资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
圆压轴题备战2024浙江中考
一、解答题：本题共14小题，共112分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
问题：如图，在中，，，在延长线上，于点，过，，三点的交于点，连结，当为等腰三角形时，求的长．
思路：小明在探索该问题时，发现，于是作于点，然后分步求解．
设，用的代数式分别表示和．
当为等腰三角形时，求的值．
请完成上述各步骤的解答．
拓展：小明发现点关于的对称点始终落在上，于是他设计了如下问题：“当点关于的对称点恰为的中点时，求的长”，请完成该题的解答．
【答案】解：过点作于点，于点，如图，
设，
，，，
，
，
．
，，，
四边形为矩形，
，．
四边形为圆的内接四边形，
．
，
∽，
，
，
，．
用的代数式分别表示，；
当为等腰三角形时，
当时，
，
，
由得：
，
．
当时，
，，
，
．
解得：．
当时，
，
，
解得：或不合题意，舍去，
．
综上，当为等腰三角形时，的值为或或．
拓展：作出点关于的对称点，连接，，，如图，
由对称的性质可得：，．
恰为的中点，
，
，
，
，
．
点作于点，
，，，
，
，
在中，
，
，
．
【解析】过点作于点，于点，设，利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理求得线段，，利用矩形的判定与性质得到，，利用相似三角形的判定与性质，列出比例式即可得出结论；
利用含的代数式分别表示出的三边，利用分类讨论的思想方法分当时，当时，当时三种情况讨论解答：列出关于的方程，解方程即可得出结论；
拓展：作出点关于的对称点，连接，，，利用轴对称的性质，圆周角定理和垂直的性质求得，点作于点，在中，利用直角三角形的边角关系定理列出关于的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，圆内接四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形的边角关系定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
2.本小题分
已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设．
如图，若时，求度数；
如图，过点作，证明：；
如图，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示：．
【答案】解：如图，
连接，作于，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
证明：如图，
连接，
，，
∽，
，，
，，
，，，
，
，
，
，
；
解：如图，
作的垂直平分线，交于，
，
，
，
由知：，
，
，
，
不妨设，，，
，
，
在中，
，
，
是直径，
，
，
∽，
，
．
【解析】连接，作于，由得，由是的直径，得，结合，进一步得出结果；
连接，可证得∽得出，可证得，进一步得出结果；
作的垂直平分线，交于，可证得，由得，得出，从而，从而，不妨设，，，从而，可得，在中，，从而得出，可证得∽，从而得出，进而得出结果．
本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造二倍角．
3.本小题分
如图，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结已知，，，．
求证：．
求与的长．
是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动当点在点处时，点在点处，设，．
求关于的表达式．
连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，求的值．
【答案】证明：，
，
过点，
，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
；
解：如图，连结，
，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，；
解：由题意得：，
是中点，
，
，
设，，则，
，
；
Ⅰ如图，于点，连结，
由知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且，
解得：，
；
Ⅱ如图，于点，
，
，
，
，
，即，且，
解得：，
，
在中，，
，
，
Ⅲ当于点，
在中，
，
，
故这种情况不存在．
综上所述，的值为或．
【解析】根据垂径定理可得，由等腰三角形的三线合一性质可知，根据四点共圆可得，于是，，即可证明；
连接，由等边对等角得，进而得到，因此，利用平行线分线段成比例得，由，即可求解；
根据相同时间内走过的路程之比不变即可求解；
依题意可分三种情况：Ⅰ于点，连结，由知，先算出，再根据同角的余角相等得，进而得到，于是，再将对应线段的长度代入解出此时的值，则；Ⅱ于点，根据同角的余角相等得，于是可得，再将对应线段长度代入解出此时的值，然后在中求出的值，由此得出的值，则；Ⅲ当于点，由三角形内和定理可知，，故这种情况不存在．
本题主要考查垂径定理、等腰三角形的性质、四点共圆、平行线的性质、解直角三角形、三角形内角和定理等知识，本题属于圆的综合题，难度大，综合性较强，属于中考压轴题，熟记相关性质和定理，学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
4.本小题分
如图，为矩形的对角线，点在上，连接，是的外接圆与的延长线的一个交点，延长交圆于点，点恰好是的中点，连接，分别交，于点，，连接．
求证：．
求证：四边形是菱形．
若恰好是的中点时，求的值．
【答案】证明：在矩形中，，，
，是圆的直径，
点是的中点，
，
，
，
．
证明：，是圆的直径，
垂直平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
是菱形．
连接，设．
，，
，
∽，
，
恰好是的中点，
，
，
，
，，
∽，
，
点是的中点， 是菱形，
，
，
，
．
【解析】利用矩形的性质得到是圆的直径，再利用垂径定理即可得到；
利用垂径定理得到垂直平分，再利用平行线的判定及矩形的性质得到四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可解答；
利用相似三角形的判定得到∽，∽，再利用相似三角形的性质得到即可解答．
本题考查了矩形的性质，垂径定理，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5.本小题分
如图，为等腰三角形的外接圆，，点在上，连结，点为延长线上一点，连结交于点，满足，连结．
求证：；
当，且时，求的值；
如图，连结交于点，若，的半径为，
求的长；
当时，直接写出与的面积之比．
【答案】证明：如图，
连接，，作直径，连接，，，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
；
解：设，由题意得：，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
；
解：如图，设与交于，
由知：，，，
，
，
，
，
，
；
解：如图，
作直径，交于，连接，
，，
，，
，
，
由知：，
，
，
，
，
∽，
，
．
【解析】连接，，作直径，连接，，，可证得垂直平分，从而，进而得出，从而，进一步得出结论；
设，，，从而得出，求得的值，进一步得出结果；
可得出，进而求得，根据，从而求得，进一步得出结果；
作直径，交于，连接，可求得，进而求得，从而求得，进而求得，进而解得和，从而得出和的比值，证得∽，从而得出，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆的有关定理等知识，解决问题的关键是作辅助线利用圆的有关定理．
6.本小题分
如图，为等腰直角三角形，且，点为线段上的动点，过点作，使得，作的外接圆交于点，连结，分别交、于点、，连结．
已知，，求；
求证：；
若，求．
【答案】解：为等腰直角三角形，，
，．
，
．
，，
为等腰直角三角形，
，．
，，
，
四边形为梯形，
．
，，
；
证明：过点作，交的延长线于点，如图，
，
∽，
．
，
为的外接圆的直径，
．
，，
．
由知：，
，
，．
即为的垂直平分线，
．
，
．
．
，
，
．
，
．
，
．
；
解：过点作，交的延长线于点，如图，
由知：为等腰三角形，
，
，
，
．
．
设，则，，
，
，
由知：
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
∽．
，
，
，
．
【解析】利用等腰三角形的判定与性质求得线段，的长度，再利用梯形的面积减去两个直角三角形：和的面积即可得出结论；
过点作，交的延长线于点，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用圆周角定理，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质得到为等腰三角形，则，利用等量代换即可得出结论；
过点作，交的延长线于点，利用平行线分线段成比例定理得到，设，则，，，，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，分别求得线段，，，，则结论可求．
本题主要考查了圆的有关概念与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，梯形，三角形的面积，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，过点作是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线．
7.本小题分
如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点．
若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；
在的条件下，当，时，求线段的长度；答案用含的代数式表示
若，且，求的面积．
【答案】解：如图，过作于，
点为弧的中点，
弧弧，
，
，
圆的半径为，即，
，
；
，，
，
又，
∽，
，
由可知，
；
如图，连接，，，并延长至点，
，，
垂直平分，
又，
，
，
又，
∽，
，即，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，，，
，
的面积．
【解析】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例得到方程得出结论．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
过作于，根据点为弧的中点，可得，进而得出，再根据圆的半径为，即可得到；
判定∽，即可得出结论；
连接，，，并延长至点，依据，，判定∽，即可得到，设，再根据∽，可得，由此构建方程求出，再利用勾股定理求出，可得结论．
8.本小题分
如图，在正方形中，点为边上的动点点与点、不重合，过点、、作圆，交于点．
求证：；
延长，交于点，连结．
若，，求的长；
若，求的度数．
【答案】证明：连接，
四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
；
解：连接，
四边形是正方形，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
延长到使，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
≌．
，
，
，，
，
，
，
设，，
，
，
，，
；
由知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
连接，根据正方形的性质得到，根据圆周角定理得到是圆的直径，求得，得到，延长到使，根据全等三角形 到现在得到，，，解直角三角形得到结论；
由知，根据平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论．
本题是圆的综合题，考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.本小题分
如图，为圆的内接三角形，的三条角平分线交于点，延长交圆于点，连接．
求证：．
如图，连接，设与交于点，若，，求的长．
如图，四边形内接于圆，连接对角线，交于点，且平分，过作交于点，平分交于点，若，，求的最大值，并求此时圆的半径．
【答案】证明：的三条角平分线交于点，
，，
，
，
，即，
；
解：，
，
平分，
点为弧的中点，
，
由知，
，
．
的三条角平分线交于点，
，
，
，
又，
∽，
，
；
解：如图：过作于点，连接，
平分，平分，
，
同可证得，
，
设，则，，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
，
，
当时，最大，最大值为，
此时，，
如图：作直径，连接，
则，
，
此时圆的半径为．
【解析】根据角平分线的定义，通过外角性质及圆周角定理，即可证明，从而证得结论；
首先由垂径定理，可得，根据圆周角定理及可得，，再根据角平分线的定义及圆周角定理，即可证得∽，根据相似三角形的性质即可求解；
过点作于点，根据角平分线的定义及，可证得：，可得：，设，则，，再根据平行线的性质及圆周角定理，可证得，，可证得：∽，根据相似三角形的性质可得，，根据二次函数的性质可得，当时，最大，最大值为：，此时，，再作直径，连接，则，即可求得，据此即可得半径．
本题考查了三角形角平分线的定义，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正弦的定义，作出辅助线是解决本题的关键．
10.本小题分
如图，圆为的外接圆，延长线与交于点，，点在上，平分．
如图，求证：∽；
如图，连结，求证：；
如图，连结并延长分别交，于，两点，若，，求．
【答案】证明：如图，连结，
，
，
，
，
平分，
，
∽；
证明：如图，连结，
∽，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
；
解：如图，作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
可得：，
，
在中，，
．
【解析】连结，根据垂径定理及圆周角定理得出，，进而得出，根据角平分线的定义得出，即可判定∽；
连结，由得∽，根据相似三角形的性质推出，结合，推出∽，根据相似三角形的性质及等腰三角形的性质得到，，则，根据平行线的性质即可判定；
作于点，根据题意推出，进而得出，设，根据三角形外角性质及线段垂直平分线性质得出，则，利用证明≌，根据全等三角形的性质得到，进而推出，，根据含角的直角三角形的性质即可得解．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
11.本小题分
如图，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，．
求证：是等腰直角三角形．
如图，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．
当是的中点时，．
求的长．
若点是外接圆的动点，且位于正方形的外部，连结当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
【答案】证明：如图，点在的外接圆上，
，
，
．
，
，
是等腰直角三角形；
解：，
理由：如图，延长交于点，
，，
，
即，
，
，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
≌，
，，
，
，
，
；
解：由知．
，
．
是的中点，
，
，
，
存在或，
当时，如图，，
，
度，
是圆的直径，
，
；
当时，如图，连结；
是圆的直径，
，
∽，
，
，
综上所述，的长是或．
【解析】如图，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得得到，于是得到结论；
如图，延长交于点根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论；
由知求得根据是的中点，于是得到，
推出，当时，如图，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到当时，如图，连结由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
12.本小题分
如图，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结已知，，，．
求证：．
求与的长．
是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，．
求关于的表达式．
连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，求的值．
【答案】证明：，
，
过点，
，
．
四边形内接于，
，
，
，
，
．
如图，连结．
，
，
，
，
，
．
，，
，．
由题意得，，
，
．
如图，于点，连结．
，
，
，
即，
，
解得，
．
如图，于点．
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
Ⅲ如图，当于点．
在中，，
，
这种情况不存在．
综上所述，的值为或．
【解析】本题考查的是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、圆内接四边形、平行线分线段成比例定理、三角函数的定义等，解题的关键是构造辅助线．
根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可判定；
连接，运用平行线分线段成比例定理即可求出；
根据题意可以直接得出；
分三种情况讨论，分别求解即可．
13.本小题分
如图，为四边形的外接圆，与相交于点，且，连接，设．
用含的代数式表示；
如图，连接，交于点，若，求证：≌；
在的基础上，当，时，求出的值．
【答案】解：连接，
，，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌；
解：，
，
：：，
，，
由得≌，
，
延长交于点，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
即，
解得，
，
．
【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据已知条件得到，，由得≌，根据全等三角形的性质得到，延长交于点，设，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
14.本小题分
如图，在中，，，，是的中点，经过，，三点的圆交于点，若动点从点匀速运动到点时，动点恰好从点匀速运动到点，记，．
求的长．
求关于的函数表达式．
连接．
当时，求的值．
如图，延长交于点，连接，当为直角三角形时，求的值．
【答案】解：如图，
连接，
，，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
，
由题意得，
，
，
；
如图，
作于，
在中，，，
，
，
，
，
，
，舍去，
；
如图，
连接，
，
是的直径，
当时，
是的直径，此时点在处，
，，
，
，
由上知：，，
，
，
，
，
，
如图，
当时，，
连接，，，作于，设与交于点，
在 中，，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，，，
，
，，
，
同理可得，
∽，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
综上所述：或．
【解析】可证明∽，从而得出，进一步得出结果；
由得出，从而；
作于，在中表示出，根据列出，结合，进一步得出结果；
当时，是的直径，此时点在处，从而得出，求得的值，再求出和的值，从而得出；当时，，连接，，，作于，设与交于点，在 中，可列出求得的值，根据∽得出，依次求得，，的值，根据∽，求得和的值，在中，由勾股定理求得的值，进而求得的值，进一步得出结果．
本题考查了圆的内接四边形的性质，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强计算能力．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
圆压轴题备战2024浙江中考
一、解答题：本题共14小题，共112分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
问题：如图，在中，，，在延长线上，于点，过，，三点的交于点，连结，当为等腰三角形时，求的长．
思路：小明在探索该问题时，发现，于是作于点，然后分步求解．
设，用的代数式分别表示和．
当为等腰三角形时，求的值．
请完成上述各步骤的解答．
拓展：小明发现点关于的对称点始终落在上，于是他设计了如下问题：“当点关于的对称点恰为的中点时，求的长”，请完成该题的解答．
2.本小题分
已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设．
如图，若时，求度数；
如图，过点作，证明：；
如图，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示：．
3.本小题分
如图，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结已知，，，．
求证：．
求与的长．
是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动当点在点处时，点在点处，设，．
求关于的表达式．
连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，求的值．
4.本小题分
如图，为矩形的对角线，点在上，连接，是的外接圆与的延长线的一个交点，延长交圆于点，点恰好是的中点，连接，分别交，于点，，连接．
求证：．
求证：四边形是菱形．
若恰好是的中点时，求的值．
5.本小题分
如图，为等腰三角形的外接圆，，点在上，连结，点为延长线上一点，连结交于点，满足，连结．
求证：；
当，且时，求的值；
如图，连结交于点，若，的半径为，
求的长；
当时，直接写出与的面积之比．
6.本小题分
如图，为等腰直角三角形，且，点为线段上的动点，过点作，使得，作的外接圆交于点，连结，分别交、于点、，连结．
已知，，求；
求证：；
若，求．
7.本小题分
如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点．
若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；
在的条件下，当，时，求线段的长度；答案用含的代数式表示
若，且，求的面积．
8.本小题分
如图，在正方形中，点为边上的动点点与点、不重合，过点、、作圆，交于点．
求证：；
延长，交于点，连结．
若，，求的长；
若，求的度数．
9.本小题分
如图，为圆的内接三角形，的三条角平分线交于点，延长交圆于点，连接．
求证：．
如图，连接，设与交于点，若，，求的长．
如图，四边形内接于圆，连接对角线，交于点，且平分，过作交于点，平分交于点，若，，求的最大值，并求此时圆的半径．
10.本小题分
如图，圆为的外接圆，延长线与交于点，，点在上，平分．
如图，求证：∽；
如图，连结，求证：；
如图，连结并延长分别交，于，两点，若，，求．
11.本小题分
如图，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，．
求证：是等腰直角三角形．
如图，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．
当是的中点时，．
求的长．
若点是外接圆的动点，且位于正方形的外部，连结当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
12.本小题分
如图，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结已知，，，．
求证：．
求与的长．
是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，．
求关于的表达式．
连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，求的值．
13.本小题分
如图，为四边形的外接圆，与相交于点，且，连接，设．
用含的代数式表示；
如图，连接，交于点，若，求证：≌；
在的基础上，当，时，求出的值．
14.本小题分
如图，在中，，，，是的中点，经过，，三点的圆交于点，若动点从点匀速运动到点时，动点恰好从点匀速运动到点，记，．
求的长．
求关于的函数表达式．
连接．
当时，求的值．
如图，延长交于点，连接，当为直角三角形时，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑