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专题7.3 复数的四则运算（重难点题型精讲）
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意,,∈C，有
①交换律：+=+；
②结合律：(+)+=+(+).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差
-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意,,∈C，有
①交换律：=；
②结合律：()=()；
③分配律：(+)=+.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，
=，=.
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是(a,b)，(c,d)，则| |=
，又复数-=(a-c)+(b-d)i，则|-|=.
故| |=|-|，即|-|表示复数，在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根
，=；
当=0时，方程有两个相等的实根==-；
当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复
数.
7．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【题型1 复数的加、减运算】
【方法点拨】
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数
相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所
有虚部相加(减).
【例1】（2022秋·贵州毕节·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．4 B． C． D．
【变式1-1】（2022秋·陕西延安·高三阶段练习）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022春·广西桂林·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数满足，则=（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】
【方法点拨】
(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.
(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复
数.
【例2】（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【变式2-1】（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ）
A． B．5 C．2 D．10
【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022春·高一课时练习）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【题型3 复数的乘除运算】
【方法点拨】
(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成-1，并将实部、虚部分别合并.
(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即
将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
【例3】（2023·辽宁·辽宁模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022春·陕西榆林·高二期中）已知复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022秋·河北唐山·高三阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 虚数单位i的幂运算的周期性】
【方法点拨】
根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.
【例4】（2022·云南红河·校考模拟预测）已知i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022春·湖北十堰·高一阶段练习）（ ）
A． B．1 C． D．
【变式4-2】（2022·全国·高一假期作业）设是虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
【变式4-3】（ ）
A． B． C． D．
【题型5 解复数方程】
【方法点拨】
实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则
其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.
【例5】（2022·重庆江北·校考一模）已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式5-1】（2022秋·宁夏石嘴山·高三期中）已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的虚数根，则（ ）
A．0 B． C． D．
【变式5-3】（2022秋·上海宝山·高二阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型6 四则运算下的复数概念】
【方法点拨】
先根据复数的四则运算法则进行化简复数，再结合复数的有关概念，进行求解即可.
【例6】（2022·江苏常州·校考模拟预测）已知复数是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－ B． C．－2 D．2
【变式6-1】（2023秋·江西抚州·高三期末）已知复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023秋·江苏扬州·高三期末）若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）．
A． B．3 C． D．2
【变式6-3】在复平面内，复数（ ）
A．位于第一象限
B．对应的点为
C．
D．是纯虚数专题7.3 复数的四则运算（重难点题型精讲）
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意,,∈C，有
①交换律：+=+；
②结合律：(+)+=+(+).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差
-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意,,∈C，有
①交换律：=；
②结合律：()=()；
③分配律：(+)=+.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，
=，=.
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是(a,b)，(c,d)，则| |=
，又复数-=(a-c)+(b-d)i，则|-|=.
故| |=|-|，即|-|表示复数，在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根
，=；
当=0时，方程有两个相等的实根==-；
当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复
数.
7．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【题型1 复数的加、减运算】
【方法点拨】
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数
相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所
有虚部相加(减).
【例1】（2022秋·贵州毕节·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A．4 B． C． D．
【解题思路】根据复数加法法则，实部和虚部分别相加即可得出结果.
【解答过程】由，得，
，
故选：D.
【变式1-1】（2022秋·陕西延安·高三阶段练习）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设复数 ，利用复数的加减运算法则，解出a，b，即可得z.
【解答过程】设 ，
则，
所以，
得，
所以.
故选：B.
【变式1-2】（2022春·广西桂林·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用复数的加法运算直接计算作答.
【解答过程】.
故选：A.
【变式1-3】（2023·山西大同·大同市模拟预测）若复数满足，则=（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由复数的运算法则与复数相等的概念求解即可
【解答过程】设，则，
所以，
，
所以，
所以.
故选：A.
【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】
【方法点拨】
(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.
(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复
数.
【例2】（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，
又因为，
所以由复数加法的几何意义可得，
.
故选：C.
【变式2-1】（2022·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（ ）
A． B．5 C．2 D．10
【解题思路】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【解答过程】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
故选：B．
【变式2-2】（2022·全国·高一专题练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．
【解答过程】∵ ，
∴ 对应的复数为：，
∴点对应的复数为．
故选D．
【变式2-3】（2022春·高一课时练习）如图，设向量，，所对应的复数为z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【解题思路】由向量，结合向量减法运算得，再由复数的几何意义即可求解.
【解答过程】由题图可知，，，
∴z1＋z2－z3＝0.
故选：D.
【题型3 复数的乘除运算】
【方法点拨】
(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成-1，并将实部、虚部分别合并.
(2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即
将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
【例3】（2023·辽宁·辽宁模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据复数的四则运算和共轭复数的概念即可求解.
【解答过程】因为，
所以.
故选：B.
【变式3-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由复数对应的点的坐标得到，利用复数除法法则计算出答案.
【解答过程】由题意可知，所以.
故选：C.
【变式3-2】（2022春·陕西榆林·高二期中）已知复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先得到，从而利用复数乘法法则计算出答案.
【解答过程】由题意得：，故.
故选：C.
【变式3-3】（2022秋·河北唐山·高三阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据复数的运算法则，以及共轭复数的定义进行求解即可.
【解答过程】因为，
所以，
则.
故选：A.
【题型4 虚数单位i的幂运算的周期性】
【方法点拨】
根据虚数单位i的幂运算的周期性，进行求解即可.
【例4】（2022·云南红河·校考模拟预测）已知i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用复数的除法运算和乘方运算，进行化简、整理，即可得答案．
【解答过程】．
故选：B．
【变式4-1】（2022春·湖北十堰·高一阶段练习）（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】根据的周期性，计算即可得到结果.
【解答过程】因为
则
故选:A.
【变式4-2】（2022·全国·高一假期作业）设是虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
【解题思路】利用的周期性求解，连续4项的和为0.
【解答过程】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以，
故选:B.
【变式4-3】（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用复数除法化简，再结合的乘方的周期性，可得解.
【解答过程】.
故选：A.
【题型5 解复数方程】
【方法点拨】
实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a+bi(a,b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则
其共轭复数a-bi是该方程的另一根，据此进行求解即可.
【例5】（2022·重庆江北·校考一模）已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】根据是关于的方程的一个根，代入计算即可求解.
【解答过程】因为是关于的方程的一个根，
所以，即，所以，
解得：，
故选：.
【变式5-1】（2022秋·宁夏石嘴山·高三期中）已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【解题思路】将代入方程中，根据复数相等的充要条件即可求解.
【解答过程】因为是方程的根，所以，
，且，
故选：C.
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的虚数根，则（ ）
A．0 B． C． D．
【解题思路】由题设有且，将目标式化简为，即可得结果.
【解答过程】由题设，且，
而 ，
所以原式等于.
故选：C.
【变式5-3】（2022秋·上海宝山·高二阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】由一元二次方程求根公式即可建立方程组求解
【解答过程】方程的根为，
为其中一个复数根，
则有，
解得.
故选：D.
【题型6 四则运算下的复数概念】
【方法点拨】
先根据复数的四则运算法则进行化简复数，再结合复数的有关概念，进行求解即可.
【例6】（2022·江苏常州·校考模拟预测）已知复数是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－ B． C．－2 D．2
【解题思路】由题意设，代入中化简，使其虚部为零，可求出的值，从而可求出复数，进而可求得其共轭复数.
【解答过程】由题意设，
则，
因为是实数，所以，得，
所以，
所以，
故选：A.
【变式6-1】（2023秋·江西抚州·高三期末）已知复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由复数的运算即可得到，再由共轭复数的定义即可得到结果.
【解答过程】因为复数满足，则，
所以，
故选:B.
【变式6-2】（2023秋·江苏扬州·高三期末）若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）．
A． B．3 C． D．2
【解题思路】通过条件计算出复数z的代数形式，即可得实部.
【解答过程】，
则，
则z的实部为.
故选：D.
【变式6-3】在复平面内，复数（ ）
A．位于第一象限
B．对应的点为
C．
D．是纯虚数
【解题思路】根据复数的除法运算化简，根据复数的相关概念一一判断各选项，即得答案.
【解答过程】由题意可得，
故复数对应的点为，位于y轴正半轴上，故错误；
，C错误；
为纯虚数，D正确，故选：D.

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