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1.1 集合的概念【第二练】
1.1 集合的概念【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.利用集合与元素的含义，培养数学抽象，如第5题；
2.判断元素与集合的“从属关系”，锻炼数学建模能力，如第8题；
3.能够灵活应用列举法和描述法表示集合，培养数学抽象，如第10题；
4.能利用集合中元素的三个特性进行解题，锻炼逻辑推理能力，如第9题.
（2023·湖南师大附中月考）
1．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
（2023·河北省石家庄二中月考）
2．方程组的解集是（ ）
A． B．且 C． D．且
（2023·湖南省长沙市期末）
3．已知集合，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南省洛阳市宜阳第一高级中学月考）
4．集合的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023·山西省名校联考期末）
5．已知集合A中元素x满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江省杭州外国语学校期中）
6．若，，，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023·北京市大兴区期中）
7．已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西省实验中学月考）
8．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·陕西省安康中学月考）
9．已知集合，，则集合中所有的元素之和为（ ）
A．0 B．2 C． D．
（2023·河南省周口恒大中学期末）
10．下列说法中不正确的是（ ）
A．与表示同一个集合
B．集合＝与＝表示同一个集合
C．方程＝的所有解的集合可表示为
D．集合不能用列举法表示
11．下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知，若，则实数的值为 ．
13．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于小于12.8的整数的全体；
(3)所有能被3整除的数的集合；
(4)方程的解集；
(5)不等式的解集；
(6)抛物线上的点组成的集合．
【易错题目】第2题、第10题、第13题6
【复盘要点】区分数集和点集
用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素．
数集 集合与集合不同，表示使函数有意义的x的范围，因此；表示的函数值y的范围，因此．
这两种表示方法为以后学习函数的定义域和值域提供了条件．
点集 表示满足方程的解的集合，即的图象上的点构成的集合．表示有序实数对，即m，n的位置不可互换，如，表示不同的集合．
典例 指出下列集合的含义：
（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）．
解析
集合 集合的含义
数集 表示函数的自变量的所有取值组成的集合．
表示函数的所有函数值组成的集合．
表示方程的解集，即．
点集 表示函数图象上所有的点组成的集合．
表示二元一次方程组的解集，即．
【复盘训练】
14．下列说法错误的是　　
A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为
B．方程的解集为
C．集合与是同一个集合
D．若，则
15．集合，集合A还可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
16．集合的意义是（ ）
A．第二象限内的点集
B．第四象限内的点集
C．第二、四象限内的点集
D．不在第一、三象限内的点的集合
（山西省运城市稷山县稷山中学2023-2024学年高一上学期学科素养测试）
17．下面关于集合的表示正确的序号是 .
①；
②；
③；
④.
18．说明下列各集合表示的含义．
(1)；
(2) ；
(3)；
(4) ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【详解】由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.选D.
点睛：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
2．D
【分析】先解方程组，再逐一分析选项答案是否符合要求得解.
【详解】方程组的解是.
选项A,不是解集，所以错误；
选项B,集合表示方法错误，“|”线前应该为，所以该选项错误；
选项C,集合的元素不是两个元素，是一个元素，是一对有序实数，所以该选项错误.
只有选项D正确.
故选：D
3．B
【分析】解方程可求得集合，再根据元素和集合的关系即可求解.
【详解】由得或，则集合，所以，，，.
故选：B.
4．C
【分析】利用，讨论， 可得答案.
【详解】因为，，，所以
时；时；时；时；时，
共有5个元素，
故选：C.
5．D
【分析】由已知条件列出不等式求解即可.
【详解】∵，∴，解得，
又∵，∴，解得，
∴．
故选：D．
6．C
【分析】根据集合的定义，结合已知集合，即可求得结果.
【详解】根据题意，，故中元素的个数为.
故选：C.
7．C
【分析】根据1是集合中的一个元素，求得a，进而再解方程求解.
【详解】解：，
集合中的方程为，
解得或，
，
故选：C．
8．A
【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断.
【详解】根据题意，分4种情况讨论；
①、全部为负数时，则也为负数，则；
②、中有一个为负数时，则为负数，则；
③、中有两个为负数时，则为正数，则；
④、全部为正数时，则也正数，则；
则；分析选项可得符合．
故选：A.
9．D
【分析】根据集合的定义求出集合后可得结论．
【详解】，，
①当时，，
时，，；
时，，满足条件；
②当时，，，满足条件；
③当时，，，满足条件；
④当时，，，满足条件．
从而得到，
所以集合中所有元素之和为．
故选：D．
10．ABC
【分析】根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，是一个元素（数），而是一个集合，可得，所以A不正确；
对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，
所以B不正确；
对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确；
对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.
故选：ABC.
11．AB
【分析】根据元素与集合的关系一一判定即可.
【详解】在A中，当时，显然不成立．
对于B，当，其平方数仍为整数, 显然不成立；
对于C,当，其绝对值仍为有理数, 正确；
对于D项,当，其立方仍为实数，正确.
故选：AB.
12．
【分析】根据题意知集合，利用分类讨论及集合元素的互异性从而可求解.
【详解】由题意知集合，
所以当时，得，所以，故满足；
当时，得，所以，故不满足；
当时，无解，故不满足；
综上，可得实数的值为.
故答案为：.
13．(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用列举法表示集合；
（2）利用列举法表示集合；
（3）利用描述法表示集合；
（4）利用列举法表示集合；
（5）利用描述法表示集合；
（6）利用描述法表示点集合.
【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月．
（2）．
（3）
（4）.
（5）.
（6）.
14．BCD
【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断．
【详解】对于：因为等价于或，
如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限，
所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，故正确；
对于：由于方程的解集等价于，解得，
故解集为，故错误；
对于C：集合表示的函数值的取值范围，是数集，
集合表示抛物线的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误；
对于：因为，则，故错误，
故选：BCD．
15．BCD
【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案.
【详解】，
选项A，不符合；
选项B，，符合；
选项C，符合；
选项D，，符合，
故选：BCD.
16．D
【分析】意味着和异号或至少一个为零，结合象限的概念可得结果．
【详解】因为意味着和异号或至少一个为零，
故为第二、四象限内的点或坐标轴上的点，即不在第一、三象限内的点，
所以的意义是不在第一、三象限内的点的集合.
故选：D．
17．③④
【分析】根据集合的表示方法与集合的性质，判断正确的序号.
【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立；
∵是点集，而不是点集，∴②不成立；
∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立；
∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立.
故答案为：③④.
18．(1)
(2)B表示直线y＝x－3上所有点组成的集合
(3)C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合
(4)D是一个单元素集
【分析】根据集合中元素的特点得出各集合表示的含义．
【详解】（1）A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知．
（2）B中的元素是点，B表示直线上所有点组成的集合．
（3）C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合．
（4）D表示一个实数对集，即方程组的解，解方程组得其解为，D是一个单元素集．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.1 集合的概念【第二课】
1.1 集合的概念（第二课）
题型一 集合中元素特性的应用
例1 已知集合，若，则实数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为集合，，所以或，得或．
当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不满足元素的互异性，舍去．综上，实数a的取值集合为．
【答案】C
【方法总结】由集合中元素的特性求解参数取值的步骤
【变式训练1-1】
1．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式训练1-2】 [天津市实验中学2023高一月考]
2．已知集合，且，则 .
题型二 元素与集合的关系
考向1 元素与集合关系的判断
例2[多选题]（2023·山东省寿光一中月考）若集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
分析：
解析：由可得，解得或，所以，因此，．
答案 AD
【方法总结】判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
（2）推理法：对于一些没有直接给出元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
【变式训练2-1】[重庆一中2022高一月考]
3．有下列三个说法：
①若，则；
②集合有两个元素；
③集合时有限集．
其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练2-2】（多选）
4．已知集合，，且，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
考向2 已知元素与集合的关系求参数的值或取值范围
例3 若，则实数a的取值范围是______.
思维导图：
解析：因为，所以2不满足不等式，即2满足不等式，所以，即．故实数a的取值范围是．
答案
【方法总结】 已知元素与集合的关系求参数的思路
当时，若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等；若集合A是用列举法表示的，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当时，结论相反．利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．
【变式训练3-1】[多选题]（2023·湖南省长沙市雅礼中学月考）
5．若，则实数m的可能取值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
题型三 已知集合相等求参数
例4（2023·湖北省武汉十一中月考）设a，，若集合，则______.
思路分析： 第一步若，则无意义 ，此路不通．
第2步 由得，故，．
第3步 只有这一种情况成立．
第4步 ，，．
答案 0
【提醒】两个集合相等，其元素完全相同，顺序可以不同，解题过程中要注意，，．
【变式训练4-1】
6．已知，且，则＝ ．
【变式训练4-2】
7．设，且满足且，则 .
【变式训练4-3】【福建省三明市2022-2023学年高一上学期第一次调研】
8．已知集合，则 .
题型四 集合的表示方法
例5 用适当的方法表示下列集合：
（1）方程的解集；
（2）；
（3）平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
（4）不等式的解集．
【解】（1）由得，，解得，，所以集合为或．
（2）由，得x为，，0，1，2．当或时，；当或时，；当时，．所以集合为．
（3）．
（4）解不等式得，所以不等式的解集可表示为．
【方法总结】选用列举法或描述法的原则
要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．何谓适当方法？这需要我们准确把握列举法和描述法的优缺点，列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
【变式训练4-1】
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(3)方程的实数根组成的集合；
(4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
(5)二次函数的图象上所有的点组成的集合；
(6)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
易错点1 混淆集合的表示方法而致错
例1 给出下列说法：
①集合用列举法表示为；
②实数集可以表示为{为所有实数}或{R}；
③方程组的解组成的集合为．
其中不正确的有______.（把符合题意的序号都填上）
【解析】①由，即，得或或．因为，所以集合用列举法表示应为．
②集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，实数集正确的表示应为或R．
③方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为或．故①②③均不正确．
【答案】①②③
易错警示 用描述法表示集合，注意区分数集和点集，以及集合中的代表元素及其范围，对集合的认识是基于对集合中元素的认识．
针对训练1-1
10．下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
针对训练1-2
11．方程组的解集中元素的个数为 .
易错点2 不理解集合中元素的性质而致错
例2 （多选）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当x，y，z同为正数时，代数式的值为4；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为，故选CD．
【答案】CD
易错警示 注意理解集合中元素的性质，明确集合中元素的确定性，以及元素与集合的关系，可进行适当变形，或者写出一些集合中的元素进行比较（注意尽可能多写且要注意特殊元素）．
针对训练2-1
12．集合中a的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．且 D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有，
故一定不是等腰三角形；
故选：D.
2．
【分析】根据题意，列出方程，求得的值，结合集合元素的互异性，即可求解.
【详解】因为，所以或，解得或，
当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去；
当时，经检验，符合题意，所以．
故答案为：．
3．B
【分析】①特殊值判断；②由方程根判断；③列举出集合中元素，结合有限集定义判断.
【详解】①当时不成立，不正确；
②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
③集合是有限集，正确．
故选：B
4．ABC
【分析】利用元素的特征及元素与集合的关系一一判定选项即可.
【详解】由题知：集合A为奇数集，集合B为偶数集，
所以为奇数，为偶数．
所以是奇数，是偶数，是偶数，是偶数．
即，，，.
故选：ABC．
5．ABD
【分析】根据元素和集合的关系、集合元素的互异性求得正确答案.
【详解】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论．
当时，，此时，，故符合题意；
当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，经检验符合题意．
综上可知，或．
故选：ABD
6．或1
【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案.
【详解】因为，所以①或②，
解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去；
解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去；
所以或.
故答案为：或1
7．3
【分析】根据集合相等得到，即可得到答案.
【详解】因为且
，
所以，
所以
，即.
故答案为：3
8．2或4或1
【分析】根据，，，，，利用集合元素的互异性，分别求出与即可．
【详解】，，，，，
，，，
若或，则或．
当时，，2，，，，
即，解得或，
此时或，
当时，，，，1，，
即，解得，，
所以或4或1，
故答案为：2或4或1.
9．(1)或
(2)
(3)或
(4)且
(5)
(6)
【分析】（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）根据列举法和描述法求得正确答案.
【详解】（1）解方程组得，
故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为．
（2）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，
可用列举法表示为．
（3）方程的实数根为1，因此可用列举法表示为，
也可用描述法表示为．
（4）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且．
（5）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点，
其中x，y满足，由于点有无数个，
则用描述法表示为．
（6）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，
代表元素y，是实数，故可用描述法表示为．
10．B
【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.
【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；
选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；
选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；
选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.
故选：B
11．2
【解析】先求出，再代入求即可求解
【详解】解方程得，，当时，不成立；
当时，，所以，；
所以方程组的解为或，有2组解
故答案为：2
12．C
【分析】由集合中元素的互异性可知，即可选出答案.
【详解】由集合中元素的互异性，需要满足，解得且，
故选：C.
答案第1页，共2页
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