，利用面面平行的性质定理可知，当点在线段上运动时，平面，可得出点的轨迹为线段，求出即可得解.
【详解】如图，分别取、的中点、，连接、、、，
设分别交、于点、，连接、、，设，

、分别为、的中点，则，且为的中点，
同理可知，且为的中点，，
平面，平面，平面，
因为四边形为正方形，，所以，为的中点，
所以，，，同理可得，，
，所以，，则，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
所以当在线段上运动时，由于平面，始终有平面，
即的运动轨迹为线段，易知，
故选：C.
【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：
（1）通过面面平行得到线面平行；
（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.
21．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）利用三角形中位线定理进行证明即可；
（2）利用线面平行的判定定理进行证明即可；
（3）利用平行四边形的判定定理和性质，结合面面平行的判定定理进行证明即可.
【详解】（1）连接，
因为底面是正方形，且点是中点，
所以，即点也是中点，
又因为点是中点，
所以由三角形中位线定理可得；
（2）由（1），因为平面，平面，
所以平面；
（3）连接，
因为分别是和的中点，
所以由正方体的性质可知：，
所以四边形是平行四边形，所以有，而，
所以，因为平面，平面，
所以平面，而平面，
所以平面平面.

22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明即可；
（2）利用线面平行的性质定理证明即可
【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，
所以，，
又平面，平面，
则平面，
同理平面，平面，
可得平面，
又，平面，
所以平面平面.
（2）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以.
23．(1)证明见解析
(2)存在；N为的中点，证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，，证明后证得线面平行；
（2）N为的中点时，平面平面．由线面平行的判定定理证明与平面平行后可得证面面平行．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
在中，因为E、M分别为、的中点
所以且．
又为的中点，，所以且，
即且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．

（2）当N为的中点时，平面平面．
证明：连接，．
因为N，F分别是和的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为，，所以．
因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面，，
所以平面平面．

24．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）因为，，分别是，，的中点，所以，可证平面，同理平面，进而即得；
（2）由题意可知点Q在线段上移动，因为是等腰三角形，故是高时最小.
【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，
所以，平面，平面，
所以平面．
同理，平面，又因为，
所以平面平面．

（2）解：由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动，
在中，，，，的最小值为R到线段的距离，
因为是等腰三角形，故的最小值为．

25．A
【分析】由平行直线的传递性可得答案.
【详解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.
故选：A.
26．B
【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断.
【详解】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；
对于③，如图所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．
故选：B
27．A
【分析】由已知可得出直线与直线在同一平面内，且无公共点，即可判断出位置关系.
【详解】因为平面平面，所以平面与平面无公共点，
直线平面，直线平面，
直线平面，直线平面，
所以直线与直线在同一平面内，且无公共点，故直线.
故选：A.

28．D
【分析】根据线面平行的性质即可结合选项求解.
【详解】对于A，B，C，直线都可能在内，
故选:D．
29．C
【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可.
【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，

因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.
故选：C.
30．C
【分析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD；利用线面平行的性质定理与面面平行的判定定理可判断C，从而得解.
【详解】因为、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，
对于A，若，，则与可能相交，故A错误；
对于B，若，则与可能相交，故B错误；
对于C，因为，所以，又，
所以由线面平行的性质定理可知在内存在，则，进而可得，
因为是异面直线，，所以与相交，
又，所以由面面平行的判定定理得，故C正确；
对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，故D错误．
故选：C．
31．B
【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解.
【详解】连接，，则过点.如图所示
∵平面，平面平面，平面，
∴，∵，
∴.
故选：B.
32．B
【分析】根据面面平行的判定定理易证Q为的中点时满足题意．
【详解】如图所示，设为的中点，连接PQ，
∵为的中点，易知PQ∥CD∥AB，且PQ＝CD＝AB，
故四边形BAPQ是平行四边形，∴QB∥PA，
又QB面，PA面，∴PA∥面．
连接，则DB过O，且O是DB中点，
又∵是中点，∴∥PO，
又面，PO面，∴PO∥面．
又，PA，PO面，
∴平面∥平面，
故为的中点时，有平面∥平面．
故选：B

33．B
【分析】根据题意，由线面平行的判定定理，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
对于①：如图1，连接，交于点F，连接DF，则点F是的中点，又D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，所以①正确.
对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面，故②正确.
对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，连接EF，所以四边形是平行四边形，所以，显然EF与平面相交，则与平面相交，故③错误.
对于④：如图4，连接，交EC于点F，连接DF，则平面平面，若直线平面CDE，则，由于D是AB的中点，所以点F是的中点，而显然点F不是的中点，矛盾，故④错误.
故选：B.
34．A
【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解.
【详解】
如图，取的中点M，在上取一点H，使得，连接，如上图，
则，平面，
平面AEF，平面平面；
即过点平行于平面AEF的平面截四棱柱的图形是三角形，
其中，
，
故选：A.
35．证明见详解
【分析】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明,
【详解】∵E、H分别是AB、AD的中点，则，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，
∴，
故直线EH与直线FG平行．
36．
【分析】连接，交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得到为的中点，从而得解.
【详解】如图，连接，交于点，连接，
为的中点，且平面平面，
平面，平面，
，
为的中点，即实数的值为．
37．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点，借助平行四边形的性质，利用线面平行的判定推理得解.
（2）利用三棱锥的体积公式，结合割补法计算即可.
【详解】（1）在四棱锥中，底面是菱形，取的中点，连接.
由分别为的中点，得，
又是的中点，则，于是，
因此四边形为平行四边形，即有，而平面平面，
所以平面.
（2）由底面，且，为中点，得点到底面的距离为1，
菱形中，，则，
因此，
所以，即三棱锥的体积为.
38．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，证明四边形AMNE为平行四边形，根据线面平行的判定定理即得；
（2）证明平面PAD，平面PAD，进而即得.
【详解】（1）取PD的中点E，连接AE，NE，

因为N是PC的中点，所以且，
又M是AB的中点，ABCD是正方形，所以且，
所以且，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，
又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD．
（2）因为Q为PB的中点，M是AB的中点，
所以，又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD，
又平面PAD，，MQ，平面MNQ，
所以平面平面PAD．
39．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面；
（2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值.
【详解】（1）记为的中点，连接，如图1，
因为分别为的中点，故，
因为平面平面
所以平面，
又因为为正三角形，所以 ，，
又为等腰三角形，，所以,
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知，，得，
故，又因为，所以，
则有，故.
答案第1页，共2页
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