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1.3集合的基本运算【第三练】
1.3集合的基本运算【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.利用并集、交集、补集的定义求参数或参数的取值范围，体现逻辑推理、直观想象核心素养，如第3题.
2.利用并集、交集、补集求解实际问题，体现数据分析，数学建模、直观想象核心素养，如第10题.
一、单选题
（2023·湖北武汉模拟）
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北黄冈联考）
2．已知集合，，，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
（2023·湖北龙泉中学校模拟）
3．已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南益阳模拟）
4．已知全集，，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建三明期中）
5．已知集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．设集合，其中t为实数．令，．若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为（ ）
A．1 B． C．8 D．
二、多选题
（2023·湖南永州联考）
7．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·湖北孝感联考）
8．下列选项正确的有（ ）
A．已知全集，，，则实数p的值为3.
B．若，则或
C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是
D．若，，且，则.
（2023·广东河源联考）
9．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ）
A． B．A的不同子集的个数为8
C． D．
三、填空题
（2023·陕西咸阳期中）
10．某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为 .
（2023·河南洛阳期中）
11．设集合，，且集合，则 ，
四、解答题
（2023·湖北十堰联考）
12．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
（2023·浙江温州期中）
13．已知集合，或，.
（1）求，.
（2）若，且，求的取值范围.
【易错题目】第8题
【复盘要点】分类不全致错
把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
（2023·江苏无锡期末）
14．设，其中，如果，求实数的取值范围.
【复盘训练】
（2023·河北廊坊期中）
15．设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南平顶山期中）
16．已知集合，且，试求k的取值范围．
（2023·山东菏泽联考）
17．设集合且,则a的取值组成的集合是 .
（2023·河北邯郸期中）
18．设集合，为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①；②若，则；③若，则，那么 ．
19．已知集合，若，求实数m的取值范围．
20．集合，集合，
(1)若，求实数的取值范围.
(2)若，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据补集与交集的运算，可得答案.
【详解】由题意，，.
故选：C.
2．B
【分析】由，，以及与的交集为，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】集合，，且，
或，
解得：或或，
由元素的互异性得不合题意，舍去，
则或．
故选：B
3．A
【分析】根据给定条件，确定集合A中的两个元素即可求出a的范围.
【详解】集合，，因为中恰有两个元素，
因此，则，
所以实数a的取值范围为.
故选：A
4．D
【分析】先求得，再根据并集和交集的定义即可求解.
【详解】因为，，，
所以．
故选：D
5．D
【分析】由可得，求得，再结合并集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
则，即，
此时，
所以.
故选：D.
6．D
【分析】由条件知，1，2，4，，（允许有重复）为C的全部元素，根据集合C中的元素和为6可求得集合C中的元素，进而得到各元素的积.
【详解】由条件知，1，2，4，，（允许有重复）为C的全部元素．
因为（恒成立），，
所以与其余几个数重复，故只可能是，且，
于是（经检验符合题意），此时C的所有元素之积为．
故选：D.
7．AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
8．AD
【分析】求出集合，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D作答.
【详解】对于A，全集，由，得，
则是方程的两实根，解得，A正确；
对于B，由，得，
因此，解得，则，B错误；
对于C，依题意，当时，由，得，此时集合中只有一个元素；
当时，集合中最多只有一个元素，即一元二次方程最多一个实根，
于是，解得，所以实数a的范围是或，C错误；
对于D，因为，所以当时，，解得；
当时，，解得，
综上，，D正确.
故选：AD
9．ABC
【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，，
所以，故A正确；
集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为，故B正确；
，故C正确；
因为，所以，故D错误；
故选：ABC.

10．
【详解】解：

因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，
其中有15人是党员，有9人是大学生，所以，如上图，
由Venn图可得，既是党员又是大学生的志愿者人数为
.
故答案为：.
11．
【分析】根据交集和并集的定义求得集合，进而可求得、的值.
【详解】，，则，
，,
因此，，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用交集与并集混合运算的结果求参数，考查计算能力，属于基础题.
12．(1)或
(2)
【分析】（1）解不等式，得到，从而求出，；
（2）解不等式，得到，根据，列出不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，，解得：，
故，
因为，所以或，
故或或
（2），解得：，
故，
显然，所以，
要想，则，解得：，
故实数a的取值范围为
13．（1）或，；（2）.
【解析】（1）直接由交并补的求法可得答案；
（2）根据题意，若，可得，可解得的取值范围.
【详解】（1）∵集合，或，
∴或.
∵或，∴.
；
（2）依题意得：，即，.
【点睛】本题考查集合的交，并，补的混合运算以及集合间的相互包含关系，是基础题.
14．或
【分析】由，然后利用集合的元素个数分别讨论，求出的取值范围即可.
【详解】由，而，
对于集合有：
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得；
综上，或.
15．ABD
【分析】根据并集的定义结合条件即得．
【详解】由并集的定义知，当集合与中没有公共元素时，有，所以可能成立；
当集合与中有公共元素时，，所以可能成立；
当集合与集合为相等集合时，，所以可能成立；
根据集合的并集运算可知不能成立.
故选：ABD．
16．
【分析】根据题意可知，对集合是否为空集进行分类讨论即可求得k的取值范围.
【详解】由可得，
若时，，解得；
若时，则，解得；
综上所述，
17．
【分析】由,可得,即可得到或,分别求解可求出答案.
【详解】由题意,,
①若,解得或,
当时,集合中,,不符合集合的互异性,舍去;
当时,,符合题意.
②若,解得,,符合题意.
综上,的值是-2或0.
故答案为: .
18．32
【分析】利用元素与集合的关系及子集相关知识，求出，再代入计算可得．
【详解】任取偶数，将除以2，
若商仍为偶数，再除以2， ，经过k次后，商必为奇数，此时商为，
从而，其中为奇数，，
由条件知：
若，则等价于为偶数，
若，则等价于为奇数，
所以是否属于由是否属于确定，
设是中所有奇数的集合，
所以是的子集个数，
当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数为（或），
所以当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以．
故答案为：32．
19．或或
【分析】由得，分类讨论的情况即可.
【详解】由，得
，且中至多一个元素，
或或
（1）当时，由，得；
（2）当时，由得；
（3）当时，由无解，得.
或或.
20．(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果；
（2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解.
【详解】（1）①当时，，
此时,解得，
②当时，为使，需满足，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
（2）先求时，实数的取值范围，再求其补集，
当时，由（1）知，
当时，为使，需满足或，
解得，
综上知，当或时，，
所以若，则实数的取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.3集合的基本运算【第三课】
1.3集合的基本运算【第三课】
扩展1: 集合知识的综合应用
典例：
1．已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
【方法总结】集合运算问题的四种常见类型及解题策略
（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解．
（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解．
（3）已知集合的运算结果求集合，借助数轴、Venn图求解．
（4）根据集合运算求参数，先化简集合，然后把符号语言译成文字语言，最后应用数形结合求解．
【举一反三1-1】（2023·河北邯郸期中）
2．已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ．
【举一反三1-2】 （2023·河北石家庄期中）
3．已知集合
（1）若则实数的值为 .
（2）若则实数的值为 .
【举一反三1-3】（2023·广东中山期中）
4．设集合，集合.
(1)求使的实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
扩展2: 集合知识的实际应用
例2.
5．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有 人，同时参加数学和化学小组的有 人.
【方法总结】用集合知识求解实际问题Venn图，用好数形结合思想方法.
【举一反三2-1】
6．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草 植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀” “合格”2个等级，结果如下表：
等级 项目 优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【举一反三2-2】（2023·广东茂名期中）
7．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ．
（2022·全国甲卷）
8．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·新高考Ⅰ卷）
9．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
（2023·全国甲卷）
10．设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国乙卷）
11．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津卷）
12．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国甲卷）
13．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)或
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求即可，
（2）先求出，然后由，对和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，
所以或，
因为，
所以或
（2）因为
所以或，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，或，解得，
综上，的取值范围为
2．或
【分析】根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案．
【详解】已知集合，或.
若，则，
当，即时，满足条件；
当时，即当时，若，则或，
解得（舍）或，
综上，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
3． 5或－3 －3
【分析】根据元素的互异性求得 或然后分类讨论；
【详解】空（1）
且
或解得； 或
当时，符合题意；
当时， 集合B不满足集合中元素的互异性，故；
当时，符合题意；
综上可得实数的值为5或－3.
空（2）
或解得； 或
当时，由于不符合题意，故；
当时， 集合B不满足集合中元素的互异性，故；
当时，且符合题意， 综上可得.
故答案为：（1）5或－3 （2）－3.
4．(1)
(2)存在，
【分析】(1)分a的取值情况求出集合B，再根据给定结果列式求解即得.
(2)分类讨论求出的实数a的取值集合，再求时a的范围即可.
【详解】（1）因为，则，而，
解方程得：或，
当时，，则，
当时，，于是得，解得且，
综上得：，
所以实数的取值范围是.
（2）当时，由(1)知，，，
若，则，由得：，若，则，由得：，
因此，当时，或，于是得当时，，
所以存在实数，使成立，实数的取值范围是.
5． 5 8
【分析】根据题意画出维恩图，把复杂问题简单化，把人数对号入座，两圆相交部分代表同时参加两科小组的人数，列出方程进行求解即可
【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学三个小组.因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，
所以只参加物理小组的有（人）.
设同时参加数学和化学小组的人数为，
则只参加数学小组的人数为，
只参加化学小组的人数为.
又总人数为36，
即，
所以，解得，
即同时参加数学和化学小组的有8人.
【点睛】本题考查复杂问题中根据集合的交集求解集合中元素个数问题，由于涉及三个集合，解题时辅以维恩图大大降低了难度，也使得复杂问题可视化，简单化，考生在遇到此类问题时可考虑此法
6．C
【分析】用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．
【详解】用集合表示除草优秀的学生，表示植树优秀的学生，全班学生用全集表示，则表示除草合格的学生，则表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，
设两个项目都优秀的人数为，两个项目都是合格的人数为，由图可得，，因为，所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．
7．20
【分析】由三元容斥原理求解即可.
【详解】首先设是会打乒乓球的教师，是会打羽毛球球的教师，
是会打蓝球的教师，
根据题意得，，，，，
再使用三元容斥原理得：
，
有，
而中把的区域计算了3次，
于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.
因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.
故答案为：20.
8．A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
9．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
10．A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
11．A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集，集合，所以，
又，所以，
故选：A.
12．A
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由，而，
所以.
故选：A
13．D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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