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专题7.5 复数的三角表示（重难点题型精讲）
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义.
3．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
【题型1 求辅角主值】
【方法点拨】
求辅角主值时，要考虑角的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角
形式，再进行求解.
【例1】（2022秋·辽宁·高二开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】复数可以写成 的形式，即可求得复数的辐角主值.
【解答过程】，所以复数的辐角主值.
故选：A.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）的辐角主值为（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可.
【解答过程】对于A，若辐角主值为，则，不可能为，故A错误；
对于B，若辐角主值为，则，不可能为，故B错误；
对于C，若辐角主值为，则，当时，，故C正确；
对于D，由于辐角主值的范围为，不可能为，故D错误.
故选：C.
【变式1-2】（2022·高一课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值．
【解答过程】复数
，
所以复数的辐角主值是．
故选：D.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．
【解答过程】解：，
因为，
所以，所以，
所以该复数的辐角主值为．
故选：B.
【题型2 复数的代数形式与三角形式的互化】
【方法点拨】
复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.
将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
【例2】（2022·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式
即可求解；
（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解；
【解答过程】(1)
，
，
.
(2)
.
∵当时，，，
∴，
当时，，，
∴
.
【变式2-1】（2022·高一课时练习）化下列复数为三角形式．
(1)－1＋i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1．
【解题思路】对于（1）、（2）、（3）、（4）四个小题，分别求出模和辐角主值，即可写出对应的三角形式.
【解答过程】(1)
因为z=－1＋i，所以a＝－1，b＝，
则r＝＝2，tanθ＝－.
而对应点M(－1，)在第二象限，θ的主值为，
∴－1＋i＝2．
(2)
因为z=1－i，所以a＝1，b＝-1，
则r＝，tanθ＝－1.
而对应点M(1，-1)在第四象限，θ的主值为，
∴－1＋i＝．
(3)
因为z=2i，所以a＝0，b＝2，
则r＝.
对应点M(0，2)在y轴正半轴上，θ的主值为，
∴2i＝2．
(4)
因为z=－1，所以a＝－1，b＝0，
则r＝1，对应点M(-1，0)在x轴正半轴上，θ的主值为.
∴－1＝．
【变式2-2】（2022·高一课时练习）将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）利用诱导公式直接可得；
（2）根据诱导公式直接转化即可.
【解答过程】（1）
；
（2）
.
【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解题思路】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解.
【解答过程】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【题型3 三角形式下的复数的乘、除运算】
【方法点拨】
复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
【例3】（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．
【解答过程】由棣莫弗公式知，
，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
【变式3-1】（2023·高一课时练习）计算的值是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据复数的三角运算公式运算即可.
【解答过程】因为
所以，
所以，
故选：B.
【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）
A． B．
C．－i D．＋i
【解题思路】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.
【解答过程】
，
故选:D.
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.
【解答过程】由题意，得当时，，，
∴
．
∵，
∴，
故选：D.
【题型4 复数乘、除运算的几何意义的应用】
【方法点拨】
根据复数乘、除运算的几何意义，进行求解即可.
【例4】把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意用复数乘以，化简可得结果.
【解答过程】复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数为
，
故选：B.
【变式4-1】设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将给定的复数化成三角形式，再利用复数乘法的三角形式求出的辐角主值，即可计算作答.
【解答过程】复数，因按顺时针方向旋转后得到向量，
依题意，，
因此复数的辐角主值，所以.
故选：C.
【变式4-2】（2022·高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．2i B． C． D．
【解题思路】根据复数的三角形式运算求解即可.
【解答过程】复数的三角形式是,向量对应的复数
故选：B.
【变式4-3】设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先把复数化为三角形式，再根据题中的条件求出复数，利用复数相等的条件得到和的值，求出.
【解答过程】因为，
所以，
设，，，
则，
，
即，，，
故
.
故选：A.专题7.5 复数的三角表示（重难点题型精讲）
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义.
3．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
【题型1 求辅角主值】
【方法点拨】
求辅角主值时，要考虑角的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角
形式，再进行求解.
【例1】（2022秋·辽宁·高二开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·高一课时练习）的辐角主值为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·高一课时练习）复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 复数的代数形式与三角形式的互化】
【方法点拨】
复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.
将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
【例2】（2022·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式
(1)；
(2)．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）化下列复数为三角形式．
(1)－1＋i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1．
【变式2-2】（2022·高一课时练习）将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)．
【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型3 三角形式下的复数的乘、除运算】
【方法点拨】
复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
【例3】（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3-1】（2023·高一课时练习）计算的值是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（ ）
A． B．
C．－i D．＋i
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 复数乘、除运算的几何意义的应用】
【方法点拨】
根据复数乘、除运算的几何意义，进行求解即可.
【例4】把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022·高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是
A．2i B． C． D．
【变式4-3】设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ）
A． B． C． D．

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