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1.4充分条件与必要条件【第三练】
1.4充分条件与必要条件【第三练】
一、单选题
1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．点是第二象限的点的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设实数、、、均不为，则“成立”是“关于的等式与的解集相同”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非必要 C．充要 D．既非充分又非必要
二、多选题
7．下列说法中正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”的必要不充分条件是“”
C．“是实数”的充分不必要条件是“是有理数”
D．“”是“”的充分条件
8．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，如下四个结论正确的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．整数、属于同一“类”的充要条件是“”．
9．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．已知，则“”是“”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中选择一个作答）．
11．已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
四、解答题
12．求方程与有一个公共实数根的充要条件.
13．集合，.
(1)若，，求实数的值；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【易错题目复盘要点】
14．命题“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知集合，．
(1)是否存在正实数a使集合A，B相等？若能，求出a的值，若不能，试说明理由；
(2)若命题p：，命题q：且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【复盘训练】
16．已知 且 ，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．若a，b都是正整数，则成立的充要条件是（　 　）
A．a，b都大于1 B．a，b都不等于1
C．a，b至少有一个为1 D．a，b都等于1
18．是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）．黄金三角形有两种，一种是顶角为，底角为的等腰三角形，另一种是顶角为，底角为的等腰三角形，则“中有一个角是”是“为黄金三角形”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
20．设四边形的两条对角线为，则“四边形为菱形”是“”的 条件.
21．已知.
(1)若，则是的什么条件？
(2)若的必要不充分条件是，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.
故选：B
2．B
【分析】根据充要条件的定义和第二象限点的特点分析判断
【详解】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
所以点是第二象限的点的充要条件是．
故选：B
3．C
【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果.
【详解】由，得到，
又不等式的一个充分条件为，所以，
故选：C.
4．B
【分析】分别证明充分性和必要性，即可得到本题答案.
【详解】①当时，满足“”，但不满足“”，所以“”不能推出“”，故充分性不成立；
②由，解得，因“”可以推出“”，故必要性成立.
综上，可知“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．D
【分析】根据不等式性质，由的取值范围，可得的取值范围，结合充分不必要条件的定义，可得答案.
【详解】由，则，由是的充分不必要条件，则，
所以.
故选：D.
6．B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为实数、、、均不为，
不妨令、、、，则，即成立，
此时关于的等式（）的解集为，
关于的等式（）的解集为，
显然两不等式的解集不相同，故充分性不成立，
若关于的等式与的解集相同，
则、同号且，所以成立，即必要性成立，
所以“成立”是“关于的等式与的解集相同”的必要非充分条件；
故选：B
7．ABC
【分析】由题意结合充分条件、必要条件的定义，逐项判断即可得解.
【详解】对于A，由得，所以“”可推出“”，反之不成立，故A正确；
对于B，解方程得或，所以“”的必要不充分条件是“”，故B正确；
对于C，“是有理数”可以推出“是实数”，反之不一定成立，所以“是实数”的充分不必要条件是“是有理数”，故C正确；
对于D，解方程得，则“”是“”必要不充分条件，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，关键是对概念的准确理解，属于基础题.
8．CD
【分析】根据新定义判断A、B、C；结合充分、必要性定义判断D.
【详解】A，，错误；
B，，错误；
C，，正确；
D，因为每个整数除以5后的余数只有，没有其他余数，故原命题成立.
所以整数、属于同一“类”的充要条件是“”， 证明如下：
（充分性），不妨，则；
（必要性），令，即除以5后余数相同，属于同一“类”.正确.
故选：CD
9．BCD
【分析】根据题意分和两种情况讨论求解即可.
【详解】因为，，若“”是真命题，
当时，则，即，解得或，
当时，则由题意可得方程有两个非负实数根，
所以，解得，
综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为，
故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意.
故选：BCD
10．充要
【分析】根据集合之间的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由，则，故，充分性成立；
由，则，故，必要性成立；
所以“”是“”的充要条件.
故答案为：充要
11．
【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解.
【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设，
此时由的定义可知，有，
所以，
若是的充分不必要条件，则 ，
所以的取值范围是.
故答案为：.
12．
【解析】先由两方程有一个公共实数根求出参数的范围，再证明充分性．
【详解】若方程与有一个公共实数根，设为，
则
由②得，代入①得，，解得，因此.
反过来，当时，，解得；
，解得或，两方程有公共实数根1.
所以两方程有一个公共实数根的充要条件为.
【点睛】本题考查由充要条件求参数取值范围，解题时先由结论求条件，这是必要性，然后还需要证明充分性．
13．(1)
(2)
【分析】（1）分析可得，求出实数的值，再结合题意检验即可得出实数的值；
（2）分析可知， ，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，
当时，则，则，不合乎题意；
当时，则，则，合乎题意.
综上所述，.
（2）解：∵是的充分不必要条件，∴ ，
，解得.
经检验知，当或时符合题意，
∴的取值范围为.
14．D
【分析】解绝对值不等式求的解，根据充分、必要性定义判断的充分不必要条件.
【详解】由，解得或，
、、均不是的充分不必要条件，
是的一个充分不必要条件.
故选：D
15．(1)存在；
(2)或
【分析】（1）化简集合A，根据集合相等列方程即可求解，
（2）根据充分不必要条件转化为真子集的关系，即可对分类讨论求解.
【详解】（1）∵，∴，
若使，则，
解得，故存在使集合A，B相等．
（2）依题意，有，，故是的真子集，
由得，
当时，，不满足题意；
当时，，则或，解得，
当时，，则，解得，
所以实数a的取值范围是或．
16．D
【分析】通过充分条件、必要条件的概念对判断即可求解.
【详解】一方面：若令，则，
则此时命题成立，但命题不成立，
所以不是的充分条件；
另一方面：若且，则，
则此时命题成立，但命题不成立，
所以不是的必要条件；
结合以上两方面有是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
17．C
【分析】将不等式变形为，然后结合已知讨论即可.
【详解】因为a，b都是正整数，
所以，
若a，b都大于1，则，不满足题意，所以a，b至少有一个为1；
反之，若a，b至少有一个为1，则或.
综上，a，b都是正整数，则成立的充要条件是a，b至少有一个为1.
故选：C
18．D
【分析】根据充分必要条件的概念举例说明即可判断结论.
【详解】当时满足，但是，
当时满足，但是，
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
19．C
【分析】由充分必要条件的概念判断．
【详解】若中有一个角是，则其他两个角不确定，故不能推出为黄金三角形，
若为黄金三角形，由题意知中至少有一个角是，
故“中有一个角是”是“为黄金三角形” 必要不充分条件，
故选：C
20．充分不必要
【分析】由充分、必要性定义判断条件间的关系即可.
【详解】若“四边形为菱形”，则“对角线”成立；
若“对角线”成立，则“四边形不一定为菱形”，
所以“四边形为菱形”是“”的充分条件但不是必要条件.
故答案为：充分不必要
21．(1)p是q的必要不充分条件
(2)
【分析】（1）先求出命题，显然 ，即可得出结论. （2）由题意得p是q的充分不必要条件，代入求解不等式组即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
显然 ，
所以p是q的必要不充分条件．
（2）由（1）知，
若的必要不充分条件是，则是的必要不充分条件，
则p是的充分不必要条件，
所以 ，
所以，且两处不能同时取等号，解得，
即．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页1.4充分条件与必要条件【第三课】
1.4充分条件与必要条件【第三课】
扩展1:与充分条件、必要条件、充要条件有关的新定义问题
例1.
（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）
1．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲 乙 丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（ ）
A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3
【方法总结】
（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。
（2）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。
（3）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可;若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。
【举一反三1-1】
（2023秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）
2．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A．充分条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D．必要条件
【举一反三1-2】
（2023秋·河北衡水·高一校考阶段练习）
3．当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，．
(1)计算；
(2)证明，“或”是“”的充要条件．
扩展2: 充分条件、必要条件、充要条件综合应用
例2.
（2023·江苏无锡期中）
4．在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？
【举一反三2-1】
（2023秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）
5．已知命题p：，命题q：
(1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围．
(2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.
【举一反三2-2】
6．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明．
（2007·湖南高考真题）
7．设是两个集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2020·山东高考真题）
8．已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2022·天津高考真题）
9．“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
（1986·全国高考真题）
10．设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
（2023·天津高考真题）
11．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
（2006·湖北高考真题）
12．有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是；
②的必要条件是；
③ 的充分条件是；
④的充要条件是．
其中真命题的序号是（ ）
A．③④ B．①② C．①④ D．②③
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案.
【详解】因为此数为小于5的正整数，
故，
因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，
所以C是A的真子集，A是B的真子集，
故且，解得，
故“”中的数字可以是1或2.
故选：C
2．D
【分析】根据充分、必要条件的定义及题意即可判断.
【详解】由题意，“有志”不一定“能至”，但是“能至”一定“有志”，
所以“有志”是“能至”的必要条件.
故选：D.
3．(1)1；
(2)证明见解析
【分析】（1）先理解的运算，然后求解即可；
（2）先证充分性，再证必要性即可．
【详解】（1）.
（2）先证充分性：当或时，则，
即或是的充分条件；
再证必要性：当时，
显然当时，，当时，，
即与均不合题意，
当时，由，则，
当时，由，则，
即“或”是“”的必要条件，
综上，命题得证．
4．答案见解析
【分析】选择条件①，根据是的真子集列不等式求解；选择条件②：根据是的真子集列不等式求解；选择条件③：根据列方程组求解.
【详解】因为集合非空，所以，
选择条件①：
因为是的充分而不必要条件，所以是的真子集，
所以（两个等号不同时取到），
解得，
故实数的取值范围是.
选择条件②：
因为是的必要而不充分条件，所以是的真子集，
所以有且（两个等号不同时取到），
解得.
综上，实数的取值范围是.
选择条件③：
因为是的充要条件，所以有且，
即，此方程组无解，
则不存在实数，使得是的充要条件.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合命题p为假命题，即可求解；
（2）由是的充分条件，得到，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，可得，解得，即命题，
若命题p为假命题，可得或，即，
求实数x的取值范围为.
（2）解：由命题，，
因为是的充分条件，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
6．△ABC为锐角三角形的充要条件为．证明见解析
【分析】根据勾股定理易得△ABC为锐角三角形的充要条件是．再分别证明充分与必要性即可．
【详解】设a，b，c分别是△ABC的三条边，且，△ABC为锐角三角形的充要条件是．
充分性：在△ABC中，若，则不是直角，
假设为钝角，如图①，作，交BC延长线于点D，
则由勾股定理得，
，
即，与“”矛盾，
故为锐角，即△ABC为锐角三角形，故充分性成立；
必要性：在△ABC，是锐角，作，D为垂足，如图②，
则由勾股定理得，
，
即，故必要性成立．
故△ABC为锐角三角形的充要条件为．
7．B
【解析】根据集合的并集、交集的概念及充分条件、必要条件即可求解.
【详解】因为推不出，例如,
而推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
8．A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
9．A
【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，
由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，
综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
10．D
【分析】若，则是的充分条件，是的必要条件.根据已知条件即可分析出甲与丁能不能相互推导.
【详解】甲是乙的充分条件，则甲乙；
乙是丙的充要条件，则乙丙；
丙是丁的必要条件，则丙丁.
所以甲乙丙丁，则甲不能推出丁，丁也不能推出甲，即丁是甲的既不充分也不必要的条件.
故选：D.
11．B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
12．B
【分析】对于①，利用推导即可；
对于②，根据包含关系的意义可分析得解；
对于③④，举例子排除即可.
【详解】对于①，因为等价于，又，
所以等价于，
故的充要条件是，故①正确；
对于②，因为，所以集合中的元素都是集合中的元素，故，所以，故②正确；
对于③，令，显然，但集合没有任何关系，所以推不了 ，故③错误；
对于④，令，显然，但，所以的充要条件不是，故④错误；
综上：①②正确.
故选：B.
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