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专题 01 空间基底及综合应用（1）
专题 01 空间基底及综合应用（1）
一、巩固提升练 【题型一】 基地判断 【题型二】 基底求参 【题型三】 两套基底的坐标互化 【题型四】 空间几何体基地发求向量 【题型五】 空间三点共线求参 【题型六】 空间点共面求参 【题型七】 空间向量共面求参数 【题型八】 利用基底求数量级 【题型九】 利用基底求数量积的范围 【题型十】 基底求空间向量长度 【题型十一】利用基底求空间长度最值 【题型十二】空间向量基底型大题1：两点距离 【题型十三】空间向量基底型大题2：向量夹角 【题型十四】空间向量基底型答题3：综合证明 二、能力培优练
【题型一】 基底判断
知识点与技巧：如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，把叫做空间的一个基底，，，都叫做 基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
（2023·全国·高二专题练习）
1．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高二专题练习）
2．已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高二专题练习）
3．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·浙江金华·高二校联考期末）
4．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
（2022秋·江西南昌·高二校联考期末）
5．若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
（2021·高二课时练习）
6．若是空间向量的一组基底，向量，，则可以与，构成空间向量的另一组基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】基底求参
（2023春·福建福州·高一校联考期中）
7．已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是 .
（2023秋·湖北随州·高二随州市第一中学校考阶段练习）
8．已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 .
（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）
9．已知，如三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数λ为（ ）
A．0 B．9 C．5 D．3
（2022秋·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）
10．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ）
A．0 B．5 C．9 D．
（2023·全国·高二专题练习）
11．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三】两套基底的坐标互化
知识点与技巧：在空间选定一点O和一个单位正交基底．以点O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、之轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直角坐标系，O叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分． （1）空间直角坐标系中点的坐标：在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标_． （2）空间直角坐标系中向量的坐标 在空间直角坐标系中，给定向量，作．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使．有序实数组叫做在空间直角坐标系之中的坐标，上式可简记作．
（2022秋·全国·高二专题练习）
12．已知向量是空间向量的一组基底，向量是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高二专题练习）
13．设是空间中的一个单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）
14．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）
15．在长方体中，若，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高二专题练习）
16．已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】空间几何体基底法求向量
知识点与技巧：用基底表示向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． （3）下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
（2022·全国·高二课时练习）
17．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　）
A． B． C． D．
（2022·全国·高二课时练习）
18．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A． B．=
C．= D．=
（2022·河北省唐县第一中学高一期中）
19．如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
（2022·全国·高二专题练习）
20．在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2022·河南新乡·高二期末（理））
21．在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型五】空间三点共线求参
知识点与技巧：1、对任意两个空间向量，的充要条件是存在实数，使． 2、A、B、C三点共线条件：存在实数，使
（2022·全国·高二课时练习）
22．在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，若，且G、M、N三点共线，则 ．
（2023·全国·高一专题练习）
23．设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2021·高二课时练习）
24．在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则
A． B． C． D．
（2019·全国·高三竞赛）
25．设P，A，B，C为空间不同的四点，且a +β+γ= (a、β、γ∈R).则a+β+γ=0且aβγ≠0是A、B、C三点共线的.
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分又不必要条件
（2020秋·内蒙古乌兰察布·高二统考期末）
26．已知点，，三点共线，则 ．
【题型六】空间点共面求参数
知识点与技巧：（1）共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （2）空间向量共面的充要条件：向量与不共线向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
（2020秋·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）
27．已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
（2023秋·高二课时练习）
28．已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为 ．
（2023春·高二课时练习）
29．若点P与不共线的三点A，B，C共面，且对于空间任意一点O，都有，则＝
（2023·全国·高二假期作业）
30．已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则 ．
（2023·全国·高二专题练习）
31．已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 .
【题型七】空间向量共面求参数
（2023·全国·高二专题练习）
32．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ．
（2022·高二课时练习）
33．已知、、不共面，若，则 ．
（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考开学考试）
34．有以下命题：
①若（），则与、共面；
②若与、共面，则（）；
③若（），则M、P、A、B共面；
④若M、P、A、B共面，则（）.
则所有真命题的序号为 .
（2021·高二课时练习）
35．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则 ．
（2022·全国·高一专题练习）
36．已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 .
【题型八】利用基底求数量积
知识点与技巧：（1）已知两个非零向量，，则向量的模长与在向量方向上的投影的乘积叫做，的数量积，记作．即．零向量与任意向量的数量积为0． （2）由数量积的定义，可以得到：；_
（2022秋·北京·高二北京十五中校考期中）
37．在长方体中，设，，则 ．
（2023秋·新疆·高二校联考期末）
38．如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ．

（2023·全国·高二课堂例题）
39．如图所示，空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F分别是的中点，则 ．

（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期末）
40．平行六面体中，，，，动点P在直线上运动，则的最小值为 .
（2023·全国·高二专题练习）
41．平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是 ．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；
对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；
对于C，假设向量共面，则，
即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；
故选：C.
2．A
【分析】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A.设，所以，
整理得，，
因为是空间的一个基底，所以，无解.
所以，与构成一个基底.
B.因为，所以，所以排除B；
C.因为，所以，所以排除C；
D.设，所以，
整理得，，
因为是空间的一个基底，所以，所以，
所以，与不构成一个基底，排除D.
故选：A
3．C
【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.
【详解】因为，
，
，
所以向量，，均与向量，共面．
故选：C
4．C
【分析】根据空间向量共面定理可知ABD选项中的向量共面，无法作为一组基底；假设C中向量共面，可知不存在满足条件的实数，由此知假设错误，则C中向量可以作为基底.
【详解】对于A，，共面，不能作为空间一组基底，A错误；
对于B，，共面，不能作为空间一组基底，B错误；
对于C，假设共面，则可设
，方程组无解，不共面，可以作为空间一组基底，C正确；
对于D，，共面，不能作为空间一组基底，D错误.
故选：C.
5．C
【分析】根据空间向量共面的条件即可解答.
【详解】对于A，由，所以，，共面；
对于B，由，所以，，共面；
对于D，，所以，，共面，
故选：C.
6．C
【分析】根据空间向量的基底的概念即可得出结果.
【详解】因为是空间向量的一个基底，
所以向量不共面.
要使向量与向量构成一个基底，则该向量与不共面，
由知，
该向量需与不共面，由选项得，该向量为.
故选：C
7．
【分析】由是一组基底，可得两个向量不共线，利用平面向量共线定理结合平面向量基本定理求出时的值，即可得解.
【详解】当时，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
因为是一组基底，
所以两个向量不共线，
所以.
故答案为：.
8．5
【分析】由空间向量基本定理求解，
【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则，
得，解得
故答案为：5
9．C
【分析】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解.
【详解】因为向量，可得与不共线，
又因为向量且不能构成空间直角坐标系的一组基底，
则存在实数使得，即，解得，
所以实数的值为.
故选：C.
10．D
【分析】根据条件，利用空间向量基本定理即可求解出结果.
【详解】因为，，
所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以，，三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使，即，
解得．
故选：D.
11．D
【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值.
【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，故存在实数、使得，
即，
因为是空间的一个基底，则，解得.
故选：D.
12．A
【分析】依题意可得，再设向量在基底下的坐标为，利用向量的线性运算及向量相等，列出关于的方程组，进而求解即可．
【详解】由向量在基底下的坐标为，
则，
设向量在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，，，
所以向量在基底下的坐标为．
故选：A．
13．A
【分析】由题意化简可得，即得解.
【详解】解： 因为，
又，，，
，14，，
故选：A．
14．B
【分析】根据空间向量的坐标表示，利用向量相等列方程组即可求出结果．
【详解】因为向量在基底下的坐标为，即，
设，、、，
所以，
令，解得，，；
所以在基底下的坐标为．
故选：B.
15．C
【分析】结合图形，利用空间向量加法运算的几何表示与基本定理即可得解.
【详解】如图，长方体中，若，
则，
所以向量在基底下的坐标是．
故选：C．
16．A
【分析】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解.
【详解】解：设
，
所以，解得，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：A.
17．A
【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.
【详解】，
，
，
，
故选：A.
18．B
【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则
故选：B
19．D
【分析】利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．
【详解】、分别是对边、的中点，
，．
，
因此，．
故选：D
20．C
【分析】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，根据 ，，，得到P是的重心求解.
【详解】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：
因为，，，
所以，
所以P是的重心，
所以，即，
所以，
整理得．
故选：C
21．B
【分析】先以，，为基底，表示出，然后解向量方程组，用表示出，，，再由，，与的关系可得.
【详解】记，，，则，
解得
又
所以
整理得．
故选：B
22．
【分析】由三点共线得存在实数，使得，再由空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求得，即可求解.
【详解】
若G、M、N三点共线，则存在实数，使得，又点M，N分别为OA、BC的中点，则，，则，则，解得，则.
故答案为：.
23．A
【分析】根据三点共线的向量表示方法即可求解.
【详解】由题意可知,,
因为三点共线，所以,即，
所以 ，解得.
故选:A.
24．B
【分析】由已知可得，又，对应项系数相等，得到结果.
【详解】若，，三点共线，则存在实数使得成立，所以，可得，所以，可得.
故选B
【点睛】本题考查了向量的共线定理、向量的平行四边形法则，属于基础题．
25．B
【详解】充分性.
由a+β+γ=0，得a=-β-γ.
从而，(一β一γ) +β+γ=
由aBγ≠0，知A、B、C三点共线.
必要性.
当点P不在直线BC上时，由A、B、C三点共线知存在实数x，使得=x.
故-= x(- )
.
当点P在直线BC上时，由A、B、C三点共线知存在实数λ，
使得
.
但a≠0，从而，. 选B.
26．1
【解析】因为，，三点共线，所以可设，得出，的坐标，对应相等，即可得出的值.
【详解】因为，，三点共线，所以可设
因为，
所以解得所以
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了根据三点共线求参数，属于基础题.
27．B
【分析】根据空间向量线性运算化简得，即可判断四点位置情况.
【详解】由题设，
所以，则，故四点共面.
故选：B
28．
【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.
【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对，使得,即，
所以 ，
故答案为：
29．##-1.5
【分析】根据共面定理即可求解.
【详解】根据四点共面可得，解得，
故答案为: .
30．
【分析】根据题意和空间向量的基本定理列方程，解之即可求解.
【详解】由题意得，因为A、B、C、D满足四点共面且任意三点不共线，
，
所以，解得.
故答案为：-4.
31．4
【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值.
【详解】以为空间一组基底，
由于三个向量共面，所以存在，
使得，
即，
整理得，
所以，解得.
故答案为：
32．
【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可.
【详解】法一：由题意，
，，
因为，，共面，
所以存在实数唯一实数对，使得，
即，
所以，解得．
法二：由，，共面得四点共面，
则根据四点共面的充要条件可得，，即．
故答案为：.
33．0
【分析】由、、不共面，，可得，即可求
【详解】∵、、不共面，，∴，
∴，
故答案为：0
34．①③
【分析】由空间向量的共面定理判断.
【详解】由空间向量的共面定理可知，①真、③真；
对②，当与共线且与、不共线时，
满足与、共面，但不存在实数组，
使成立，故②假；
对④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，
满足M、P、A、B共面，但不存在实数组，
使，故④假.
故答案为：①③
35．1
【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出m、n、λ﹒
【详解】因为向量，，共面，所以存在实数m，n，使得，
则，
则，解得．
故答案为：1
36．
【分析】利用空间向量共面定理可得，再由向量相等即可求解.
【详解】若向量，，共面，则存在x，y∈R，使得，
∴2-+3=x(-+4-2)+y(7+5+λ)，
∴
解得λ=.
故答案为：
37．1
【分析】由向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算求解即可．
【详解】如图所示，

在长方体中，设，，
则
.
故答案为：1.
38．##
【分析】根据向量线性运算，将转化为，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果.
【详解】.
故答案为：.
39．
【分析】确定向量的夹角，根据空间向量的数量积的定义即可求得答案.
【详解】由题意知为正三角形，则；
因为点E，F分别是的中点，所以，且，
而，的夹角为，
所以，的夹角为，则，的夹角为，
所以，
故答案为：
40．
【分析】设，然后根据空间向量的线性运算和数量积的运算律得到，最后求最小值即可.
【详解】设，
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
41．1
【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得， ，
则
,
故答案为：1.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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